secciones conicas

II
DEDICATORIA
Una nueva de mi vida termina
Y por eso dedico con mucho
Amor y cariño este trabajo
A mis padres
Quienes con su esfuerzo y sacrificio
Hicieron posible este logro.
Son ustedes mi ejemplo,
Son ustedes mi amor…..

III
AGRADECIMIENTO
A mi querido colegio.
Que plasmó en mi corazón, los mejores
recuerdos y enseñanzas.
Gratitud a mis distinguidos maestros,
Guías incansables del saber,
La justicia y la libertad.
A mis amigos :”Gracias por alentar
Mis deseos de esfuerzo y superación

IV
JUSTIFICACIÓN
Las principales razones y causas para la investigación de este tema , giran
en torno a la sintetización de conocimientos sobre el uso de cónicas y sus
manifestaciones en la naturaleza. Siendo un punto de estudio odiado por los
estudiantes, pero de trascendental importancia en el ámbito educativo, su
importancia también radica en el campo laboral. Por eso es preciso
enfocarnos en su estudio y comprender el sinnúmero de actividades que
tienen como fundamento primordial este tema.

1
INTRODUCCIÓN
Las cónicas tienen gran importancia puesto que en nuestro medio es muy
utilizado desde lo más mínimo hasta el universo en sí. Son aplicadas
especialmente en el campo de la geometría analítica. Se utiliza también en
arquitectura, implementando todo sobre las cónicas y sus derivadas. En la
actualidad gran parte de las novedosas construcciones, implican el uso de
las mismas. En el universo, existen varios cuerpos celestes, que en su
trayectoria, se puede observar una elipse. Desde el principio de la sociedad
misma, las cónicas tienen su origen, involucrando varias interrogantes e
personajes que dedicaron gran parte de su vida a la investigación de las
cónicas.
Las diversas cónicas existentes, están interrelacionadas con el cálculo de
ecuaciones de segundo grado.

2
RESUMEN
El estudio y análisis de las cónicas ha generado interés desde la antigüedad
puesto que sus diversas aplicaciones en la naturaleza es de gran
trascendencia. Las cónicas nacen al intersecar un plano con un cono,
dependiendo del ángulo del plano, se las puede clasificar en: hipérbolas,
parábolas, elipse o circunferencias. Siendo la circunferencia, la mas
importante, ya que les demás se derivan de la misma.

3
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
 Desarrollar un análisis minucioso de las cónicas mediante
fuentes confiables de internet y libros, para llegar a un claro
entendimiento sobre sus características, tipos, relaciones
matemáticas y enfocando específicamente en la resolución de
problemas.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
 Determinar, mediante el estudio minucioso, la importancia del
cálculo de las cónicas.
 Investigar de manera profunda, y detallada acerca de las
cónicas basándose tanto en teoría como práctica.
 Conocer métodos de resolución y graficación de todos y cada
uno de los elementos de las cónicas
 Reconocer los diferentes tipos de cónicas y utilizarlas en
problemas de aplicación
 Identificar elementos de una cónica y determinar ecuaciones de
conicas apartir del conocimiento de sus diferentes propiedades

4
ESTRUCTURA DEL MARCO TEÓRICO
CAPÍTULOI
SECCIONESCÓNICAS
1.1 ETIMOLOGIA Y DEFINICION
1.2 RESEÑA HISTORICA
CAPITULOII
CLASIFICACIÓN DELASCÓNICAS
2.1 HIPÉRBOLA
2.1.2.1 RELACIÓN FUNDAMENTAL
2.1.2.2 ASÍNTOTASDE LA HIPÉRBOLA
2.1.2.3. EXCENTRICIDADDE LA HIPÉRBOLA
2.1.2.4. ECUACIÓN REDUCIDA O CANÓNICA DELA HIPÉRBOLA.
2.2. PARÁBOLA
2.2.2.1 ELEMENTOS
2.2.2.2 ECUACIONESDE LASPARABOLASCON VÉRTICEEN EL CENTRO
2.3.ELIPSE
2.3.2.1. EXCENTRICIDADDE LA ELIPSE
2.3.2.2. ECUACIONESDE LA ELIPSE
2.4.LA CIRCUNFERENCIA
2.4.2.1ECUACIONES DE UNA CIRCUNFERENCIA
CAPÍTULOIII
CAMPOSDE APLICACIÓN
3.1. AERODINÁMICA
3.2. MORFOLOGÍA
3.2.2.1. APLICACIONES
3.3. GEOMETRÍA PROYECTIVA

5
CAPITULO I
ETIMOLOGÍA Y DEFINICION
1.1 ETIMOLOGÍA
La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua
Grecia, cerca del año 1000 a.C. (Menæchmus) donde las definieron como
secciones «de un cono circular recto». Los nombres de hipérbola, parábola
y elipse se deben a Apolonio de Perge. Actualmente, las secciones cónicas
pueden definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las
diversas ramas de la matemática: como la geometría analítica, la geometría
proyectiva, etc.
Sección (parte o lugar) cónica ( referente a conos) entonces se lo podría
definir como operaciones utilizando partes de un como .Para ser mas
específico son: teoremas, fundamentos y leyes que están enfocados en el
estudio de las diversas partes de un cono
Cónica es cada una de las curvas planas que se obtienen al cortar una
superficie cónica por un plano que no pasa por su vértice.
El tipo de curva que se obtiene depende del ángulo de la superficie cónica y
del ángulo que forma el plano con el eje
Una superficie cónica es aquella que se obtiene al hacer girar una recta
generatriz alrededor de una recta llamada eje.
1.2 RESEÑA HISTORICA
Las secciones cónicas eran conocidas aproximadamente durante el siglo VII
a.C. y el interés por estas curvas aumentaba a medida que se empleaban
en la resolución de problemas. Pero un estudio sistemático y racional no
comenzó hasta aproximadamente el primer siglo de la Época Helenista. Una
de las primeras obras de las que se tiene conocimiento es Libro de los
lugares sólidos, de Aristeo, que data de finales del siglo IV a.C. En esta obra
las secciones cónicas se obtienen por secciones de cilindros y conos por
planos.
Desde la antigüedad se ha intentado hacer un estudio minucioso, analítico
enfocado sola mente en los conos. Por ejemplo en los años IV a. C
Euclides escribió un tratado de cuatro tomos; también existieron libros
como: “Las cónicas de Apolonio”, etc.
1.3 FUNDAMENTOS
1.3.1 GENERALIDADES:
Los términos círculo y circunferencia no son sinónimos, aunque están
intrínsecamente relacionados.

6
La circunferencia define a una curva libre, es decir una serie de puntos en el
plano En cambio, el círculo se refiere a una superficie formada por los
puntos interiores de la circunferencia.
Y algunas rectas notables de una circunferencia son:
 Radio: es un segmento cuyos extremos son el centro y un punto
cualquiera de la circunferencia
 Cuerda: es un segmento cuyos extremos son 2 puntos cualesquiera
de la circunferencia
 Diámetro: es una cuerda que pasa por el centro
 Secante: es una recta que interseca a la circunferencia en 2 puntos
 Tangente: es una recta que interseca a la circunferencia en un sólo
punto. El punto donde la recta tangente interseca a la circunferencia
se denomina punto de tangencia
1.3.2 ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO
La ecuación Axy² + Bxy+ Cy ² + Dx +Ey +F= 0, donde A, B, C,D,E Y F son
números reales y A, B YC son diferentes de cero, es una ecuación que nos
permite determinar una sección cónica.
Si la cónica es no degenerada, se puede definir lo siguiente:
Si B²-4AC < 0 es una elipse
Si B² -4AC = 0 es una parábola
Si B²-4AC > 0 es una hipérbola
La expresión B² -4AC se denomina discriminante de la ecuación
CÓNICAS
Desde un punto de vista analítico se puede definir cónica como la curva que
responde a una ecuación del tipo:
Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
Los valores que toman A, B, C, D, E y F, determinan el tipo de la cónica y su
posición en el plano. Permitiendo que dichos coeficientes tomen valores
cualesquiera, además de los cuatro tipos de cónicas, se obtienen cónicas
degeneradas e incluso cónicas imaginarias
Para gráficar: una circunferencia, una hipérbola o una elipse se debe tomar
en cuenta la ecuación ordinaria que tiene su centro en las coordenadas (h,k)
sabiendo que si el radio es mayor que cero (r>0) es (x-h)²+(y-k)². Si k
circunferencia tiene su centro en el origen, la ecuación se reduce a su forma
canónica, x²+y²=r²
1.3.3 RELACIONES CON GRÁFICAS DE FUNCIONES DE SEGUNDO
GRADO
Por ejemplo, se sabe que el gráfico de la función x²+y²=25 es una
circunferencia, pues mantiene similitud con la ecuación ordinaria antes
mencionada.
Despejando la función anterior tenemos: y²=25-x²; luego, y= (25-x²)^1/2

7
El signo proviene de que la raíz cuadrada de una cantidad positiva da como
resultado dos signos + y -. Por ejemplo: (4)^0.5=2 y -20porque
(+2)(+2)=+4
(-2)(-2)=+4.
Por tanto en el caso de gráficación de funciones, a cada valor de x le
corresponderá 2 valores en y: uno positivo y otro negativo.
Entonces tendríamos la siguiente tabla de valores:
X - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4
y 4 4 , 6 4 , 9 5 4 , 9 4 , 6 4 3
- y 4 4 , 6 4 , 9 5 4 , 9 4 , 6 4 3
Y su gráfico es un círculo cuyo centro esta en el origen del plano cartesiano
es decir en coordenadas (0,0)
Toda ecuación de la forma x²+y²=r² representa un círculo cuyo radio es r.
Así en el caso anterior el radio es 5, que es la raíz cuadrada de 25
1.3.4 ELEMENTOS DE LAS CÓNICAS
 El foco F o los focos de una sección cónica son los puntos de
tangencia del plano secante que genera la cónica
 La directriz de una curva cónica es la recta de intersección del plano
secante con el plano
 La excentricidad es la razón constante entre la distancia de dicho
pumto al foco y a la directriz correspondiente.
 Generatriz es una linea o figura geométrica que al moverse forma
una superficie o un sólido.

8
CAPITULO II
CLASIFICACIÓN DE LAS CÓNICAS
2.1 HIPÉRBOLA
2.1.1 DEFINICIÓN
La hipérbola es un lugar geométrico de los puntos del plano, tal que la
distancia entre dichos puntos son fijos (de manera equidistante)
2.1.2 CARACTERÍSTICAS
2.1.2.1 RELACIÓN FUNDAMENTAL
1._ Análogamente el caso de la elipse se obtiene:
C²=a²+ b²
Tomando en cuenta que:
"a" es la distancia que existe entre el punto central y un vértice
"b" es la distancia que existe entre el vértice y una asintota
"c" se la puede catalogar como la semidistancia focal o centro de la
hiperbola
2.1.2.2 ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA
Son las rectas r y r' que atraviesan el centro de la hipérbola y se puede
afirmar que mientras mas se alejan del punto centro, mas se aproximan a
las ramas.
En el caso que la hiperbola este centrada en el origen, las ecuaciones de las
asíntotas son:
r: y= b/a x. r' : y= -bVa x
2.1.2.3. EXCENTRICIDAD DE LA HIPÉRBOLA
La excentricidad se define como: e= c/a
Conociendo que la semidistancia focal c es mayor que el semieje a, se
puede definir que e >1
La excentricidad indica el grado de apertura existente entre las ramas de la
hiperbola.

9
2.1.2.4. ECUACIÓN REDUCIDA O CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA.
Se aplica el método de cálculo de lugares geométricos
1. Se considera un punto genérico P (x,y) de la hipérbole centrada en el
origen de las coordenadas y con los focos situados en los puntos F'(-c,0) y
F(c,0)
2.se obliga que P cumpla con la condición de pertenencia a la hipérbola:
PF'-PF=2a
3.Se aplica la fórmula de la distancia entre dos puntos y se simplifica:
 √[(x +c)²+y²]- √[(x-c)²+y²]= 2a√ [(x +c)²+y²]= 2a+ √[(x-c)²+y²]
 4. Se eleva al cuadrado:
 x^2 + c^2 + 2cx + y^2= 4a^2+ x^2+c^2-2cx+ y^2-4a[(x-c)^2+y^2]
 4cx-4a^2= -4a [x^2+c^2-2cx+y^2]
 cx-a^2= -a [x^2+c^2-cx+y^2]
 5. Y se eleva otra vez:
 c^2x^2+a^2-2a^2cx=a^2x^2+ a^2c^2- 2a^2cx +a^2y^2
 (c^2-a^2)x^2- a^2y^2=a^2(c^2-a^2)
 Recordando que b^2= c^2-a^2
 Queda: b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2
 Y dividiendo por a^2b^2, se obtiene
x^2/a^2 - y^2/b^2=1. ECUACIÓN REDUCIDA DE LA HIPÉRBOLA
y^2 /a^2. - x^2/b^2. HIPÉRBOLA CON LOS FOCOS EN EL EJE Y (
ORDENADAS)
(x-h)^2/a^2. + (y-k)^2/ b^2 = 1. HIPÉRBOLA CENTRADA FUERA DEL
ORIGEN
2.1.3. EJERCICIOS RESUELTOS
1. Dada la hipérbola de ecuación x^2- 9y^2= 9, calcular sus elementos.
SOLUCIÓN
Dividiendo toda la ecuación por 9 :
X²/9 – y²/1 = 1
a=3, b=1 c= √[3^2 +1^2]
e= c/a
e=√ [10]/3

10
Focos: F(√[10], 0) y F'(-√[10],0)
Vértices: A(3,0) y A'(-3,0); B(0,1) y B'(0, -1)
2. Encontrar los elementos de una hipérbola de ecuación 4x^2-3Y^2-8X-8=0
y gráficar.
SOLUCIÓN:
4x² - 3y²-8x-8 =0
4X²-8x-3y²=8
4(x²-2x) -3y²= 8
(4(x²-2x))/4 -3y²/4 = 8/4
(x²-2x) - 3y²/4 =2
(a-b)²= a ²- 2ab +b². Reemplazando a²=x² o también a=x
(x-1)² -1=x² -2x +1. Entonces tenemos
(x-1)²-1 -3y²/4 =2
(x-1)² - 3y²/4 =3
((x-1)²)/3 - 3y²/12=3/3
(x-1)²/3 - y²/4 =1. Obtenemos la ecuación para el cálculo de hipérbolas no
centradas en el origen, de la cual se pueden deducir los siguientes datos:
a² = 3; b ²=4; h=1; k=0 ; c=(0,1)
c²= a² +b². Reemplazando los valores en la ecuación fundamental da la
hipérbola tenemos
c² = 3+ 4

11
c²= 7
c= √[7]
Con estos datos, podemos gráficar:
2.2. PARÁBOLA
2.2.1DEFINICIÓN
En el ámbito de la matemática, la parábola es el espacio geométrico de los
puntos de un plano que tienen equidistancia respecto a un punto fijo y una
recta. Este lugar se crea a partir de la acción de un plano que es paralelo a
la generatriz y que disecciona un cono circular.
2.2.2.CARACTERISTICAS
2.2.2.1 ELEMENTOS
la parábola, expresada como una ecuación, cuenta con una serie de
elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y son:
 Vértice (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal

12
 Eje focal (o de simetría): Línea recta que divide simétricamente a la
parábola en dos brazos y pasa por el vértice.
 Foco (F): Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y
que se ubica en el eje focal al interior de los brazos de la misma y a
una distancia p del vértice.
 Directriz (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a
una distancia p del vértice y fuera de los brazos de la parábola.
 Distancia focal (p): Parámetro que indica la magnitud de la
distancia entre vértice y foco, así como entre vértice y
directriz (ambas distancias son iguales).
 Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera,
pertenecientes a la parábola.
 Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco.
 Lado recto (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.
Todos loe elementos se muestran en la siguiente grafica.:

13
En el Plano Cartesiano una parábola puede tener su vértice en cualquier par
de coordenadas y puede estar orientada hacia arriba, hacia abajo o hacia la
izquierda o la derecha.
2.2.2.2 ECUACIONES DE LAS PARABOLAS CON VÉRTICE EN EL CENTRO
La s ecuaciones para las parábolas con directrices paralelas con ejes
cartesianos son:
 x² + Dx +Ey+F =0, para parábolas con directriz horizontal y eje de
simetría vertical
 y²+ Dx +Ey+F =0, para parábolas con directriz vertical y eje de
simetría horizontal
En conclusión, la ecuación Axy² + Bxy+ Cy ² + Dx +Ey +F= 0 define una
parábola con directriz paralela al eje cartesiano si y solo si B= 0, A ≠C y
AC=01
2.2.3.EJERCICIOS RESUELTOS
1._A partir de la ecuación ordinaria, trazar la gráfica de la parábola y
determinar todos sus elementos: vértice, foco, directriz, eje de simetría y
extremos del lado recto
(X+2)² = -12( y-1)
Comparando esta ecuación con la ecuación ordinaria (x-h)² = -4p(y- k)
concluimos que es una parábola que se abre hacia abajo.
Analizando las 2 ecuaciones deducimos:
(x+12)² = -12(y-1) o. [x-(-2)]² = -4(3)[(y -1)]
Afirmamos que:
h= -2, k=1, y 4p=12, por lo cual p= 3
Entonces las coordenadas del vértice son (-2,1) y la distancia de este al foco
o a la directriz es p = 3
1

14
2.3.ELIPSE
2.3.1 DEFINICIÓN
La elipse es un lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma
de sus distancias a 2 puntos fijos, llamados foco, es constante.
Relación fundamental de la elipse. a² = b² + c²
2.3.2. CARACTERÍSTICAS
2.3.2.1. EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE
La excentricidad de una elipse se define como e= c/a
La excentricidad determina cuan mayor o cuan menor es el achatamiento de
lo curva
Si c tiende a 0, la excentricidad tiende a 0 y la elipse es menos achatada
Si c= 0 los dos focos coinciden en el centro y la elipse se convierte en una
circunferencia
Cuando c tiende a a, la excentricidad tiende a 1, los focos se acercan a los
vértices y la elipse adopta una forma mas achatada. 0< e < 1.
2.3.2.2. ECUACIONES DE LA ELIPSE
V é r t i c e ( - 2 , 1 )
F o c o ( 6 , - 3 / 2 )
D i r e c t r i z y = - 1 3 / 2
Eje de simetría x = 6
E x t r e m o s L R (1,-3/2) y (11,-3/2)

15
Ecuación reducida de la elipse.
x² /a² + y ² /b² =1.
Ecuación de la elipse centrada fuera del origen.
(x-h)² /a² + (y-k)² /b² = 1
Ecuación de la elipse con los focos en el eje de las ordenadas
X² /b² + y² /a². =1
2.3.3.EJERCICIOS. RESUELTOS
1. Dada la elipse de ecuación 4x² + 9y² =36, calcular el valor de sus
semiejes, su semidistancia focal,su excentricidad y las coordenadas de los
focos y vertices.
Solución
Dividiendo por 36
x²/9 + y ² /4 = 1
a=3
b=2
c=((3² -2² ))^1/2
e=((5)^1/2)/3
Focos: F=( (5),0), F'=(-(5),0)
Vertices: A=(3,0); A'=(-3,0); B=(0,2); B'=(0,-2)
2.4.LA CIRCUNFERENCIA
2.4.1DEFINICIÓN
La circunferencia es una curva formada por un conjunto de puntos en el
plano,que equidistan de un punto fijo llamado centro.

16
2.4.2.CARACTERÍSTICAS
2.4.2.1ECUACIONES DE UNA CIRCUNFERENCIA
La ecuaciónordinaria de una circunferencia con centro fuera del origen y
radio r>0 es:
(x-h )² + (y-k)² = r²
Ecuación de forma canónica de la circunferencia:
x² + y² = r²
2.4.3.EJERCICIOS RESUELTOS
1. Determinar la ecuación ordinaria determinada por los puntos (9,0) y (-3,0)
que son extremos de unos de sus diámetros.
Resolución
Sabemos que cualquier diámetro pasa por el centro de circunferencia, y que
el centro es el punto medio de cualquier diámetro, por lo tanto el centro tiene
las siguientes coordenadas
h=(9+(-3))/2. k=(0+0)/2
h= 6/2. k=0
Entonces el centro de la circunferencia esta ubicado en las coordenadas
(3,0)
Para conocer el radio, calculamos la distancia del centro hacia cualquiera de
sus extremos
r=|9-3|
r=6
Con estos datos podemos encontrar la ecuación buscada:
(x-3)² + y² = 36
Y su gráfica es la siguiente:

18
CAPÍTULO III
CAMPOS DE APLICACIÓN
3.1. AERODINÁMICA
3.1.1 DEFINICIÓN
La aerodinámica es la rama de la mecánica de fluidos que estudia las
acciones que aparecen sobre los cuerpos sólidos cuando existe un
movimiento relativo entre éstos y el fluido que los baña, siendo éste último
un gas y no un líquido.
3.1.2. IMPORTANCIA
Debido a la complejidad de los fenómenos que ocurren y de las ecuaciones
que los describen, son de enorme utilidad tanto los ensayos prácticos (por
ejemplo ensayos en túnel de viento) como los cálculos numéricos de
la aerodinámica numérica.
3.2. MORFOLOGÍA
3.2.1DEFINICIÓN
Se llama geometría proyectiva a la rama de la matemática que estudia las
propiedades de incidencia de las figuras geométricas, pero abstrayéndose
totalmente del concepto de medida. A menudo se usa esta palabra también
para hablar de la teoría de la proyección llamada geometría descriptiva.
Dibujo en perspectiva. La luz pasa a partir de la mirada del espectador a un
objeto. En caso de que la luz llega al plano de la imagen, el objeto se dibuja.
La perspectiva trata de emular esto.
Desde el punto de vista sintético, la geometría proyectiva es
una geometría que parte de los siguientes principios:
 Dos puntos definen una recta.
 Todo par de rectas se cortan en un punto (cuando dos rectas son
paralelas decimos que se cortan en un punto del infinito conocido como
punto impropio).
Como los axiomas de los que se parte son simétricos, si en cualquier
teorema proyectivo se intercambian las palabras recta y punto se obtiene
otro teorema igualmente válido. A estos teoremas se les llama duales.
Los teoremas de Pascal y Brianchon, aunque completamente válidos, se
demostraron

19
3.2.2. IMPORTANCIA
3.2.2.1. APLICACIONES
Cuando hacemos isomorfas nuestras paralelas euclídeas con las rectas
proyectivas que se cortan “en el infinito”, podemos extrapolar todo lo que
demostremos en proyectiva a geometría euclidiana. La geometría
proyectiva, más flexible que la euclidiana, se convierte con esto en una
herramienta útil para enunciar muchos teoremas clásicos más
sencillamente, e incluso simplificar las demostraciones, aunque no permite
demostrar nada que no pueda demostrarse en euclidiana.
3.3. GEOMETRÍA PROYECTIVA
3.3.1DEFINICIÓN
La geometría proyectiva puede entenderse, informalmente, como la
geometría que se obtiene cuando nos colocamos en un punto, mirando
desde ese punto. Esto es, cualquier línea que incide en nuestro "ojo" nos
parece ser sólo un punto, ya que el ojo no puede "ver" los puntos que hay
detrás.
De esta forma, la geometría proyectiva también equivale a la proyección
sobre un plano de un subconjunto del espacio en la geometría euclidiana
tridimensional. Las rectas que salen del ojo del observador se proyectan
sobre puntos. Los planos definidos por cada par de ellas se proyectan sobre
rectas.

20
CONCLUSIONES
 Las cónicas se clasifican en: elipse, parábola, hipérbola, y
circunferencia.
 La circunferencia es la cónica de mayor importancia por el resto son
derivadas de la misma.
 Las ecuaciones de segundo grado estan íntimamente relacionadas
con el cálculo de la ecuación reducida de cualquier cónica
 Dependiendo de la excentricidad, se puede definir el tipo de gráfico

21
RECOMENDACIONES
 Al maestro del área de Matemática, se recomienda usar material
ilustrativo e implementar el usos de las TIC's en las explicaciones
por darse.
 A los estudiantes tomar en cuenta al momento de analizar e
investigar información acerca de las cónicas el origen de cada una
de ellas
 A '' unicoos" se recomienda enfocarse también en la explicación
del origen de la ecuaciones de de cada una de las cónicas
 Al Ministerio de Educación se recomienda implementar mayor
cantidad de ejercicios resueltos sobre el tema en los textos
educativos

22
GLOSARIO
Asíntota: Una recta a la que se aproxima continuamente la gráfica de una
función, es decir que la distancia entre las dos tiende a ser cero (0) a
medida que se extiende indefinidamente.
Asimetría: propiedad de determinados cuerpos, funciones matemáticas y
otros tipos de elementos, en los que al aplicarse una regla, de
transformación efectiva, se observa cambios respecto al elemento original.
Canónica: indica que algo es natural, que es intrínseco y no depende de un
sistema de referencia.
Cono: es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo
rectángulo alrededor de sus catetos.
Directriz: aquello que marca condiciones en que se genere algo (director).
Eje: elemento con simetría fundamentalmente asimétrica o cilíndrica que se
emplea como soporte de piezas giratorias.
Equidistante: adj: que equidista, que está a la misma distancia de un punto
o entidad que otro.
Vértice: punto donde se encuentran dos o más semirrectas que conforman
un ángulo.

23
BIBLIOGRAFÍA
 CASTRO, Lucía,"Matemática", SM EDICIONES, Primera Edición,
Quito- Ecuador, 2014, págs 130 - 177
 RENDÓN,Alfredo,"Geometría paso a paso" Tercera Edición,
Sevilla- España, Editorial TEBAR
WEBGRAFÍA
 Muñoz, Moisés, (2010). Definición, usos aplicaciones y
problemasde cónicas degenedas. Recuperado el 08 de Febrero
del 2015 de:http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves-
dir/especialplanecurves.html
 Alegría,Pedro, (2012). Secciones cónicas y su aplicación.
Recuperado el 07 de Marzo del 2015 de: http:/history.mcs.st-
and.uk/history.html
 Belinsky, Eduard,(2005). Introducción, desarrollo, fundamentos y
problemas de elipse. Recuperado el 14 de Febrero del 2015 de:
http.//geocities.com/CapeCanaveral/lab/3550/elipse.html

24
ANEXOS
Una de las principales aplicaciones de la parábola son las antenas parabólicas de
comunicación.
En el diseños de engranes se utiliza la circunferencia.

25
En el Universo podemos encontrar varios ejemplos como la trayectoria elíptica de los
planetas
En la Arquitectura se utilizan múltiples cónicas y otras líneas para la construcción de
modernas instalaciones

26
INDICE
Contenido
DEDICATORIA.................................................................................................................II
AGRADECIMIENTO ........................................................................................................III
JUSTIFICACIÓN..............................................................................................................IV
INTRODUCCIÓN.............................................................................................................. 1
RESUMEN ...................................................................................................................... 2
OBJETIVOS..................................................................................................................... 3
ESTRUCTURA DEL MARCO TEÓRICO................................................................................. 4
1.1 ETIMOLOGÍA.........................................................................................................5
1.2 RESEÑA HISTORICA ............................................................................................... 5
CAPITULO II.................................................................................................................... 8
CLASIFICACIÓN DE LAS CÓNICAS ..................................................................................... 8
2.1 HIPÉRBOLA ........................................................................................................... 8
2.1.2.1 RELACIÓN FUNDAMENTAL........................................................................8
2.1.2.2 ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA...................................................................8
2.1.2.3. EXCENTRICIDAD DE LA HIPÉRBOLA........................................................... 8
2.1.2.4. ECUACIÓN REDUCIDA O CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA............................... 9
2.2. PARÁBOLA......................................................................................................... 11
2.2.2.1 ELEMENTOS ........................................................................................... 11
2.2.2.2 ECUACIONES DE LAS PARABOLAS CON VÉRTICE EN EL CENTRO................. 13
2.3.ELIPSE ................................................................................................................ 14
2.3.2.1. EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE................................................................. 14
2.3.2.2. ECUACIONES DE LA ELIPSE..................................................................... 14
2.4.LA CIRCUNFERENCIA ........................................................................................... 15
2.4.2.1ECUACIONES DE UNA CIRCUNFERENCIA................................................... 16
CAPÍTULO III................................................................................................................. 18
CAMPOS DE APLICACIÓN.............................................................................................. 18
3.1. AERODINÁMICA................................................................................................. 18
3.2. MORFOLOGÍA .................................................................................................... 18
3.2.2.1. APLICACIONES....................................................................................... 19
3.3. GEOMETRÍA PROYECTIVA ................................................................................... 19

27
CONCLUSIONES............................................................................................................ 20
RECOMENDACIONES .................................................................................................... 21
GLOSARIO.................................................................................................................... 22
BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................. 23
ANEXOS....................................................................................................................... 24
INDICE......................................................................................................................... 26

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