Este documento presenta información sobre axiomas, postulados de Euclides y geometría no euclidiana. Define un axioma como una proposición aceptada sin demostración y discute los axiomas lógicos comúnmente usados en cálculo proposicional. Explica los cinco postulados de Euclides para la geometría euclidiana y cómo geometrías no euclidianas como la hiperbólica y elíptica difieren al no satisfacer completamente estos postulados. Finalmente, provee ejemplos de modelos mate

1. Universidad Técnica
“Luis Vargas Torres”
Integrantes:
Cristhoper Jama Delgado
Asignatura:
Dibujo Técnico
Maestro:
Ing. Arcesio Ortiz
Carrera:
Ingeniería mecánica
Ciclo:
Segundo Ciclo
Año:
2014

2. Axioma
Un axioma es una proposición que se considera «evidente» y se acepta sin
requerir demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo es toda
proposición no deducida (de otras), sino que constituye una regla general de
pensamiento lógico (por oposición a los postulados).
En lógica y matemáticas, un axioma es una premisa que, por considerarse
evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar
otras fórmulas. Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
«afirmaciones evidentes», porque permiten deducir las demás fórmulas.
En lógica un postulado es una proposición no necesariamente evidente:
una fórmula bien formada (planteada) de un lenguaje formal utilizada en una
deducción para llegar a una conclusión.
En matemática se distinguen dos tipos de proposiciones: axiomas lógicos y
postulados.
Axioma lógico
Los axiomas son ciertas fórmulas en un lenguaje formal que son
universalmente válidas, esto es fórmulas satisfechas por cualquier estructura y
por cualquier función variable. En términos coloquiales son enunciados
verdaderos en cualquier mundo posible, bajo cualquier interpretación posible,
con cualquier asignación de valores. Comúnmente se toma como axioma un
conjunto mínimo de tautologías suficientes para probar una teoría.
Ejemplo 1
En cálculo proposicional es común tomar como axiomas lógicos todas las
fórmulas siguientes:
1.)
2.)
3.) ,
donde , , y pueden ser cualquier fórmula en el lenguaje.
Cada uno de estos patrones es un esquema de axiomas, una regla para
generar un número infinito de axiomas. Por ejemplo si p, q, y r son variables
proposicionales,
entonces y son instancias del
esquema 1 y por lo tanto son axiomas.

3. Puede probarse que, con solamente estos tres esquemas de axiomas y la regla
de inferencia modus ponens, todas las tautologías del cálculo proposicional son
demostrables. También se puede probar que ningún par de estos esquemas es
suficiente para demostrar todas las tautologías utilizando modus ponens. Este
conjunto de esquemas axiomáticos también se utiliza en el cálculo de
predicados, pero son necesarios más axiomas lógicos.
Limitaciones de los sistemas axiomáticos
A mediados del siglo XX, Kurt Gödel demostró sus famosos teoremas de
incompletitud. Estos teoremas mostraban que aunque un sistema de axiomas
recursivos estuvieran bien definidos y fueran consistentes, los sistemas axiomáticos
con esos sistemas de axiomas adolecen de limitaciones graves. Es importante, notar
aquí la restricción de que el sistema de axiomas sea recursivamente enumerable, es
decir, que el conjunto de axiomas forme un conjunto recursivamente enumerable dada
una codificación o gödelización de los mismos. Esa condición técnica se requiere ya
que si el conjunto de axiomas no es recursivo entonces la teoría ni siquiera será
decidible.
Con esa restricción Gödel demostró, que si la teoría admite un modelo de cierta
complejidad siempre hay una proposición P verdadera pero no demostrable. Gödel
prueba que en cualquier sistema formal que incluya aritmética puede generarse una
proposición P mediante la cual se afirme que este enunciado no es demostrable.
Postulados De Euclides
Los postulados de Euclides hacen referencia al tratado denominado Los
Elementos, escrito por Euclides hacia el año 300 a. C., exponiendo los
conocimientos geométricos de la Grecia clásica deduciéndolos a partir de
cinco postulados, considerados los más evidentes y sencillos.1
Los postulados de Los Elementos son:
1. Dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta.
2. Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.
3. Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. Postulado de las paralelas. Si una línea recta corta a otras dos, de tal
manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor

4. que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el
que están los ángulos menores que dos rectos.
Este último postulado tiene un equivalente, que es el más usado en los libros
de geometría:
Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela.
A principios del siglo XIX Gauss, Lobachevsky y János Bolyai consideraron la
posibilidad de una geometría sin el quinto postulado, descubriendo
la Geometría hiperbólica. Ésta fue la primera geometría no euclídea en
aparecer históricamente y Gauss consideró seriamente la posibilidad de que
fuera la geometría del espacio en que vivimos[cita requerida], planteando así la
cuestión de la estructura geométrica del Universo, que conduciría a la Teoría
de la relatividad general de Einstein. Gauss incluso llegó a presentir
[cita requerida] que la geometría hiperbólica era preferible, porque en ella hay
unidades de longitud naturales.
En términos actuales, estos postulados fueron enunciados por Hilbert en
sus axiomas.
Geometría No euclidiana
Se denomina geometría no euclidiana o no euclídea, a cualquier forma
de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los
establecidos por Euclides en su tratado Elementos. No existe un solo tipo de
geometría no euclídea, sino muchos, aunque si se restringe la discusión a
espacios homogéneos, en los que la curvatura del espacio es la misma en
cada punto, en los que los puntos del espacio son indistinguibles pueden
distinguirse tres tipos de geometrías:
 La geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene
curvatura cero.
 La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de
Euclides y tiene curvatura negativa.
 La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de
Euclides y tiene curvatura positiva.
Todos estos son casos particulares de geometrías riemannianas, en los que la
curvatura es constante, si se admite la posibilidad de que la curvatura
intrínseca de la geometría varíe de un punto a otro se tiene un caso de
geometría riemanniana general, como sucede en la teoría de la relatividad

5. general donde la gravedad causa una curvatura no homogénea en el espacio
tiempo, siendo mayor la curvatura cerca de las concentraciones de masa, lo
cual es percibido como un campo gravitatorio atractivo.
Modelos de La geometría No euclidiana
Los modelos de geometría no euclidiana son modelos matemáticos de
geometría que no cumplen el quinto postulado de Euclides, el que establece
que dos rectas paralelasson equidistantes.
En los modelos geométricos hiperbólicos (geometría hiperbólica), dos rectas
paralelas son divergentes; y en modelos geométricos elípticos (geometría
elíptica), no existen líneas paralelas que pasen por un punto exterior.
La geometría euclidiana se fundamenta en la noción de "plano euclidiano". El
equivalente en geometría elíptica es una esfera, donde las líneas
son circunferencias (por ejemplo la línea del ecuador o los meridianos del globo
terráqueo), y puntos opuestos uno del otro son identificados (considerados ser
el mismo). La pseudoesfera tiene la curvatura apropiada para modelar la
geometría hiperbólica.
Ejemplo de la geometría no euclidiana
Una forma de esta geometría está dada por la superficie de una esfera, en
donde si trazas un línea recta en la superficie de la esfera, luego formas un
ángulo recto y sigues con una nueva línea recta, luego otro ángulo recto y otra
línea recta, y luego otro Angulo recto y otra línea recta, te darás cuenta que
esta última intersectará la primera línea pero sin formar un ángulo recto, de
forma que no puedes formar un cuadrado con líneas rectas en la superficie de
una esfera, por ser una geometría no euclidiana elíptica.
Los tres tipos de geometrías homogéneas posibles, además de la geometría
euclidea de curvatura nula, existen la geometría elíptica de curvatura positiva, y
la geometría hiperbólica de curvatura negativa. Si se consideran geometrías
no-euclídeas homogéneas entonces existe una infinidad de posibles
geometrías, descritas por las variedades riemannianas generales.