3. Suponer que la economía de una nación se divide en muchos sectores, como
manufactura, comunicaciones, entretenimiento, servicios, etc.
Considere que se conoce la producción total anual de cada sector, y se sabe
exactamente cómo esta producción se divide o se “intercambia” entre los otros
sectores de la economía. Al valor total en dólares de la producción de un sector
se le llama precio de esa producción.
Wassily Leontief (1936) probó el siguiente resultado.
Existen precios de equilibrio que se pueden asignar a las producciones totales de
varios sectores, de tal forma que el ingreso de cada sector equilibra
exactamente sus gastos.
La Macroeconomía es una rama de la economía que trata de los
sistemas económicos, por ejemplo, las relaciones entre los
ingresos, las inversiones y los gastos de un país en su totalidad.
Se han desarrollado muchas técnicas para tratar estos problemas en
la macroeconomía.
4. El análisis de la matriz de insumo-producto, fue desarrollado por W.
Wassily Leontief en 1936, como el instrumento de interpretación de
las interdependencias de los diversos sectores de la economía.
En el análisis de insumo-producto se considera cualquier sistema
económico como un complejo de industrias mutuamente
interrelacionadas y que toda industria recibe materias primas
(insumos) de las demás industrias del sistema y que, a su vez,
proporciona su producción a las demás industrias en calidad de
materia prima.
Fundamentalmente el análisis de insumo-producto se trata de un
análisis general del equilibrio estático de las condiciones
tecnológicas de la producción total de una economía, durante el
periodo de tiempo determinado.
6. El sector productor se divide en un gran número de industrias y
cada industria produce un producto homogéneo.
SECTOR
PRODUCTOR
INDUSTRIA 1
INDUSTRIA 2
INDUSTRIA 3
……….
INDUSTRIA n
7. MATRIZ DE TRANSACCIONES INTERSECTORIALES
DEMANDA FINAL
Utilización final
(No productor)
INPUT - OUTPUT SECTOR 1 SECTOR 2 SECTOR 3 . . . . . SECTOR n
SECTOR 1 D1 PB1
SECTOR 2 D2 PB2
SECTOR 3 D3 PB3
. . . . . . . . . . . . . . . . .
SECTOR n Dn PBn
Materia Prima
Utilización Intermedia
DEMANDA INTERMEDIA
PRODUCCIÓN
BRUTA
MATRIZ DE INSUMOS
MATRIZ DE INTERCAMBIO
8. MODELO INPUT-OUTPUT DE LEONTIEF
Consideremos una economía formada por n Industrias interrelacionadas:
𝑰𝟏, 𝑰𝟐, 𝑰𝟑, … 𝑰𝒏 de modo que cada una produce un único bien
𝒃𝟏, 𝒃𝟐, 𝒃𝟑, … 𝒃𝒏 respectivamente.
Cada industria debe atender las demandas de inputs de las n industrias
(incluida ella misma) y las demandas externas (demanda final 𝒅𝒊).
Se trata de calcular el nivel de producción de cada industria para que se
satisfagan estos requisitos.
Si 𝒙𝒊 es el nivel de producción de 𝒃𝒊, debe verificarse la ecuación:
𝑥1 = 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 + 𝒅1
donde 𝒂𝟏𝒋𝒙𝒋 representa la demanda de 𝒃𝟏 desde la industria 𝑰𝒋 ; y
𝒅𝟏 es la demanda exterior del producto 𝑏1.
Si se repite el proceso con la producción de las n industrias se tiene el
sistema:
𝑥1 = 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 + 𝑑1
𝑥2 = 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 + 𝑑2
𝑥3 = 𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2 + 𝑎33𝑥3 + ⋯ + 𝑎3𝑛𝑥𝑛 + 𝑑3
… … …
𝑥𝑛 = 𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + 𝑎𝑛3𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 + 𝑑𝑛
10. restando las matrices, el sistema queda
1 − 𝑎11 𝑥1 − 𝑎12𝑥2 − 𝑎13𝑥3 − ⋯ − 𝑎1𝑛𝑥𝑛
−𝑎21𝑥1 + 1 − 𝑎22 𝑥2 − 𝑎23𝑥3 − ⋯ − 𝑎2𝑛𝑥𝑛
−𝑎31𝑥1 − 𝑎32𝑥2 + 1 − 𝑎33 𝑥3 − ⋯ − 𝑎3𝑛𝑥𝑛
… … …
−𝑎𝑛1𝑥1 − 𝑎𝑛2𝑥2 − 𝑎𝑛3𝑥3 + ⋯ + 1 − 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛
=
𝑑1
𝑑2
𝑑3
…
𝑑𝑛
La notación matricial del sistema es:
𝐼𝑛 − 𝐴 . ҧ
𝑥𝑡 = ҧ
𝑑𝑡
A los elementos genéricos de la matriz A se les denomina coeficientes input
A la matriz A se le llama MATRIZ input-output
ഥ
𝒅 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
11. En un modelo cerrado todas las demandas exteriores son cero, en este
modelo todo lo que se produce se consume internamente.
1 − 𝑎11 𝑥1 − 𝑎12𝑥2 − 𝑎13𝑥3 − ⋯ − 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝟎
−𝑎21𝑥1 + 1 − 𝑎22 𝑥2 − 𝑎23𝑥3 − ⋯ − 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝟎
−𝑎31𝑥1 − 𝑎32𝑥2 + 1 − 𝑎33 𝑥3 − ⋯ − 𝑎3𝑛𝑥𝑛 = 𝟎
… … …
−𝑎𝑛1𝑥1 − 𝑎𝑛2𝑥2 − 𝑎𝑛3𝑥3 + ⋯ + 1 − 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝟎
12. En un modelo abierto no todas las demandas exteriores son cero, en este
modelo parte de la producción se destina al consumo exterior.
1 − 𝑎11 𝑥1 − 𝑎12𝑥2 − 𝑎13𝑥3 − ⋯ − 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑑1
−𝑎21𝑥1 + 1 − 𝑎22 𝑥2 − 𝑎23𝑥3 − ⋯ − 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑑2
−𝑎31𝑥1 − 𝑎32𝑥2 + 1 − 𝑎33 𝑥3 − ⋯ − 𝑎3𝑛𝑥𝑛 = 𝑑3
… … …
−𝑎𝑛1𝑥1 − 𝑎𝑛2𝑥2 − 𝑎𝑛3𝑥3 + ⋯ + 1 − 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑑𝑛
13. Las matrices de insumo-producto (MIP) son una
herramienta estadística de análisis económico que
permite medir y describir las interrelaciones
productivas en una o varias economías en un año en
particular, incluyendo los vínculos que surgen del
comercio
14. Considérese una economía ficticia formada por tres sectores (una economía real puede
estar formada por muchos sectores)
SECTOR 1. Sector Agropecuario (empresas agrícolas y ganaderas)
SECTOR 2. Sector Industrial (empresas de producción textil, farmacéuticos, alimentos,
bebidas, papel, etc.)
SECTOR 3. Sector Servicios (empresas que prestan algún servicio, por ejemplo, transporte,
servicios profesionales, servicios públicos, etc.)
Para describir la interdependencia de los sectores, Leontief propone construir una tabla de
transacciones intersectoriales. En esta tabla se muestra como se interrelacionan todas las
industrias. La tabla para esta economía es la que se aprecia a continuación
DEMANDA INTERMEDIA
DEMANDA
FINAL PRODUCCIÓN
BRUTA
Utilización Intermedia Utilización final
Materia Prima (No productor)
INPUT - OUTPUT AGROPECUARIO INDUSTRIAL SERVICIO
AGROPECUARIO 600 400 1400 600 3000
INDUSTRIAL 1500 800 700 1000 4000
SERVICIO 900 2800 700 700 5100
𝟏
15. SECTOR 1 Sector agropecuario: empresas agrícolas, ganaderas,
empresas de: producción de hortalizas, de cereales, de forrajes,
de ganado lechero, de ganado lanar, avícola, porcino, etc.
SECTOR 2 Sector industrial: empresas productoras de bienes, tales
como: industria textil, farmacéutica, petroquímica, de
energéticos, de alimentos, de bebidas, de plástico, de papel y
derivados, etc.
SECTOR 3 Sector servicios: bancos, empresas de transporte,
comercios, servicios profesionales diversos, servicios públicos
diversos, etc.
16. Esta Matriz transacciones intersectoriales contiene partidas que
demuestran, ya sea cuantitativamente o en términos de valor, de que
manera se distribuye la producción total de una industria a todas las demás
industrias en forma de producción intermedia (es decir, como materia
prima) y a los usuarios finales no productores.
DEMANDA INTERMEDIA
DEMANDA
FINAL PRODUCCIÓN
BRUTA
Utilización Intermedia Utilización final
Materia Prima (No productor)
INPUT - OUTPUT AGROPECUARIO INDUSTRIA SERVICIO
AGROPECUARIO 600 400 1400 600 3000
INDUSTRIA 1500 800 700 1000 4000
SERVICIO 900 2800 700 700 5100
17. Las filas de la matriz transacciones intersectoriales nos
indican las cantidades vendidas por un sector a todos los
demás sectores compradores, esto es el destino de la
producción.
Estas filas indican como se distribuye el volumen de
producción de un determinado sector, las columnas
indican de donde provienen los insumos de bienes y
servicios necesarios para obtener un determinado
volumen de producción en un sector específico.
De ahí que a esta matriz se le conoce como matriz de
insumo-producto o matriz input-output.
18. Las columnas de la matriz de transacciones
intersectoriales indican el volumen de las
adquisiciones de bienes y servicios de
diversos orígenes, que cooperan en el proceso
de producción de un determinado sector.
19. DEMANDA INTERMEDIA DEMANDA FINAL
PRODUCCIÓN
BRUTA
Utilización Intermedia Utilización final
Materia Prima (No productor)
INPUT - OUTPUT
AGROPECUARI
O
INDUSTRIA SERVICIO
AGROPECUARIO 600 400 1400 600 3000
INDUSTRIA 1500 800 700 1000 4000
SERVICIO 900 2800 700 700 5100
En la primera columna:
La cifra 600 representa las compras que las empresas del sector agropecuario han
efectuado a otras empresas del mismo sector, tales como semillas mejoradas,
abonos, ganado para engorde, forrajes, etc.
La cifra 1500 representa las compras que las empresas del sector agropecuario han
efectuado al sector industrial, tales como: tuberías, herramientas, fertilizantes
químicos, insecticidas, tractores, etc.
La cifra 900 representa las compras que las empresas del sector agropecuario han
efectuado al sector servicios, tales como: servicios de transporte de carga, servicio
de sanidad e inmunización, servicios de asesoría legal, servicios de almacenajes en
silos y bodegas, servicios de comercialización, etc.
20. DEMANDA INTERMEDIA DEMANDA FINAL
PRODUCCIÓN
BRUTA
Utilización Intermedia Utilización final
Materia Prima (No productor)
INPUT - OUTPUT
AGROPECUARI
O
INDUSTRIAL SERVICIO
AGROPECUARIO 600 400 1400 600 3000
INDUSTRIAL 1500 800 700 1000 4000
SERVICIO 900 2800 700 700 5100
21. DEMANDA INTERMEDIA DEMANDA FINAL
PRODUCCIÓN
BRUTA
Utilización Intermedia Utilización final
Materia Prima (No productor)
INPUT - OUTPUT
AGROPECUARI
O
INDUSTRIA SERVICIO
AGROPECUARIO 600 400 1400 600 3000
INDUSTRIA 1500 800 700 1000 4000
SERVICIO 900 2800 700 700 5100
En la segunda columna representan las compras que las
empresas del sector industrial han efectuado al sector
agropecuario (400), a otras empresas del mismo sector industrial
(800), y al sector de servicios (2800).
En La tercera columna representan las compras que las
empresas del sector Servicio han efectuado al sector
agropecuario (1400), a otras empresas del mismo sector
industrial (700), y al sector de servicios (700).
22. Estas tres primeras columnas
representan la demanda intermedia o la utilización
intermedia, ya que estas cifras corresponden a los
insumos que los sectores adquieren para fabricar otros
productos, es decir que corresponden a bienes que no
llegan al consumidor final, sino que se utilizan dentro
del proceso de producción.
23. DEMANDA INTERMEDIA DEMANDA FINAL
PRODUCCIÓN
BRUTA
Utilización Intermedia Utilización final
Materia Prima (No productor)
INPUT - OUTPUT
AGROPECUARI
O
INDUSTRIA SERVICIO
AGROPECUARIO 600 400 1400 600 3000
INDUSTRIA 1500 800 700 1000 4000
SERVICIO 900 2800 700 700 5100
La cuarta columna de la matriz transacciones intersectoriales
representa las compras que los consumidores finales efectúan a los
sectores de producción, esto es, los bienes que son adquiridos por las
familias, por las instituciones estatales y particulares y por otros
países para ser utilizados en consumo (compra de alimentos, de ropa,
de servicios recreativos, de viajes) o en inversión (compra de
maquinaria, vehículos, edificios y en general, en bienes de
activo fijo). Esta columna recibe la denominación de demanda
final o de utilización final, ya que corresponde a bienes que
no se utilizan como insumos intermedios para producir otros
bienes, sino que satisfacen una necesidad de algún consumidor
final.
24. DEMANDA INTERMEDIA DEMANDA FINAL
PRODUCCIÓN
BRUTA
Utilización Intermedia Utilización final
Materia Prima (No productor)
INPUT - OUTPUT
AGROPECUARI
O
INDUSTRIA SERVICIO
AGROPECUARIO 600 400 1400 600 3000
INDUSTRIA 1500 800 700 1000 4000
SERVICIO 900 2800 700 700 5100
En la quinta columna (Producción bruta) se tiene el valor
bruto de la producción de cada sector, o la producción
bruta de cada uno de los sectores.
Esas cifras se calculan sumando las ventas que cada
sector ha efectuado a cada uno de los sectores de la
economía nacional, esto es sumando horizontalmente
cada fila de la tabla. De ahí que la producción bruta de
cada sector sea igual a la suma de las ventas a demanda
intermedia y las ventas a demanda final.
25. Esta matriz de transacciones intersectoriales se ha
construido bajo el supuesto de que los resultados del
proceso productivo se expresan en unidades físicas. Bajo
este supuesto siempre es posible sumar horizontalmente
las filas de la tabla, ya que las cifras de una misma fila,
representan las ventas de un mismo sector, destinados a
satisfacer necesidades finales y por lo tanto se expresan en
la misma unidad de medida.
En cambio no tiene sentido sumar verticalmente (por
columna) ya que cada cifra representa una compra
efectuada a otro sector de producción y por lo tanto esta
expresada en diversas unidades de medidas (toneladas,
metros cúbicos, toneles, bolsas, cajas, etc.).
26. Por ello es necesario que las unidades de las cifras en que
se expresen los insumos no debe ser físicas sino monetarias
(dólares, euro, soles, etc.) para que tengan sentido sumarlas
tanto horizontalmente (ventas) como verticalmente
(compras).
Esto sígnica que además de conocer las cantidades físicas
intercambiadas entre los sectores, necesitamos disponer de
los precios unitarios correspondientes a cada uno de esos
bienes, a fin de expresar cada transacción en su valor
monetario multiplicando el precio por la cantidad
respectiva.
27. Matriz de Producción Bruta : 𝑿
𝑿 =
DEMANDA INTERMEDIA DEMANDA FINAL PRODUCCIÓN
BRUTA
𝑿
Utilización Intermedia Utilización final
Materia Prima (No productor)
INPUT - OUTPUT
AGROPECUARI
O
INDUSTRIA SERVICIO 𝑫 O 𝒀
AGROPECUARIO 600 400 1400 600 3000
INDUSTRIA 1500 800 700 1000 4000
SERVICIO 900 2800 700 700 5100
𝑿 =
3000
4000
5100
Matriz de Demanda total : 𝑿
𝑭𝑖
𝑹𝒊
31. Como la producción bruta de cada sector es igual a la suma de
las ventas o demanda intermedia más las ventas a demanda
final, las relaciones entre producción y demanda se expresar
como el siguiente SEL
𝑿𝟏 = 𝑥11 + 𝑥12 + 𝑥13 + 𝒚𝟏
𝑿𝟐 = 𝑥21 + 𝑥22 + 𝑥23 + 𝒚𝟐
𝑿𝟑 = 𝑥31 + 𝑥32 + 𝑥33 + 𝒚𝟑
𝑿 + 𝒀 = 𝑿
32. Cada coeficiente técnico 𝒂𝒊𝒋 representa los requerimientos de
insumos del sector i necesarios para producir una unidad del
producto j.
Se sabe que hay una proporcionalidad directa entre la producción
bruta del sector j y el volumen total de los insumos que este sector
adquiere de los demás sectores proveedores. Es decir, los insumos
que venden los sectores proveedores varían en la misma
proporción en que se modifica la producción bruta del sector que
los adquiere.
Entonces, bajo este supuesto, se admite que los coeficientes
técnicos 𝒂𝒊𝒋 son constantes, y por lo tanto se tiene la ecuación
lineal 𝒙𝒊𝒋 = 𝒂𝒊𝒋. 𝑿𝒋 , que indica que las compras que un sector 𝒋
efectúa a otro sector cualquiera 𝑖, se calculan multiplicando la
producción bruta de ese sector 𝑿𝒋 por un coeficiente constante 𝒂𝒊𝒋
33. 𝒂𝒊𝒋 =
𝒙𝒊𝒋
𝑿𝒋
.
para obtener los coeficientes técnicos 𝒂𝒊𝟏 de la primera columna,
se divide cada cifra 𝒙𝒊𝟏 entre el total de la suma de la primera fila
𝑿𝟏 (producción bruta del sector 1).
De donde el coeficiente técnico se obtiene por:
para obtener los coeficientes técnicos 𝒂𝒊𝟐 de la segunda columna,
se divide cada cifra 𝒙𝒊𝟐 entre el total de la suma de la segunda fila
𝑿𝟐 (producción bruta del sector 2).
para obtener los coeficientes técnicos 𝒂𝒊𝟑 de la tercera columna, se
divide cada cifra 𝒙𝒊𝟑 entre el total de la suma de la tercera fila 𝑿𝟑
(producción bruta del sector 3).
35. Para determinar el nivel de producción bruta que se requiere en cada
sector para satisfacer la demanda final prevista para el periodo
siguiente.
ADICIONALMENTE, En este ejemplo, supongamos que se trata de
satisfacer un aumento en la demanda final para el próximo año de
actividad de: 400 unidades en el sector agricultura, 200 unidades en
el sector industrial y 200 unidades en el sector servicios; y se desea
saber cuales deben ser los valores 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 que permitirán
satisfacer esos incrementos.
Este problema se resuelve expresando dicho sistema de ecuaciones
como una relación funcional entre producción bruta y demanda final,
el vector 𝑿 es la variable dependiente y el vector 𝒚 es la variable
independiente. Despejando el vector 𝑋 de la ecuación anterior se
obtiene,
40. Tomando en cuenta los incrementos previstos en la demanda
final, se tiene que satisfacer para el próximo año los niveles
que sustituidos en la ecuación:
permite obtener los siguientes niveles estimados:
𝑿 = 𝑰 − 𝑨 −𝟏
. 𝒀
𝑌 =
1000
1200
2800
41. lo que significa que para satisfacer la demanda final prevista de 1000
unidades de productos del sector agricultura, 1200 unidades del
sector productos industriales y 2800 unidades de servicios, se debe
generar una producción bruta de 3959 unidades en el sector
agricultura, 5014 unidades en el sector industrial y 8330 unidades en
el sector servicios.
Se obtienen las cifras del incremento de producción de cada
sector, necesarios para satisfacer el incremento previsto en la
demanda final:
42. Esto significa que para satisfacer los incrementos previstos de
demanda final sectorial de:
43. se debe generar en el sistema de producción los siguientes
incrementos de producción bruta:
∆𝑌 =
𝟒𝟎𝟎
𝟐𝟎𝟎
𝟐𝟎𝟎
44. DEMANDA INTERMEDIA DEMANDA FINAL
PRODUCCIÓN
BRUTA
Utilización Intermedia Utilización final
Materia Prima (No productor)
INPUT - OUTPUT PESCA MANUFACTURADOS SERVICIOS
PESCA 20 15 35 30 100
MANUFACTURADOS 25 15 50 110 200
SERVICIOS 30 50 0 80 160
𝟐
𝑹𝑬𝑺𝑶𝑳𝑽𝑬𝑹
45. Una ciudad tiene tres industrias primarias: una mina de cobre, un ferrocarril y una
planta de energía eléctrica. Para producir $1 de cobre, la mina gasta $0.20 de cobre,
$0.10 de transporte y $0.20 de energía eléctrica. Para proporcionar $1 de transporte,
el ferrocarril requiere $0.10 de cobre, $0.10 de transporte y $0.40 de energía
eléctrica. Para producir $1 de energía eléctrica, la planta destina $0.20 de cobre,
$0.20 de transporte y $0.30 de energía eléctrica. Suponga que durante el año hay una
demanda externa de 1.2 millones de dólares de cobre, 0.8 millones de dólares de
transporte y 1.5 millones de dólares por concepto de energía eléctrica. ¿Cuánto debe
producir cada industria para satisfacer las demandas?
DEMANDA INTERMEDIA DEMANDA FINAL
PRODUCCIÓN
BRUTA
Utilización Intermedia Utilización final
Materia Prima (No productor)
INPUT - OUTPUT MINA DE COBRE FERROCARRIL
PLANTA DE
ENERGÍA
ELÉCTRICA
MINA DE COBRE 0.20 0.10 0.20 1.20
FERROCARRIL 0.10 0.10 0.40 0.80
PLANTA DE
ENERGÍA
ELÉCTRICA
0.20 0.20 0.30 1.50
𝟑
𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵
𝟏° 𝑻𝑨𝑩𝑳𝑨 𝑫𝑬 𝑻𝑹𝑨𝑵𝑺𝑨𝑪𝑪𝑰𝑶𝑵𝑬𝑺 𝑰𝑵𝑻𝑬𝑹𝑺𝑬𝑪𝑻𝑶𝑹𝑰𝑨𝑳𝑬𝑺
51. UN EJEMPLO DE APLICACIÓN
DELMODELO INPUT-OUTPUT DE LEONTIEF
DEMANDA INTERMEDIA DEMANDA FINAL
PRODUCCIÓN
BRUTA
Utilización Intermedia Utilización final
Materia Prima (No productor)
INPUT - OUTPUT
INDUSTRIA
PESADA
INDUSTRIA
LIGERA
AGRICULTURA
INDUSTRIA PESADA 0.1 0.2 0.1 85
INDUSTRIA LIGERA 0.3 0.2 0.2 95
AGRICULTURA 0.2 0.2 0.1 20
𝟓
𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵
56. UN EJEMPLO DE APLICACIÓN
DELMODELO INPUT-OUTPUT DE LEONTIEF
DEMANDA INTERMEDIA DEMANDA FINAL
PRODUCCIÓN
BRUTA
Utilización Intermedia Utilización final
Materia Prima (No productor)
INPUT - OUTPUT AGRICULTURA INDUSTRIA SERVICIO
AGRICULTURA 0.293 0.000 0.000 138,213.00
INDUSTRIA 0.014 0.207 0.017 17,597.00
SERVICIO 0.044 0.010 0.218 1,786.00
𝟏𝟎
𝑹𝑬𝑺𝑶𝑳𝑽𝑬𝑹
