Matemáticas

1. 5/11/2023
Prof. Walter C. Cerna Molina
Mg. en Ingeniería de Sistemas
1
 Modelos Conceptuales o cuadros pictográficos de los temas.
 Ecuaciones Diferenciales lineales de orden superior con coeficientes constantes.
 Ecuaciones Diferenciales homogéneas y no homogéneas.
 Método de los coeficientes indeterminados, presentación de formulas, ejemplo
con uso de software para hallar resultados.
 Método de Variación de Parámetros, formula ejemplo uso de software para
determinar los resultados en forma rápida.
Semana 11

2. 5/11/2023
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2
Definición Ecuaciones. Diferenciales de orden superior, No Homogéneas y Homogéneas
con coeficiente constantes y Métodos de Solución
Estos tipos de ecuaciones diferenciales tiene la forma siguiente:
EDO No Homogénea, con coeficientes constantes
𝑎𝑛
𝑑𝑛
𝑦
𝑑𝑥𝑛
+ 𝑎𝑛−1
𝑑𝑛−1
𝑦
𝑑𝑥𝑛−1
+ 𝑎𝑛−2
𝑑𝑛−2
𝑦
𝑑𝑥𝑛−2
+ ⋯ + 𝑎2
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑎1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0𝑦 = 𝐹(𝑥) 𝑦𝑔 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝
Es la
Solución General
𝑎𝑛
𝑑𝑛
𝑦
𝑑𝑥𝑛
+ 𝑎𝑛−1
𝑑𝑛−1
𝑦
𝑑𝑥𝑛−1
+ 𝑎𝑛−2
𝑑𝑛−2
𝑦
𝑑𝑥𝑛−2
+ ⋯ + 𝑎2
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑎1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0𝑦 = 0
𝑆𝑖 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒
𝐹 𝑥 = 0
EDO Homogénea, con coeficientes constantes
Solución Particular y obtiene
resolviendo EDO NH
Por lo tanto, debemos de hacer un estudio, para ambas EDOs y luego obtener que forma tendrán
𝑦𝑐, 𝑦𝑝; pues veamos:
𝒚𝒄: 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒓𝒊𝒂
𝒚𝒑: 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓

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3
1) EDO HOMÓGENEA:
𝑎𝑛
𝑑𝑛
𝑦
𝑑𝑥𝑛
+ 𝑎𝑛−1
𝑑𝑛−1
𝑦
𝑑𝑥𝑛−1
+ 𝑎𝑛−2
𝑑𝑛−2
𝑦
𝑑𝑥𝑛−2
+ ⋯ + 𝑎2
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑎1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0𝑦 = 0
𝑦𝑐 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2 + 𝐶3𝑦3 + ⋯ + 𝐶𝑛𝑦𝑛
Solución Complementaria
META
𝑎𝑛𝑟𝑛
+ 𝑎𝑛−1𝑟𝑛−1
+ 𝑎𝑛−2𝑟𝑛−2
+ ⋯ + 𝑎2𝑟2
+ 𝑎1𝑟 + 𝑎0 = 0
Ecuación Algebraica (EA)
𝑪𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒓 𝒄𝒐𝒏
𝒐𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓𝒆𝒔
𝑫 =
𝒅
𝒅𝒙
= 𝒓
𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒔 𝒓𝒂𝒊𝒄𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝒄. 𝑨𝒍𝒈.
𝒔𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒚 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒕𝒂𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔:
𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒𝑟1𝑥
+ 𝐶2𝑒𝑟2𝑥
+ ⋯ + 𝐶𝑛𝑒𝑟𝑛𝑥
𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒔 𝒓𝒂𝒊𝒄𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝒄. 𝑨𝒍𝒈.
𝒔𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒆 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔:
𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒𝑟𝑥
+ 𝐶2𝑥𝑒𝑟𝑥
+ 𝐶3𝑥2
𝑒𝑟𝑥
+ ⋯ + 𝐶𝑛𝑥𝑛−1𝑒𝑟𝑥
𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒔 𝒓𝒂𝒊𝒄𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒏 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒋𝒂𝒔
𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝒄. 𝑨𝒍𝒈. 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒂𝒓 𝒓 = 𝜶 ± 𝜷𝒊
𝒍𝒆 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒔𝒑𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒖𝒏𝒂
𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂:
𝑦𝑐 = 𝑒𝛼𝑥(𝐶1 cos 𝛽𝑥 + 𝐶2𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 )
(𝑎𝑛𝑟𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑟𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑟𝑛−2 + ⋯ + 𝑎2𝑟2 + 𝑎1𝑟 + 𝑎0)𝑦 = 0

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2) EDO NO HOMÓGENEA: 𝑎𝑛
𝑑𝑛
𝑦
𝑑𝑥𝑛
+ 𝑎𝑛−1
𝑑𝑛−1
𝑦
𝑑𝑥𝑛−1
+ 𝑎𝑛−2
𝑑𝑛−2
𝑦
𝑑𝑥𝑛−2
+ ⋯ + 𝑎2
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑎1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0𝑦 = 𝐹(𝑥)
2.1) MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS: La función que se encuentra en el
segundo miembro se escribe de la forma: 𝐹 𝑥 = 𝑒𝛼𝑥
𝑃𝑛 𝑥 cos 𝛽𝑥 + 𝑄𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥) , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝑟 =
𝛼 ± 𝛽𝑖; luego hace la consulta a la Ecuación Algebraica, para obtener cuatro casos:
Primer Caso: Cuando 𝐹 𝑥 = 𝑃𝑛(𝑥), entonces r = 0 , hace la consulta a la EA y esta puede
responder:
a) Esta r = 0 no es solución de la EA, entonces: 𝑦𝑝 = 𝑅𝑛(𝑥)
b) Esta r = 0 es solución de la EA y repites s veces, entonces: 𝑦𝑝 = 𝑥𝑠
𝑅𝑛(𝑥)
Segundo Caso: Cuando 𝐹 𝑥 = 𝑒𝛼𝑥𝑃𝑛(𝑥), entonces r = 𝛼 , hace la consulta a la EA y esta puede
responder:
a) Esta r = 𝛼 no es solución de la EA, entonces: 𝑦𝑝 = 𝑒𝛼𝑥𝑅𝑛(𝑥)
b) Esta r = 𝛼 es solución de la EA y repites s veces, entonces: 𝑦𝑝 = 𝑥𝑠
𝑒𝛼𝑥
𝑅𝑛(𝑥)
Tercer Caso: Cuando 𝐹 𝑥 = 𝑃𝑛 𝑥 cos 𝛽𝑥 + 𝑄𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥), entonces r = ±𝛽𝑖 , hace la consulta a la
EA y esta puede responder: donde k = mayor(n, m), s es el número de veces que se repite r.
a) Esta r =±𝛽𝑖 no es solución de la EA, entonces: 𝑦𝑝 = 𝑅𝑘 𝑥 cos 𝛽𝑥 + 𝑆𝑘 𝑥 sen 𝛽𝑥
b) Esta r =±𝛽𝑖 es solución de la EA y repites s veces, entonces:
𝑦𝑝 = 𝑥𝑠
𝑅𝑘 𝑥 cos 𝛽𝑥 + 𝑆𝑘 𝑥 sen 𝛽𝑥 .

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5
2.2) MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS: La forma de 𝑦𝑝 depende de la forma que tiene la
solución complementaria, con la diferencia que las constantes arbitrarias se hacen funciones de x:
Cuarto Caso: Cuando 𝐹 𝑥 = 𝑒𝛼𝑥
(𝑃𝑛 𝑥 cos 𝛽𝑥 + 𝑄𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥)), entonces r = 𝛼 ± 𝛽𝑖 , hace la
consulta a la EA y esta puede responder: donde k=mayor(n, m)
a) Esta r =α ± 𝛽𝑖 no es solución de la EA, entonces: 𝑦𝑝 = 𝑒𝛼𝑥
(𝑅𝑘 𝑥 cos 𝛽𝑥 + 𝑆𝑘 𝑥 sen 𝛽𝑥 )
b) Esta r =α ± 𝛽𝑖 es solución de la EA y repites s veces, entonces:
𝑦𝑝 = 𝑥𝑠𝑒𝛼𝑥(𝑅𝑘 𝑥 cos 𝛽𝑥 + 𝑆𝑘 𝑥 sen 𝛽𝑥 ), donde s en el número veces que se repite r
𝑦𝑝 = 𝐶1 𝑥 𝑦1 + 𝐶2 𝑥 𝑦2 + 𝐶3 𝑥 𝑦3 + ⋯ + 𝐶𝑛(𝑥)𝑦𝑛
Las funciones 𝐶𝑛(𝑥) con sus derivadas son las incógnitas que satisfacen al SEL.
𝐶′1 𝑥 𝑦1 + 𝐶′2 𝑥 𝑦2 + 𝐶′3 𝑥 𝑦3 + ⋯ + 𝐶′𝑛 𝑥 𝑦𝑛 = 0
𝐶′1 𝑥 𝑦1′ + 𝐶′
2 𝑥 𝑦2′ + 𝐶′
3 𝑥 𝑦3′ + ⋯ + 𝐶′
𝑛 𝑥 𝑦𝑛′ = 0
𝐶′1 𝑥 𝑦1′′ + 𝐶′
2 𝑥 𝑦2′′ + 𝐶′
3 𝑥 𝑦3′′ + ⋯ + 𝐶′
𝑛 𝑥 𝑦𝑛′′ = 0
⋮
𝐶′1 𝑥 𝑦1
(𝑛−1) + 𝐶′2 𝑥 𝑦2
(𝑛−1) + 𝐶′3 𝑥 𝑦3
(𝑛−1) + ⋯ + 𝐶′
𝑛 𝑥 𝑦𝑛
(𝑛−1) = 𝐹(𝑥)
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟: 𝐶1 𝑥 , 𝐶2 𝑥 , ⋯ , 𝐶𝑛(𝑥)
Resuelve y se
integra
Es cualquier función

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6
Ejemplo 01: Res𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑦′′′
− 4𝑦′
= 𝑠𝑒𝑛(𝑥) en forma analítica y luego comprobar su resultado usando
software.
Solución
a) Identificando: Es una EDO No Homogénea, la Meta: 𝑦𝑔 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝
b) Hallar 𝒚𝒄 para eso debemos trabajar con la EDO Homogénea: 𝑦′′′
− 4𝑦′
= 0
𝑑3
𝑦
𝑑𝑥3 − 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 𝑟3
− 4𝑟 = 0
EA
𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒𝑟1𝑥
+ 𝐶2𝑒𝑟2𝑥
+ 𝐶3𝑒𝑟3𝑥
𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒2𝑥 + 𝐶2𝑒0𝑥 + 𝐶3𝑒−2𝑥
𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒2𝑥 + 𝐶2𝑒−2𝑥 + 𝐶3
Es la Solución Complementaria
c) Hallar 𝒚𝒑 para eso debemos trabajar con la EDO No Homogénea: 𝑦′′′
− 4𝑦′
= 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y el método de los
Coeficientes Indeterminados tercer caso.
𝐹 𝑥 = 𝑃𝑛 𝑥 cos 𝛽𝑥 + 𝑄𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥) 𝑟 = ±𝛽𝑖 Aquí:
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
k = mayor(n, m)
𝐹 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑟 = ±𝑖 k = mayor 0,0 = 0
𝑦𝑝 = 𝑅0 𝑥 cos 𝑥 + 𝑆0 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = Acos x + Bsen(x)

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𝑦𝑝 = A cos x + B sen(x) 𝑦′𝑝 = −Asen x + Bcos(x) 𝑦′′𝑝 = −Acos x − Bsen(x)
𝑦′′′𝑝 = −A −sen x − B cos x = A sen x − B cos(x)
Reemplazamos a la Ecuación Diferencial:
𝑑3
𝑦
𝑑𝑥3 − 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑠𝑒𝑛(𝑥) A sen x − B cos x − 4 −A sen x + B cos x = sen(x)
A sen x − B cos x + 4 A sen x − 4B cos x = sen(x)
5 A sen x − 5 B cos x = sen(x)
Tenemos: 5 𝐴 = 1 −5 𝐵 = 0
A =
1
5
B = 0
𝑦𝑝 = A cos x + B sen x =
1
5
cos 𝑥 + 0 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
La Solución General:
𝑦𝑔 = 𝑦𝐶 + 𝑦𝑝
𝒚𝒈 = 𝑪𝟏𝒆𝟐𝒙 + 𝑪𝟐𝒆−𝟐𝒙 + 𝑪𝟑 +
𝟏
𝟓
𝒄𝒐𝒔 𝒙

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Ejemplo 02: Resolver
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3 − 3
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 3𝑦 = 1 + 𝑒𝑥
• Hallar 𝑦𝑐 entonces debemos trabajar con la EDO Homogénea:
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3 − 3
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 3𝑦 = 0 𝑟3
− 3𝑟2
− 𝑟 + 3 = 0
𝑟2(𝑟 − 3) − (𝑟 − 3) = 0
𝑟2
− 1 𝑟 − 3 = 0
𝑟1 = −1
𝑟2 = 1
𝑟3 = 3
Así: 𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒−𝑥 + 𝐶2𝑒𝑥 + 𝐶3𝑒3𝑥 Es la solución complementaria
Es la EA
𝑦𝑔 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝
META

9. 5/11/2023
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• Hallar 𝑦𝑃 entonces debemos trabajar con la EDO No Homogénea y el Método de Variación de Parámetros.
𝑦𝑝 = 𝐶1 𝑥 𝑒−𝑥
+ 𝐶2 𝑥 𝑒𝑥
+ 𝐶3(𝑥)𝑒3𝑥
Luego se plantea el sistema de ecuaciones en términos de la derivadas de las constantes que
transformaron en función de x, Veamos:
𝐶′1 𝑥 𝑒−𝑥
+ 𝐶′2 𝑥 𝑒𝑥
+ 𝐶′3 𝑥 𝑒3𝑥
= 0
𝐶′1 𝑥 (−𝑒−𝑥
) + 𝐶′2 𝑥 𝑒𝑥
+ 𝐶′3 𝑥 3𝑒3𝑥
= 0
𝐶′1 𝑥 𝑒−𝑥
+ 𝐶′2 𝑥 𝑒𝑥
+ 𝐶′3 𝑥 9𝑒3𝑥
= 1 + 𝑒𝑥
Sistema de
Ecuaciones
Por utilizar software, vamos a presentar
la derivadas de esta forma:𝐶′
• Se usa la determinante de las matrices para hallar las derivadas 𝐶′1 𝑥 , 𝐶′2 𝑥 , 𝐶′3 𝑥 . Use software:

10. 5/11/2023
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• Para trabajar con MathCad debemos definir 𝐴 = 𝐶′1 𝑥 , 𝐵 = 𝐶′2 𝑥 , C = 𝐶′3 𝑥 . Use software:

11. 5/11/2023
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• Como ya se conoce las funciones 𝐶1 𝑥 , 𝐶2 𝑥 , 𝐶3 (𝑥). Podemos hallar 𝑦𝑝 que es la función particular:
𝑦𝑝 = 𝐶1 𝑥 𝑒−𝑥 + 𝐶2 𝑥 𝑒𝑥 + 𝐶3(𝑥)𝑒3𝑥

12. 5/11/2023
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12
Ejemplo 01: Res𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑦′′′
+ 𝑦′′
+ 2𝑦 = 𝑒−𝑥
(2𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥)) en forma analítica y luego
comprobar su resultado usando software.
Solución
a) Identificando: Es una EDO No Homogénea, la Meta: 𝑦𝑔 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝
b) Hallar 𝒚𝒄 para eso debemos trabajar con la EDO Homogénea: 𝑦′′′
+ 𝑦′′
+ 2𝑦 = 0
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3 +
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 + 2𝑦 = 0 (𝐷3+𝐷2 − 2)𝑦 = 0
Operadores
𝒅
𝒅𝒙
= 𝑫 = 𝒓
𝑟3 + 𝑟2 − 2 = 0
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 𝒚𝒄 = 𝑪𝟏𝒆𝒙
+ 𝒆−𝒙
(𝑪𝟐𝒄𝒐𝒔(𝒙) + 𝑪𝟑𝒔𝒆𝒏(𝒙))
c) Hallar 𝒚𝒑 para eso debemos trabajar con la EDO No Homogénea:
𝑦′′′
+ 𝑦′′
+ 2𝑦 = 𝑒−𝑥
(2𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)) y el método de los Coeficientes Indeterminados.
𝑟1 = 1, 𝑟 = −1 ± 𝑖
Conjunto solución
• Primero ver quien es: 𝐹 𝑥 = 𝑒−𝑥(2𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)) se observa que estamos en el cuarto caso.
• Entonces: 𝑟 = −1 ± 𝑖 si es solución de la EA, esto nos indica que estamos en el subcaso b)

13. 5/11/2023
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Cuarto Caso: Cuando 𝐹 𝑥 = 𝑒𝛼𝑥
(𝑃𝑛 𝑥 cos 𝛽𝑥 + 𝑄𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥)), entonces r = 𝛼 ± 𝛽𝑖 , hace la
consulta a la EA y esta puede responder: donde k=mayor(n, m)
a) Esta r =α ± 𝛽𝑖 no es solución de la EA, entonces: 𝑦𝑝 = 𝑒𝛼𝑥
(𝑅𝑘 𝑥 cos 𝛽𝑥 + 𝑆𝑘 𝑥 sen 𝛽𝑥 )
b) Esta r =α ± 𝛽𝑖 es solución de la EA y repites s veces, entonces:
𝑦𝑝 = 𝑥𝑠𝑒𝛼𝑥(𝑅𝑘 𝑥 cos 𝛽𝑥 + 𝑆𝑘 𝑥 sen 𝛽𝑥 ), donde s en el número veces que se repite r
Cuarto Caso: Cuando 𝐹 𝑥 = 𝑒−𝑥
(2 cos 𝑥 + 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)), entonces r = -1±1𝑖 , hace la consulta a la EA
y esta puede responder: donde k=mayor(0, 1)=1
b) Esta r =−1 ± 𝑖 si es solución de la EA y repites una vez, entonces:
𝑦𝑝 = 𝑥 𝑒−𝑥
(𝑅1 𝑥 cos 𝑥 + 𝑆1 𝑥 sen 𝑥 ) = 𝑥 𝑒−𝑥
𝐴𝑥 + 𝐵 cos 𝑥 + 𝐶𝑥 + 𝐷 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
d) Entonces nos queda hallar los valores de A, B, C, D aquí vamos a utilizar software MathCad:

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e) Reemplazando en la ED no homogénea:
f) Resolviendo el Sistema de ecuaciones generado por e):
g) Reemplazar los valores de A, B, C, D en la solución particular:
𝑦𝑝 𝑥 = 𝑥 𝑒−𝑥 −
𝑥
14
−
2
7
𝑥 +
𝑥2
7
+
5𝑥
7
−
3
7
cos(𝑥) = 𝑥𝑒−𝑥
−
𝑥2
14
−
2𝑥
7
+
𝑥2
7
+
5𝑥
7
−
3
7
cos(𝑥)
= 𝑒−𝑥 −
𝑥3
14
−
2𝑥2
7
+
𝑥3
7
+
5𝑥2
7
−
3𝑥
7
cos(𝑥)= 𝑒−𝑥 −
𝑥3
14
−
2𝑥2
7
+
2𝑥3
14
+
5𝑥2
7
−
3𝑥
7
cos(𝑥)
= 𝑒−𝑥
𝑥3
14
+
3𝑥2
7
−
3𝑥
7
cos(𝑥)= 𝑒−𝑥
𝑥3
14
+
6𝑥2
14
−
6𝑥
14
cos(𝑥)

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15
h) Hallar la solución general 𝑦𝑔:
𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒𝑥
+ 𝑒−𝑥
(𝐶2𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝐶3𝑠𝑒𝑛(𝑥))
𝑦𝑝 𝑥 = 𝑒−𝑥
𝑥3
14
+
6𝑥2
14
−
6𝑥
14
cos(𝑥)
ED Homogénea:
ED No Homogénea:
Por lo tanto: 𝑦𝑔 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝
𝑦𝑔 𝑥 = 𝐶1𝑒𝑥
+ 𝑒−𝑥
(𝐶2𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝐶3𝑠𝑒𝑛(𝑥)) + 𝑒−𝑥
𝑥3
14
+
6𝑥2
14
−
6𝑥
14
cos(𝑥)

16. 5/11/2023
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𝐶′
1 𝑥 =
2𝑒4𝑥 + 2𝑒5𝑥
16𝑒3𝑥 =
1
8
𝑒𝑥
+
1
8
𝑒2𝑥
𝐶1 𝑥 =
1
8
𝑒𝑥 +
1
8
𝑒2𝑥 𝑑𝑥 =
1
8
𝑒𝑥
+
1
8
𝑒2𝑥
𝑑𝑥 =
1
8
𝑒𝑥
+
1
8
1
2
𝑒2𝑥
2𝑑𝑥 =
1
8
𝑒𝑥 +
1
16
𝑒2𝑥
𝐶′
2 𝑥 =
𝑒−𝑥
0 𝑒3𝑥
−𝑒−𝑥
0 3𝑒3𝑥
𝑒−𝑥 1 + 𝑒𝑥 9𝑒3𝑥
𝑒−𝑥 𝑒𝑥 𝑒3𝑥
−𝑒−𝑥 𝑒𝑥 3𝑒3𝑥
𝑒−𝑥 𝑒𝑥 9𝑒3𝑥
=
𝑒−𝑥 0 3𝑒3𝑥
1 + 𝑒𝑥 9𝑒3𝑥 − 0 −𝑒−𝑥
3𝑒3𝑥
𝑒−𝑥 9𝑒3𝑥 + 𝑒3𝑥 −𝑒−𝑥
0
𝑒−𝑥 1 + 𝑒𝑥
16𝑒3𝑥
=
𝑒−𝑥
0 − 1 + 𝑒𝑥
3𝑒3𝑥
+ 𝑒3𝑥
−𝑒−𝑥
(1 + 𝑒𝑥
)
16𝑒3𝑥
=
𝑒−𝑥
−3𝑒3𝑥
− 3𝑒4𝑥
+ 𝑒3𝑥
−𝑒−𝑥
− 1
16𝑒3𝑥
=
−3𝑒2𝑥
− 3𝑒3𝑥
− 𝑒2𝑥
− 𝑒3𝑥
16𝑒3𝑥
=
−4𝑒2𝑥
− 4𝑒3𝑥
16𝑒3𝑥 =
−4𝑒2𝑥
16𝑒3𝑥 −
4𝑒3𝑥
16𝑒3𝑥
= −
𝑒−𝑥
4
−
1
4
Hallar 𝐶2(𝑥):
𝐶1(𝑥) =
1
8
𝑒𝑥
+
1
16
𝑒2𝑥

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17
𝐶2 𝑥 =
1
4
𝑒−𝑥
−
1
4
𝑥
𝐶′
2(𝑥) = −
𝑒−𝑥
4
−
1
4
𝐶2 𝑥 = −
1
4
𝑒−𝑥 + 1 𝑑𝑥 = −
1
4
𝑒−𝑥𝑑𝑥 + 𝑑𝑥 = −
1
4
−𝑒−𝑥
+ 𝑥
𝐶′
3 𝑥 =
𝑒−𝑥
𝑒𝑥
0
−𝑒−𝑥 𝑒𝑥 0
𝑒−𝑥
𝑒𝑥
1 + 𝑒𝑥
𝑒−𝑥 𝑒𝑥 𝑒3𝑥
−𝑒−𝑥 𝑒𝑥 3𝑒3𝑥
𝑒−𝑥 𝑒𝑥 9𝑒3𝑥
=
𝑒−𝑥 𝑒𝑥 0
1 + 𝑒𝑥
1 + 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 −𝑒−𝑥 0
𝑒−𝑥
1 + 𝑒𝑥 + 0
−𝑒−𝑥
𝑒𝑥
𝑒−𝑥 𝑒𝑥
16𝑒3𝑥
=
𝑒−𝑥 𝑒𝑥 1 + 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 −𝑒−𝑥(1 + 𝑒𝑥)
16𝑒3𝑥
=
𝑒−𝑥 𝑒𝑥 + 𝑒2𝑥 − 𝑒𝑥 −𝑒−𝑥 − 1
16𝑒3𝑥
=
1 + 𝑒𝑥
+ 1 + 𝑒𝑥
16𝑒3𝑥 =
2 + 2𝑒𝑥
16𝑒3𝑥 =
2
16𝑒3𝑥
+
2𝑒𝑥
16𝑒3𝑥 =
𝑒−3𝑥
8
+
𝑒−2𝑥
8
Hallar 𝐶3(𝑥):
𝐶3 𝑥 =
1
8
𝑒−3𝑥
𝑑𝑥 +
1
8
𝑒−2𝑥
𝑑𝑥 =
1
8
1
−3
𝑒−3𝑥
−3 𝑑𝑥 +
1
8
1
−2
𝑒−2𝑥
−2 𝑑𝑥
Integrando

18. 5/11/2023
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18
𝐶3(𝑥) =
1
8
1
−3
𝑒−3𝑥
−3 𝑑𝑥 +
1
8
1
−2
𝑒−2𝑥
−2 𝑑𝑥 = −
1
24
𝑒−3𝑥
−
1
16
𝑒−2𝑥
𝐶3(𝑥) = −
1
24
𝑒−3𝑥
−
1
16
𝑒−2𝑥
Así: 𝐶1(𝑥) =
1
8
𝑒𝑥 +
1
16
𝑒2𝑥
𝐶2 𝑥 =
1
4
𝑒−𝑥
−
1
4
𝑥 𝐶3(𝑥) = −
1
24
𝑒−3𝑥
−
1
16
𝑒−2𝑥
Resolviendo con el software MathCad, se comprueba los resultados:
𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒−𝑥 + 𝐶2𝑒𝑥 + 𝐶3𝑒3𝑥
Por lo tanto se llego la Meta:
𝒚𝒈 = 𝒚𝒄 + 𝒚𝒑 = 𝑪𝟏𝒆−𝒙 + 𝑪𝟐𝒆𝒙 + 𝑪𝟑𝒆𝟑𝒙 +
𝟏
𝟑
−
𝒙𝒆𝒙
𝟒

19. 5/11/2023
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19
PRÁCTICA DE LA SEMANA 11
1. Determinar las soluciones de las siguientes EDOs: a) y’’+ y’ + y = 𝑥 + 𝑥2
𝑒𝑥
; b) y’’’ + y’’- 2y =
𝑒−𝑥 2 cos 𝑥 + 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ; 𝑐) 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥); d) y’’’- 7y’ – 6y = 26𝑒−2𝑥 cos 𝑥 .
2. Emplear software MatLab, MathCad y Geogebra para obtener un resultado y comparar con los
resultados de la pregunta 1.
3. Si el precio del limón depende de la demanda D=6y’’+4y’+7y+5; y de la oferta S=5y’’+2y’+2y+15.
a) Determinar la ecuación del precio que esta variando con respecto al tiempo en meses. b)
Resuelva la ecuación diferencial cuando y(0)=6, y’(0)=0. c) Que comportamiento tiene el sistema.
4. Un circuito consta de una inductancia de 10 henrios, una resistencia de 40 ohmios, un
condensador cuya capacidad es de 0.025 faradios y fuerza electromotriz E=100 cos(5t). Hallar la
carga y la corriente en el tiempo t y luego graficar.

20. 5/11/2023 Prof. Walter C. Cerna MolinaMg. en Ingeniería de Sistemas 20
10
𝑑2
𝑞
𝑑𝑡2
+ 40
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
0.025
𝑞 = 100cos(5𝑡)
40
10
0.025
q(0)=0; q’(0)=0
10
𝑑2𝑖
𝑑𝑡2 + 40
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+
1
0.025
𝑖 = −500 𝑠𝑒𝑛(5𝑡) i(0)=0; i’(0)=0
𝑑2
𝑞
𝑑𝑡2
+ 4
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
0.25
𝑞 = 10cos(5𝑡)
𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑖 +
1
𝐶
𝑞 = 100cos(5𝑡)
10
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 40𝑖 +
1
0.025
𝑄 = 100cos(5𝑡)c
10
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 40𝑖 +
1
0.025
𝑞 = 100cos(5𝑡)
10
𝑑2𝑖
𝑑𝑡2 + 40
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+
1
0.025
𝑑𝑞
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(100 cos 5𝑡 )

21. 5/11/2023
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21
1) Un gran tanque de 500 galones está lleno de agua pura. Le entra salmuera que tiene 2 lb de sal por galón
a razón de 5 gal/min. La solución bien mezclada sale del tanque con la misma razón. Determine la
cantidad A(t) de libras de sal que hay en el tanque al tiempo t.
a) Gráfico del problema y definir las variables intervinientes.
 𝑆: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡: 𝑙𝑏(𝑉𝑁)
 𝐹𝑒: 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎:
𝑙𝑏
𝑚𝑖𝑛
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑: 𝑉 = 5
𝑔𝑎𝑙
𝑚𝑖𝑛
𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝐶1 = 2
𝑙𝑏
𝑔𝑎𝑙
𝐹𝑒 = 𝑉𝐶1 = 5
𝑔𝑎𝑙
𝑚𝑖𝑛
2
𝑙𝑏
𝑔𝑎𝑙
= 10
𝑙𝑏
𝑚𝑖𝑛
 𝐹𝑠: 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎:
𝑙𝑏
𝑚𝑖𝑛
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑: 𝑉 = 5
𝑔𝑎𝑙
𝑚𝑖𝑛
𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝐶2 = 𝑆
𝑙𝑏
500𝑔𝑎𝑙
𝐹𝑠 = 𝑉𝐶2 = 5
𝑔𝑎𝑙
𝑚𝑖𝑛
𝑆
𝑙𝑏
500𝑔𝑎𝑙
=
1
100
𝑆
𝑙𝑏
𝑚𝑖𝑛

22. 5/11/2023
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22
b) Conocer la ecuación diferencial y definirla.
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 𝐹𝑒 − 𝐹𝑠 = 10 −
1
100
𝑆 𝑆 0 = 0
𝑑𝑆
𝑑𝑡
+
1
100
𝑆 = 10; 𝑆 0 = 0
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 10 −
1
100
𝑆
Ecuación Diferencial Ordinaria lineal de
primer orden y de primer grado.
c) Resolver la Ecuación Diferencial: 𝑃 𝑡 =
1
100
𝑄 𝑡 = 10
Presentación de la formula: 𝑆 = 𝑒− 𝑃 𝑡 𝑑𝑡
𝑒 𝑃 𝑡 𝑑𝑡
𝑄 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶
𝑆 = 𝑒−
1
100𝑑𝑡
𝑒
1
100𝑑𝑡
10𝑑𝑡 + 𝐶 = 𝑒−
1
100𝑡
𝑒
1
100𝑡
10𝑑𝑡 + 𝐶

23. 5/11/2023
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23
𝑆(𝑡) = 𝑒−
1
100
𝑑𝑡
𝑒
1
100
𝑑𝑡
10𝑑𝑡 + 𝐶 = 𝑒−
1
100
𝑡
10 𝑒
1
100
𝑡
𝑑𝑡 + 𝐶
= 𝑒−
1
100𝑡
10(100) 𝑒
1
100𝑡 1
100
𝑑𝑡 + 𝐶 = 𝑒−
1
100𝑡
10 100 𝑒
1
100𝑡
+ 𝐶
𝑆(𝑡) = 𝑒−
1
100
𝑡
1000𝑒
1
100
𝑡
+ 𝐶 La solución general
Ahora hallar la Solución Particular teniendo en cuenta S(0) = 0:
𝑆(0) = 𝑒−
1
100
0
1000𝑒
1
100
0
+ 𝐶 0 = 1000 + 𝐶 𝐶 = −1000
𝑆(𝑡) = 𝑒−
1
100
𝑡
1000𝑒
1
100
𝑡
− 1000 𝑆(𝑡) = 1000 − 1000 𝑒−
1
100
𝑡
𝑆(𝑡) = 1000 1 − 𝑒−
1
100𝑡
Solución Particular

24. 5/11/2023
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3) Resuelva con el método de variación de parámetro:
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 + 4𝑦 = 4 𝑠𝑒𝑐2
(𝑥) 𝑦𝑔 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝
META
• Hallar 𝑦𝑐 entonces debemos trabajar con la EDO Homogénea:
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 4𝑦 = 0 𝑟2
+ 4 = 0
Así: Es la solución complementaria
Es la EA
MathCad
𝑦𝑐 = (𝐶1 cos 2𝑥 + 𝐶2𝑠𝑒𝑛 2𝑥 )
• Hallar 𝑦𝑃 entonces debemos trabajar con la EDO No Homogénea y el Método de Variación de
Parámetros.
𝑦𝑝 = 𝐶1(𝑥) cos 2𝑥 + 𝐶2(𝑥)𝑠𝑒𝑛 2𝑥
Luego se plantea el sistema de ecuaciones en términos de la derivadas de las constantes que
transformaron en función de x, Veamos:
𝐶′1 𝑥 cos 2𝑥 + 𝐶′2 𝑥 sen 2𝑥 = 0
𝐶′
1 𝑥 (−2 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)) + 𝐶′
2 𝑥 (2 cos(2𝑥)) = 4 𝑠𝑒𝑐2
(𝑥
Sistema de
Ecuaciones

25. 5/11/2023
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25
• Para trabajar con MathCad debemos definir 𝐴 = 𝐶′1 𝑥 , 𝐵 = 𝐶′2 𝑥 , C = 𝐶′3 𝑥 . Use software:
𝐶′1 𝑥 cos 2𝑥 + 𝐶′2 𝑥 sen 2𝑥 = 0
𝐶′
1 𝑥 (−2 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)) + 𝐶′
2 𝑥 (2 cos(2𝑥)) = 4 𝑠𝑒𝑐2
(𝑥)
Sistema de
Ecuaciones
• Como ya se conoce las funciones 𝐶1 𝑥 , 𝐶2 𝑥 . Podemos hallar 𝑦𝑝 que es la función particular:
𝑦𝑝 = 4 ln cos 𝑥 𝐶1(𝑥) cos 2𝑥 + (4𝑥 − 2tan(𝑥))𝑠𝑒𝑛 2𝑥

26. 5/11/2023
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