RTPSM

1. Regla del Trapecio para
Segmentos Múltiples
CLASE 12
16-JULIO-2014

2. Integración Numérica en Excel
 Una manera de mejorar la exactitud de la regla del trapecio es la dividir el
intervalo de integración [𝑎, 𝑏] en un conjunto de segmentos (figura 1) y aplicar el
método a cada uno de ellos. Se suman las áreas de los segmentos individuales y
se obtiene la integral en el intervalo completo. A las ecuaciones resultantes se les
conoce como formulas de integración de segmentos múltiples o formulas de
integración compuestas.

3. Integración Numérica en Excel
Figura 1. Esquema de la regla del trapecio con segmentos múltiples
← ℎ →← ℎ →

4. Integración Numérica en Excel
 Si hay 𝑛 + 1 puntos igualmente espaciados, habrá 𝑛 segmentos de igual anchura
(ℎ)
La integral total se puede representar como la suma de las integrales parciales:
h =
𝑏 − 𝑎
𝑛
… … … … … … … (1)
𝐼 =
𝑥0
𝑥1
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑥1
𝑥2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + ⋯ +
𝑥 𝑛−1
𝑥 𝑛
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 … … … … . (2)

5. Integración Numérica en Excel
 Sustituyendo la regla del trapecio para cada una de las integrales:
Mediante la agrupación de términos se obtiene la fórmula general del método del
trapecio:
I = ℎ
𝑓(𝑥1) − 𝑓 𝑥0
2
+ ℎ
𝑓(𝑥2) − 𝑓 𝑥1
2
+ ⋯ ℎ
𝑓(𝑥 𝑛) − 𝑓 𝑥 𝑛−1
2
… … … … … … (3)
𝐼 =
ℎ
2
𝑓 𝑥 𝑜 + 2
𝑖=1
𝑛−1
𝑓 𝑥𝑖 + 𝑓 𝑥 𝑛 … … … … … … … … … … (4)

6. Integración Numérica en Excel
 El error global del método del trapecio se obtiene al sumar los errores individuales
de cada segmento
En donde 𝑓"(𝜀𝑖) es la segunda derivada de la función evaluada en el punto 𝑒 𝑥
localizada dentro del segmento 𝑖, que se puede estimar con la expresión:
𝐸𝑡 =
− 𝑏 − 𝑎 3
12𝑛3
𝑖=1
𝑛−1
𝑓" 𝜀𝑖 … … … … … … (5)
𝑓" =
𝑖=1
𝑛
𝑓"(𝜀𝑖)
𝑛
… … … … … … … … … … (6)

7. Integración Numérica en Excel
 Por tanto 𝑓"(𝜀𝑖) = 𝑛𝑓" y la ecuación se reescribe como:
𝐸𝑡 =
− 𝑏 − 𝑎 3
12𝑛2
𝑓" … … … … … … (7)

8. Código alternativo en Matlab.
 Ejemplo
 Evalué la siguiente integral −3
5
1 − 𝑥 − 4𝑥3
+ 3𝑥5
𝑑𝑥
a. Analíticamente
b. Con la regla del trapecio de segmentos múltiples, utilizar solo 6 trapecios.
c. Con el uso de la herramienta Excel

9. Código alternativo en Matlab.
 Solución
a. En forma analística
𝐼 =
−3
5
1 − 𝑥 − 4𝑥3
+ 3𝑥5
𝑑𝑥 = 𝑥 −
𝑥2
2
− 𝑥4
+
1
2
𝑥6
−3
5
𝐼 = 5 −
25
2
− 625 +
1
2
15625 − −3 −
9
2
− 81 +
1
2
729 = 7180 − 276 = 6904

10. Código alternativo en Matlab.
 Solución
b. Con la formula para segmentos múltiples. Para 𝑛 = 6
𝐼 =
𝑏 − 𝑎
2𝑛
𝑓 𝑥0 + 2
𝑖=1
5
𝑓 𝑥𝑖 + 𝑓 𝑥6 … … … … . (8)

11. Código alternativo en Matlab.
 Solución
Donde ℎ =
5−(−3)
6
= 1.3333, y las correspondientes funciones evaluadas en los puntos
de 𝑥0 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥6:
𝑓 𝑥0 = 𝑓 −3 = −617
𝑓 𝑥1 = 𝑓 −1.6666 = −17.3977
𝑓 𝑥2 = 𝑓 −0,3334 = 1.4693
𝑓 𝑥3 = 𝑓 0.9999 = −1.0002
𝑓 𝑥4 = 𝑓 2.3332 = 155.2952
𝑓 𝑥5 = 𝑓 3.6666 = 1788.0073
𝑓 𝑥6 = 𝑓 5 = 8871

12. Código alternativo en Matlab.
 Solución
Al sustituir los valores anteriores en (8) se tiene:
𝐼 = 5 − (3)
−617 + 2 −17.3977 + 1.4693 − 1.002 + 155.2952 + 1788.0073 + 8871
2(6)
𝐼 = 8071.1652, con un error porcentual real:
𝐸 𝑉 =
6904 − 8071.1652
6904
100 = 16.9%

13. Código alternativo en Matlab.
 Solución
c. Con el usos de la herramienta de Excel se obtienen los siguientes resultados

14. Código alternativo en Matlab.