Conceptos básicos de antiderivada

1. Integración
 Integrales indefinidas
Hasta ahora, en nuestro estudio del cálculo, nos hemos interesado en este
problema: dada una función hallar su derivada. No obstante, muchas aplicaciones
importantes del cálculo están relacionadas con el problema inverso: dada una
derivada de una función F que tiene la siguiente derivada:
𝐹′(𝑥) = 3𝑥2
Una solución al problema anterior será 𝐹(𝑥) = 𝑥3
, por que
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥3] = 3𝑥2
. Por lo
tanto llamaremos a F una Antiderivada o primitiva para 𝐹′(𝑥). Por conveniencia
usaremos 𝑓(𝑥) = 𝐹′(𝑥), para expresar que 𝐹(𝑥) es una Antiderivada de 𝑓(𝑥).
 Definición de Antiderivada
“se le llama a una función F Antiderivada o primitiva de la función f, si para todo x
del dominio de f se cumple que:
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)
Ahora bien, si F es una Antiderivada de f en un intervalo I, entonces, 𝐹(𝑥) + 𝑐, con
c como constante, también es una Antiderivada para todo x en I”
 Notación de las Antiderivada
Si 𝑦 = 𝐹(𝑥) es una Antiderivada de 𝑓, entonces se dice lo siguiente:
𝒚 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝒄
∫ = 𝑆í𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙
𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜

2. 𝐹(𝑥) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎
𝑐 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛
 Algunas reglas básicas de integración:
1) ∫ 𝑥 𝑛
𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝑐, 𝑐𝑜𝑛 𝑐 ∈ ℝ
2) ∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
3) ∫ 0 𝑑𝑥 = 𝑐, 𝑐𝑜𝑛 𝑐 ∈ ℝ
4) ∫ 𝑘 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∙ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
5) ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐, 𝑐𝑜𝑛 𝑐 ∈ ℝ
6) ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝑐, 𝑐𝑜𝑛 𝑐 ∈ ℝ
7) ∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝑐, 𝑐𝑜𝑛 𝑐 ∈ ℝ
Ejemplos:
1) ∫
3𝑡3
−5𝑡2
+4 √ 𝑡3
3𝑡2 𝑑𝑡

3. 2) ∫(𝑡𝑎𝑛2
𝑥 + 1) 𝑑𝑥