El documento explica las funciones cuadráticas, incluyendo que se representan como f(x)=ax2+bx+c, con a≠0. Las funciones cuadráticas dibujan parábolas. El coeficiente a determina la concavidad, y los ceros de la función corresponden a las raíces de la ecuación cuadrática asociada.

1. INSTITUTO INTEGRADO CUSTODIO GARCÍA ROVIRA
Departamento de Matemáticas
Doc. Luis Fernando Waldo Martínez
Funciones Cuadráticas
Se denomina como cuadrática a la función de la forma f (x) = a x ² + b x + c, en
donde a, b y c son números reales y a es un número diferente a cero. Esto es
determinante porque si a vale cero dejaría de ser cuadrática y se convertiría en
función lineal.
La gráfica de una función cuadrática da origen a una curva llamada parábola. Por
ejemplo: Al graficar la función 𝑦 =
1
2
𝑥2
da como resultado:
x -2 -1 0 1 2
y 2 1/2 0 1/2 2
Concavidad de la función: Está relacionada con la orientación que tendrá la
función al ser graficada. De tal manera que si tenemos la función f (x) = a x ² + b
x + c, la concavidad la establece el coeficiente del término cuadrático o sea a; por
lo que si a>o la parábola será contendrá abertura hacia arriba (la función es
cóncava) y si a<0 tendrá la abertura hacia abajo (la función es convexa). Observa
que la gráfica anterior tiene como coeficiente del término cuadrático a
1
2
y como
este valor es mayor que cero su abertura se dio hacia arriba.
Vértice de la función: El vértice de la parábola es el punto donde se unen sus
ramas. En la gráfica anterior el vértice es (0,0)

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Tienen dos
raíces
Tienen una
raíz
No posee
raíces reales
Raíces de la función: Las raíces o ceros como también se le conocen son
aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x
tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la
parábola corta al eje x, como lo podemos ver a continuación:
Una función cuadrática se convierte en una ecuación cuadrática al igualar sus
términos a cero.
Función Cuadrática: f (x) = a x ² + b x + c
Ecuación Cuadrática: a x ² + b x + c = 0
Elementos de una ecuación cuadrática: Una ecuación cuadrática se dice que está
completa cuando posee los siguientes elementos:
a x ² + b x + c = 0
Solución de una ecuación cuadrática: De acuerdo a los elementos que posee la
ecuación, se puede utilizar uno o varios procedimientos para determinar sus raíces.
 Si posee el término cuadrático y el término independiente, se resuelve despejando y
extrayendo la raíz cuadrada. Veamos:
Resolver la ecuación: 2x2 – 18 = 0
Solución: 2x2 = 18 ‘transponiendo término
x2 = 9 ‘dividiendo entre 2
x = 3 ‘extrayendo raíz cuadrada
De esta manera las raíces son 3 y -3
TérminoCuadrático
Términolineal
Términoindependiente

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Resolver la ecuación: x2 – 121 = 0
Solución: x2 = 121 ‘transponiendo término
x = 11 ‘extrayendo raíz cuadrada
Rta. Las raíces son 11 y -11
 Si posee el término cuadrático y el término lineal, se resuelve por factorización
(factor común). Veamos:
Resolver la ecuación x2 – 5x = 0
Solución: x(x – 5) = 0 ‘factorizando
x = 0 ‘igualando primer factor
x1 = 0 ‘primera raíz
x – 5 = 0 ‘igualando segundo factor
x = 0 + 5 ‘despejando
x2 = 5 ‘segunda raíz
Rta. Las raíces son 0 y 5
Resolver la ecuación 3x2 + 6x = 0
Solución: 3x(x + 2) = 0 ‘factorizando
3x = 0 ‘igualando primer factor
x = 0/3 ‘despejando
x1 = 0 ‘primera raíz
x + 2 = 0 ‘igualando segundo factor
x = 0 – 2 ‘despejando
x2 = -2 ‘segunda raíz
Rta. Las raíces son 0 y -2
 Si la ecuación posee todos sus elementos, se puede resolver por factorización o por
fórmula general. Veamos:
Resolver la ecuación x2 + 8x + 15 = 0
Solución Por factorización:
(x + 3) (x + 5) = 0
x + 3 = 0
x = -3
x + 5 = 0
x = -5
Rta: Las raíces son -3 y -5

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Solución por fórmula general:
La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas es 𝒙 =
−𝒃±√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
. Por
otro lado recuerda que en la ecuación x2 + 8x + 15 = 0; a = 1, b = 8 y c = 15, de esta
manera remplazando obtenemos:
𝒙 =
−𝟖 ± √(𝟖)𝟐 − 𝟒(𝟏)(𝟏𝟓)
𝟐(𝟏)
𝒙 =
−𝟖 ± √𝟔𝟒 − 𝟔𝟎
𝟐
𝒙 =
−𝟖 ± √𝟒
𝟐
𝒙 =
−𝟖 ± 𝟐
𝟐
𝒙𝟏 =
−𝟖 + 𝟐
𝟐
=
−𝟔
𝟐
= −𝟑
𝒙𝟐 =
−𝟖 − 𝟐
𝟐
=
−𝟏𝟎
𝟐
= −𝟓
Como verás ambos métodos arrojan las mismas respuestas.
Ejemplo 2: Resolver la ecuación 6x2 – 19x – 7 = 0
Solución Por factorización:
(6x)2 – 19(6x) – 7(6) = 0
(6x)2 – 19(6x) – 42 = 0
(6x – 21) (6x + 2) = 0
(2x – 7)(3x + 1) = 0
2x – 7 = 0
2x = 7
x =
𝟕
𝟐
3x + 1 = 0
3x = -1
x = −
𝟏
𝟑
Rta: Las raíces son
𝟕
𝟐
y −
𝟏
𝟑
Solución por fórmula general:
En la ecuación 6x2 – 19x – 7 = 0; a = 6, b = -19 y c = -7, de esta manera remplazando
obtenemos:

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𝒙 =
−(−𝟏𝟗)± √(−𝟏𝟗)𝟐 − 𝟒(𝟔)(−𝟕)
𝟐(𝟔)
𝒙 =
𝟏𝟗 ± √𝟑𝟔𝟏 + 𝟏𝟔𝟖
𝟏𝟐
𝒙 =
𝟏𝟗 ± √𝟓𝟐𝟗
𝟏𝟐
𝒙 =
𝟏𝟗 ± 𝟐𝟑
𝟏𝟐
𝒙𝟏 =
𝟏𝟗 + 𝟐𝟑
𝟏𝟐
=
𝟒𝟐
𝟏𝟐
=
𝟕
𝟐
𝒙𝟐 =
𝟏𝟗 − 𝟐𝟑
𝟏𝟐
=
−𝟒
𝟏𝟐
= −
𝟏
𝟑
Nuevamente las mismas respuestas.
Discriminante y raíces: Se llama discriminante a la expresión b2 – 4ac. Ésta nos indica
la naturaleza de las raíces que deseamos encontrar. Siendo a, b y c números reales, con
a0, se tiene que:
b2 – 4ac > 0 hay dos raíces reales
b2 – 4ac = 0 hay una sola raíz real
b2 – 4ac < 0 hay dos raíces imaginarias
Por ejemplo en la última ecuación resuelta, 6x2 – 19x – 7 = 0 teníamos los valores a = 6,
b = -19 y c = -7, al verificar la naturaleza de la discriminante obtenemos:
(−𝟏𝟗)𝟐
− 𝟒(𝟔)(−𝟕) = 361 + 168 = 529
Ahora como 529>0 obtuvimos dos respuestas reales:
𝟕
𝟐
y −
𝟏
𝟑
LABORATORIO
1. Con la ayuda de una calculadora graficadora o de una computadora con software
graficador representa las siguientes funciones y saca las conclusiones:
a. y = 3x2
b. y = x2
c. y = 5x2
d. y = 1/2x2
2. Utiliza una calculadora graficadora o una computadora con software graficador y
representa las siguientes funciones. Saca tus conclusiones:
a. y = -2x2 – 1
b. y = -x2
c. y = -4x2

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3. Apoyándote en una calculadora graficadora o de una computadora con software
graficador representa las siguientes funciones y saca las conclusiones:
a. y = 2x2 + 3
b. y = -3x2 + 1
c. y = -6x2 – 1
d. y = -1/4x2 + 2
4. Con la ayuda de una calculadora graficadora o de una computadora con software
graficador representa las siguientes funciones y saca las conclusiones:
a. y = 2x2 + 3x – 2
b. y = -4x2 + 2x + 1
c. y = x2 + 5x - 1
d. y = -x2 + 3x - 4
5. Con la ayuda de una calculadora graficadora o de una computadora con software
graficador representa las siguientes funciones y determine el vértice de cada una:
a. y = x2 + 4x
b. y = x2 – 2
c. y = -x2 + 2x + 1
d. y = x2 + 4x - 1
ACTIVIDAD
A. Graficar las siguientes funciones y ubicar el vértice en cada gráfica:
1. y = 3x2 – 1
2. y = -2x2 + 3
3. y = x2 - 2x - 3
4. y = x2 - 4x
B. Verifique la naturaleza de las raíces de las siguientes ecuaciones:
1. 3x2 – 6x +3 = 0
2. 6x2 + 7x + 2 = 0
3. 2x2 – 3x + 4 = 0
4. x2 – 2x – 24 = 0
C. Resuelve cada ecuación por raíz cuadrada.
1. 3x2 – 48 = 0
2. 4x2 – 100 = 0
3. 2x2 – 1 = 97
4. x2 + 2 = 11
5. x2 – 625 = 0
D. Resuelve cada ecuación por factorización.
1. x2 - 2x = 0
2. 2x2 + 4x = 0
3. 5x2 + 30x = 0
4. 3x2 = 15x
5. 4x2 = -20x
6. x2 + 5x + 6 = 0
7. x2 - 9x + 20 = 0
8. x2 + 12 = 7x
9. x2 - 2x = 3
10. 10 x2 + 19x + 6 = 0
E. Resuelve cada ecuación por fórmula general.
1. 2 x2 + 5x + 2 = 0
2. x2 + 4x + 3 = 0
3. x2 + 5x - 2 = 0
4. 2 x2 + 5x + 2 = 0

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3. Apoyándote en una calculadora graficadora o de una computadora con software
graficador representa las siguientes funciones y saca las conclusiones:
a. y = 2x2 + 3
b. y = -3x2 + 1
c. y = -6x2 – 1
d. y = -1/4x2 + 2
4. Con la ayuda de una calculadora graficadora o de una computadora con software
graficador representa las siguientes funciones y saca las conclusiones:
a. y = 2x2 + 3x – 2
b. y = -4x2 + 2x + 1
c. y = x2 + 5x - 1
d. y = -x2 + 3x - 4
5. Con la ayuda de una calculadora graficadora o de una computadora con software
graficador representa las siguientes funciones y determine el vértice de cada una:
a. y = x2 + 4x
b. y = x2 – 2
c. y = -x2 + 2x + 1
d. y = x2 + 4x - 1
ACTIVIDAD
A. Graficar las siguientes funciones y ubicar el vértice en cada gráfica:
1. y = 3x2 – 1
2. y = -2x2 + 3
3. y = x2 - 2x - 3
4. y = x2 - 4x
B. Verifique la naturaleza de las raíces de las siguientes ecuaciones:
1. 3x2 – 6x +3 = 0
2. 6x2 + 7x + 2 = 0
3. 2x2 – 3x + 4 = 0
4. x2 – 2x – 24 = 0
C. Resuelve cada ecuación por raíz cuadrada.
1. 3x2 – 48 = 0
2. 4x2 – 100 = 0
3. 2x2 – 1 = 97
4. x2 + 2 = 11
5. x2 – 625 = 0
D. Resuelve cada ecuación por factorización.
1. 2x2 - 10x = 0
2. 5x2 + 3x = 0
3. 12x2 + 30x = 0
4. 35x2 - 15x = 0
5. 6x2 = -42x
6. x2 = 5x
7. x2 + 11x + 30 = 0
8. x2 - 12 = -x
9. x2 + 5x = 14
10. 5 x2 + 14x + 8 = 0
E. Resuelve cada ecuación por fórmula general.
1. 2 x2 + 5x + 2 = 0
2. x2 + 4x + 3 = 0
3. x2 + 5x - 2 = 0
4. 2 x2 + 5x + 2 = 0