Introducción a las tecnicas de optimización

MATEMÁTICAS PARA LA EMPRESA II
TEMA 4: Introducción a las técnicas de
optimización

Planteamiento de un problema de optimización
Resolución gráfica
Teorema de Weierstrass para funciones de varias variables
Conjuntos convexos. Funciones convexas
Contenidos
1 Planteamiento de un problema de optimización
2 Resolución gráfica
3 Teorema de Weierstrass para funciones de varias variables
4 Conjuntos convexos. Funciones convexas
MATEMÁTICAS PARA LA EMPRESA IITEMA 4: Introducción

Un problema de optimización (de maximización o de minimización)
(P) se escribe
Optimizar (maximizar o minimizar) z = f (x1, x2, ..., xn)
sujeta a (s.a): (x1, x2, ..., xn) ∈ F
con f : Dom(f ) ⊂ Rn → R y F ⊂ Dom(f ).

Elementos de un problema de optimización
El subconjunto F ⊂ Dom(f ) se llama conjunto factible,
admisible, de alternativas, de soluciones o de posibilidades.
La función f que valora cada (x1, x2, ..., xn) ∈ F es la función
objetivo del problema y las variables independientes de f , las
variables de elección del problema.
Cada (x1, x2, ..., xn) ∈ F es una solución o una solución
factible del problema (P).
Cuando F = Dom(f ) el problema (P) se dice de optimización sin
restricciones y en el resto de los casos optimización con
restricciones.

Definiciones
Dado un problema (P), se denota como x = (x1, x2, ..., xn)
cualquier solución factible de F. Sea x0 = (x0
1 , x0
2 , ..., x0
n ) ∈ F
entonces:
1 Se dice que el punto x0 ∈ F es un m´ınimo local o relativo de
un problema (P), si para soluciones x próximas a x0, se
cumple f (x0) ≤ f (x).
2 Se dice que el punto x0 es un máximo local o relativo de un
problema (P), si para soluciones x próximas a x0, se cumple
f (x0) ≥ f (x).
3 Se dice que el punto x0 es un m´ınimo global o absoluto de un
problema (P), si para todo x ∈ F se cumple f (x0) ≤ f (x).
4 Se dice que el punto (x0) es un máximo global o absoluto de
un problema (P), si para todo x ∈ F se cumple f (x0) ≥ f (x)

Un problema de optimización (P) de dos variables se puede
resolver gráficamente. Para ello, se procede del siguiente modo:
1 Se representa el conjunto factible, F, en el plano.
2 Se representan algunas curvas de nivel de la función objetivo
que corten a F.
3 Si el problema es de minimización, el conjunto de puntos
intersección de la curva de menor nivel y el conjunto factible
F es la solución del problema.
Análogamente, si se trata de un problema de máximización, la
solución se encontrará en el conjunto de puntos intersección
de la curva de mayor nivel y F.

http://www.geogebratube.org/student/mJsf3ehv4

http://www.geogebratube.org/student/mhhauhrp8

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http://www.geogebratube.org/student/mRkYYjX1c

Observaciones
1 No siempre existe una curva de menor nivel que corte el
conjunto factible. Análogamente respecto a la curva de mayor
nivel. Es decir, no siempre podemos resolver el problema de
minimización o de maximización, respectivamente.
2 Al igual que se obtienen óptimos globales gráficamente se
pueden obtener óptimos relativos de modo gráfico.

Teorema de Weierstrass
Sea un problema (P). Si F ⊂ Dom(f ) es un conjunto cerrado y
acotado y f es una función continua en F, entonces el problema
tiene al menos un máximo y un m´ınimo absolutos en el conjunto
factible F.
Observaciones
Este teorema da condiciones suficientes que aseguran la
existencia de soluciones factibles donde la función objetivo
alcanza su valor m´ınimo (m´ınimo absoluto) o su valor máximo
(máximo absoluto).
No dice dónde se alcanzan los extremos absolutos.
Si un problema de optimización no verifica las hipótesis de este
teorema no quiere decir que el problema no tenga solución.

Definiciones
El segmento cerrado de extremos x, y ∈ Rn es el conjunto:
[x, y] = {tx + (1 − t)y ∈ Rn
: 0 ≤ t ≤ 1}
En R, R2 y R3 un segmento cerrado coincide con la idea
geométrica de segmento.
Un subconjunto A ⊆ Rn se dice convexo cuando para todo
par de puntos x, y ∈ A, el segmento cerrado que los tiene por
extremos está incluido en A.
En R, R2 y R3 los conjuntos convexos no tienen huecos ni
hendiduras.

Deﬁniciones
Sea a ∈ R y sea c = (c1, ..., cn) ∈ Rn un vector no nulo, se
deﬁne un hiperplano de Rn como el subconjunto
Π = {x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn
: c1x1 + · · · cnxn = a}
En R2
los hiperplanos son las rectas, por ejemplo −3x + y = 5.
En R3
los planos, por ejemplo 4x + y − z = 0.
Se llama semiespacio cerrado al subconjunto
Π+
= {x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn
: c1x1 + · · · + cnxn ≥ a}
Π−
= {x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn
: c1x1 + · · · + cnxn ≤ a}

Propiedades
1 Los hiperplanos y semiespacios son conjuntos convexos.
2 La intersección de conjuntos convexos de Rn es un conjunto
convexo.
Ejemplos
En el plano, son convexos pol´ıgonos como el cuadrado, el
rectángulo, el hexágono regular, el c´ırculo,...
Nos son convexos, la circunferencia, la corona circular,...
En el espacio, son convexos los poliedros regulares macizos, la
esfera maciza,... y no es convexo el toro (como un donut),...

Definiciones
Sea S ⊂ Rn un conjunto convexo y sea f : S → R una función
continua. Entonces:
i) f se dice convexa en S cuando
f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y) con x, y ∈ S, y
t ∈ [0, 1]
ii) f se dice cóncava en S cuando
f (tx + (1 − t)y) ≥ tf (x) + (1 − t)f (y) con x, y ∈ S, y
t ∈ [0, 1]

Propiedad: La matriz hessiana como herramienta para el estudio de
la convexidad de funciones
Sean S un conjunto convexo y f : S ⊂ Rn → R una función
continua en S y con parciales continuas hasta orden 2 en el interior
de S. Entonces:
1 Si Hf (x0) es definida negativa, entonces la función f es
cóncava hacia abajo en x0 ∈ S.
2 Si Hf (x0) es definida negativa, entonces la función f es
cóncava hacia arriba en x0 ∈ S.
3 La función f es convexa en S si y solo si Hf (x) es definida
positiva o semidefinida positiva para todo x perteneciente al
interior de S.
4 La función f es cóncava en S si y solo si Hf (x) es definida
negativa o semidefinida negativa para todo x perteneciente al
interior de S.

Propiedades
1 Las funciones lineales son cóncavas y convexas.
2 La combinación lineal con coeficientes positivos de funciones
convexas (o cóncavas) es una función convexa (o cóncavas).
3 Si f (x) es una función convexa (o cóncava), entonces −f (x)
es una función cóncava (o convexa).
4 Sean S ⊂ Rn un conjunto convexo, a ∈ R y f : S → R una
función continua.
Si f es convexa en S, entonces el conjunto
Sa = {x ∈ S : f (x) ≤ a} es convexo.
Si f es cóncava en S, entonces el conjunto
Sa
= {x ∈ S : f (x) ≥ a} es convexo.

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