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A)
Disyunción
B)
Bicondicional
C)
Conjunción
D)
Implicación
E)
Negación
A) VVVV
B) VVFF
D) FVFF
C) VFVF
E) FFF
12. Si la proposición compuesta:
( p q) (r V t ) es falsa
Indicar las proposiciones que son verdaderas:
07. Es un proposición que es falsa sólo cuando
forman la combinación V y F, en ese orden.
A) p y r
B) p y q
C) r y t
A)
Disyunción
B)
Bicondicional
C)
Conjunción
D)
Implicación
determinar, ¿Cuáles de las proposiciones son
E)
Negación
falsas?
D) q y t
E) p; r y t
13. Si la proposición: ( p
q)
A) p y q
08. Dada la proposición : “Si estudio triunfo. Estudio,
B) p y r
C) p; q y r
D) q y r
r, es falsa,
E) r y q
por lo tanto triunfo”. Corresponde a un esquema:
A)
Tautológico
B)
Consistente
C)
Contradictorio
D)
Indeterminado
E)
Falso
14. Los valores de verdad de las proposiciones p, q, r
y s son respectivamente V, F, F, V.
Obtener los valores de verdad de:
( ) [(p V q) V r ] s
( ) r (s q)
( ) (p V r) (r s)
09. Dada la proposición: “Si llueve, el suelo se moja”.
A) VFF
C) FFF
Los valores de la matriz principal de su tabla de
verdad son:
A)
FVFV
B)
VFVF
C)
VVVV
D)
VFVV
E)
FFVV
02
10. Si la proposición : “No es cierto que, estudiemos y
no aprobemos”, es verdadera, entonces podemos
afirmar.
A)
Aprobamos y no estudiamos
B)
Estudiamos o aprobamos
C)
Estudiamos o no aprobamos
D)
Aprobamos o no estudiamos
E)
Estudiamos y aprobamos
11. Si se sabe que:
p r es F
r q es V
q V t es F
Determine los valores de verdad de p, q, r y t
19
B) VVV
D) FVV
E) VVF](https://image.slidesharecdn.com/silabusetspnppp2013-1-131115230037-phpapp02/85/SILABUS-ETS-PNP-PP2013-19-320.jpg)
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SESIÓN N° 02
Tabla de verdad contradictoria
Una
fórmula
proposicional
es
contradictoria cuando los valores
de verdad del operador lógico
LAS TABLAS DE VERDAD
principal
cualquier
proposiciones
número
compuestas
finito
para
construyendo
sus
p
V
V
V
V
F
F
F
F
obtener
tablas
de
verdad; en tales tablas se indican los valores
resultantes
-
de
estas
proposiciones
compuestas para todas las combinaciones
posibles de valores de verdad de sus
proposiciones componentes.
proposición compuesta siguiente:
p
(p Λ q)
q
( ~p V q)
p
V
V
V
V
F
F
F
F
( ~p V q)
CLASIFICACION DE LOS ESQUEMAS
MOLECULARES
[(pq) r q]
q r
VV
V F
F V
F F
V V
V F
F V
FF
p q (r p)
V
F V F F
V
V F V F
V
F V F F
V
V F V F
V
VVVV
V
F FF V
F
VVVV
F
V F F V
Evaluación de fórmulas mediante tablas
de verdad
Tabla de verdad tautológica,
Una fórmula proposicional es
tautológica cuando los valores de
verdad del operador lógico principal
contiene sólo valores verdaderos.
Ejemplo:
p q r
q r [p(q r)] [qr
p]
V VFFF
V
VV
F
FFV VV
VF
F
FF V VV
FV
F
FF V VV
FF
F V
FF
V
F
VV
V F
FV
FF
VF
V F
F
V
F
F
FV
V F
F
V
FF
FF
Tabla de verdad contingente
Una fórmula proposicional es
contingente cuando los valores de
verdad del operador lógico principal
contiene valores verdaderos y
valores falsos.
Por ejemplo, la tabla de verdad de la
(p Λ q)
valores
de
otras cuyos valores de verdad pueden ser
conocidos
sólo
falsos. Ejemplo:
Utilizando los conectivos lógicos se pueden
combinar
contiene
Evaluar una fórmula mediante las
tablas de verdad consiste en obtener
los valores de verdad (V y F) del
operador lógico o conectivo lógico
r p
principal de la fórmula, a partir de
V
V
V
V
F
F
F
F
VV
V F
F V
F F
V V
V F
F V
FF
V
V
F
F
V
V
V
V
F FF V VVF F
VVVVV F V F
FF V F V V F F
F V F FVF V F
F FF V VVVV
VVVVVVVV
V F V FVVVV
F V F FVVVV
todas las opciones de verdad o
falsedad que tiene cada una de las
variables proposicionales.
22](https://image.slidesharecdn.com/silabusetspnppp2013-1-131115230037-phpapp02/85/SILABUS-ETS-PNP-PP2013-22-320.jpg)
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6. Sean p “ el es estudioso ” , y q “ el es alto
”. Escribir los siguientes enunciados en
forma simbólica con “ p y q “.
a) El es estudioso y es alto p Λ q
b) El no es estudioso o no es alto -p v-q
c) No es verdad que el es bajo o
estudioso p v q
d) Es falso que es alto o que es estudioso
–p v – p
e) El es alto pero no es estudioso
b) f v f f
c) v vvv
d) v f v v
12. De la falsedad de:
( p ~ q ) V ( ~ r ~ s), se deduce
que:
a ) ~ (~ q V ~ s) ~ p
b ) ~ (~ r s) ( ~ p ~ q)
c) P ~ [ q ~(s r ) ]
Son respectivamente :
a) f f v
b) v v f
c) v f f
d) v f v
e) f ff
13. Si ( p ) = V
( ~ q) = F
(r) =V
Determinar el valor de verdad o falsedad
a ) [ ( p q ) ( ~ r V q ) ] ~ q
b) [ ( ~ p r ) ( q V p ) ]
c) [ ( p r ) V x ] ( ~ q ~ r )
7. Completa :
a) V v F = V
b) F vF = F
c) V V= V
d) F Λ F = F
e) V F=F
f) F V V= V
g) V Λ V= V
h) F V=F
i) F V=V
j) V Λ F= F
8. Si la proposición es verdadero, hallar el
valor de cada variable en:
~ [ ( ~ p y q) ( ~ r ~ s) ]
a)
b)
c)
d)
14. Si se sabe que :
S p = V,r s = F , q p f
Determinar el valor de los siguientes
diagramas:
a) ( ~ r q) ( s p )
b) [ ( p V ~ s) r ] ~ r
c) ( p ~ q ) V ( ~ r ~ s )
f fff
fvvf
fvfv
vvff
9. Se sabe que la negación de :
P ( ~ q V r ) ; e s verdadera ,
entonces el valor de verdad de:
( q r ) { ( q r ) t } e s :
Obs. T no esta definida
a)V
b)F
c) VóFd)NA
15. Si la negación de la siguiente formula
lógica es verdadera , hallar los valores
de verdad de cada uno de ellos.
~{( p s ) [ ( p r ) V ( ~ qs)] }
a) f fff
b) f v v f
c) f v f v
d) v v f f
e) v f ff
10.Los valores de verdad de p,q, r son :
~[(~ p V q) V ( r q)] [ ( ~pV q) ( q ~ p)]si
el enunciado es verdadero
a) f f v
b) v v f
c) v f f
d) v f v
e) f ff
16. Mediante la aplicación de las reglas metalógicas
de los operadores o conectivos lógicos y el uso
de tablas de verdad ejecute la evaluación de las
fórmulas lógicas siguientes:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
11. Si la proposición ( p ~q) ( r ~ s)
es falsa , el valor de verdad de las
proposiciones : q , p , r , s
respectivamente son
a) f v vv
24
pq
pq
pq
p q
pq r
p q r)](https://image.slidesharecdn.com/silabusetspnppp2013-1-131115230037-phpapp02/85/SILABUS-ETS-PNP-PP2013-24-320.jpg)
![ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
(p q) (r s
(p q) r
{[p r q] r s} q
{[ p s q] r q} [(
p ( r s]
11) [(pq) (pr) (p p)] [(q s]
12) {[(p q) (r s)] (p s)} ( r q)
7)
8)
9)
10)
A) C, T, C
B) T, C, T
C) T, T,T
D) C, C, C
E) C, C,T
26) Hallar la tabla de verdad de :
(p q) (q V p)
A) VVFF
D) VFFF
{[(p q) (r s)] (p vs)} ( r q)
{(p q) [ p(q r)]}(r p)
(p q) (r s)
[(p q) q] p
[(p q r] r
[(pq) q r)] (p r)
[(pq) q r)] (p vr)
p (q r)
21) Evalúe el siguiente esquema: pq. El
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
B) VVFV
C) VFFV
E) VVVF
27) Si :
[(p q) (p p)] [(r s) q]
Es verdadera, cuáles son los valores de p, q, r,
s respectivamente.
A) VFFF
D) FVVV
esquema es de tipo :
A) Contradictorio
B) Consistente
C) Tautológico
D) Indeterminado
E) B y D
B) VFVV
C) FVFF
E) Sin solución
28) Si se sabe que:
[(p r) q] [(p V p) V (p q)]
es verdadera, hallar los valores de p,q,r
A) VVV
B) FFF
C) FVF
D) VFV
E) No se determina
22) Simplificar:
(p q) ( q V p)
a.
b.
c.
d.
e.
29) Si la proposición:
[(p q) (p V w)] s es falsa, se afirma que la
siguiente proposición:
[s V( p W) ] V (p q)
es:
A) Verdadera
B) Falsa
C) No se afirma nada
D) Toma ambos valores de verdad
E) Faltan datos
Tautología
Contradicción
Contingencia
p
q
23) Sea el esquema: (A V
correspondiente es:
1. VVVV
2. Consistente
3. VFVV
4. Contradictoria
5. Tautológica.
Son ciertas:
A) 2 y 3
D) 2 y 4
B), la matriz
30) Si la siguiente proposición compuesta es falsa:
( p q) (q r)
Luego:
I. (p q) no es falsa
II. q V s es verdadera
III. q p es verdadera
B) 1 y 5
C) Sólo 4
E) Sólo 5
Son ciertas:
A) I y II
C) II y III
24) Si la proposición:
(p q) (r s] es falsa, el valor de verdad
de q, p, r, s ( en ese orden es)
A) FVVV
B) I y III
D) Todas
E) Sólo II
31) Si la proposición:
( p q) (p r) es verdadera
B) VVVF
C) VFVV
D) FVFF
E) VVFF
¿Cuántas son verdaderaS?
I.
( s r) ( p V s)
II. (s q ) (p V r)
III. ( q r) V ( p r)
25) Determine si las siguientes proposiciones son
tautologías o contradicciones.
I.
( r s) ( r s)
II. [(p V q) p] p
III. (pq)[(pq)(pVq)p]
A) Sólo I
D) I y III
25
B) Sólo II
C) I y II
E) Todas](https://image.slidesharecdn.com/silabusetspnppp2013-1-131115230037-phpapp02/85/SILABUS-ETS-PNP-PP2013-25-320.jpg)
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LEYES LÓGICAS O TAUTOLOGÍAS
I. LEYES LÓGICAS O TAUTOLOGÍAS
[(p q) (q r)] (p r)
Ley Lógica.- Fórmula formalmente
válida, es decir, fórmula lógica
verdadera
independiente
de
la
asignación de los valores de verdad a
sus variables. También se le denomina
tautología. Las leyes lógicas no deben
ser confundidas con las reglas de
inferencia, ya que éstas pertenecen al
metalenguaje del cálculo
DEL BICONDICIONAL
[(p q) (q r)] (p r)
5.
LEY DEL DILEMA
CONSTRUCTIVO
[(p q) (r s) (p r)] (q s )
Características fundamentales de la ley
lógica:
6.
1)La ley permanece al plano teórico; 2) Su
enunciado es susceptible de verdad o
falsedad; 3) Se expresa en el interior del
cálculo lógico; 4) Su expresión es un
enunciado lógico; 5) La ley pertenece al
lenguaje lógico. 6) La ley usa los functores o
conectivos u operadores lógicos.
Fuente:
"http://symploke.trujaman.org/index.php
?title=Ley_l%F3gica"
“Introducción a la Lógica de
Bernardo Rea Ravello”
[(p q) (r s)( q s)] ( p r)
7.
LEY DEL MODUS PONENDO
PONENS O MODUS PONENS
[(p q) p] q
2.
LEY DEL MODUS TOLLENDO
TOLLENS O MODUS TOLLENS
[(p q) q] p
3.
LEYES DEL MODUS TOLLENDO
PONENS O SILOGISMO
DISYUNTIVO
[(p q) p] q
[( p q) q] p
4.
LEY DEL DILEMA SIMPLE
[(p r) (q r) (p q)] r
LEYES LÓGICAS IMPORTANTES
1.
LEY DEL DILEMA DESTRUCTIVO
LEYES DE TRANSITIVIDAD O
SILOGISMO HIPOTÉTICO
DEL CONDICIONAL
26](https://image.slidesharecdn.com/silabusetspnppp2013-1-131115230037-phpapp02/85/SILABUS-ETS-PNP-PP2013-26-320.jpg)
![ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
Ejemplo de un razonamiento deductivo: “El
ladrón entró por la puerta o la ventana. Por
la puerta no entró, como lo ha demostrado
la investigación policial. Por lo tanto, el
ladrón entró por la ventana.”
siguientes ejemplos ilustran los dos tipos de
expresiones derivativas.
Ejemplo 1. “El ladrón entró por la puerta o
por la ventana. Por la puerta no entró,
como lo ha demostrado la investigación
policial. Por lo tanto, (expresión derivativa
que se antepone a la conclusión) el ladrón
entró por la ventana.” Los componentes
del razonamiento deductivo dado son:
Tomando el razonamiento deductivo del
ejemplo dado, líneas arriba, procedemos a
formalizarlo como fórmula lógica, teniendo
como resultado la fórmula de la lógica
proposicional:
[(p q) p] q),
Premisa 1: El ladrón entró por la puerta o
por la ventana.
que es una ley lógica (tautología)
denominada “Modus TollendoPonens o
Silogismo Disyuntivo.”
Premisa 2:
Por la puerta no entró./
Conclusión: Por lo tanto, el ladrón entró
por la ventana.
Este
conjunto
de
proposiciones,
formalizadas, también podemos verlas o
percibirlas como una representación del
argumento o razonamiento deductivo dado.
Formalizando el razonamiento deductivo,
dado, tenemos:
Los componentes de los razonamientos
deductivos son las premisas (proposiciones
que implican a la conclusión), la conclusión
(proposición implicada por las premisas) y
las expresiones derivativas. Las expresiones
derivativas tienen por objeto indicar cuál es
la conclusión y cuáles son las premisas. No
siempre figuran en los razonamientos,
algunas veces están implícitas. Son de dos
tipos: las que se anteponen a la conclusión,
como “luego”, “por tanto”, “por
consiguiente”, etc., y las que se colocan
después de la conclusión, antepuestas a
alguna de las premisas, como “ya que”,
“puesto que”, “dado que”, “como” y otras.
Premisa 2:
Premisa 1:
pq
__ p / Conclusión: q
La regla lógica “Modus TollendoPonens o
Silogismo Disyuntivo” prescribe lo siguiente:
“A partir de una disyunción débil y la
negación de uno de sus disyuntivos es
legítimo inferir u obtener el otro
disyuntivo”, de esta manera
justifica,
garantiza la legitimidad o validez de la
operación de deducción. Es decir, este
conjunto
de
proposiciones
están
relacionadas de modo tal, que la
proposición, llamada conclusión: “El ladrón
entró por la ventana.” Está fundada o se
infiere de las otras dos proposiciones,
llamadas premisas. En éste caso, la regla
lógica del modus tollendoponens o
silogismo disyuntivo, nos autoriza, nos
prescribe ha inferir u obtener la conclusión:
“El ladròn entró por la ventana.” En
símbolos:
Un signo lógico que hace las veces de las
expresiones derivativas (que separa a las
premisas de la conclusión) es una barra “
_______/“ que se coloca después de las
premisas encolumnadas, al lado derecho se
escribe la conclusión.
A B,
En los ejemplos que siguen a continuación
se podrá observar la barra, que hace las
veces de las expresiones derivativas. Los
_A__/ B
.
28](https://image.slidesharecdn.com/silabusetspnppp2013-1-131115230037-phpapp02/85/SILABUS-ETS-PNP-PP2013-28-320.jpg)
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Ejemplo 2. “El agua hervirá, dado que
(expresión derivativa que se coloca después
de la conclusión) si la temperatura está a
1000 C entonces el agua hervirá. La
temperatura está a
1000 C” Al
formalizarlo, tenemos como resultado la
fórmula lógica proposicional
q
[(pq) p], que es una ley lógica
(tautología) denominada “Ley Lógica del
Modus PonendoPonens.” Procedemos a
reestructurar el razonamiento deductivo
dado, para obtener un razonamiento
deductivo equivalente, tal como: “Si la
temperatura está a 1000 C entonces elagua
hervirá. La temperatura está a 1000 C. Por
consiguiente, el agua hervirá.” Este sistema
de proposiciones formalizadas, equivalente
al sistema de proposiciones inicialmente
dado, también podemos verla o percibirla
como una representación del argumento o
razonamiento
deductivo
dado.
Los
componentes, reestructurados, de éste
razonamiento deductivo son:
Premisa 1: Si la temperatura está a 1000 C
entonces el agua hervirá.
orazonamiento deductivo, dado. Los
componentes, reestructurados, de éste
razonamiento deductivo son:
Premisa 1:
Si hace calor, Juan va a la piscina.
Premisa 2:
Si Juan va a la piscina, arregla la casa
después de almorzar.
Conclusión:
Luego, si hace calor, se arregla la casa
después de almorzar.
Formalizando el razonamiento deductivo,
dado, tenemos:
Premisa 1: p q.
Premisa 2: q r/ Conclusión: p r.
La regla lógica, “Silogismo Hipotético o
Transitividad”, prescribe lo siguiente: “A
partir de dos condicionales, donde el
consecuente del primero es el antecedente
del segundo es legítimo inferir el
condicional formado por el antecedente del
primero y el consecuente del segundo”
Premisa 2: La temperatura está a 1000 C./
Conclusión: Por consiguiente, El agua
hervirá.
Formalizando el razonamiento deductivo,
dado, tenemos:
Premisa 1: p q.
Premisa 2: _p_____/ Conclusión: q.
La regla lógica, “Modus PonendoPonens”,
prescribe lo siguiente: “A partir de un
condicional y la afirmación de su
antecedente es legítimo inferir su
consecuente.”
¿Cuándo un conjunto de proposiciones no
es un razonamiento deductivo? Cuando no
hay ninguna proposición, de las dadas, que
se afirme sobre la base de las otras.
Tomemos como ejemplo las proposiciones
siguientes: “Llueve mucho. Será mejor que
no salgamos. Podemos postergar la
excursión para mañana.” Efectuando la
formalización se tiene la siguiente fórmula:
p q r. Si bien estas proposiciones están
relacionadas en cuanto al contenido, no hay
ninguna que se afirme sobre la base de las
otras. En consecuencia, no se trata de un
razonamiento deductivo.
Ejemplo 3. “Si hace calor, Juan va a la
piscina. Si Juan va a la piscina, arregla la
casa después de almorzar. Luego, si hace
calor, se arregla la casa después de
almorzar.”Procedemos a formalizarlo como
fórmula lógica, teniendo como resultado la
fórmula de la lógica proposicional [(pq)
(q r)] (pr), que es una ley lógica
(tautología) denominada “Ley Lógica
Silogismo Hipotético o Transitividad” Este
conjunto de proposiciones, formalizadas,
también podemos verlas o percibirlas como
una
representación
del
argumento
Conclusión y premisas son términos
relativos. Una misma proposición puede ser
premisa en un razonamiento deductivo y
conclusión en otro. Esta circunstancia
origina
cadenas
de
razonamientos
deductivos.
29](https://image.slidesharecdn.com/silabusetspnppp2013-1-131115230037-phpapp02/85/SILABUS-ETS-PNP-PP2013-29-320.jpg)
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PROBLEMAS LÓGICOS
9. Si Gabriel es un alumno-policía que
práctica buenos hábitos, será un policía
disciplinado y responsable. Gabriel es un
alumno-policía que práctica buenos
hábitos.
SOBRE RAZONAMIENTOS
DEDUCTIVOS
A.
APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA
DEL MODUS PONENDOPONENS
[(p q) p] q
10.Si hay igualdad de oportunidades, hay
justicia social. Hay igualdad de
oportunidades.
Dadas las premisas infiera o derive una
conclusión.
11. Si las computadoras bajan de precio, las
personas
se
educaran.
Las
computadoras bajan de precio.
1. Si Venus es un planeta entonces Venus
brilla con luz refleja. Venus es un
planeta.
2. Si son las cinco, la oficina está cerrada.
Son las cinco.
3. Si Juan va a la Unión, se encuentra con
Pedro. Juan va a la Unión.
4. Si llovió anoche, las pistas están mojadas.
Llovió anoche.
5. Si voy de paseo, me encuentro con Ana.
Voy de paseo.
6. Si la policía hace patrullaje urbano,
captura a los delincuentes. La policía hace
patrullaje urbano.
Resolución
Formalización: (p qp
12. Dado que los objetos caen, existe
gravedad. Los objetos caen.
13. Si Luís no ha pasado de año, no viaja a
la Argentina. Luís no ha pasado de año.
14. Si el papel de tornasol se vuelve rojo, la
solución es un ácido. El papel de
tornasol se vuelve rojo.
15. Si el satélite entra en órbita, el proyecto
espacial será un éxito. El satélite entra
en órbita.
Razonamiento
P1: p q
P2: p_____/q: La policía captura a los
delincuentes.
B.
APLICANDO LA REGLA DE
INFERENCIA DEL MODUS TOLLENDO
TOLLENS [(p q) q] p
Regla lógica utilizada para hacerla
inferencia: Modus PonendoPonens.
7. Si el Atestado Policial prueba que
estafaste, serás privado de tu libertad. El
Atestado Policial prueba que estafaste.
Resolución
Formalización: (p qp
Dadas las premisas infiera o derive una
conclusión.
Razonamiento
2.
1.
P1: p q
P2: p_____/q: serás privado de tú libertad
Regla lógica utilizada para hacerla
inferencia: Modus PonendoPonens.
Dado que los objetos caen entonces
existe gravedad. No es cierto que los
objetos caén.
Si es estrella, ese astro tiene luz propia.
Ese astro no tiene luz propia.
Resolución
Formalización: (p q (q)
Razonamiento
P1: p q
8. Si los terremotos son fenómenos
naturales, los terremotos obedecen a
leyes físicas. Los terremotos son
fenómenos naturales.
P2: q _____/p: no es estrella.
Regla lógica utilizada para hacerla
inferencia: Modus TollendoTollens.
30](https://image.slidesharecdn.com/silabusetspnppp2013-1-131115230037-phpapp02/85/SILABUS-ETS-PNP-PP2013-30-320.jpg)
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3.
C.
Si llueve, la ropa se moja. La ropa no se
moja. Resolución
Formalización: (p q (q)
Razonamiento
APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA
DEL MODUS TOLLENDO
PONENS O SILOGISMO DISYUNTIVO
[(p q) p] q
[( p q) q] p
P1: p q
P2: q _____/p: no llueve.
Dadas las premisas infiera o derive una
Regla lógica utilizada para hacerla
inferencia: Modus TollendoTollens.
conclusión.
1.
4.
Si Carlos no viaja a Tumbes, no se
encontrará con Gabriel. Carlos se
encontró con Gabriel.
5.
Si Juan no ésta en clase entonces está
de servicio. Juan no está de servicio.
6.
Si Pedro compró el libro entonces es
propietario del libro. Pedro no es
propietario del libro.
7.
Me llamo Julio o Jorge. No me llamo
Julio.
2. No viajo a Trujillo o no viajo a Arequipa.
Viajo a Arequipa.
3. El policía viajó en auto o avión. El policía
no viajó en avión.
4. Las Fuerzas Operativas de la Policía
Nacional del Perú van al Estadio
Nacional o al Mercado de Santa Anita.
Las Fuerzas Operativas de la Policía
Nacional no van al Estadio Nacional.
5. Maria juega Voley o Básquet. Maria no
juega básquet.
6. El paciente tiene sarampión o tifoidea.
El paciente no tiene sarampión.
7. En Piura llueve o hace calor. En Piura no
llueve.
8. El sol es estrella o satélite. El sol no es
satélite.
9. En Irak hay guerra o paz. En Irak no hay
paz.
10. Fujimori será extraditado o liberado.
Fujimori no será liberado.
11. Los funcionarios policiales trabajan con
hipótesis o refutaciones de hipótesis.
Los funcionarios policiales no trabajan
con refutaciones de hipótesis.
Si un objeto flota en el agua entonces es
menos denso que el agua. No es menos
denso que el agua.
8.
Si eres bondadoso y honrado, serás
premiado. No serás premiado.
9. Si = 1500 entonces Sen = ½. Sen ½.
10. Si Víctor es un graduado universitario
entonces Víctor no es mecánico. Víctor
es mecánico.
11. Teniendo en cuenta que hace frió, bien
se ve que la gente se abriga. La gente
no se abriga.
12. Si hoy es día de pago, iré de compras.
No iré de compras.
13. Si Pedro se encuentra en casa, la luz
está encendida. La luz no está
encendida.
14. Si vienes, me voy. No me voy.
15. Si estudio lógica matemática, mejoro mi
razonamiento deductivo. No mejoro mi
razonamiento.
16. Si son las siete de la mañana, el avión
partió. El avión no partió.
12. El reo es culpable o inocente del delito
que se le imputa. El reo no es inocente
del delito que se le imputa.
13. 13. El ladrón entró por la puerta o la
ventana. Por la puerta no entró, como
lo ha demostrado la investigación
policial.
14. Maritza se dedica a la función policial o
se dedica a la función jurisdiccional.
Maritza no se dedica a la función
jurisdiccional.
15.
El accidente de tránsito fue causado
por ebriedad del chofer o falla mecánica del
31](https://image.slidesharecdn.com/silabusetspnppp2013-1-131115230037-phpapp02/85/SILABUS-ETS-PNP-PP2013-31-320.jpg)
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vehículo. El accidente de tránsito no fue
causado por falla mecánica, de acuerdo a la
investigación policial.
alarma. Si el cajero aprieta el botón de
alarma, la patrulla policial interviene a
los ladrones.
D. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DE
SILOGISMO HIPOTÈTICO O TRANSITIVIDAD
5.
Si el Gobierno está a favor de las
nacionalizaciones de las empresas, está
en contra de la empresa privada. Si el
Gobierno está en contra de la empresa
privada, es comunista.
6.
Si Bertrand Russell fue neopositivista,
conformó el Circulo de Viena. Si
conformó el Circulo de Viena, confiaba
en la Lógica Simbólica.
7.
Si Luisa obtiene buenas notas, le dan
una beca. Si le dan una beca, viaja a
Colombia.
8.
Si hay abundancia de peces, habrá
abundante harina de pescado. Si hay
abundante harina de pescado, se
incrementa la exportación.
9.
Si sube la gasolina, subirá la harina de
trigo. Si sube la harina de trigo, subirá
el precio del pan.
DEL CONDICIONAL:
[(p q) (q r)] (p r)
DEL BICONDICIONAL:
[(p q) (q r)] (p r)
Dadas las premisas infiera o derive una
conclusión
Dadas las premisas infiera o derive una
conclusión.
1. Si un policía es profesional y ético, es
responsable de su buena conducta. Si
es responsable de su buena conducta,
evita realizar acciones delictivas.
Resolución
Formalización: [(pq) r] (r s)
Razonamiento
P1: (pq) r
P2: r s /(pq) s: Si un policía es
profesional y ético, entonces evita
realizar acciones delictivas
2.
E. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA
DEL DILEMA CONSTRUCTIVO
[(p q) (r s) (p r)] (q s )
Si se denuncia la comisiòn de un delito,
la policìaefectùa la investigaciòn.Si la
policía efectúa la investigación,
establece la responsabilidad de los
involucrados. Resolución
Formalización: (p q) (q r)
Dados los razonamientos deductivos
siguientes. Verifique, si dichos
razonamientos son válidos o inválidos,
utilizando cualesquiera de las técnicas de
validación que se le ha enseñado y usted ha
aprendido.
Razonamiento
P1: p q
P2: q r /p r:
Conclusión: p r: Si se denuncia la
comisión de un delito, entonces la
policía establece la responsabilidad de
los involucrados.
3.
4.
1.
2.
Si Elizabeth viaja a Estados Unidos,
visitará a su papá. Si visita a su papá,
pasará buenas vacaciones.
Si los ladrones asaltan el Banco de la
Nación, el cajero aprieta el botón de
32
Si llueve, jugaremos ajedrez. Si el
campo está seco, jugaremos fútbol. O
llueve o el campo está seco. / O
jugaremos al ajedrez o fútbol.
Si voy al cine, no estudio. Si no voy a la
fiesta, viene Felipe a Estudiar. Voy al
cine o no voy a la fiesta. / No estudio
o viene Felipe a estudiar. Resolución](https://image.slidesharecdn.com/silabusetspnppp2013-1-131115230037-phpapp02/85/SILABUS-ETS-PNP-PP2013-32-320.jpg)
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Formalización:
2.
(p q) (r s) (p r )
Razonamiento
P1: p q
P2: r s
P3: p r / (q s): No estudio o
viene Felipe a estudiar.
Si voy a Chosica, no me encuentro con
Pedro. Si me encuentro con Eduardo,
no voy a Barranco. O me encuentro con
Pedro o voy a Barranco. / O voy a
Chosica o me encuentro con Eduardo.
Resolución
Formalización:
(p q) (rs) (q s )
3.
Si se mantiene la paz, las ciencias
progresan. Si se fomenta la guerra, los
pueblos se empobrecen. O se mantiene
la paz o se fomenta la guerra. / Las
ciencias progresan o los pueblos se
empobrecen. Resolución
Formalización: (p q) (r s) (p r )
Razonamiento
P1: p q
P2: r s
P3: q s / (pr): No voy a Chosica
o no me encuentro con Eduardo.
Regla lógica utilizada para hacerla
inferencia: Dilema destructivo.
Razonamiento
P1: p q
P2: r s
3. Si te dedicas a la ciencia, serás un
científico. Si cultivas las artes, serás un
artista. O no serás un científico o no serás
un artista. / O no te dedicas a las
ciencias o no cultivas las artes. Resolución
Formalización:
P3: p r / (q s): Las ciencias
progresan o los pueblos se
empobrecen.
F.
APLICANDO LA REGLA DE
INFERENCIA DEL DILEMA DESTRUCTIVO
(p q) (r s) (q s )
[(p q) (r s)( q s)] ( p r)
Razonamiento
Dados los razonamientos deductivos
siguientes. Verifique, si dichos
razonamientos son válidos o inválidos,
utilizando cualesquiera de las técnicas de
validación que se le ha enseñado y usted ha
aprendido.
P1: p q
1.
P2: r s
P3: q s / (pr): No te dedicas a la
ciencia o no cultivas las artes.
Regla lógica utilizada para hacerla
inferencia: Dilema destructivo.
Si me encuentro con Pedro, voy a
Chosica. Si me encuentro con Eduardo,
voy a Barranco. No voy a Chosica o no
voy a Barranco. / O no me encuentro
con Pedro o no me encuentro con
Eduardo.
33](https://image.slidesharecdn.com/silabusetspnppp2013-1-131115230037-phpapp02/85/SILABUS-ETS-PNP-PP2013-33-320.jpg)
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32. Indicar cuales con correctas:
i.
El número de camiones es igual
al número de tractores de tipo B
y D juntos.
ii.
iii.
En esta fábrica se hizo un estudio sobre la
edad de los trabajadores; con el fin de
establecer un plan de seguro grupal. Los
resultados fueron los siguientes:
22 34 60 33 32 30 47 37
El número de buses es igual que
el número de tractores del tipo
A.
30 34 47
42 42 46 43 53 48 46 26
55
El número de buses es mayor que
los tractores del tipo A.
a) Sólo I
d) I y II
b) Sólo II
e) I y III
61 38
41 55 67 32 49 46 48
41 57 44 45 67
51 23
31 51 47 52
03) ¿Cuántos trabajadores tienen por lo
menos 49 años y que porcentaje
representan?
Rpta:
c) Sólo III
04) ¿Qué porcentaje de trabajadores tiene
de 39 a 58 años?
Rpta:
Enunciado:
SESIÓN 17
Se clasifico la inversión de un grupo de
compañías mineras en una tabla de
distribución de frecuencias. Se sabe que la
máxima inversión es de 56 millones de soles;
que la amplitud de los intervalos es de 8
millones de soles; que las frecuencias
absolutas correspondientes a los intervalos
son: 1; 16; 21; 9; 8; 3 y 2.
Con esta información resolver los problemas
5; 6; 7; 8 y 9.
TALLER DE ESTADISTICA
Enunciado:
Dada la siguiente distribución de frecuencias
según el mismo número de empleados por
empresa.
Numero de Frecuencia
(fi )
Empleados
[0; 10
5
[10; 20
20
[20; 30
05) ¿Qué
porcentaje
de
compañías
invierten menos de 40 millones de
soles?
Rpta:
35
[30; 40
40
[ 40; 60
50
[60;80
30
[80; 100
20
[100; 140
20
[140; 180
15
[180; 200]
15
TOTAL
06) ¿Qué
porcentaje
de
compañías
invierten 24 millones como mínimo?
Rpta:
250
07) Hallar la inversión
millones de soles)
Rpta:
promedio
(en
01) Determinar el porcentaje de empresas
que tienen un número de empleados
entre 50 y 90.
Rpta:
08) Hallar la mediana de los datos
clasificados. (en millones de soles)
Rpta:
02) Determinar el porcentaje de empresas
con número de empleados inferior a 35.
Rpta:
Enunciado:
09) Hallar la moda de los datos agrupados.
(en millones de soles)
Rpta:
Enunciado:
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SILABUS ETS PNP PP2013
Este documento presenta el sílabo de la asignatura de Matemática del primer año de la Escuela Técnica Superior PNP Puente Piedra. Incluye la información general del curso, los objetivos, los contenidos organizados en tres unidades (Lógica Proposicional, Teoría de Conjuntos y Matemática Financiera), y el cronograma de quince sesiones con los temas a cubrir en cada una.
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- 1. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA SÍLABO DESARROLLADO DE MATEMÁTICA PROGRAMA REGULAR 2013 1
- 2. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA SILABO LÓGICO-MATEMÁTICA (PROCESO REGULAR) I. DATOS GENERALES EJE CURRICULAR : Formación General AREA EDUCATIVA : Formación Científica Básica AREA COGNITIVA : Ciencias Lógico - Matemáticas AÑO DE ESTUDIO : PRIMER AÑO HORAS SEMESTRALES : 72 horas académicas HORAS SEMANALES : 04 CRÉDITOS 3.5 PERIODO ACADEMICO II. : : I Semestre SUMILLA La Asignatura de Lógica Matemática forma parte del Área de Formación Científica Básica del Currículo de Estudios de las Escuelas Técnico - Superiores de la Policía Nacional del Perú, siendo de naturaleza instrumental y de carácter teórico – práctico, cuyo propósito es desarrollar en el alumno los contenidos básicos, organizados en cuatro unidades de aprendizaje: Lógica Proposicional, Teoría de Conjuntos, Matemática Financiera y Estadística Descriptiva. III. OBJETIVOS A. OBJETIVO GENERAL Fortalecer las capacidades de comunicación y de pensamiento lógicomatemático en los alumnos a partir de materiales educativos que contextualicen su práctica profesional- área de administración y ciencias policiales-, que contribuyan a ejercitar, desarrollar y poner a punto sus competencias lógico matemática. Desarrollar en los alumnos habilidades que permitan traducir problemas de la vida real- área de administración y ciencias policiales- al lenguaje lógico-matemático. 2
- 3. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA B. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Reconocer un problema de la vida real, vinculado a su quehacer profesionalárea de administración y ciencias policiales-, en las dimensiones que sean suceptibles de ser traducidas, formalizadas u operables en lenguaje lógico o lenguaje matemático o representación estadística. 2. Fortalecer las capacidades de pensar ordenadamente, razonar, argumentar, cuantificar, efectuar mediciones, interpretar situaciones del área de la administración y ciencias policiales, comunicarse con otros códigos, modelar situaciones problemáticas, interpretar el lenguaje formal y simbólico, resolver problemas. 3. Promover la producción de soluciones lógicas-matemáticas a las situaciones problemáticas, vinculadas al quehacer profesional-área de administración y ciencias policiales-, como vía tendiente a posibilitar la toma de decisiones que permitan operar con seguridad sobre las dimensiones que comprenda cada situación problemática, en singular, particular o general. IV. CONTENIDOS I UNIDAD LÓGICA PROPOSICIONAL Sesión 01 PRIMERA SEMANA (04 hrs) COMPETENCIA Desarrolla conceptos y procedimientos de manera lógica y coherente, utilizando el lenguaje proposicional. Conoce y comprende los conceptos básicos de la lógica proposicional, desarrollados en Presentación de la asignatura. la sesión 1. Prueba de Entrada. Reconoce, describe, analiza, expresa, LOGICA PROPOSIONAL: clasifica y formaliza proposiciones. Valora los conocimientos de la lógica Enunciado, Proposición. proposicional como herramienta para Proposición atómica, molecular. analizar, interpretar y traducir hechos, Variables proposicionales. situaciones o problemas, de la vida real, del Conectivos lógicos: área de la administración y ciencias Expresiones de la lengua española policiales, al lenguaje de la lógica equivalentes a los conectivos proposicional, con la finalidad de resolver lógicos. situaciones o problemas. Proposiciones en lenguaje natural u ordinario traducirlas al lenguaje lógico proposicional (Formalización o simbolización de proposiciones). 3
- 4. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA Sesión 02 SEGUNDA SEMANA (04 hrs) Valores de verdad para las proposiciones moleculares o tablas de verdad de los conectivos lógicos. Tabla de verdad: tautológica, contradictoria, contingente. Ley lógica, características de la ley lógica. Leyes Lógicas: Modus PonendoPonens, Modus TollendoTollens, Modus TollendoPonens, Silogismo Hipotético, Dilema Constructivo, Dilema Destructivo, Dilema Simple. Sesión 03 Razonamiento Deductivo. Las Argumentaciones Reglas de Inferencia Leyes Lógicas Problemas lógicossobre razonamientos deductivos TERCERA SEMANA Evaluación Escrita: 01 hora (04 hrs) Conoce y comprende los conceptos básicos de la lógica proposicional, desarrollados en la sesión 2. Identifica, analiza, compara y aplica los valores de verdad de los diferentes conectivos lógicos. Clasifica las tablas de verdad según la naturaleza de su matriz de verdad. Caracteriza la ley lógica. Describe el esquema o estructura de las leyes lógicas. Aplica con propiedad los fundamentos y principios de la lógica proposicional en la solución de diversos problemas. Muestra interés en los nuevos conocimientos, participa de manera activa, dialoga, pregunta, analiza, sintetiza, investiga. Conoce y comprende los conceptos básicos de la lógica proposicional, desarrollados en la sesión 3. Elabora razonamientos deductivos utilizando las reglas lógicas. Maneja las reglas y principios de la lógica proposicional para analizar la validez o invalidez de las inferencias. Utiliza el razonamiento deductivo en la formulación de hipótesis y en su respectiva comprobación. Infiere conclusiones válidas haciendo uso de las reglas de inferencia, principios lógicos y del análisis. Valora el razonamiento deductivo como herramienta para hacer inferencias sobre hechos o problemas, de la vida real, del área de la administración y ciencias policiales, que permitan obtener conocimientos nuevos. Demuestra alto sentido de responsabilidad y de compromiso con su formación personal y profesional. Participa de manera activa, dialoga, pregunta, analiza, sintetiza, investiga. 4
- 5. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA Competencia II UNIDAD TEORÍA DE CONJUNTOS Resuelve problemas aplicando conceptos y las operaciones entre conjuntos, muestra solidaridad y colaboración con sus compañeros. Sesión 04 Teoría de conjuntos: CUARTA SEMANA (04hrs) Noción de conjunto. Conceptos no definidos de la teoría de conjuntos: elemento, relación de pertenencia. Determinación de conjuntos: Extensión y comprensión. Cardinal de un conjunto. Representación de conjuntos mediante diagramas de Venn Euler Sesión 05 QUINTA SEMANA (04 hrs) Clases de conjuntos: Vacío, unitario, finito, infinito, universal, conjunto potencia. Relaciones entre conjuntos: inclusión, igualdad, disjuntos. Operaciones entre conjuntos: Unión, intersección, diferencia y complemento, diferencia simétrica, Problemas de conjuntos. Conoce y comprende los conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Expresa de manera verbal y grafica el concepto de conjunto Determina un conjunto por extensión y comprensión. Demuestra alto sentido de responsabilidad, colaboración, participación y de compromiso con su formación personal y profesional. Participa de manera activa, dialoga, pregunta, analiza, sintetiza, investiga. Conoce y comprende las clases, relaciones y operaciones con conjuntos. Interpretay grafica las clases y operaciones de conjuntos. Aplica las propiedades y operaciones entre conjuntos para resolver situaciones problemáticas. Relaciona las operaciones entre conjuntos con las operaciones lógicas. Interpreta enunciados y ejecuta estrategias para resolver problemas con conjuntos. Participa de manera activa, dialoga, pregunta, analiza, sintetiza, investiga. Sesión 06 SEXTA SEMANA (04 hrs) Resuelve problemas relacionados con la cordialidad, clases, relaciones y operaciones entre conjuntos. 2° Taller: Teoría de conjuntos: Problemas de cardinalidad de conjuntos. Problemas de operaciones entre conjuntos. (3 horas) Evaluación: 1 hora Propone y resuelve situaciones problemáticas relacionados con conjuntos y que le sirvan como herramienta para hacer relaciones con hechos de la vida real. 5
- 6. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA III UNIDAD COMPETENCIAS MATEMATICA FINANCIERA Aplica propiedades en situaciones reales de su entorno utilizando las matemática financiera Respeta la opinión de sus compañeros. Es perseverante para resolver problemas propuestos sobre matemática financiera SEPTIMA SEMANA (04hrs) OCTAVA SEMANA (04 hrs) Identifica y compara razones. Reconoce razones aritméticas y geométricas. Razones y proporciones Infiere datos sobre razones. Razón Resuelve problemas relacionados sobre razones. Definición Clases de razón Infiere datos sobre proporciones. Proporción Reconoce clases de proporciones. Definiciones Resuelve problemas de proporciones Clases de proporción Ejercicios propuestos. Sesión 7 Sesión 8 Promedios Concepto Promedios importantes Propiedad de los promedios. Ejercicios propuestos. 6 Identifica los conceptos sobre los promedios. Reconoce los promedios importantes. Infiere datos sobre los promedios. Resuelve problemas propuestos sobre promedios.
- 7. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA NOVENA SEMANA (04 hrs) Sesión 9 Magnitudes proporcionales Concepto Magnitudes directamente proporcionales. Magnitudes inversamente proporcionales. Identifica magnitudes proporcionales. Reconoce la relación entre magnitudes. Infiere datos sobre magnitudes proporcionales. Reconoce magnitudes directamente e inversamente proporcional. Infiere datos sobre magnitudes inversamente proporcionales. Identifica Ejercicios propuestos. propiedades Resuelve problemas proporcionales. Sesión 10 DECIMA SEMANA (04 hrs) DECIMA PRIMERA SEMANA (04hrs) Regla de compuesta: tres simple y SEMANA (04hrs) sobre magnitudes Identifica el concepto de la regla de tres simple. Infiere datos sobre la regla de tres simple directa e inversa. Reconoce la regla de tres compuesta. Resuelve problemas aplicando regla Sesión 11 Identifica conceptos de matemática financiera Resuelve ejercicios de matemática financiera. Desarrolla práctica calificada. Taller de reforzamiento sobre: Razones y proporciones, Promedios, proporcionales, compañía. Concepto. Porcentaje. Operaciones compañía. Reconoce la regla de compañía. identifica la regla de tanto por ciento. Reconoce casos particulares de regla de tanto por ciento. Infiere datos sobre la regla de tanto por ciento. Resuelve problemas propuestos sobre tanto por con el tanto por ciento. Descuentos de Magnitudes Regla de Regla de tanto por ciento SEGUNDA magnitudes Concepto. Regla de tres simple directa Regla de tres simple inversa Regla de tres compuesta. Regla de compañía. Ejercicios propuestos. Sesión 12 DECIMA de propiedades. y aumento sucesivos. Aplicaciones comerciales de tanto por ciento. Ejercicios propuestos. 7 ciento.
- 8. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA DECIMA TRECERA Identifica los elementos de la regla de interés. Reconoce la clasificación de regla de interés. Evalúa problemas propuestos sobre regla de Sesión 13 Regla de interés SEMANA (04hrs) DECIMA Concepto Elementos interés. de la regla de interés. Clases de interés Ejercicios propuestos. Identifica el concepto sobre mezcla. Resuelve problemas propuestos sobre mezcla. Identifica mezcla alcohólica. Evalúa problemas propuestos. Identifica el concepto sobre aleación. Resuelve problemas propuestos sobre aleación CUARTA SEMANA (04hrs) Sesión 14 Mezcla y aleación Regla de Mezcla Concepto. Mezcla alcohólica. Aleación. Concepto Ejercicios propuestos. Resuelve problemas y ejercicios sobre regla de Sesión 15 DECIMA QUINTA SEMANA (04hrs) tres simple, porcentajes,asuntos comerciales, aumentos y descuentos con margen de error de hasta el 8%. TALLER DE REFORZAMIENTO Regla de compuesta. tres simple y Tanto porciento Asuntos comerciales Aumento y descuentos. Reconoce la importancia de resolver problemas aplicados a su vida profesional. Describe e interpreta las propiedades de estadística descriptiva en problemas reales. Es asertivo con su opinión. Participa activamente en III UNIDAD ESTADISTICA DESCRIPTIVA grupal. 8 forma individual y
- 9. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA DECIMA SEXTA SEMANA (04hrs) Sesión 16 Identifica conceptos de estadística. Infiere datos sobre medidas tendencia Estadística descriptiva central para datos agrupados y no agrupados Concepto Medidas de tendencia central para datos agrupados y no agrupados Reconoce la tabla de frecuencia para datos agrupados y no agrupados. Evalúa problemas propuestos sobre tablas. Tabla de frecuencia para datos agrupados y no agrupados DECIMA SEPTIMA SEMANA (04hrs) Describe la Lectura e interpretación de tablas y gráficos para datos agrupados y no agrupados. Sesión 17 Lectura e interpretación de tablas y gráficos para datos agrupados y no agrupados. Reconoce varianza, desviación estándar. Resuelve propuestos sobre tablas y gráficos. Varianza, desviación estándar. DECIMA OCTAVA SEMANA (04hrs) Resuelve ejercicios propuesto sobre estadística Sesión 18 descriptiva. Desarrolla el examen final. Taller de estadística Evaluación Final 9
- 10. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA DE LÓGICA MATEMÁTICA 10
- 11. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA SILABO DESARROLLADO PRESENTACIÓN Presentación de la asignatura. Evaluación de Entrada. Lógica Proposicional. Enunciado. Proposición. Proposición Atómica. Proposición Molecular. Variables proposicionales. Conectivos lógicos. Expresiones de la lengua española equivalentes a los conectivos lógicos. Proposiciones en lenguaje natural u ordinario traducirlas al lenguaje lógico proposicional (Formalización o simbolización de proposiciones). Presentación de la Asignatura: La Escuela Técnica Superior de la PNP-Puente Piedra, en el periodo comprendido entre Setiembre 2013 y Enero 2014, Desarrollará el I Semestre Académico de Formación General del “Programa Regular” de Educación Presencial, Promoción 2013. Comprendiendo en dicho semestre académico la asignatura de LógicoMatemática, con 72 horas académicas. Los docentes seleccionados y designados por la Dirección de la Escuela Técnico Superior PNP de Puente Piedra para impartir la asignatura de Lógico-Matemática, en esta oportunidad, han formulado el Sílabo pertinente, como aporte de su experiencia profesional y ejercicio docente en dicho centro de estudios. Las unidades académicas están orientadas a fortalecer y desarrollar competencias básicas en lógica proposicional, teoría de conjuntos, matemática financiera y estadística descriptiva, que son temáticas fundamentales para obtener una formación policial profesional-área de administración y ciencias policiales-, basada en la práctica reflexiva y en la explicitación de los principios científicos y técnicos que fundamentan el quehacer profesional del policía. Los objetivos y competencias de la asignatura se detallan a continuación: Objetivo General Fortalecer las capacidades de comunicación y de pensamiento lógico-matemático en los alumnos a partir de materiales educativos que contextualicen su práctica profesional- área de administración y ciencias policiales-, contribuyan a ejercitar, desarrollar y poner a punto estas competencias. Desarrollar habilidades que permitan traducir problemas de la vida real- área de administración y ciencias policiales- al lenguaje lógico-matemático. Objetivos Específicos 4. Reconocer un problema de la vida real, vinculado a su quehacer profesional-área de administración y ciencias policiales, en las dimensiones que sean suceptibles de ser traducidas, formalizadas u operables en lenguaje lógico o lenguaje matemático o representación estadística. 11
- 12. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 5. Fortalecer las capacidades de pensar ordenadamente, razonar, argumentar, cuantificar, efectuar mediciones, interpretar situaciones del área de la administración y ciencias policiales, comunicarse con otros códigos, modelar situaciones problemáticas, interpretar el lenguaje formal y simbólico, resolver problemas. 6. Promover la producción de soluciones lógicas-matemáticas a las situaciones problemáticas, vinculadas al quehacer profesional-área de administración y ciencias policiales-, como vía tendiente a posibilitar la toma de decisiones que permitan operar con seguridad sobre las dimensiones que comprenda cada situación problemática, en lo singular, particular o general. COMPETENCIAS LÓGICO-MATEMÁTICAS COMPETENCIA EN LÓGICA PROPOSICIONAL: Desarrolla conceptos y procedimientos de manera lógica y coherente, utilizando el lenguaje proposicional COMPETENCIA EN TEORIA DE CONJUNTOS Aplica la teoría de conjuntos para modelar y resolver problemas, expresando un comportamiento solidario, colaborativo y participativo con sus compañeros. COMPETENCIA EN MATEMATICA FINANCIERA Conoce, comprende y aplica la matemática financiera para su aplicación como herramienta en la resolución de problemas de la vida real, vinculados al quehacer policial-área de administración y ciencias policiales. COMPETENCIA EN ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Aplica técnicas para organizar, analizar e interpretar información,relacionada con hechos reales o hipotéticos, utilizando adecuadamente las herramientas de la estadística descriptiva para la correcta toma de decisiones. EVALUACIÓN La asistencia a las sesiones teóricas es obligatoria en un 70% y a los Talleres en el 90%, en caso contrario de no existir justificación alguna por la Sub Dirección Académica de la ETS PNP, el Alumno (a) desaprobará la asignatura. El proceso de evaluación del aprendizaje será permanente, comprenderá: A. Evaluación Diagnóstica o de Entrada para valorar el nivel de conocimiento de la asignatura. B. Evaluación Formativa Interactiva, en relación a la participación activa del Alumno (a) en el aula. El promedio de las intervenciones orales constituirá Nota de Paso Oral. C. EvaluaciónFormativa o de Proceso para comprobar el rendimiento académico, pronosticar posibilidades de desarrollo de los Alumnos (a) y reorientar la metodología, para lo cual se aplicará: 1. Prácticas Calificadas 2. Dos exámenes escritos parciales (8ª y 13ª semana), enmarcados en los modelos de las Pruebas que son propias de la naturaleza de la Asignatura. 12
- 13. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA D. EvaluaciónSumativa para comprobar el nivel de desarrollo cognoscitivo, reflexivo y del pensamiento lógico, para lo cual se aplicará un examen final (17ª semana), de similar característica empleada en los exámenes parciales. E. El Promedio General se calculará en concordancia con las disposiciones establecidas en el Manual de Régimen de Educación de las Escuelas de Formación de la PNP y con la naturaleza de la asignatura, conforme se detalla a continuación: Promedio General: PG = PEP (3) + EO (1) + ETA (2) +EF (4) 10 PEP = EO = ETA = EF = Promedio de Evaluaciones Parciales Evaluación Oral Evaluación de Trabajo Aplicativo Evaluación Final EVALUACIÓN DE ENTRADA Los docentes aplican la evaluación de entrada conforme al anexo 01. (Duración 1 hora) 13
- 14. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA LÓGICA PROPOSICIONAL COMPETENCIA: Desarrolla conceptos y procedimientos de manera lógica y coherente, utilizando el lenguaje proposicional. 14
- 15. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA SESIÓN N°01 proposiciones atómicas o simples y luego evalúa las proposiciones compuestas o moleculares, formadas mediante el uso de los conectivos proposicionales. El cálculo proposicional recurre a símbolos: variables proposicionales, conectivos lógicos u operadores lógicos (constantes lógicas), reglas de formación de expresiones (sintaxis), símbolos auxiliares o signos de agrupación, valores veritativos (valores de verdad). LOGICA La lógica es una ciencia muy importante que sirve de apoyo a la matemática moderna, aunque en la vida diaria, nos ayuda a resolver situaciones que ocurren a nuestro alrededor, como por ejemplo: desentrañar el misterio de un asesinato o determinar la paternidad de un niño. Sin embargo, la lógica no está en lo que acontece, no pertenece al mundo concreto; sino surge de la mente del hombre y refleja cierta estructura y procesos mentales, productos de la creación de la mente humana. ENUNCIADOS Son frases u oraciones que utilizan las palabras “el , ella “ o los símbolos x,y,z ; que pueden ser ecuaciones e inecuaciones. Ejemplos : ¡ Alto ! ¿ Quien anda ahí? Perro que labra no muerde Mi auto nuevo x+3=7 5x + y > 34 “x gira alrededor del sol”. “x es mecánico”. “x + y = 0” “x es número real”. “x es padre de y”. “x > y” No obstante, el conocimiento o saber lógico, no tan solo se usa dentro del campo filosófico o del pensamiento, sino en todas las formas del conocimiento, dado que en todas las áreas se requiere de un ordenamiento de los elementos que implica un razonamiento. Los principios y las reglas de la lógica, se usan en la construcción del buen análisis de un problema específico y nos permiten establecer un orden de las partes a tratar y hacer un razonamiento que nos lleve a establecer un juicio objetivo. Por ejemplo, si necesitas calcular el área de un triángulo, ¿qué harías? PROPOSICIONES Es un enunciado lingüístico aseverativo, libre de ambigüedades, que afirma o niega algo, y que tiene la propiedad de decir de él que es verdadero o falso; pero no ambos a la vez. La proposición lógica es el pensamiento completo que describe algún hecho o aspecto del universo fáctico o formal Ejemplo: P: Lima es capital del Perú () Q :Mozart escribió Trilce ( ) R : 4 + 9 = 13 ( ) Queda pues claro que en la vida diaria del hombre común, así como en el campo de la ciencia, la lógica nos da las herramientas necesarias para argumentar bien. Lógica Proposicional.- Es aquella parte de la lógica formal que estudia a las proposiciones como un todo indiviso, como bloques unitarios, con total abstracción de su estructura interna. No analiza las palabras individuales que componen la proposición. Examina las conexiones lógicas existentes entre las proposiciones consideradas, es decir las conexiones lógicas que existen entre las proposiciones a través de los conectivos lógicos u operadores lógicos. Toma en cuenta su propiedad de ser verdaderas o falsas, evaluando primero las Existen dos tipos proposiciones -Proposición Simple o Atómica: Es aquella proposición que carece de conectivos lógicos u operador lógico. Pueden ser predicativas o relacionales. -Proposición Compuesta o Molecular: Es aquella proposición que tienen conectivo lógico u operador lógico. Los conectivos lógicos u operadores lógicos se representan o 15
- 16. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA e) Cuatro es divisible por 2. denotan así: “” , “”, “”, “”, “”, “”, “”, “”, “” f) g) 7 5 Conectivos Lógicos u Operadores Lógicos OPERACIÓN FÓRMULA LÓGICO p Negación Conjunción pq No p j) Débil pq poq pq Opoq Disyunción Exclusiva Implicación pq Si p entonces q Replicador pq p si q Bicondicional pq p si sólo si q Negación Conjuntiva pq Ni p ni q pq Disyuntiva 3 ………. No p o no q 1) Pizarro jugó, aunque estuvo lesionado. ………………. Binegación x k) Si me pagan en la UNMSM, entonces viajaré al Cuzco. ………. l) José C. Mariátegui es autor de “El artista y la Época” o “Temas de Educación” …….…. m) No es el caso que un número sea divisible entre dos y que no sea par. ………. n) Si a un número par le sumo otro número par, entonces el número resultante es también par. ………. o) ¿Quién es el Rector de la UNMSM? ………. 2. Escribe “C” si es una proposición compuesta o molecular y “S” si es proposición simple o atómica: pyq Disyunción ……….. SIGNIFICADO LÓGICA ……….. h) César Vallejo escribió “Los dados eternos” ………… i) Copérnico es el autor de la teoría heliocéntrica. ………. NOMBRE CONECTIVO Quito es capital de Bolivia. ……….. 2) 9 es múltiplo de 3 y 12 es múltiplo de 2 y 3. …………….. 3) La paz engrandece a los hombres. ……………….. Nota: 4) Nací en el Perú, entonces amo a mi país.………………… El conectivo lógico “” es un operador para la “negación conjuntiva”, llamada también “Binegación”. 5) La I.E. Miguel Grau es buena. ………..……….. El conectivo lógico “” es un operador para la 6) La honradez es un gran valor y la verdad “Binegación disyuntiva”, también se le llamada también lo es. “Negación alternativa”, o “Incompatibilidad”. ……..….………. 1. Escribe “e" si es un enunciado y “p” si es proposición en: a) 3 es mayor que 2. ………. b) ¡Viva el Perú! ………. c) Prohibido hacer bulla. .……… d) 5 < 6 ……….. 16
- 17. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA CONECTIVOS LÓGICOS O bien .... o bien .... a menos que .... La lógica considera una clase de objetos llamados enunciados elementales o proposiciones elementales y tres términos de enlace ( no, y , o ) llamados conectivos lógicos que al aplicarlos a las proposiciones elementales forman nuevos enunciados llamados proposiciones compuestas. .... salvo que ...... Su tabla de verdad es: p V V F F Regla Metalógica de laconjunción: “Sólo es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas. Es falsa en todos los demás casos”. Se le simboliza:"pΛ q", y se lee: "p y q". p q V V V F F V F F p a la q V F F F q F V V F Si ..p.. entonces ..q… Si ..p.. , ..q.. Cuando .......p............. , ......q.. Siempre ......p............. , ....q.. Es condición suficiente..p..paraque..q.. Es condición necesaria...q..paraque..p.. .........q........ sólo si ......p....... q : Juan juega fútbol. p Λq : Carlos juega fútbol y Juan juega fútbol. Su tabla de verdad es: p q V V V F F V F F Regla Metalógica de la disyunción Débil “Es verdadera, en todos los casos, excepto, cuando ambas proposiciones atómicas son falsas.” Se le simboliza: "p V q", y se lee: "p o q”. Palabras conectivas: o p q V F V V Ejemplo: p: Ana es estudiosa. q: Ana aprobó el examen de aritmética. p q: Si Ana es estudiosa entonces aprobó el examen de aritmética Otras palabras que equivalen al condicional son: porque, puesto que, si cada vez que, etc. Su tabla de verdad es: p Palabras conectivas: Ejemplo: p : Carlos juega fútbol. p q V V V F F V F F V F V F p Regla Metalógica del Condicional o Implicación: “Sólo es falsa, cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En todos los demás casos es verdadera.” Se le simboliza “p q”, y se lee: "si p entonces q”,“implica que". Palabras conectivas: y, aunque, pero, mas, también, sin embargo, vez,además, etc Su tabla de verdad es: q q V V V F Regla Metalógica del Replicador.“Sólo es falsa, cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En todos los demás casos es verdadera.” Ejemplo: p: José es futbolista q: José estudia francés p v q : José es futbolista o estudia francés Regla Metalógica de la Disyunción Fuerte: “Sólo es verdadera, cuando sólo una de las proposiciones atómicas es verdadera. En todos los demás casos es falsa.” Se simboliza: “,” , p q V V V F F V F F Palabras conectivas: O ......... o ..... 17 p q V V F V
- 18. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA PROBLEMAS PROPUESTOS Regla Metalógica del Bicondicional o Biimplicación: “Sólo es verdadero, cuando ambas proposiciones atómicas son verdaderas o ambas son falsas. En los demás casos es falsa”. Se le simboliza: "p q"; y se lee: “p si y sólo si q, “cuando y solo cuando". 01. Señale verdadero (V) o falso (F): ( ) Basta que el antecedente sea falso para que la proposición condicional sea falsa. ( ) Una proposición bicondicional es verdadera solamente cuando sus dos componentes son p pp q q V F F V q V V V F F V F F verdaderas. A) VV B) VF C) FV D) FF E) No se puede determinar 02. Señale verdadero (V) o falso (F): Ejemplo: p: Carla estudia ingles q: Carla viaja al extranjero p q: Carla estudia ingles si y solo si viaja al extranjero. Palabras conectivas:si y sólo si; cuando y sólo cuando; es equivalente a; es condición suficiente y necesaria para; entonces y solamente entonces. etc.: ( ) Solamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, la proposición condicional es falso. ( ) Basta que el consecuente sea verdadero para que la proposición condicional sea verdadera. A) FV La negación: “Si p es verdadera, p es falsa; y viceversa”.Dada una proposición p, se denomina la negación de p, a otra proposición denotada por ~ ó , a la cual se le asigna el valor de verdad opuesto al de p. C) VV D) VF 03. Señale verdadero (V) o falso (F): ( ) “Si y sólo sí” es una conectiva bicondicional ( ) Basta que uno de los componentes de una proposición conjuntiva sea verdadero, para que la proposición conjuntiva sea verdadera. Su tabla de verdad es: p V F B) FF E) No se puede determinar A) VV B) VF C) FV D) FF E) No se puede determinar p F V 04. Es una proposición que admite el valor V sólo cuando las dos proposiciones componentes son verdaderas: A) Conjunción B) Disyunción débil C) Disyunción fuerte D) Implicación E) Negación Ejemplo: p: Lima es capital del Perú. ~ p: Lima no es capital del Perú. Las palabras: no es verdad que, es falso que, no ocurre que, etc. equivalen a una negación 05. Es una proposición en la cual basta que una de las proposiciones sea verdadera, para que toda ella sea verdadera A) Conjunción B) Disyunción C) Bicondicional D) Implicación E) Negación 06. Es una proposición que es verdadera sólo cuando las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad. 18
- 19. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA A) Disyunción B) Bicondicional C) Conjunción D) Implicación E) Negación A) VVVV B) VVFF D) FVFF C) VFVF E) FFF 12. Si la proposición compuesta: ( p q) (r V t ) es falsa Indicar las proposiciones que son verdaderas: 07. Es un proposición que es falsa sólo cuando forman la combinación V y F, en ese orden. A) p y r B) p y q C) r y t A) Disyunción B) Bicondicional C) Conjunción D) Implicación determinar, ¿Cuáles de las proposiciones son E) Negación falsas? D) q y t E) p; r y t 13. Si la proposición: ( p q) A) p y q 08. Dada la proposición : “Si estudio triunfo. Estudio, B) p y r C) p; q y r D) q y r r, es falsa, E) r y q por lo tanto triunfo”. Corresponde a un esquema: A) Tautológico B) Consistente C) Contradictorio D) Indeterminado E) Falso 14. Los valores de verdad de las proposiciones p, q, r y s son respectivamente V, F, F, V. Obtener los valores de verdad de: ( ) [(p V q) V r ] s ( ) r (s q) ( ) (p V r) (r s) 09. Dada la proposición: “Si llueve, el suelo se moja”. A) VFF C) FFF Los valores de la matriz principal de su tabla de verdad son: A) FVFV B) VFVF C) VVVV D) VFVV E) FFVV 02 10. Si la proposición : “No es cierto que, estudiemos y no aprobemos”, es verdadera, entonces podemos afirmar. A) Aprobamos y no estudiamos B) Estudiamos o aprobamos C) Estudiamos o no aprobamos D) Aprobamos o no estudiamos E) Estudiamos y aprobamos 11. Si se sabe que: p r es F r q es V q V t es F Determine los valores de verdad de p, q, r y t 19 B) VVV D) FVV E) VVF
- 20. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA EXPRESIONES DE LA LENGUA ESPAÑOLA EQUIVALENTES A LOS CONECTIVOS LÓGICOS EXPRESIONES DE LA LENGUA ESPAÑOLA EQUIVALENTES AL CONECTIVO LÓGICO UN OPERADOR LÓGICO “” 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. No A Nunca A Jamás A Tampoco A Es absurdo que A Es imposible que A No ocurre que A No es verdad que A Es inadmisible que A No acaece que A No es innegable que A Es erróneo que A Es incierto que A De ninguna forma se da que A No es el caso que A No es cierto que A Es Inconcebible que A Es mentira que A 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. Es incorrecto que A Es falso que A Es negable que a. Es refutable que A Es objetable que A En modo alguno A En forma alguna A De ningún modo A De ninguna manera A. Nunca sucede que A Bajo ninguna condición A No siempre que A No es inobjetablemente cierto que A No es innegable que A Nadie que sea A No es que A. No se da la posibilidad que A No es inobjetable que A Ejemplos de proposiciones con el conectivo lógico de negación “”. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) Es absurdo que el Edgar patee con las dos piernas. No es cierto que el cuadrado sea un polígono. Francisco Pizarro nunca descubrió América. Nunca Francisco Pizarro descubrió América. De ningún modo iré a tu casa. Es inadmisible que 3 + 3 = 9. No es verdad que toma refrescos. Es objetable que salga a pasear. Es falso que tenga dinero. Es inconcebible que Martín salda desaprobado. En modo alguno los ofidios poseen extremidades. En forma alguna los peces son anfibios. No hay cumplimiento de leyes. No ocurre que María canta. No acaece que el carro es blanco. No es el caso que Luís sea propietario del computador. 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 20 Es irrefutable que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 360 grados. Es mentira que en el Perú hay democracia. Jamás vayas al cine en la mañana. Es imposible que existe vida en el planeta Venus. Es incorrecto que 2 + 3 = 10. Es erróneo que 16 = 9. Nunca sucede que los peces no nadan en el aire. Es incierto que los alumnos de primaria ingresan a la universidad. Es innegable que las ballenas tengan extremidades. No es innegable que ballenas sean ovíparas. De ninguna forma se da 5<2. No es inobjetable cierto que el elefante no demora 20 meses para nacer. No es falso que sea imposible que el pulpo sea un molusco. Tampoco el elefante demora 20 meses para nacer.
- 21. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA EXPRESIONES DE LA LENGUA ESPAÑOLA EQUIVALENTES AL CONECTIVO LÓGICO U OPERADOR LÓGICO “” 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) AyB A también B A asimismo B A así mismo B A del mismo modo que B A aunque B A sin embargo B Cierto A lo mismo que B A así como B A igualmente B Así como A, B A pero B A al igual que B A tal como B A no obstante B No sólo A también B No sólo A sino también B Que A es compatible con que B A incluso B A a la vez B 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35) 36) 37) 38) 39) 40) A a la vez también B A al mismo tiempo que B A y al mismo tiempo B A de la misma manera B. Simultáneamente A con B. A tanto como B. A además B A es compatible con que B. A aún cuando B A empero B A sino B Si A e incluso B A a pesar de B Aún cuando A , B A B Tanto A como B Tanto a como cuando B Tomar A como cuando B A , B también Siempre ambos A con B A vemos que también B Ejemplos de proposiciones con el 13) conectivo lógico de conjunción “ Gustavo es profesor tanto como artista. 14) Claudia ingreso a la universidad al 1) Juan y Luís son deportistas. 2) Es verano sin embargo hace frío. mismo tiempo que José ingresó a 3) Juan es médico y deportista. la marina. 4) La batalla ha terminado aunque la 15) El sueldo mínimo equivale a S/. guerra continúa. 6) Roxana no sólo bailo sino también hacen esfuerzos para cantó. 5) 600, no obstante las familias más dinero. Grau fue un héroe, 16) Bolognesi El sol es una estrella además un planeta. también. 7) 8) No 17) Lidia es muy sensual pero inocente. sólo conseguir es aplicado primo. también 18) bondadoso. 9) No sólo el número dos es par sino también número primo. No sólo es sabio, también bueno. 10) El número dos es par, también es No sólo Pedro sino también Luís 19) La boa es un ofidio al igual que carece de extremidades. estudian. 12) Que Pedro estudia es compatible 20) Así como trabajas, te alimentas. con que Ana estudia. 11) 21) Te alimentas así como trabajas. Tanto Pedro como Ana estudian. 22) Te alimentas así mismo trabajas. 21
- 22. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA SESIÓN N° 02 Tabla de verdad contradictoria Una fórmula proposicional es contradictoria cuando los valores de verdad del operador lógico LAS TABLAS DE VERDAD principal cualquier proposiciones número compuestas finito para construyendo sus p V V V V F F F F obtener tablas de verdad; en tales tablas se indican los valores resultantes - de estas proposiciones compuestas para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de sus proposiciones componentes. proposición compuesta siguiente: p (p Λ q) q ( ~p V q) p V V V V F F F F ( ~p V q) CLASIFICACION DE LOS ESQUEMAS MOLECULARES [(pq) r q] q r VV V F F V F F V V V F F V FF p q (r p) V F V F F V V F V F V F V F F V V F V F V VVVV V F FF V F VVVV F V F F V Evaluación de fórmulas mediante tablas de verdad Tabla de verdad tautológica, Una fórmula proposicional es tautológica cuando los valores de verdad del operador lógico principal contiene sólo valores verdaderos. Ejemplo: p q r q r [p(q r)] [qr p] V VFFF V VV F FFV VV VF F FF V VV FV F FF V VV FF F V FF V F VV V F FV FF VF V F F V F F FV V F F V FF FF Tabla de verdad contingente Una fórmula proposicional es contingente cuando los valores de verdad del operador lógico principal contiene valores verdaderos y valores falsos. Por ejemplo, la tabla de verdad de la (p Λ q) valores de otras cuyos valores de verdad pueden ser conocidos sólo falsos. Ejemplo: Utilizando los conectivos lógicos se pueden combinar contiene Evaluar una fórmula mediante las tablas de verdad consiste en obtener los valores de verdad (V y F) del operador lógico o conectivo lógico r p principal de la fórmula, a partir de V V V V F F F F VV V F F V F F V V V F F V FF V V F F V V V V F FF V VVF F VVVVV F V F FF V F V V F F F V F FVF V F F FF V VVVV VVVVVVVV V F V FVVVV F V F FVVVV todas las opciones de verdad o falsedad que tiene cada una de las variables proposicionales. 22
- 23. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA PROBLEMAS APLICACIÓN Numero de opciones o combinaciones de las tablas de verdadsegún el número de variables proposicionales 1. Sean p: “José es estudioso ” , y q: “él es alto ”. Escribir las siguientes proposiciones en forma simbólica, con p y q: a) José es estudioso y es alto. ………………. b) José no es estudioso o no es alto. ………………. c) No es verdad que José es bajo o estudioso. ………………. d) Es falso queJosé es alto o que es estudioso. ……………….. e) José es alto, pero no es estudioso. ………………. VARIABLES PROPOSICIONALES 1 2 3 4 …… 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 …… p p q p q r p q r s V V V V VV V VVV F V F V V F V VV F F V V FV V V F V F F V FF V V F F F VV V F V V F VF V F V F F FV V F F V F FF V F FF F V VV F V V F F V F V F V F F F F V V F F V F F FF V F FFF 2. Simbolizar: "José estudia y trabaja, pero practica fútbol" a) b) c) d) e) Ejercicio 1. Evaluar la fórmula: 3. Simbolizar: "No es cierto que, Rubén canta y toca cajón" p qq r p q r V VV V V F V F V V F F F V V F V F F F V F FF p qq r F F V F V F FV F F V F FFV F F F V VF V VV F F V VF V V F V V F FV F F V V V F FV F V F F V VVF V VV F V VVF VV F a) b) c) d) e) ~ p q ~p V q ~p ~ q ~(p q) p V ~q 4. Simbolizar: "No es el caso que, hace frío y no se congele" a) ~(p ~ q) b) ~p ~ q c) p ~q d) ~p V ~ q e) ~(p V ~q) Ejercicio 2. Evaluar la fórmula: (pq)(qr p q r V VV V V F V F V V F F F V V F V F F F V F FF (p q) r p (q r) pq p q r (p q) r (p q) (q r V VVV F V VVVV V V F V F V V F F V F F V V F F F V VV V V F V F V V F F V 5. Simbolizar: "Es falso que si el ciclotrón bombardea al átomo, entonces no se acelera la velocidad de los protones". a) ~p ~q b) ~p q c) ~(p ~q) d) ~p q e) (p ~q) f) 23
- 24. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 6. Sean p “ el es estudioso ” , y q “ el es alto ”. Escribir los siguientes enunciados en forma simbólica con “ p y q “. a) El es estudioso y es alto p Λ q b) El no es estudioso o no es alto -p v-q c) No es verdad que el es bajo o estudioso p v q d) Es falso que es alto o que es estudioso –p v – p e) El es alto pero no es estudioso b) f v f f c) v vvv d) v f v v 12. De la falsedad de: ( p ~ q ) V ( ~ r ~ s), se deduce que: a ) ~ (~ q V ~ s) ~ p b ) ~ (~ r s) ( ~ p ~ q) c) P ~ [ q ~(s r ) ] Son respectivamente : a) f f v b) v v f c) v f f d) v f v e) f ff 13. Si ( p ) = V ( ~ q) = F (r) =V Determinar el valor de verdad o falsedad a ) [ ( p q ) ( ~ r V q ) ] ~ q b) [ ( ~ p r ) ( q V p ) ] c) [ ( p r ) V x ] ( ~ q ~ r ) 7. Completa : a) V v F = V b) F vF = F c) V V= V d) F Λ F = F e) V F=F f) F V V= V g) V Λ V= V h) F V=F i) F V=V j) V Λ F= F 8. Si la proposición es verdadero, hallar el valor de cada variable en: ~ [ ( ~ p y q) ( ~ r ~ s) ] a) b) c) d) 14. Si se sabe que : S p = V,r s = F , q p f Determinar el valor de los siguientes diagramas: a) ( ~ r q) ( s p ) b) [ ( p V ~ s) r ] ~ r c) ( p ~ q ) V ( ~ r ~ s ) f fff fvvf fvfv vvff 9. Se sabe que la negación de : P ( ~ q V r ) ; e s verdadera , entonces el valor de verdad de: ( q r ) { ( q r ) t } e s : Obs. T no esta definida a)V b)F c) VóFd)NA 15. Si la negación de la siguiente formula lógica es verdadera , hallar los valores de verdad de cada uno de ellos. ~{( p s ) [ ( p r ) V ( ~ qs)] } a) f fff b) f v v f c) f v f v d) v v f f e) v f ff 10.Los valores de verdad de p,q, r son : ~[(~ p V q) V ( r q)] [ ( ~pV q) ( q ~ p)]si el enunciado es verdadero a) f f v b) v v f c) v f f d) v f v e) f ff 16. Mediante la aplicación de las reglas metalógicas de los operadores o conectivos lógicos y el uso de tablas de verdad ejecute la evaluación de las fórmulas lógicas siguientes: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 11. Si la proposición ( p ~q) ( r ~ s) es falsa , el valor de verdad de las proposiciones : q , p , r , s respectivamente son a) f v vv 24 pq pq pq p q pq r p q r)
- 25. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA (p q) (r s (p q) r {[p r q] r s} q {[ p s q] r q} [( p ( r s] 11) [(pq) (pr) (p p)] [(q s] 12) {[(p q) (r s)] (p s)} ( r q) 7) 8) 9) 10) A) C, T, C B) T, C, T C) T, T,T D) C, C, C E) C, C,T 26) Hallar la tabla de verdad de : (p q) (q V p) A) VVFF D) VFFF {[(p q) (r s)] (p vs)} ( r q) {(p q) [ p(q r)]}(r p) (p q) (r s) [(p q) q] p [(p q r] r [(pq) q r)] (p r) [(pq) q r)] (p vr) p (q r) 21) Evalúe el siguiente esquema: pq. El 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) B) VVFV C) VFFV E) VVVF 27) Si : [(p q) (p p)] [(r s) q] Es verdadera, cuáles son los valores de p, q, r, s respectivamente. A) VFFF D) FVVV esquema es de tipo : A) Contradictorio B) Consistente C) Tautológico D) Indeterminado E) B y D B) VFVV C) FVFF E) Sin solución 28) Si se sabe que: [(p r) q] [(p V p) V (p q)] es verdadera, hallar los valores de p,q,r A) VVV B) FFF C) FVF D) VFV E) No se determina 22) Simplificar: (p q) ( q V p) a. b. c. d. e. 29) Si la proposición: [(p q) (p V w)] s es falsa, se afirma que la siguiente proposición: [s V( p W) ] V (p q) es: A) Verdadera B) Falsa C) No se afirma nada D) Toma ambos valores de verdad E) Faltan datos Tautología Contradicción Contingencia p q 23) Sea el esquema: (A V correspondiente es: 1. VVVV 2. Consistente 3. VFVV 4. Contradictoria 5. Tautológica. Son ciertas: A) 2 y 3 D) 2 y 4 B), la matriz 30) Si la siguiente proposición compuesta es falsa: ( p q) (q r) Luego: I. (p q) no es falsa II. q V s es verdadera III. q p es verdadera B) 1 y 5 C) Sólo 4 E) Sólo 5 Son ciertas: A) I y II C) II y III 24) Si la proposición: (p q) (r s] es falsa, el valor de verdad de q, p, r, s ( en ese orden es) A) FVVV B) I y III D) Todas E) Sólo II 31) Si la proposición: ( p q) (p r) es verdadera B) VVVF C) VFVV D) FVFF E) VVFF ¿Cuántas son verdaderaS? I. ( s r) ( p V s) II. (s q ) (p V r) III. ( q r) V ( p r) 25) Determine si las siguientes proposiciones son tautologías o contradicciones. I. ( r s) ( r s) II. [(p V q) p] p III. (pq)[(pq)(pVq)p] A) Sólo I D) I y III 25 B) Sólo II C) I y II E) Todas
- 26. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA LEYES LÓGICAS O TAUTOLOGÍAS I. LEYES LÓGICAS O TAUTOLOGÍAS [(p q) (q r)] (p r) Ley Lógica.- Fórmula formalmente válida, es decir, fórmula lógica verdadera independiente de la asignación de los valores de verdad a sus variables. También se le denomina tautología. Las leyes lógicas no deben ser confundidas con las reglas de inferencia, ya que éstas pertenecen al metalenguaje del cálculo DEL BICONDICIONAL [(p q) (q r)] (p r) 5. LEY DEL DILEMA CONSTRUCTIVO [(p q) (r s) (p r)] (q s ) Características fundamentales de la ley lógica: 6. 1)La ley permanece al plano teórico; 2) Su enunciado es susceptible de verdad o falsedad; 3) Se expresa en el interior del cálculo lógico; 4) Su expresión es un enunciado lógico; 5) La ley pertenece al lenguaje lógico. 6) La ley usa los functores o conectivos u operadores lógicos. Fuente: "http://symploke.trujaman.org/index.php ?title=Ley_l%F3gica" “Introducción a la Lógica de Bernardo Rea Ravello” [(p q) (r s)( q s)] ( p r) 7. LEY DEL MODUS PONENDO PONENS O MODUS PONENS [(p q) p] q 2. LEY DEL MODUS TOLLENDO TOLLENS O MODUS TOLLENS [(p q) q] p 3. LEYES DEL MODUS TOLLENDO PONENS O SILOGISMO DISYUNTIVO [(p q) p] q [( p q) q] p 4. LEY DEL DILEMA SIMPLE [(p r) (q r) (p q)] r LEYES LÓGICAS IMPORTANTES 1. LEY DEL DILEMA DESTRUCTIVO LEYES DE TRANSITIVIDAD O SILOGISMO HIPOTÉTICO DEL CONDICIONAL 26
- 27. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA a. La regla se sitúa en el plano práctico, dice cómo debe hacerse una operación deductiva. b. Su enunciado es normativo, prescriptivo, y, por eso, la regla puede ser buena o mala, útil o inútil, eficiente o deficiente. c. Se expresa al exterior del cálculo, justifica, garantiza la legitimidad o validez de la deducción. d. Su expresión es enunciado metalógico. e. La regla pertenece al metalenguaje. f. La regla menciona los functores u operadores lógicos. A toda ley lógica le corresponde su respectiva regla lógica. SESIÓN 03 EL RAZONAMIENTO DEDUCTIVO 1. Leyes Lógicas.- Son fórmulas lógicas cuyas tablas de verdad tienen por resultado únicamente valores de verdad “verdaderos”. También se les denomina “tautologías”. Las características fundamentales de las leyes lógicas son: a. La ley permanece en el plano teórico. b. Su enunciado es susceptible de verdad o falsedad. c. Se expresa en el interior del cálculo (pertenece al cálculo mismo). d. Su expresión es un enunciado lógico. e. La ley pertenece al lenguaje lógico (lengua lógica proposicional). f. La ley usa los símbolos, functores u operadores lógicos. 3. Las Argumentaciones Por argumentación entenderemos una expresión lingüística que presenta o representa un razonamiento. Un razonamiento es un sistema de proposiciones (dos o más) en el que una de ellas, llamada conclusión, se pretende que esté fundada en o se infiera de la/s otra/s, llamada/s premisa/s. Un razonamiento deductivo es un sistema de proposiciones (dos o más) en el que se pretende que una de ellas, llamada “conclusión”, se infiera o derive con el carácter de necesidad de la/s premisa/s. La argumentación puede ser inductiva o deductiva, de acuerdo al tipo de razonamiento. Por consiguiente, la argumentación es un sistema de proposiciones. 2. Reglas de Inferencia.- Son normas, prescripciones, licencias que indican como debe hacerse la operación de deducción, al mismo tiempo que justifica, garantiza la legitimidad o validez del acto llamado “operación deductiva” o “inferencia.” Razonamiento Deductivo u operación de deducción es aquella operación que consiste en que dadas ciertas proposiciones, llamadas “premisas” se obtenga, se infiera, se derive se deduzca con el carácter de necesidad una proposición, llamada “conclusión.”, es decir, se pretende que una de ellas, llamada “conclusión”, se infiera en forma necesaria de la/s premisa/s. Una deducción es una secuencia de enunciados, los cuales pueden ser o bien premisas o bien se han obtenido de la aplicación de un conjunto de reglas de inferencia a enunciados anteriores. Las características fundamentales de las reglas lógicas son: La lógica es una ciencia eminentemente deductiva, por eso sólo tiene en cuenta los razonamientos deductivos. Estos se basan en fundamentos comprobados o aceptados como postulados primordiales. Una argumentación deductiva tendrá siempre un esquema, estructura o forma implicativa o condicional, en símbolos: AB, es decir, sus principales componentes-antecedente (premisa/s) y consecuente (conclusión)están unidos o enlazados por el conectivo lógico “”. 27
- 28. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA Ejemplo de un razonamiento deductivo: “El ladrón entró por la puerta o la ventana. Por la puerta no entró, como lo ha demostrado la investigación policial. Por lo tanto, el ladrón entró por la ventana.” siguientes ejemplos ilustran los dos tipos de expresiones derivativas. Ejemplo 1. “El ladrón entró por la puerta o por la ventana. Por la puerta no entró, como lo ha demostrado la investigación policial. Por lo tanto, (expresión derivativa que se antepone a la conclusión) el ladrón entró por la ventana.” Los componentes del razonamiento deductivo dado son: Tomando el razonamiento deductivo del ejemplo dado, líneas arriba, procedemos a formalizarlo como fórmula lógica, teniendo como resultado la fórmula de la lógica proposicional: [(p q) p] q), Premisa 1: El ladrón entró por la puerta o por la ventana. que es una ley lógica (tautología) denominada “Modus TollendoPonens o Silogismo Disyuntivo.” Premisa 2: Por la puerta no entró./ Conclusión: Por lo tanto, el ladrón entró por la ventana. Este conjunto de proposiciones, formalizadas, también podemos verlas o percibirlas como una representación del argumento o razonamiento deductivo dado. Formalizando el razonamiento deductivo, dado, tenemos: Los componentes de los razonamientos deductivos son las premisas (proposiciones que implican a la conclusión), la conclusión (proposición implicada por las premisas) y las expresiones derivativas. Las expresiones derivativas tienen por objeto indicar cuál es la conclusión y cuáles son las premisas. No siempre figuran en los razonamientos, algunas veces están implícitas. Son de dos tipos: las que se anteponen a la conclusión, como “luego”, “por tanto”, “por consiguiente”, etc., y las que se colocan después de la conclusión, antepuestas a alguna de las premisas, como “ya que”, “puesto que”, “dado que”, “como” y otras. Premisa 2: Premisa 1: pq __ p / Conclusión: q La regla lógica “Modus TollendoPonens o Silogismo Disyuntivo” prescribe lo siguiente: “A partir de una disyunción débil y la negación de uno de sus disyuntivos es legítimo inferir u obtener el otro disyuntivo”, de esta manera justifica, garantiza la legitimidad o validez de la operación de deducción. Es decir, este conjunto de proposiciones están relacionadas de modo tal, que la proposición, llamada conclusión: “El ladrón entró por la ventana.” Está fundada o se infiere de las otras dos proposiciones, llamadas premisas. En éste caso, la regla lógica del modus tollendoponens o silogismo disyuntivo, nos autoriza, nos prescribe ha inferir u obtener la conclusión: “El ladròn entró por la ventana.” En símbolos: Un signo lógico que hace las veces de las expresiones derivativas (que separa a las premisas de la conclusión) es una barra “ _______/“ que se coloca después de las premisas encolumnadas, al lado derecho se escribe la conclusión. A B, En los ejemplos que siguen a continuación se podrá observar la barra, que hace las veces de las expresiones derivativas. Los _A__/ B . 28
- 29. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA Ejemplo 2. “El agua hervirá, dado que (expresión derivativa que se coloca después de la conclusión) si la temperatura está a 1000 C entonces el agua hervirá. La temperatura está a 1000 C” Al formalizarlo, tenemos como resultado la fórmula lógica proposicional q [(pq) p], que es una ley lógica (tautología) denominada “Ley Lógica del Modus PonendoPonens.” Procedemos a reestructurar el razonamiento deductivo dado, para obtener un razonamiento deductivo equivalente, tal como: “Si la temperatura está a 1000 C entonces elagua hervirá. La temperatura está a 1000 C. Por consiguiente, el agua hervirá.” Este sistema de proposiciones formalizadas, equivalente al sistema de proposiciones inicialmente dado, también podemos verla o percibirla como una representación del argumento o razonamiento deductivo dado. Los componentes, reestructurados, de éste razonamiento deductivo son: Premisa 1: Si la temperatura está a 1000 C entonces el agua hervirá. orazonamiento deductivo, dado. Los componentes, reestructurados, de éste razonamiento deductivo son: Premisa 1: Si hace calor, Juan va a la piscina. Premisa 2: Si Juan va a la piscina, arregla la casa después de almorzar. Conclusión: Luego, si hace calor, se arregla la casa después de almorzar. Formalizando el razonamiento deductivo, dado, tenemos: Premisa 1: p q. Premisa 2: q r/ Conclusión: p r. La regla lógica, “Silogismo Hipotético o Transitividad”, prescribe lo siguiente: “A partir de dos condicionales, donde el consecuente del primero es el antecedente del segundo es legítimo inferir el condicional formado por el antecedente del primero y el consecuente del segundo” Premisa 2: La temperatura está a 1000 C./ Conclusión: Por consiguiente, El agua hervirá. Formalizando el razonamiento deductivo, dado, tenemos: Premisa 1: p q. Premisa 2: _p_____/ Conclusión: q. La regla lógica, “Modus PonendoPonens”, prescribe lo siguiente: “A partir de un condicional y la afirmación de su antecedente es legítimo inferir su consecuente.” ¿Cuándo un conjunto de proposiciones no es un razonamiento deductivo? Cuando no hay ninguna proposición, de las dadas, que se afirme sobre la base de las otras. Tomemos como ejemplo las proposiciones siguientes: “Llueve mucho. Será mejor que no salgamos. Podemos postergar la excursión para mañana.” Efectuando la formalización se tiene la siguiente fórmula: p q r. Si bien estas proposiciones están relacionadas en cuanto al contenido, no hay ninguna que se afirme sobre la base de las otras. En consecuencia, no se trata de un razonamiento deductivo. Ejemplo 3. “Si hace calor, Juan va a la piscina. Si Juan va a la piscina, arregla la casa después de almorzar. Luego, si hace calor, se arregla la casa después de almorzar.”Procedemos a formalizarlo como fórmula lógica, teniendo como resultado la fórmula de la lógica proposicional [(pq) (q r)] (pr), que es una ley lógica (tautología) denominada “Ley Lógica Silogismo Hipotético o Transitividad” Este conjunto de proposiciones, formalizadas, también podemos verlas o percibirlas como una representación del argumento Conclusión y premisas son términos relativos. Una misma proposición puede ser premisa en un razonamiento deductivo y conclusión en otro. Esta circunstancia origina cadenas de razonamientos deductivos. 29
- 30. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA PROBLEMAS LÓGICOS 9. Si Gabriel es un alumno-policía que práctica buenos hábitos, será un policía disciplinado y responsable. Gabriel es un alumno-policía que práctica buenos hábitos. SOBRE RAZONAMIENTOS DEDUCTIVOS A. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL MODUS PONENDOPONENS [(p q) p] q 10.Si hay igualdad de oportunidades, hay justicia social. Hay igualdad de oportunidades. Dadas las premisas infiera o derive una conclusión. 11. Si las computadoras bajan de precio, las personas se educaran. Las computadoras bajan de precio. 1. Si Venus es un planeta entonces Venus brilla con luz refleja. Venus es un planeta. 2. Si son las cinco, la oficina está cerrada. Son las cinco. 3. Si Juan va a la Unión, se encuentra con Pedro. Juan va a la Unión. 4. Si llovió anoche, las pistas están mojadas. Llovió anoche. 5. Si voy de paseo, me encuentro con Ana. Voy de paseo. 6. Si la policía hace patrullaje urbano, captura a los delincuentes. La policía hace patrullaje urbano. Resolución Formalización: (p qp 12. Dado que los objetos caen, existe gravedad. Los objetos caen. 13. Si Luís no ha pasado de año, no viaja a la Argentina. Luís no ha pasado de año. 14. Si el papel de tornasol se vuelve rojo, la solución es un ácido. El papel de tornasol se vuelve rojo. 15. Si el satélite entra en órbita, el proyecto espacial será un éxito. El satélite entra en órbita. Razonamiento P1: p q P2: p_____/q: La policía captura a los delincuentes. B. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL MODUS TOLLENDO TOLLENS [(p q) q] p Regla lógica utilizada para hacerla inferencia: Modus PonendoPonens. 7. Si el Atestado Policial prueba que estafaste, serás privado de tu libertad. El Atestado Policial prueba que estafaste. Resolución Formalización: (p qp Dadas las premisas infiera o derive una conclusión. Razonamiento 2. 1. P1: p q P2: p_____/q: serás privado de tú libertad Regla lógica utilizada para hacerla inferencia: Modus PonendoPonens. Dado que los objetos caen entonces existe gravedad. No es cierto que los objetos caén. Si es estrella, ese astro tiene luz propia. Ese astro no tiene luz propia. Resolución Formalización: (p q (q) Razonamiento P1: p q 8. Si los terremotos son fenómenos naturales, los terremotos obedecen a leyes físicas. Los terremotos son fenómenos naturales. P2: q _____/p: no es estrella. Regla lógica utilizada para hacerla inferencia: Modus TollendoTollens. 30
- 31. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 3. C. Si llueve, la ropa se moja. La ropa no se moja. Resolución Formalización: (p q (q) Razonamiento APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL MODUS TOLLENDO PONENS O SILOGISMO DISYUNTIVO [(p q) p] q [( p q) q] p P1: p q P2: q _____/p: no llueve. Dadas las premisas infiera o derive una Regla lógica utilizada para hacerla inferencia: Modus TollendoTollens. conclusión. 1. 4. Si Carlos no viaja a Tumbes, no se encontrará con Gabriel. Carlos se encontró con Gabriel. 5. Si Juan no ésta en clase entonces está de servicio. Juan no está de servicio. 6. Si Pedro compró el libro entonces es propietario del libro. Pedro no es propietario del libro. 7. Me llamo Julio o Jorge. No me llamo Julio. 2. No viajo a Trujillo o no viajo a Arequipa. Viajo a Arequipa. 3. El policía viajó en auto o avión. El policía no viajó en avión. 4. Las Fuerzas Operativas de la Policía Nacional del Perú van al Estadio Nacional o al Mercado de Santa Anita. Las Fuerzas Operativas de la Policía Nacional no van al Estadio Nacional. 5. Maria juega Voley o Básquet. Maria no juega básquet. 6. El paciente tiene sarampión o tifoidea. El paciente no tiene sarampión. 7. En Piura llueve o hace calor. En Piura no llueve. 8. El sol es estrella o satélite. El sol no es satélite. 9. En Irak hay guerra o paz. En Irak no hay paz. 10. Fujimori será extraditado o liberado. Fujimori no será liberado. 11. Los funcionarios policiales trabajan con hipótesis o refutaciones de hipótesis. Los funcionarios policiales no trabajan con refutaciones de hipótesis. Si un objeto flota en el agua entonces es menos denso que el agua. No es menos denso que el agua. 8. Si eres bondadoso y honrado, serás premiado. No serás premiado. 9. Si = 1500 entonces Sen = ½. Sen ½. 10. Si Víctor es un graduado universitario entonces Víctor no es mecánico. Víctor es mecánico. 11. Teniendo en cuenta que hace frió, bien se ve que la gente se abriga. La gente no se abriga. 12. Si hoy es día de pago, iré de compras. No iré de compras. 13. Si Pedro se encuentra en casa, la luz está encendida. La luz no está encendida. 14. Si vienes, me voy. No me voy. 15. Si estudio lógica matemática, mejoro mi razonamiento deductivo. No mejoro mi razonamiento. 16. Si son las siete de la mañana, el avión partió. El avión no partió. 12. El reo es culpable o inocente del delito que se le imputa. El reo no es inocente del delito que se le imputa. 13. 13. El ladrón entró por la puerta o la ventana. Por la puerta no entró, como lo ha demostrado la investigación policial. 14. Maritza se dedica a la función policial o se dedica a la función jurisdiccional. Maritza no se dedica a la función jurisdiccional. 15. El accidente de tránsito fue causado por ebriedad del chofer o falla mecánica del 31
- 32. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA vehículo. El accidente de tránsito no fue causado por falla mecánica, de acuerdo a la investigación policial. alarma. Si el cajero aprieta el botón de alarma, la patrulla policial interviene a los ladrones. D. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DE SILOGISMO HIPOTÈTICO O TRANSITIVIDAD 5. Si el Gobierno está a favor de las nacionalizaciones de las empresas, está en contra de la empresa privada. Si el Gobierno está en contra de la empresa privada, es comunista. 6. Si Bertrand Russell fue neopositivista, conformó el Circulo de Viena. Si conformó el Circulo de Viena, confiaba en la Lógica Simbólica. 7. Si Luisa obtiene buenas notas, le dan una beca. Si le dan una beca, viaja a Colombia. 8. Si hay abundancia de peces, habrá abundante harina de pescado. Si hay abundante harina de pescado, se incrementa la exportación. 9. Si sube la gasolina, subirá la harina de trigo. Si sube la harina de trigo, subirá el precio del pan. DEL CONDICIONAL: [(p q) (q r)] (p r) DEL BICONDICIONAL: [(p q) (q r)] (p r) Dadas las premisas infiera o derive una conclusión Dadas las premisas infiera o derive una conclusión. 1. Si un policía es profesional y ético, es responsable de su buena conducta. Si es responsable de su buena conducta, evita realizar acciones delictivas. Resolución Formalización: [(pq) r] (r s) Razonamiento P1: (pq) r P2: r s /(pq) s: Si un policía es profesional y ético, entonces evita realizar acciones delictivas 2. E. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL DILEMA CONSTRUCTIVO [(p q) (r s) (p r)] (q s ) Si se denuncia la comisiòn de un delito, la policìaefectùa la investigaciòn.Si la policía efectúa la investigación, establece la responsabilidad de los involucrados. Resolución Formalización: (p q) (q r) Dados los razonamientos deductivos siguientes. Verifique, si dichos razonamientos son válidos o inválidos, utilizando cualesquiera de las técnicas de validación que se le ha enseñado y usted ha aprendido. Razonamiento P1: p q P2: q r /p r: Conclusión: p r: Si se denuncia la comisión de un delito, entonces la policía establece la responsabilidad de los involucrados. 3. 4. 1. 2. Si Elizabeth viaja a Estados Unidos, visitará a su papá. Si visita a su papá, pasará buenas vacaciones. Si los ladrones asaltan el Banco de la Nación, el cajero aprieta el botón de 32 Si llueve, jugaremos ajedrez. Si el campo está seco, jugaremos fútbol. O llueve o el campo está seco. / O jugaremos al ajedrez o fútbol. Si voy al cine, no estudio. Si no voy a la fiesta, viene Felipe a Estudiar. Voy al cine o no voy a la fiesta. / No estudio o viene Felipe a estudiar. Resolución
- 33. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA Formalización: 2. (p q) (r s) (p r ) Razonamiento P1: p q P2: r s P3: p r / (q s): No estudio o viene Felipe a estudiar. Si voy a Chosica, no me encuentro con Pedro. Si me encuentro con Eduardo, no voy a Barranco. O me encuentro con Pedro o voy a Barranco. / O voy a Chosica o me encuentro con Eduardo. Resolución Formalización: (p q) (rs) (q s ) 3. Si se mantiene la paz, las ciencias progresan. Si se fomenta la guerra, los pueblos se empobrecen. O se mantiene la paz o se fomenta la guerra. / Las ciencias progresan o los pueblos se empobrecen. Resolución Formalización: (p q) (r s) (p r ) Razonamiento P1: p q P2: r s P3: q s / (pr): No voy a Chosica o no me encuentro con Eduardo. Regla lógica utilizada para hacerla inferencia: Dilema destructivo. Razonamiento P1: p q P2: r s 3. Si te dedicas a la ciencia, serás un científico. Si cultivas las artes, serás un artista. O no serás un científico o no serás un artista. / O no te dedicas a las ciencias o no cultivas las artes. Resolución Formalización: P3: p r / (q s): Las ciencias progresan o los pueblos se empobrecen. F. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL DILEMA DESTRUCTIVO (p q) (r s) (q s ) [(p q) (r s)( q s)] ( p r) Razonamiento Dados los razonamientos deductivos siguientes. Verifique, si dichos razonamientos son válidos o inválidos, utilizando cualesquiera de las técnicas de validación que se le ha enseñado y usted ha aprendido. P1: p q 1. P2: r s P3: q s / (pr): No te dedicas a la ciencia o no cultivas las artes. Regla lógica utilizada para hacerla inferencia: Dilema destructivo. Si me encuentro con Pedro, voy a Chosica. Si me encuentro con Eduardo, voy a Barranco. No voy a Chosica o no voy a Barranco. / O no me encuentro con Pedro o no me encuentro con Eduardo. 33
- 34. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA I UNIDAD TEORIA DE CONJUNTOS COMPETENCIA: Resuelve problemas aplicando conceptos en operaciones entre conjuntos, muestra solidaridad y colaboración con sus compañeros. 34
- 35. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA SESIÓN N° 04 CONJUNTO RELACIONES ENTRE CONJUNTOS No existe una definición; solo se puede dar una idea conceptual como colección, agrupación, clase o agregado de objetos, llamados elementos. 1. Relación De Pertenencia Es una relación que vincula un elemento con un conjunto. * Si un elemento esta en un conjunto, se dice que pertenece Notación: Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas (A,B,C,D,….) y los elementos con letras minúsculas (a,b,c,…..). Así el conjunto de los diez primeros números naturales positivos: * Si no esta en un conjunto, se dice que no pertenece Ejemplo: Dado: A 2; 3; 5;6 N 1; 2; 3; 4;5;6;7;8;9;10 Así diremos que: Se observa que los elementos que van separados por punto y coma y encerrados entre llaves, determinan el conjunto N. 2A 3A 5;6 A 4A 5A 6A Determinación de un conjunto: 2. (I)POR EXTENCION: Un conjunto queda determinado por extensión, cuando se nombra a todos y cada uno de los elementos. Relación De Inclusión O Subconjunto Se dice que el conjunto A esta incluido en B, si todos los elementos de A están en B. Se denota como: A B ”A incluido en B” Si: A B x A x B A 2;4;6;8 M a;e;i;o;u B 1;8; 27;64;......;1000 Ejemplo: (II) POR COMPRENSIÓN: A n;3;5 B 4;n;m;6;3;p;5 Un conjunto queda determinado por compresión, cuando se nombra una propiedad común que caracteriza a todos los elementos del conjunto, generalmente se emplea x/x: “x tal x” Se observa que todos los elementos de A son también elementos de B, luego: A B . PROPIEDADES A x / x e s p a r; 2 x 8 * Pr opiedad reflexiva : A A * Pr opiedad antisimetrica : Si : A B B A A B * Pr opiedad transitiva : Si : A B B C A C B x / x e s una vo ca l 3 C x / x 10 ;x 35
- 36. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 3. Relación de igualdad de conjuntos Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos. 1).- Determina por extensión cada uno de los siguientes conjuntos: A = {x / x N ; 1 < x 5} B = {x / x N ; 3 x 6} 2 C = {x / x N ; 5 x 8} Si: A B A B B A D = { 2x 1 / xN ; x = 3} 5 Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si, A es subconjunto de B y B es subconjunto de A. 4. Relación de contabilidad conjuntos Dos conjuntos A y B son coordinables cuando entre sus elementos puede establecerse una correspondencia biunívoca. 2).- Expresa por extensión el conjunto: 2 A={x +1/xZ4x<9} a) {16, 25, 36, 49, 64} b) {15, 24, 35, 48, 63} c) {4, 5, 6, 7, 8} d) {27, 36, 47, 60, 68} e) {17, 26, 37, 50, 65} de 3).- Determina por extensión el siguiente conjunto: A = 2 {x + 4 / x N x 4} a) {4, 5, 8, 13, 20} c) {5, 8, 13, 20} e) Cuando dos conjuntos son coordínales tienen el mismo numero de elementos. A 1;3;5;7;9 son coordinables B a;e;i;o;u 4).- Expresa el conjunto: A = { 3x – 2 / x N 2< x 5 } por extensión. a) {7,10} b) {10, 13, 16} c) {7, 10,13 } d) {5, 7, 10} e) {3, 4, 5} Graficándolos: A 1 3 5 7 9 5).- Determina por extensión el conjunto A y dar respuesta la suma de sus elementos: 2 A = {x + 1 / x Z - 3 < x < 3 } B a e i o u a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 6).- El conjunto E = {x N / 32 < 4x < 60, x es número compuesto} determinado por extensión es: a) {8,9,10,14} b) {8,10,14} c) {8,14} d) {9,10,12,14} e) N.A. Cardinal de un conjunto 7).- Determina por extensión el siguiente conjunto: A = 2 { x -3 / x N 2 x 5 } a) {1,6,13,22} b) {2,3,4,5} c) {2,5,6,13} d) {4,5,6,22} e) {1,5,13,22} El cardinal de un conjunto es el número de elementos de dicho conjunto y se denota como n(A). A 2;4;7;9 b) {0, 1, 2, 3, 4} d) {0, 4, 5, 8, 13} n A 4 8).- Si el conjunto R={7a + 4, b – 3, 25} es un conjunto unitario, calcule b 25 a a) 3 b) 1 c) 2 d) 4 e) 5 M n M a;b; m;n 3 B 2,3;2;2;5;6;7 n B 5 9).- Hallar a + b si A = {4a +1, 2b + 9, 3a + 4} es unitario. a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 10).- Dado el conjunto unitario: 2 2 A = {a + b, a + 2b – 3, 12}, calcule a + b 36
- 37. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA a) 60 d) 90 b) 7 e) 104 2 2 c) 80 20).- Dados los conjuntos unitarios: A = {3a + 1; 7}, B = {3; b+c} y C = {2; bc} Donde: b > c Calcular: a –2b + 3c 2 11).- Dado A = {a + b + c , d + e}, B= 2 {c + 1, d – e + 4, 5}. Si A=B, A es unitario c>a>b y son negativos. Hallar a + b + c + d.e a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 a) 2 3 b) –1 e) 2 a) 26 d) 16 c) 0 b) 25 e) 40 b) 188 e) 158 a) 36 d) 46 c) 178 c) 9 d) 11 b) 9 c) 10 d) 11 e) 13 a) 84 b) 76 c) 52 d) 90 e) 67 25).- Si el siguiente conjunto es unitario: e) 12 H = { a+15 ; b2 –4 ; 45 } Calcula ( a + b ) a) 33 a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 18).- Sean los conjuntos iguales “A” y “B”, A = {x + 7,6}; B = {y, 12}, calcular la suma de cifras y dar como respuesta “x.y”. b) 20 e) 12 c) 30 19).- Si A, B y C son unitarios A={a + 4,b-2, 2a-4} ; B = { b 3, c 3 }; C ={ c 1 , d – 4 } 2 3 3 Hallar a + b + c + d a) 20 b) 25 c) 30 d) 37 c) 48 Calcula ( m + p2 ) 17).- Dados los conjuntos unitarios: A = {x + 7,2x + 5} ; B = {y – 3,5y–15}. Hallar el valor de x + y. a) 11 d) 33 b) 40 e) 60 P= { m -7 ; 33 ; 4p + 9 } 16).- Dado los conjunto unitarios: A = {m, 3}, b = {n, 7}. Hallar m + n a) 8 c) 18 24).- Si el siguiente conjunto es unitario: A = {a + 3, 3b + 1} , B = {6c + 1, 8c - 1} b) 7 b) 27 e) 28 23).- Determina por extensión el siguiente conjunto: 2 A = {x + 1 / x Z -3< x 4} Dar como respuesta la suma de sus elementos. a) 43 b) 18 c) 35 d) 38 e) 42 15).- Si los conjuntos A y B son iguales y unitarios, calcular a + b + c si : a) 6 e) 6 Calcule la suma m + n + p + q c) 30 14).- Si se sabe que A ={m+n, m+2n-2, 10} es un 2 2 conjunto unitario. Dar el valor de 3m -n a) 198 d) 168 d) 4 22).- Si los conjuntos A y B son unitarios: A = {2m; 12; n + 2} B = {20; 5p; q} 13).- Hallar el valor de (m+n) si el conjunto A={2n + 1, 13, m-n} es unitario. a) 20 d) 35 c) 3 21).- Si los conjuntos “A” y “B” son iguales: A = {3a + 5; 7} y B = {b/3 – 2; 5} Calcular b – a e) 11 12).- Los conjuntos A={a + 1,10}, B = {a + b, 65} son iguales, calcular el valor de a-b. a) –2 d) 1 b) 1 e) 12 37 b) 24 c) 25 d) 50 e) 37
- 38. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA SESIÓN N° 05 5. C L AS E S D E C O N J U N T O S CONJUNTO UNIVERSAL U Es aquel conjunto que abarca a todos los conjuntos dados y se les representa por regiones planas rectangulares. U 1. CONJUNTO FINITO Cuando el conjunto tiene un determinado numero de elementos diferentes. Ejemplos: B A 3;6;9;12 N M A B 1;3;5;7;......; 29 P 2. CONJUNTO INFINITO Cuando el proceso de contar los elementos del conjunto no tiene limite. 6. CONJUNTO POTENCIA Se llama conjunto potencia de A, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A y se le denota como P A . Ejemplos: A x / x es un número real B x / x es un planeta del universo Ejemplos: * Dado: A 4;7 Su conjunto potencia será: 3. CONJUNTO VACIO Llamado también conjunto nulo; es aquel conjunto que carece de elementos. Se denota como: P A 4 ; 7 ; 4;7 ; * Dado: A 2;3;4 *El conjunto vació se le considera incluido en cualquier otro conjunto. P A 2 ; 3 ; 4 ; 2;3 ; 2;4 ; *El conjunto vació no tiene ningún subconjunto propio y su número cardinal: El número de elementos de P A o numero n 0 de subconjuntos de A, está dado por: n P A 2 Ejemplos: 3; 4 ; 2; 3; 4 ; 2 A x / x x 1 0 n Donde “n” representa el numero de elementos del conjunto A. B los cabellos de un calvo Ejemplos: 2 P Si: A 4;7 n A 2 4 4. CONJUNTO UNITARIO Llamado también singlé ton, es aquel conjunto que tiene un solo elemento. Si: A 2;3;4 n P A 2 3 8 Si: A a; b;c;d;e n P A 2 5 32 Ejemplos: Numero de subconjuntos propios: Dado el conjunto A, su número de subconjuntos A x / 2 x 4 B Bety C propios será: 2 n 1 .No se considera el mismo conjunto A. 38
- 39. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 2. INTERSECCIÓN PROPIEDADES 1) P A , puesto que A 4) Si A B P A P B Para dos conjuntos A y B se llama intersección de A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B (elementos comunes). 6) P A P B P A B Se denota como A B . 2) A P A , puesto que A A 3) P 5) Si A B P A P B 7) P A P B P A B A B x /x A x B A U B OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Si: A 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 1. UNIÓN O REUNIÓN (U) Para dos conjuntos A y B se llama unión o reunión al conjunto formado por los elementos de A, de B o de ambos. Se denota como A B. A B x /x A x B A Si: B B 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 10 ; 11 ; 12 Luego: A B 3 ; 4 ; 5 PROPIEDADES 1) A A A Idempotenc ia 2) A B B A Conmutativa 3) A B C A C Asociativa B 4) Si : A B A B A 5) A 6) A U A 7) Si :A B A y B son disjuntos 8) A A C A U A 2;3;4;6 9) Si: A B C A B A C 10) A B C A B C A B 1;3;4;5 A B C A B C A Luego: A B 1; 2; 3; 4 ; 5; 6 PROPIEDADES 3. DIFERENCIA (–) 1) A A AIdempotencia 2) A B B AConmutativa 3) A B C A B C Asociativa 4) A 5) A A 6) Si : A B A B B 7) Si Ay B son disjuntos n A B n A n B 8) Si Ay B son dos conjuntos no compa rables, con una región común : n A B n A n B n A B Para dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A con B, al conjunto formado por todos los elementos de A, que no son elementos de B, Se denota por A–B. A B x /x A x B U A B Si: A 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 8 B 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 7 ; 9 Luego: A B 6 ; 8 39
- 40. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA PROPIEDADES 5. COMPLEMENTACIÓN 1) A A 2) A 3) A B B A 4) A B B Para dos conjuntos A y B, donde A es un subconjunto de B. 5) Se denota C B A ; se lee complemento de A respecto a B. A B A B A B 6) A B A B 7) A B A B B A AB 8) A B A B A A CBA B A B * El complemento de un subconjunto A respecto del conjunto universal U. 4. DIFERENCIA SIMETRICA A Para dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a la unión de A y B; pero no pertenecen a la intersección de A y B. C A A' U A A' x / x U x A PROPIEDADES Se denota por: A B 1) 2) 3) 4) 5) 6) A B x / x A B x A B Formas usuales: A B A B A B 7) A B A B B A A' UA U'= ' U AA'=U AA'= A' ' A A B ' A'B' ' A B A'B' Leyes de Morgan Ejemplo: U A B Si: A 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 B B 1 , 3 , 4 , 5 , 9 Hallar: C B A Resolución: Si: A 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 B 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 9 Como: C B A Luego: BA C B A 1 , 3 , 4 , 5 , 9 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 A B 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 2 ; 4 A B 1 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 C BA 1 , 5 , 9 40 1 ,5 ,9 Rpta.
- 41. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA PRODUCTO CARTESIANO Ejemplo: Dados los conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A por B, al conjunto formado por todos los pares ordenados a ; b , tales que a A y b B . A a ; b ; c B 1 ; 2 ; 3 ; 4 Hallar: A y Se denota por: A B B A B a ; b / a A b B Resolución: Ejemplo: A a ; a ; b ; b ; c ; c Si: A 1 ; 2 ; 3 B 1 ; 2 B 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 4 ; 4 NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO Hallar: A B Si: Resolución: A B O n A B n A n B A B 1 ;1 ; 1 ; 2 2 ;1 ; 2 ; 2 ; 3 ;1 ; 3 ; ; 2 A Grafica de A B B B 2 1 1 2 3 Si: A y B son dos conjuntos cualesquiera A n A B n A n A B Propiedades 1) a ; b A B a A b B 2) A B B A ; A B A 3) A O O B 4) A B C A B A C 5) A B C A B A C 6) A B C A B A C 7) n A B n A n B Si: 8) Si: A B A C B C A y B son conjuntos tales que A B O Diagonal de un Conjunto: n A B n A n B n A B Dado el conjunto A, la diagonal del producto A A que se denota A , se A define por: A x ; y 41 B
- 42. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA SESIÓN N° 06 Si: A B C O n A B C n A n B n C 1 n A B n A C B 2, 4, 6 n B C n A B C A Si: A 3, 6 Hallar la suma de los términos del conjunto: A B A B B a) 10 b) 12 c) 14 d) 13 e) 11 Resolución: C A B 2, 3, 4, 6 A B 3 PAR ORDENADO: Luego: Par ordenado es un ente matemático constituido por dos elementos (a ;b) par ordenado AB A B 2, 3, 4, 6 3 2, 4, 6 Se cumple que: Piden: 2 4 6 12 a ; b b ; a 2 Hallar: x 3y , si: Si: a ; b c ; d a = c b= d 3 x 2x 1, y 5 23, 2 3 Para los problemas A 1 : sólo A 2: A y B 3: sólo B 1 y 2: A 2 y 3: B 1 , 2 y 3: A ó B B 1 2 3 A 1 6 2 5 7 B 3 4 C a) 14 b) 13 c) 11 d) 15 Solución: Por pares ordenados iguales * 2x 1 23 x 12 3 12 2 * y5 y 2 3 3 1 : sólo A 3: sólo B 7: sólo C 2: sólo A y B 4: sólo B y C 6: sólo A y C 5: A , B y C 25: A y B 45: B y C 56: A y C 2 Luego piden: 12 3 3 12 2 14 3 Si: A 5, 2 , 9 Señale la expresión falsa: a) 2 A b) 2 A c) 9 A d) 5, 9 A e) 5, 2 A 42 e) 16
- 43. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 7 Se tienen 65 banderas que tienen por lo menos dos colores. 25 tienen rojo y azul, 15 banderas rojo y blanco y 35 tienen blanco y azul. ¿Cuántas banderas tienen los 3 colores mencionados? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Resolución: Se observa en el conjunto A que los elementos 5 y 9 pueden formar un conjunto 5, 9 , luego 5, 9 A , lo falso seria (d). 4 5 De un grupo de 41 personas 15 no estudian ni trabajan, 28 no estudian y 25 no trabajan ¿Cuántos trabajan y estudian? a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 3 Resolución: Resolución: No hay banderas de un solo color “x”: # banderas que tienen 3 colores 25 R 41 Estudian y A Trabajan z 25 x w 15 x x 35 x 15 15 Del gráfico, se tiene: * y w z 15 41 y+ w+ z= 26 ….. ( I ) * w 15 28 w= 13 * y 15 25 y= 10 Reemplazando en ( I ) 35 B De la figura se tiene que: 25 x x 35 x 15 x 65 10 2x x= 5 Rpta. 13 10 z 26 z 3 Rpta. 8 Cotos come fréjoles y/o tallarines en su almuerzo, cada día, durante el mes de febrero de 1988. Si come 19 días fréjoles y 23 días tallarines. ¿Cuántos días come fréjoles con tallarines? a) 12 b) 8 c) 10 d) 14 e) 13 6 De un grupo de 17 personas, 13 tienen bigote, 4 son calvos y 3 son calvos que usan bigotes. ¿Cuántos no son calvos ni usan bigotes? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resolución: T F Resolución: 19 x 17 con bigote 13 x x 23 x calvos 4 3 19 x x 23 x 29 x 13 Rpta. y z Formando ecuaciones: x 3 13 y 3 4 En un grupo de 55 personas, 25 hablan Ingles, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan dos de estos idiomas? x= 10 y= 1 10 3 1 z 17 z 3 Rpta. a) 40 43 b) 37 c) 25 d) 22 e) 38
- 44. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA Resolución: Resolución: I 25 Como: A B B A A B F 32 y a Quiere decir que A y B son conjuntos disjuntos, para las alternativas se tendrá que: b x 5 z c A 33 A AB AB O a x y 20 b y z 27 c x z 28 a b c 2 x y z (Verdadero) B A' a b c x y z 50 …. ( I ) (Falso) B BA Del grafico se tiene que: (Verdadero) (Verdadero) A B ' 75 …. ( II ) AB O ( I ) en ( II ) A B (Verdadero) Rpta. 50 x y z 75 Si: 11 x y z 25 Rpta. A 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56 Determinar el conjunto dado por compresión 9 ¿Cuántos subconjuntos se formaran con 6 elementos? a) 63 b) 64 c) 61 d) 68 e) n.a. a) # Subconjuntos = 2 n # Subconjuntos = x 2 x /x x 6 x x+ 1 / x x 2 x / x 1< x 8 e) 6 = 2 2 64 d) n 1 / x x 7 c) Recordado que: 2 b) Resolución: x x 2 x/x x 8 x7 Resolución: 64 Rpta. A 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56 Sean A y B dos conjuntos contenidos un universo, si: A B B A A B . ¿ Cual de las 10 en A 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 , 6 7 , 8 7 Lo elementos son de la forma: siguientes proposiciones es falsa? a) A A B c) B B A x x 1 Donde: b) A B O d) B A' x 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 x x+ 1 / x e) A B ' A B 44 x7 Rpta.
- 45. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA Cuantos sub conjuntos tiene “A” Resolución: x 2 Por pares ordenados iguales A a) 16 2 b) 8 / x 1 x 5 c) 32 d) 64 e) n.a. 2x 1 23 x= 12 3y 12 2 5 y= 2 3 3 Resolución: Luego piden: x 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 Reemplazando en: x 2 2 2 x 3y 12 3 14 Rpta. 3 9 14 ,4 ,1 ,0 ,1 ,4 a) 2 A 4 2 16 Rpta. b) 2 A c) 5 , 9 A Total de sub conjuntos es: Si Señale la expresión falsa: A 9 , 4 , 1 , 0 12 Si: A 5 , 2 , 9 d) 5 , 2 A e) 9 A A 3 , 6 Resolución: Se observa en el conjunto “A” que los elementos 5 y 9 pueden formar un conjunto 5 , 9 . B 2 , 4 , 6 Hallar la suma de los términos del conjunto: Luego: 5 , 9 A a) 10 15 La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B se define: A B A B b) 14 c) 11 d) 12 e) 13 A B x / x A B A B Resolución: Si se define los conjuntos: A B 2 , 3 , 4 , 6 4 U x / x x< 10 A x / x U x e s d iviso r d e 12 A B 3 B x / x U x e s im p a r Luego: A B A B 2 ,3 ,4 ,6 3 ¿Cuántos elementos tiene A B C ? a) 1 , 3 , 8 Piden: 2 4 6 12 Rpta. 13 Resolución: Hallar: x 3y , si: b) 11 c) 16 d) 13 d) 3 , 1 , 8 e) n.a. 2x 1 ; 3 y 5 23 ; x 2 3 a) 14 b) 1 , 4 , 8 c) 1 , 8 , 3 2 , 4 , 6 A e) 15 2 4 6 1 3 8 45 5 7 9 B U
- 46. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA U 1 , 2 , 3 , ....... , 9 18 En un aula de 43 alumnos, 5 son mujeres que estudian R.M. y 28 son hombres y el número de hombres que no estudian R.M. es el doble del número de mujeres que tampoco lo hace. ¿Cuántos hombres estudian R.M.? a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) n.a. A 1 , 2 , 4 , 6 B 1 , 3 , 5 , 7 , 9 A B 2 , 4 , 6 , 5 , 7 , 9 A B C 16 1,3 ,8 Rpta. Dado: Resolución: A n m , n + p , 8 B m p , 10 Unitarios Hallar: m n p a) 1 b) 2 c) 3 H 28 d) 4 e) 5 x Resolución: 5 20 m n n p m= p m p 10 2m= 10 n m 8 n= 3 Luego: m n p 3 Rpta. x 28 20 8 Rpta. Si: # P A 256 19 De 80 personas que hablan alguno de los idiomas: Castellano, Inglés y Francés, se tiene que 40 hablan castellano, 46 hablan Inglés, 35 hablan Francés, además los que hablan Castellano no participan nunca en el Francés. ¿Cuántos hablan dos de dichos idiomas? a) 16 b) 48 c) 41 d) 50 e) n.a. # P A B 16 # P B 64 Calcular: # P A B a) 1 024 b) 2 048 d) 512 10 El número de mujeres que no estudian R.M. es: 15 5 10 El número de hombres que estudian R.M. está dado por: De donde: m p 5 17 M 15 c) 360 e) 256 Resolución: Hablan Ingles: I 46 Resolución: Hablan Castellano: C 40 Hablan Francés: F 35 Hablan 2 Idiomas: x y # P A 256 2 # 8 A 8 C # P B 64 2 # B 6 6 40 x # P A B 16 2 # A B 4 4 # A B # A # B # A B 8 6 # P A B 2 x F y 35 y Luego: I C F 80 4 40 x x 46 x y y 35 y 80 De 10 10 I 1 024 Rpta. donde se tiene que: x y 41 Rpta. 46
- 47. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA En una ciudad de cada 100 hombres, 85 son casados 70 son abonados al teléfono, 75 tienen auto y 80 son propietarios de su casa ¿Cuál es el numero mínimo de personas que al mismo tiempo son casados, poseen teléfono oculto y casa propia. a) 5 b) 10 c) 65 d) 25 e) 45 tenemos(agrupando convenientemente) 21 300 3 v w z y 3 a b c d 3 p q r s n m 3x....... Luego: ( )- 10 x 2v 2w 2y 2z p q r s m n 10 x Resolución: C H o m b re s ca sa d o s n C Como “x” mínimo entonces decir = 0. 8 5 T Abo na d o s a l te le fo no n T Entonces: 70 x 10 Graficando: A P o se e n a uto n A 75 P P o se e n ca sa p ro p ia n P es mínimo es C 85 8 0 T 70 Se pide calcular el numero mínimo de d C T A P c a 10 b Graficando: C 85 v p z P 80 P 80 T 70 q a w n nd x b c s m y A 75 Como =0 entonces: v w y z p q r s m n 0 Luego: 85 b 100 b 15 Luego piden: c x a m í n im o 70 c 100 c 30 Siendo x C T P A , entonces el valor de “x” el mínimo valor se tiene: 85 v a c d p q r x.... (1) 70 w a b d q n s x.....(2) 80 y b c d r s m x.....(3) 75 y b c d r s m x.... (4) 75 a 100 a 25 80 d 100 d 20 Finalmente: n C T A P c 10 a 65 100 y w z y a b c d (5) p q r s n m s........ Sumando (1) (2) (3) y (4) A 75 310 v w z y 3 a b c d 2 p q r s n m 4x... En el problema el “x” mínimo es igual: (son 4 conjuntos) () x 8 5 7 0 7 5 8 0 4 1 1 0 0 x 10 Rpta. La ecuación (5) se multiplica por 3 47
- 48. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA B 0; 4;8;12;16; 20 Cual de las siguientes alternativas le corresponde al diagrama mostrado, si”x” es el complemento de “x” en el universo. 22 C x / x es d iviso r d e 48 B A C 1; 2; 3; 4; 8;12;16; 24; 48 C C A B 1; 2 Por lo tanto la suma de los elementos: 1 2 3 Rpta. I C B A A B C II C ' B A B C ' Se tiene 2 conjuntos A y B tal que la unión de A y B tiene 36 elementos, el numero de elementos de A es a la mitad del numero de elementos de B. Los elementos comunes de A y B son la mitad de los elementos no comunes, hallar el numero de elementos de B. a) 12 b) 24 c) 32d) 30 e) 80 24 III C B ' A B C a) I b) II Resolución: c) III d) I y III e) Todas B A C 1 (1)= A B C (2)= B C A Resolución: 2 n A B 36...............(1) n A Luego: (1) (2) A B C B C A n B 2n A A B C B C A Rpta. Se sabe: n A B n A n B n A B Se tiene los conjuntos A, B, C subconjuntos de los números naturales, A es el conjunto de los múltiplos de 3, B es el conjunto de los múltiplos de 4v menores que 24 y C es el conjunto de los divisores de 48. Hallar la suma de los elementos de la diferencia: C A B 23 a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 1 n B 2 36 nA 2nA n A B 3n A n A B 3 6 Además: n A B n A n B 2n A B e) 3 2n A B n A n B 2n A B Resolución: 4 n A B 3n A A, B, C N De (1) y (2) A x / x 3 0;3;6;..............;3n n A B 12 n A 16 B x / x 4 x 24 n B 32 Rpta. 48
- 49. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 6.¿Cuántos subconjuntos se pueden formar con 6 elementos? a) 32 b) 23 c) 46 d) 64 e) 128 1. Una persona come huevo o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de Enero. Si come tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevos y tocinos? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 7. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Cuando el conjunto A contiene uno o más elementos que no contiene B, diremos que B es un subconjunto propio de A. 2. En un grupo de 55 personas, 25 hablan ingles, 32 francés, 33 alemán y 5 de los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan sólo 2 de estos idiomas? a) 15 b) 20 c) 25d) 30e) 35 II. Todo conjunto es subconjunto del conjunto universal III. Al conjunto universal se le designa el valor de 1 3. El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos de frutas de manzana, fresa y piña es la siguiente: 60% gustan manzana, 50% gustan fresa, 40% gustan piña, 30% gustan manzana y fresa, 20% gustan de fresa y piña, 15% gustan de manzana y piña, 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas encuestadas no gustan de ninguno de los jugos de frutas mencionado? a) 10% b) 11% c) 12% d) 13% e) 15% IV. El conjunto vació es subconjunto e todo conjunto. a) VFVV d) VVFV c) VVVV e) FVFV 8. Si se determina por comprensión el conjunto: M 0 , 2 , 4 , 8 , 10 , 12 , ...... se tiene: 4. ¿Cuántas de las siguientes operaciones con conjuntos son conmutativos? a) M x / x es un número par b) M x / x 2n ; 0 n I) Unión II) Intersección III) Diferencia IV) Diferencia simétrica V) Producto cartesiano a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) Todas 5. b) FVVV c) M x / x N ;N= serie de números pares d) M 2x / x e) n. a. 9. Sean: A 1 , 2 , 3 y B 4 , 5 Dado el conjunto: F x / x 2x 2x 2 0 3 ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son ciertas? 2 * 2 , 4 AB * 4 , 2 AB ¿Cuál es su valor determinado por extensión? * 5 , 2 B A * 3 , 4 AB a) F 1 , 0 , 2 * 3 , 4 B A a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 b) F 2 , 1 , 1 e) n.a. c) F 2 , 1 , 0 , 1 d) F 1 , 1 , 2 e) n.a. 49
- 50. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 10. ¿A que operación de conjuntos corresponde el siguiente gráfico? a) BUC A B A b) B A C c) A C B d) B C A e) AUC B 15. El conjunto: C A CB CA equivalente a: a) CA CB A b) A B B 11. 16. El 65% de la población de una ciudad no ve el canal A de Tv. Y el 50% no ve el canal B, si el 55% ve el canal A o el canal B, pero no los dos canales, el porcentaje de la población que ve ambos canales es: a) 20% b) 18% c) 13% c) CA A B e) El conjunto universal C Si el conjunto: A x / x , 4 x 11x 30 0 se interfecta 3 2 con el conjunto de los números naturales, el número de elementos de la intersección es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)n.a. d) 12% 12. En un salón de clases de 65 alumnos, 20 son mujeres, donde a 53 la biblioteca les presta en libro de química a cada uno y 8 mujeres tuvieron que comprar el libro. ¿Cuántos hombres se compraron el libro de química, si se supone que todos los alumnos tienen el libro? a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 5 e) n.a. 17. 17. De 81 personas se sabe que 48 van a la playa, 42 al cine, 50 al teatro, 21 a la playa y al cine, 18 al cine y al teatro, 35 a la playa y al teatro, además todos van por lo menos a un lugar. ¿Cuántas personas van a los 3 lugares? a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 13. Al encuestar a un grupo de alumnos se observó que la mitad de ellos postulan a San Marcos, los 7/12 postulaban a Villarreal, 1/6 postulaba a ambas universidades y los 220 alumnos restantes aun no decidían donde postular. ¿Cuántos fueron los alumnos encuestados? a) 2 340 b) 3 250 c) 2 640 d) 3 520 d) A CA B 18. Ciertos datos obtenidos en un estudio de un grupo de 1 000 empleados referente a la raza, sexo y estado civil, arrojaron los siguientes resultados: 322 son hombres, 470 son casados, además habían 42 varones de color, 147 personas de color eran casados y habían 25 hombres de color casados. ¿Cuántas mujeres eran solteras? a) 129 b) 219 c) 294 d) 315 e) 351 e) 3 125 14. En un aula 80 alumnos han rendido 3 exámenes de ellos 42 aprobaron el primero, 38 el segundo, 49 el tercero, 18 los tres exámenes; además 10 aprobaron solamente los 2 primeros. ¿Cuántos alumnos aprobaron por lo menos 2 exámenes? a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32 19. Durante el mes de febrero de 1984 Raúl Peralta fue a ver a su novia Pilar en las mañanas o en las tardes o en ambas horas, si 14 días lo vio en la mañana y 20 días la vio en las tardes. ¿Cuántos días la vio en ambas horas? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 50
- 51. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 20. 24. Determinar A por extensión: Si n(A) 8 ; n(B) 8 ; n(C) 5 y n(D) 5 , el número máximo de elementos de AUC es k y el número máximo de elementos de B D es “h”. Hallar el valor de “h.k” a) 60 b) 65 c) 25 d) 40 e) 83 2 n 4 A / n , 1 n 3 n 2 a) A 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 b) A 1 , 2 , 3 , 4 , 5 25. Un club consta de 78 personas, de ellas 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23 vóley, además 6 figuran en los tres deportes y 10 no practican ningún deporte. Si “x” es el total de personas que practican exactamente un deporte “y”, el total de personas que practican exactamente dos deportes; Hallar “x-y” a) 12 b) 18 c) 20 d) 15 e) 17 c) A 1 , 2 , 4 , 5 d) A 1 , 2 , 3 , 5 e) A 1 , 2 , 3 , 4 21. que: 21. Sean A y B dos conjuntos tales n A B 24 26. Supóngase que Mary come huevos o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de enero (31 días). Si come tocino durante 25 mañanas y huevos durante 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come solamente huevos? a) 7 b) 6 c) 9 d) 5 e) 10 n A B 10 n B A 6 Hallar: 5 n A 4 n B a) 36 b) 34 c) 28 d) 32 e) 30 27. De 120 personas de una universidad obtuvo la información: 72 alumnos estudian el curso A, 62 alumnos estudian el curso B, 36 alumnos estudian el curso C, 12 alumnos estudian los tres cursos. ¿Cuántos alumnos estudian exclusivamente 2 cursos? a) 25 b) 20 c) 9 d) 28 e) 22 22. Para un conjunto “x”, el número de elementos de “x” dentamos por n(x) y P(x) denota al conjunto de subconjuntos de “x”, según esto, si n(A)=4; n(B)=3 y n A B 2 . Hallar la suma: n P A P B n P A B a) 50 b) 48 c) 63 d) 52 28. De un grupo de 40 personas, se sabe que: 15 de ellas no estudian ni trabajan; 10 personas estudian y 3 personas estudian y trabajan. ¿Cuántas de ellas realizan solo una de las dos actividades? a) 22 b) 24 c) 28 d) 27 e) 26 e) 20 23.Dado el conjunto y los subconjuntos A, B y C, se tiene los siguientes datos: n(U)=44 ; n(A)=21 ; n(B)=17 n A C 14 ; n B C 12 29. que: n A B C ' 3 ; n A B C 5y n B A 10 ; Hallar: n A n B n A B C ' 6. Hallar: n(C) a) 30 b) 28 c) 29 Si los conjuntos A y B son tales n A B 30 ; n A B 12 y a) 30 d) 25 e) 20 51 b) 39 c) 40 d) 28 e) 38
- 52. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 30. De una encuesta hecha a 135 personas para establecer preferencias de lectura de las revistas A, B y C se obtienen los siguientes resultados: Todos leen alguna de las 3 revistas; todos menos 40 leen A; 15 leen A y B pero no C; 6 leen B y C pero no A; 10 leen solo C. El número de los que leen A y C es el doble del número de los que leen las 3 revistas. El número de los que leen solo B es el mismo que el total de los que leen A y C. Según todo esto, hallar el número de los que leen A solamente. a) 58 b) 42 c) 56 d) 37 e) 60 31. Si: 3 2 M x x 7x 6x 0 / 35. En un instituto de 77 alumnos, se sabe que de los 3 idiomas que enseñan, los que estudian sólo un idioma son 28 más, de los que sólo estudian 2 idiomas. Si además son 3 las personas que estudian los 3 idiomas. ¿Determinar cuantos estudian solo dos idiomas? a) 20 b) 21 c) 24 d) 25 e) 23 36. Un club tiene 48 jugadores de fútbol, 25 de básquet y 30 de béisbol. Si el total de jugadores es 68 y sólo 6 de ellos figuran en los 3 deportes. ¿Cuántos figuran exactamente en 1 deporte? a) 36 b) 37 c) 38 d) 39 e) 40 37. Según la figura. Cuales son las zonas que representan a: N x / 2 x 6 A B ' C A ' Hallar: M N M N a) N b) M a) 5 c) 0 d) 0 ,1 e) 1 b) 5 32. c) 5 , 2 Si: A x / x 2 d) 5 , 2 , 3 B x / 2 x 2 B A 5 U 7 2 3 1 4 6 C e) n.a. Hallar: n A B a) 1 33. b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 38. En un salón se hizo una encuesta, donde 3/5 postulan a la S.M; 9/20 postulan a la U.N.F.V.; 1/4 postulan a las 2 universidades y 24 postulan sólo a la UNI. ¿Cuántos alumnos postulan a S.M.? a) 72 b) 84 c) 64 d) 48 e) 75 Siendo: P x / x , x< 8 P x / x , x> 4 ¿Calcular la suma de los elementos de PQ? a) 18 b) 16 c) 21 d) 20 39. En un evento, el 60% de los participantes hablan Ingles y el 25% portugués, si el 20% de los que hablan Ingles, también hablan portugués, además 1 200 hablan sólo Ingles. ¿Cuántos participan en la reunión? a) 620 b) 520 c) 650 d) 340 e) n.a. 34. De un grupo de 40 personas se sabe que: 24 bailan, 10 mujeres cantan, 8 personas no cantan ni bailan y 7 mujeres cantan y bailan. ¿Cuántos hombres sólo cantan? a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 6 52
- 53. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. b d b d c b a 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 1. 2. 3. 4 5. 6. 7. 8. 9. c c a b d d c e e 10. 11. 12. d b c 13 c a e e e c 37. 38. 39. 14. 15. 16. 17. 18. d e a c 53 a e b c a d b d 35 36. e d
- 54. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA II UNIDAD MATEMÁTICA FINANCIERA COMPETENCIA: Aplica propiedades en situaciones reales de su entorno utilizando las matemática financiera Respeta la opinión de sus compañeros. Es perseverante para resolver problemas matemática financiera 54 propuestos sobre
- 55. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA SESIÓN N° 07 RAZONES Y PROPORCIONES CLASES RAZÓN Discreta Cuando todos los términos son diferentes entre sí donde: Se llama razón a la comparación de dos cantidades. Esta comparación se puede hacer de dos maneras: . a–b=c–d . . d: 4ta diferencial . Continua Cuando los términos medios son iguales: Razón Aritmética (r): Es la comparación entre dos cantidades por medio de una diferencia. . . a–b . a : Antecedente b: Consecuente ac . 2 b: media diferencial o media aritmética c: 3era. diferencial Proporción Geométrica o Equicociente: a c Si: =ky = k entonces b d Razón Geométrica (k): Es la comparación entre dos cantidades por medio de un cociente. NOTA: . a . . b .b . a–b=b–c . a : Antecedente b: Consecuente . a.d=b.c . b, c : Medios a c . b d a, d : Extremos CLASES Discreta PROPORCIÓN Cuando los términos son diferentes sí donde: Dado cuatro números diferentes de cero, en un cierto orden, formarán, una proporción, si la razón de los primeros es igual a la razón de los últimos. Esta proporción puede ser: aritmética, geométrico armónico . a c . b d . d: 4ta proporcional . Continua Cuando los términos medios son iguales Proporción Aritmética o Equidiferencia . NOTA: 2 . a.c=b . a b . b c .b a.c. b: media p roporciona l o media geométrica c: 3era. propo rcional Si a – b = r y c – d = r, entonces: . a–b=c–d . . a+b=c+d . 55
- 56. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES 6. Si Juan le da a Pedro 10m de ventaja para una carrera de 100m; y Pedro le da a Carlos una ventaja de 20m para una carrera de 180m. ¿Cuántos metros de ventaja debe de dar Juan a Carlos para una carrera de 200m? Se denomina así al conjunto de más de dos razones que tiene el mismo valor . . a1 a2 a3 ..... an k. b1 b2 b3 ..... bn Rpta. 40 m 7. Lo que cobra y lo que gasta diariamente un individuo suman S/. 60, lo que gasta y lo que cobra está en relación de 2 a 3. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto diario para que dicha relación sea de 3 a 5? Rpta. S/. 2, 4 a1 a2 a3 ............. an kn . b1 b2 b3 ............ bn Ejemplo: 1 / 2 = 2 / 4 = 3/ 6 = 4 / 8 = 0,5 En general definimos la serie: a1 . a2 a2 b2 a3 b3 .......... ..... 8. Un cilindro de 60lit. de capacidad, fue llenado completamente por 4 recipientes donde el volumen del primero es al segundo como el tercero es al cuarto como 2 es a 1. Hallar la suma de los volúmenes del segundo y cuarto recipiente. Rpta. 20 lit. an k . bn donde: a1, a2, a3, ......... an : Antecedentes b1, b2, b3, ......... bn: Consecuentes k : Constantes de 9. La relación entre 2 números es de 11 a 14. Si a uno de ellos se le suma 33 unidades y al otro se le suma 60 entoncesambos resultados serían iguales. Hallar dichos números Rpta. 99 y 126 1. Hallar la 3ra diferencial de 17 y 12 Rpta. 7 2. Hallar la 4ta diferencial de 10,7 y 5 Rpta. 2 10. Dos números están entre sí como 7 es a 12. si al menor se le suma 70, para que el 3. Dos números están en relación de 3 a 7 (o forman una razón de 3/7) y su suma es 400. Hallar el mayor de los números. Rpta. 280 valor de la razón no se altere, entonces el valor del otro número debe triplicarse. Hallar el mayor de los 2 números 4. La diferencia de 2 números es 244 y están en relación de 7 a 3. ¿Cuál es el mayor de los números? Rpta. 60 11. Determine la tercia proporcional entre la media proporcional de 9, 16 y la cuarta Rpta. 427 5. La cifra especializada ha determinado proporcional de 10, 15 y 14 que existe una posibilidad contra 3 de Rpta. 36, 75 que “Universitario” derrote al “Alianza”. Si 12. En una asamblea estudiantil de 2970 estudiantes se presentó una moción. En una primera votación por cada 4 votos a favor habían 5 en contra Pedida la reconsideración se vio que por cada 8 votos a favor habían 3 en contra. ¿Cuántas personas cambiaron de opinión?. No hubo abstenciones. Rpta. 840 las posibilidades de que “Alianza” le gane al “Muni” están en la relación de 5 a 2. ¿Qué posibilidad tiene “Universitario” de vencer al “Muni”? Rpta. 5 contra 6 56
- 57. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 13. En un fabrica embotelladora se tienen 3 máquinas A, B y C, por cada 7 botellas Hallar “z” que produce la máquina “A”, la máquina a) 12 c) 24 e) 30 “B” produce 5 por cada 3 botellas que produce la máquina “B”, la máquina “C” produce 2. En un día la máquina “A” 5. Si: produjo 4400 botellas más que “C”. ¿Cuántas botellas produjo la máquina x b) 20 d) 26 y 3 4 z 2 ; x . y . z = 192 Hallar “x + y + z” “B” ese día? a) 6 6000 b) 8 c) 12 Rpta. d) 18 14. En una proporción geométrica continua e) 20 el producto de los 4 términos es 1296 y el producto de los antecedentes es 24. 6. Si: hallar la tercia proporcional. Rpta. 9 2 a 5 b 1 c ; a + b + c = 96 Hallar “c” 15. La suma, diferencia y el producto de 2 a) 60 c) 24 e) 20 números están en la misma relación que los números 5, 3 y 16. hallar estos números. 7. Si: Rpta. 4 y 16. b) 12 d) 14 a 3 . Si b – a = 15 b 4 Hallar “a + b” PROBLEMAS PROPUESTOS a) 45 c) 105 e) 150 b) 60 d) 120 1. Hallar la 3ra diferencial de 19 y 11 a) 1 c) 3 e) 7 8. Si: b) 2 d) 5 a) 6 c) 9 e) 15 b) 8 d) 12 9. Si: b 5 c 3 2 2 2 y a + b + c =152 a) 60 c) 100 e) 140 Si: 5 z 6 5 b 3 c 6 y a + c= 66. a) 30 c) 18 e) 18 b) 80 d) 120 y a b) 21 d) 23 hallar “b” Si: a + b = 140 3 a) 20 c) 22 e) 24 a 3 . Hallar “b”; 1. Si: b 4 x 2 Hallar “a + b + c” 2. Hallar la 4ta diferencial de 18, 15 y 12 2. Si: a b) 36 d) 16 a 1 2 , x + y + z = 56 Hallar “a” 57 b 2 3 ,además,a + b + 3 = 20
- 58. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA a) 5 c) 9 e) 12 b) 7 d) 10 CLAVES Para hallar un término enésimo último cualquiera 1. C 2. C 7. C 3. B 8. A 4. C 9. C 5. D .an = a1 + (n - 1) . r . 6. B 10. B Ejemplo: Hallar el 15avo termino: 3 . 5 . 7 . 9 ............... Resolución Usemos: an = a1 + (n – 1)r del ejercicio a1 = 3; n = 15; r = 2 PROGRESIONES: ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA Reemplazando a15 = a1 + (15 - 1) . r a15 = 3 + (14) . 2 a15 = 31 PROGRESIÓN ARITMÉTICA Términos central de una P. A Es aquella sucesión de términos que se caracteriza por ser cualquier termino de ella aumentando una cantidad constante llamada razón (r) .ac = Representación an a 1 2 . Existe cuando “n” es impar a1 . a2 . a3 . .............. an a1 . a1 + r . a1 + 2r ........ . a1 + (n - 1)r Ejemplo: Hallar el término central ELEMENTOS DE P.A. 3 . 6 . 9 . 12 .......... Inicio de la P.A an término enésimo a1 primer término r razón de la P.A separación de términos Sn Suma de n primeros términos 15 tér min os CLASES DE P.A Resolución De acuerdo a la razón: Si r > 0 Si r < 0 ac = P. A. Creciente P. A Decreciente an 3 2 , tenemos que hallar an a15 = 3 + (15 - 1) . 3 PROPIEDADES Calculo de la razón: a15 = 45 Sea a1 . a2 . a3 . ................ . an r = a3 – a1 En general: . r = an – an – 1. Por tanto: ac = 45 3 ac = 24 2 Suma de una P. A En total P.A la suma de los términos equidistante de los extremos son iguales. 58
- 59. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA a a1 Sn = n .n 2 : separación de términos q razón geométrica (q 0) tn términos enésimo Sn suma de “n” primeros términos Pn producto de los “n” primeros términos Ejemplo: Hallar “S” S = 2 4 8 . 6 .......... 17 tér min os Clases de PG a 2 S17= n 2 . 17 Si q > 1 PG es creciente Si 0 < q < 1 PG es Decreciente Si q < 0 PG es Oscilante Hallar a17= ? Propiedades a17 = 2 + (17 - 1) . 2 Calculo de la razón (q) a17 = 2 + 16 . 2 a17 = 34 Sea la PG Luego: t1: t2: t3: ........... : tn 34 2 S17= . 17 2 q= S17 = 18 . 17 t t2 t = 3 ............. n t1 t2 t n 1 Calculo del termino enésimo de un PG. S17 = 306 .tn = t1 . q Además: Si n es impar Entonces Sn = ac . n n- 1 . Ejemplo: Hallar 9no término en 1 1 1 , , , ........ 81 27 9 OBSERVACIÓN: EN LA PRACTICA, PARA REPRESENTAR A UNA P.A a1 . a2 . a3 . …….. . an SE UTILIZA LA SIGUIENTE FORMA: a1, a2, a3 . ……… , an Resolución Halando la razón: 1 81 q = 27 q=3 1 27 81 COMO VERÁS SE REEMPLAZA LA COMA POR EL PUNTO PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Es una sucesión de términos en la cual un término es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante llamada razón (q) Representación: Calculando el t9 1 . 3 9 1 81 1 4 tg = 4 . 3 8 tg = 3 3 tg = 81 tg = t1: t2: t3: t4: ........: tn 2 3 n- 1 t1: tq: t2q : t1 q : ........: tn . q OBSERVACIÓN: En total PG. El producto de los términos equidistantes de los extremos es igual RESULTA MUY INCOMODO TRABAJAR CON TODOS LOS SÍMBOLOS QUE REPRESENTA A UN P.G POR LO TANTO UTILIZAREMOS A ESTA SUCESIÓN NUMÉRICA. Elementos de la PG: inicio de la PG. t1 primer término (t1 0) 59
- 60. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 1 59048 . 243 2 29524 S10 = 243 S10 = 121, 5 Término central de una PG. . Tc = t1 . tn . S10 = n impar Cuando el número el términos (n) es impar Producto términos de una PG. Ejemplo: Hallar el término central 3 , 6 , 12 , .......... .. . 15 tér min os Si: n impar Resolución Tc = 3 . t15 1 1 1 , , , ......... 128 64 32 14 tér min os 15 – 1 t15 =3 . 2 14 t15 = 3 . 2 Resolución Hallamos la razón 1 64 q = 32 q=2 1 32 64 Hallando t14. Reemplazando = 3 . 3 . 214 32 . 214 2 = 3 . 2 7 =3.2 = 3 . 128 .tc = 384 . 14 7 1 . 2 14 1 128 2 13 6 t14= 7 t14 = 2 2 t14 = Suma de una PG de un término Ahora: t1 (qn 1) . Sn = . q 1 P14 = 1 . 26 128 P14 = Ejemplo: Sumar: 1 1 1 ; ; ; ................. 243 81 27 1 . 26 27 7 7 1 1 P14 = . P14 = . 2 128 10 tér min os Resolución Hallándose la razón: Suma Limite: Suma de todos los términos de una PG. Ilimitada decreciente, se obtiene así: 1 81 q = 3 q= 1 243 SLim= Hallándose la suma de términos t1 1 q ; Si –1 < q < 1 Ejemplo: Calcular 10 S10 = n .Pn = tc . Ejemplo: Hallar el producto de términos de: Hallando t15: tc = n t1 . tn . .Pn = 1 (3 1) . 243 31 S= 60 1 1 1 1 ........... 4 8 16 32
- 61. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA Resolución: Hallando la razón 1 16 q= 1 8 1 t1 = 4 = 1 2 Como S = Rpta. t1 1q 27 6. Si: R = 21 + 23 + 25 + ..... + 189 8 q= q 16 Calcular la suma de cifras de “R” Rpta. 24 7. En un P.A se conoce: a3 = 18; a7 = 30. hallar “a22” reemplazamos Rpta. 1 4 1 1x2 S= 4 1 1 1x4 1 2 2 75 8. Hallar el valor de “x” en lña siguiente P.A (4x-5);20;(4x+5) Rpta. 1 S= 2 5 9. Sabiendo que: OBSERVACIÓN: PARA HALLAR UN TÉRMINO CUALQUIERA SE (x + y); (4x - 3y); (3x + 5y) PUEDE APLICAR LAS SIGUIENTE FORMULAS GENERALES . Son 3 términos consecutivos de una P.A. calcular el, valor de: x/y EN UNA PA: .ax = ay + (x - y) . r . Rpta. EN UNA PG .Tx= ty . q . Hallar la suma de todos los términos de la progresión Aritmética: PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Calcular el a15 en la 4;...... Rpta. 2. -44 Rpta. 61 Rpta. 1 2 Rpta. 12 12. Hallar el primer términos de una P.G si la suma de los 2 primeros términos es 15 y de los siguientes 2 términos es 60. P.A.: 6; 9; 12; ......; 36 5. t1 = 2; 11. Calcular el primer término de una P.G. en el que el tercer término es 3 y el séptimo es 3/16 ¿Cuántos términos posee la siguiente Progresión Aritmética? Rpta. 255 10. Si en un progresión geométrica t6 = 64. hallar la razón Hallar la razón de la Progresión Aritmética si el primer término es 3 y el sexto término es 8. Rpta. 4. 3, 5, 7, ....................., 31 En la P.A: 4; 7; , 10; .........., calcular el vigésimo segundo término. Rpta. 3. P.A: 12; 8; Rpta. 11 5 13. Encontrar “x” para que: Hallar: P = 35 + 36 + 37 + ........ + 355 x – 4; 2x – 8; 3x - 10 Formen una P.G de razón 2 Dar la suma de cifras de “P” Rpta. 61 6
- 62. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA c) 39 e) 43 14. Hallar la suma de los 4 términos de: t1, 16, 64, t4 Rpta. 7. Si el producto de 3 números en P.G es 27. ¿Cuál es el término central? 340 a) 1 c) 6 e) 18 PROBLEMAS PARA RESOLVER 1 d) 41 Hallar “x” en la P.A. 8. b) 3 d) 9 (2x - 10); 10; (3x + 20); ........ Si el producto de 3 números que están en P.G. es 64 y la razón es 2. hallar el menor término a) 1 c) 3 e) 5 a) 2 c) 4 e) 8 b) 2 d) 4 2. Hallar el vigésimo término de la P.A: 9. En una P.G., si t5 = 9 y t7 = 1. entonces: t6 vale: 20, 12, 4, ................, a) 152 c) 132 e) 172 a) 8 c) 7 e) 1 b) 172 d) 152 2, a, 8, 16, b, ..................... 32; 36; 40; ......., 196 a) 32 c) 60 e) 70 b) 49 d) 42 5. 1. B 2; 5; a; .......; b Hallar “a + b” Siendo b el décimo término a) 35 b) 37 62 9. D 5. A Dada la suma siguiente P.A 8. A 4. C siendo A el término 15avo a) 80 b) 40 c) 60 d) 54 e) 62 7. B 3. D Hallar “A + B - C” en la P.A: 6. B 2. C b) 1200 d) 1400 2; 8; ...............; A; B, C 6. b) 48 d) 62 CLAVES 4. Calcular la suma de los 2 primeros términos de la P.A: 12; 17; 22; .......... a) 1118 c) 1190 c) 1590 b) 5 d) 3 10. hallar la suma de los 1ros 5 términos de la P.G 3. ¿Cuántos términos hay en la siguiente P.A? a) 39 c) 41 e) 43 b) 3 d) 5 10. D
- 63. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA SESIÓN N° 08 PROMEDIOS 3 3 1 1 1 6 2 3 Cantidades representativas de un conjunto de valores (medidas de tendencia central) dado: Consideraciones importantes Para 2 cantidades “a” y “b” a1 a2 a3 ……...... an MENOR VALOR PROMEDIO MAYOR VALOR . MA Promedio Aritmético o Media Aritmética ( MA ) O simplemente promedio Suma de datos Número de datos . MG ab . 2 2ab . 1 1 ab a b . MH TIPOS DE PROMEDIO . MA ab . 2 Dado: 0 < a1 a2 a3 ……….…. an Se verifica que: an MA MG MH 0 . . Dar la MA de: 7; 13 y 4 MAYOR MENOR PROMEDI O Resolución 7 13 4 =8 3 PROMEDIO Si todos los valores son iguales MA MG MH Para cantidades “a” y “b” OJO: SEA “n” NÚMEROS Y “s” SUMA DE LOS NÚMEROS . S = n . MA (“n” números) . 2 . MG MA . MH . . MA MG Promedios Geométricos o Media Geométrica ( MG ) ( a b) 2 . 4(MA MG ) LA ALTERACIÓN DE LA MEDIA ARITMÉTICA . MG n Pr oducto de los datos . Sean los números: 3, 5 y 10 MA n: número de datos Dar la MG de: 5; 15 y 45 3 5 10 6 3 Si aumentamos 7 unidades al 5 y disminuimos 4 al 10: Resolución 3 5 . 15 . 45 15 Nuevo Pr omedio Promedio Armónico o Media Armónica ( MH ) . MH . Número de datos Suma de Inversa de los datos . Dar la MH de: 6; 2 y 3 Resolución 63 = 3 5 10 74 =7 3 3 PROMEDIO INICIAL VARIACIÓN
- 64. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA Rpta. IMPORTANTE nuevo promedio var iación del promedio inical promedio 4. Donde: var iación del promedio = total que se total que se aumenta dis min uye Número de datos Rpta. 213 TOTAL 11 x 2 17 x 1 13 x 3 78 Rpta. 7. En un reunión asistieron 200 personas asistieron 3 varones por cada mujer. Si el promedio de las edades de todos los presentes es 19 años y además el promedio de las edades de los varones es 20. hallar el promedio de las edades de las mujeres. Rpta. Pn 3 8. Hallar dos números sabiendo que el mayor y el menor de sus promedios son: 13,5 y 13 1/13 respectivamente. Indicar su diferencia. . Donde: an : enésimo de las notas, precios, … etc Rpta. Pn : enésimo de los promedios, peso frecuencias, créditos, ...... etc 3 9. Hallar la medida geométrica de dos números, sabiendo que la tercera parte de su producto, por su MA: por su MG y por su MH se obtiene 81. PROBLEMAS PARA RESOLVER 1. 15 + 78 13 6 En general: a P a2 P2 a3 P3 .......... an . PP 1 1 P1 P2 P3 ..........Pn 1 6. El promedio de 40 números es “n” y el promedio de otros 20 números es (n - 9). Calcular el valor de “n”; si el promedio aritmético de los 60 números es 12. La nota promedio será: 11 . 2 17 . 1 13 . 3 1,70m 5. Si la media geométrica de dos números es 4 y la media armónica es 32/17. ¿Cuál es el menor de dichos números? Al dar 3 exámenes, obtengo 11, 17 y 13; siendo los pesos de cada examen 2, 1 y 3 ¿Cuál será mi nota promedio? Resolución: PESOS 2 1 + 3 6 De 500 alumnos de un colegio, cuya estatura promedio es de 1,67m; 150 son mujeres. Si la estatura promedio de las mujeres es 1,60m. Calcular la estatura promedios de los varones. Rpta. Promedio ponderado ( PP ) (Promedio de Promedios) NOTAS 11 17 13 3 Si el promedio de los siguientes números es 20,5. Hallar el valor de “a”. Rpta. 3 (2a +1); (2a +2); (2a+3); ....; (5a - 2) 10. Hallar el promedio de: Rpta. 2. m ; m ; m ; ........; m ; n ; n ; n ; .......... ....; n El promedio geométrico de dos números es 12 y su promedio armónico es 4. hallar su promedio aritmético. Rpta. 3. 6 "n " Rpta. 36 "m "veces 2mn m n 11. El mayor promedio de dos números es 8, mientras que su menor promedio es. 6 hallar la diferencia de dichos números. Hallar el valor de “x”; si el promedio x x x geométrico de los números: 2 ; 4 y 8 es 64. Rpt. 64 8
- 65. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 12. Hallar la MH de: a) 14 c) 18 e) 30 1; 1/2; 1/3; 1/4; ..........; 1/1981 Rpt. 1/991 6. ¿Qué nota se obtuvo en un cuarto examen, si en los tres anteriores se obtuvo: 14; 10 y 18 respectivamente; y su promedio final fue de 15? a) 20 b) 19 c) 18 d) 16 e) 17 13. La MG de tres números pares diferentes es 6. entonces, la MA de ellos será: Rpta. 26/3 14. La media armónica de 10 números es 3/2; el de otros 2 números es 9/5. calcular la MH de los 30 números. Rpta. 7. La media aritmética de tres números es 6. y de otros dos números es 16. hallar la media aritmética de los cinco números. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 27/16 15. Si la media geométrica y la media aritmética de dos números; a y b son números enteros consecutivos. Hallar ( a b) Rpta. 8. Si tenemos: A; 10; B; 35; C y 15. el promedio de los dos primeros números es 15; el promedio de los dos últimos 10 y el promedio de todos los números es 20. Hallar “A + B + C” a) 50 b) 60 c) 40 d) 45 e) 55 2 PROBLEMAS PROPUESTOS PARA RESOLVER 1. Hallar la media geométrica de los números: 3; 4; y 18 a) 3,5 c) 5 e) 3 18 9. Calcular la media armónica de dos números. Si: MA = 45 y MG = 15 a) 8 b) 10 c) 12 d) 5 e) 6 10. El promedio de las edades en un salón de clases es de 18. Si el promedio de 20 de ellos es 15. Hallar el promedio de los restantes sabiendo que hay 50 alumnos. a) 25 b) 24 c) 32 d) 30 e) 20 b) 4 d) 6 2. Hallar la media armónica números: 1; 2; 3 y 6 a) 1,8 c) 2,1 e) 4 b) 16 d) 20 de los b) 2 d) 3 3. Hallar el promedio de los siguientes números: CLAVES 1; 2; 3; 4; ..........; 17; 18; 19; 20 1. D 2. B a) 21 c) 26 e) 27 b) 18 d) 22 5. El promedio de cinco números pares consecutivos es 16. hallar el promedio del mayor y el tercero. 65 8. B 9. D 5. C 4. Hallar el promedio de: 2; 4; 6; 8; ......; 38; 40; 42 7. B 4. D b) 10 d) 7 6. C 3. C a) 8 c) 10,5 e) 11 10. E
- 66. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA SESIÓN N° 09 MAGNITUDES PROPORCIONALES el valor de “B” también aumenta o disminuye (en ese orden) en la misma proporción. La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean D.P. es que el cociente de cada par de sus valores correspondientes, sea una constante. MAGNITUD Es todo aquello susceptible a ser medido y que puede ser percibido por algún medio. Una característica de las magnitudes es el poder aumentar o disminuir. A un niño se le podría medir: su peso, estatura, presión arterial, .....etc. OJO: DEBEMOS CONSIDERAR QUE AL RELACIONAR 2 MAGNITUDES, LAS DEMÁS NO DEBEN VARIAR DEL EJEMPLO ANTERIOR, EL PRECIO DE CADA LIBRO, NO VARÍA (PERMANECE CONSTANTE) SI: . “A” DP “B” valor de A k cons tan te . CANTIDAD (Valor): Resultado de medir el cambio o variación que experimenta la magnitud. MAGNITUD valor de B CANTIDAD Longitud Tiempo 7 días # de obreros INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA 2km 12 obreros RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES Dos magnitudes son proporcionales, cuando al variar el valor de una de ellas, el valor correspondiente de la otra magnitud cambia en la misma proporción. Se pueden relacionar de 2 maneras. Magnitudes Directamente Proporcionales (DP) Ejemplo Ilustrativo: IMPORTANTE: LA GRÁFICA DE 2 MAGNITUDES D.P ES UNA RECTA Si compramos libros cada uno a S/. 2 (Precio constante); al analizar como varia el valor de costo total, cuando el número de libros varía, se tendrá: QUE PASA POR EL ORIGEN DE COORDENADAS EN CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA (EXCEPTO EL ORIGEN DE COORDENADAS) EL CONCIENTE DE CADA PAR DE VALORES CORRESPONDIENTES RESULTA UNA CONSTANTE. SI TENEMOS QUE “A” DP “B” MAGNITUD A MAGNITUD B (Costo total) DP (# de libros) Se observo: SE VERIFICA: VALORES CORRESPONDIENTES a1 a2 a3 ....... an b1 b2 b3 …… bn a1 a2 a3 a ... n k b1 b2 b3 bn SI TENEMOS QUE “A” DP “B” . F(x) = mx . En General: Decimos que las magnitudes “A” y “B” son directamente proporcionales; si al aumentar o disminuir los valores de la magnitud de “A”, m: pendiente (constante) 66
- 67. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P) IMPORTANTE: LA GRÁFICA DE DOS MAGNITUDES IP ES UNA RAMA DE HIPÉRBOLA EQUILÁTERA. EN CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA EL PRODUCTO Ejemplo ilustrativo: DE CADA PAR DE VALORES CORRESPONDIENTES RESULTA UNA CONSTANTE. LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA SERÁ: . Fx m . x M : CONSTANTE área del rec tan gulo bajo la curva Para pintar las 60 habitaciones idénticas de un edificio se desea contratar obreros que pinten una habitación. Al analizar cómo varía el tiempo según el número de pintores contratados, se tendrá: SI TENEMOS QUE “A” I.P “B” VALORES CORRESPONDIENTES MAGNITUD A a1 a2 a3 ....... an MAGNITUD B b1 B2 …… bn SE VERIFICA: A1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = . . . = an . bn = k (# de pintores) IP (# días) Se Observa: (# de pintores) IP (# días) Se Observa: PROPIEDADES DE LAS MAGNITUDES (# de pintores) (# días) = 1 . 60 = 2 . 30 = 6 . 10 = 30 . 2 = 60 Constante En general: Para 2 magnitudes A y B se cumple: * A * A * A * A Se dice que “A” y “B” son inversamente proporcionales, si al aumentar o disminuir el valor de A, el respectivo valor de “B” disminuye o aumenta en la mismas proporción respectivamente. La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean IP es que el producto de cada par de sus valores correspondientes sea una constante. D.P. B B D. P. A I. P. B B I. P. A D. P. B An D. P. Bn I. P. B An I. P. Bn 1 * A D.P. B. A I.P. B * A I.P. B A D.P. 1 B Para 3 magnitudes A, B y C se cumple: Si: A D. P. B (C es constante) A D. P. C (B es constante) A D. P. (B . C) . A I.P.B (valor de A)(valor de B) = cte. Interpretación Geométrica A = cte B .C Luego en los problemas. Sean las magnitudes: A, B, C, D y E A D. P. A I. P. A A. P. A D. P. B C A.C Cte B.D.E D E OJO: CUANDO RELACIONAMOS LOS VALORES DE 2 MAGNITUDES, ENTONCES LOS VALORES DE LAS OTRAS MAGNITUDES PERMANECEN CONSTANTES. 67
- 68. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 2 5. Si “a” es I.P. a “b - 1”, siendo “a” igual a 24 cuando “b” es igual a 10. hallar “a” cuando “b” es igual a 5. Aplicaciones comunes: (N° de obreros) DP (obra) (N° de obreros) IP (eficiencia) (N° de obreros) IP (N° de días) (N° de obreros) diarias) IP (horas (velocidades) IP (Tiempo) (N° de obreros) DP (Dificultad) (N° de dientes) vueltas) IP Rpta. 99 1. Si las magnitudes A y B son Calcular: a + b + c A 18 a b D. P. c B 12 16 18 24 Rpta. 87 2. Sean las magnitudes A y B. Donde A es 2 D.P a(B + 1). Si cuando A = 8, B = 3, ¿Qué valor tomara A cuando B = 7? (N° de Rpta. 40 2 3. “a” es D.P a “ b ” e I.P a “c ”. Cuando a = 10; b = 25; c = 4. hallar “a” cuando b = 64, c = 8 Rpta. 4 4. De la gráfica. Hallar “a + b” #de Horas # de ) obrerospor díadías (rendimiento cosn tante (obra dificultad )( ) PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE Rpta. Las magnitudes de a y b son D. P. Cuando a = 20, b = 5. Calcular cuando a = 12 Rpta. 15 5. De la gráfica. Hallar “a + b” 3 2 2. Si a y b son D. P., cuando a vale 10, b es 7. ¿Qué valor toma A cuando B vale 28? Rpta. 20 3. Si a y b son I.P. Cuando a vale 8, b vale 6. ¿Qué valor tomará a cuando b es 4? Rpta. Rpta. 6. Según la gráfica. Hallar “x +y” 12 a y b son I. P,. Cuando 4. Si a = 100, b = 3. calcular b cuando a = 9 Rpta. 30 10 68
- 69. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 5. Rpta. 14 7. Si las magnitudes son D.P. Calcular “a + b + c” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 6. Si: “a” es I.P a “ 3 b ”, además cuando “a” es 35, “b” vale 27. ¿Cuánto vale “a” cuando “b” valga 343? A 10 b 40 5 B Rpta. a 9 24 c 24 a) 5 c) 15 e) 25 8. Si: P.V = k. Hallar “P” cuando v = 6, si P = 12 cuando v = 4 Rpta. 8 9. Si: 2 “a” es D.P. a “b ”. Cuando “a” es igual a 20 “b” es igual a 6. ¿Qué valor tomará “a” cuando “b” es igual a 3? b) 10 d) 20 7. Si A y B son IP. Calcular a = k. Hallar “a” cuando b m+n+a 2 A 30 n m a B n 15 10 1 b = 12; si a = 18 cuando b = 9 Rpta. a) 60 c) 68 e) 74 24 10. Si: a es D.P. con b. Hallar “a” cuando b = 4, si a = 4 cuando b = 2 Rpta. b) 64 d) 70 8. La gráfica nos muestra la proporcionalidad entre las magnitudes A y B. Hallar a+b+c 16 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Si “a” es P.D a ”b”. Hallar “b” cuando “a” es igual a 7, si a = 5 cuando b =15 a) 18 c) 21 e) 25 b) 20 d) 22 2. “a” es I.P. a “b”. Cuando a = 8, b = 3. Hallar “b” cuando a = 2 a) 10 c) 14 e) 16 3. “a” es D. P. a “b” . cuando 8. calcular “a” cuando: b = 12 a) 6 c) 8 e) 10 a) 40 b) 44 c) 48 d) 50 e) 52 9. “a” es D.P a “b” e I.P a “c”. Hallar el valor de “c” cuando “a” es 10 y “b” es 8, si cuando “a” es 8, “b” es 6 y “c” es 30 b) 12 d) 12 a = 6, b = a) 28 c) 30 e) 32 b) 7 d) 9 b) 29 d) 31 10. Si A y B son IP. Calcular 4. “a” es I.P a “b” cuando a = 4, b = 3. Calcular el valor que toma “b” cuando “a” toma el valor de 6. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 69 m+n+a
- 70. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 1. REPARTO PROPORCIONAL CLASES: a) REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE Cuando los valores que intervienen corresponden a dos magnitudes directamente proporcionales. Se caracteriza por que “a mayor numero proporcional le corresponde mayor cantidad”. a) 10 c) 20 e) 30 b) 15 d) 25 S CLAVES 1. C 7. C 3. D 8. B 4. B 9. E 5. E A+B+C=S (x + y + z) k = S 6. C 2. B A = xk B = yk C = zk 10. C b) REPARTO PROPORCIONAL INVERSO Cuando los valores que intervienen corresponden a dos magnitudes inversamente proporcionales. Se caracteriza por que “ a mayor número proporcional le corresponde menor cantidad”. A = k x S B = k y C = k z A+B+C = S 1 1 1 k S x y z PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Repartir 1250 en 3 partes proporcional a los números 2;3;5 . directamente Solución: 1250 se reparte en A;B;C partes, tales que: A=2k B=3k C=5k 10 k luego 10k = 1250 K = 125 Por lo tanto: A = 2 ( 125 ) = 250 B = 3 ( 125 ) = 375 C = 5 ( 125 ) = 625 2.- La herencia de tres hermanos asciende a 45 millones de soles, si dichas herencias están en la relación con los números 4;12;14 ¿ Cuántos millones recibe el mayor ? Solución: 70
- 71. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 4k + 12k + 14k = 45 30k = 45 k = 1,5 por lo tanto el mayor recibe: 6.- Repartir 36 en tres partes inversamente proporcional a los números 6; 3; y 4 ( en éste orden) obteniéndose a; b; y c. Halla : a.b.c Solución: a = k 14 x 1,5 = 21 millones a = 2k 6 b = k 3 c= k 4 3.- Dos personas invirtieron en un negocio S/. 1000 y S/. 2000 respectivamente, obteniendo una ganancia de S/.1500. ¿Cuánto le corresponde a cada una? b = 4k c = 3k 9k = 36 k=4 Solución: Por lo tanto: a = 2(4) = 8 b = 4(4) = 16 c = 3(4) = 12 Persona A = k Persona B = 2k 3k luego 3 k = 1500 k = 500 Cada persona recibirá: Persona A = k= 500 Persona B = 2k = 1000 Finalmente: 8.16.12 = 1536 PROBLEMAS PROPUESTOS 4.- Divide 261 en tres partes proporcionales a los números 12;27; 48 respectivamente. 1). Reparte 1250 en 3 partes directamente proporcional a los números 2;3;5, e indica la suma de las cifras del mayor número. Solución: 12 k + 27 k + 48 k = 261 87 k = 261 k=3 Por lo tanto: Los números serán: a) 10 d) 13 b) 14 c) 9 2). Reparte 56 en partes proporcionales a los números 3; 5; 6. Indica la mayor parte. 12 ( 3 ) = 36 27 ( 3 ) = 81 48 ( 3 ) = 144 a) 22 d) 16 b) 18 e) 24 c) 25 3). Reparte 3270 en partes DP a 7; 20; 82. Da como respuesta la mayor parte. 5.- Repartir 42 entre A; B; y C de modo que la parte de A sea el doble de la parte de B y la de C la suma de las partes de A y B. Luego calcula el producto de A.B.C a) 2460 b) 2420 d) 3240e) 840 Solución: c) 2640 4). Reparte 400 DP a los números 10; 15; 25. Indica la parte menor. De acuerdo al enunciado tenemos : A=2k B= k C = A + B = 2k + k = 3k Entonces: A + B + C = 42 2k + k + 3 k = 42 k=7 Luego : * A = 2(7) = 14 * B= 7 * C = 3(7) = 21 Por último: 14 x 7 x 21 = 2058 a) 150 d) 140 b) 80 e) 102 c) 106 5). Se reparten S/. 7500 entre 3 personas en forma D.P. a los números 15; 6; 4. ¿ Cuánto recibe el mayor? a) 2400 b) 2500 d) 4500e) 2300 c) 3200 6). Reparte 750 DP a 6; 7; 12. Da la parte intermedia. a) 210 71 b) 240 c) 360
- 72. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA d) 150 e) 120 a) 120 d) 150 7). Reparte 135 dólares entre 5 personas proporcionalmente a los números 2; 3; 4; 8 y 13 respectivamente, indica ¿ cuánto le toca al último?. a) 58.5 d) 180 b) 35 e) 81 c) 80 b) 406 e) 240 c) 75 16). Reparte 648 en forma D.P a 5 y 7 Indica la mayor parte. a) 378 d) 300 8). Reparte 594 en I.P a 2; 3; 6 y 10. Indica la mayor parte. a) 270 d) 300 b) 140 e) 90 b) 102 e) 100 c) 270 17). Reparte 648 en forma I.P a 5 y 7 Indica la mayor parte. c) 180 a) 480 d) 378 b) 270 e) 382 c) 164 9). Reparte 12240 en 3 partes proporcionales a 2/3; 1/5 y 5/6. Indica la menor parte. a) 2900 b) 1440 d) 2160e) 2880 c) 1800 1) d 4) b 7) a 10)c 13)e 16)a 10). Reparte 50 caramelos en forma proporcional a 162; 243; 405. Halla la parte que no es mayor ni menor. a) 28 d) 10 b) 20 e) 22 c) 15 11). Descompón el número 162 en tres partes que sean D.P a 13; 19 y 22. Halla la parte menor. a) 36 d) 38 b) 26 e) 13 c) 39 12). Reparte 882 I.P a 6; 12; 10. a) 252;150;480 c) 189;378;315 e) 420;210;252 b) 210;420;172 d) 140;142;600 13). Reparte 309 I.P a 9; 15; 33. Indica la mayor parte. a) 165;132;30 c) 123;145;55 e) 165;99;45 b) 165;123;39 d) 150;165;12 14). Reparte 280 D.P a 1/5; 2/3; 3/10. Da como respuesta la parte mayor. a) 160 d) 140 b) 100 e) N.A. c) 180 15). Juan tiene 8 panes y Pedro 4; deben compartirlos equitativamente con dos amigos. Para recompensarlos éstos entregan 180 soles a Juan y Pedro. ¿Cuánto le tocará a Juan? 72 CLAVES DE RESPUESTAS 2) e 3) a 5) d 6) a 8) a 9) b 11)c 12)e 14)a 15)a 17)d
- 73. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA SESIÓN N° 10 - Si 209 alumnos tardan 30 días en pintar su salón de clase ¿Cuanto tiempo tardarían 60 alumnos? Solución : REGLA DE TRES Tiempo 1. CONCEPTOS PREVIOS a) 30 x Cantidades Directamente Proporcionales 20 60 Son magnitudes I.P. Dos cantidades son D.P si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra también aumenta o disminuye en ese mismo orden. Luego x = a1 a 2 a3 k Constante de Proporcionalidad. b1 b 2 b3 b) N° alumnos 30 x 20 = 10 días 60 3. DEFINICIÓN DE REGLA DE TRES COMPUESTA Cantidades Inversamente Proporcionales (I.P) Dadas varias cantidades y una incógnita perteneciente a diversas magnitudes, determinar la incógnita. Consiste en resolver en forma simultánea dos o más reglas de tres simple: Dos cantidades son IP si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra disminuye o aumenta en ese mismo orden. Ejem : Método de los signos P P1 P 2 3 k 1 1 1 q1 q2 q3 DP A a1 Dadas tres cantidades y una incógnita pertenecientes a dos magnitudes diferentes determinar la incógnita. IP C + c1 D D + d1 IP E + e1 a2 + 2. DEFINICIÓN DE REGLA DE TRES SIMPLE DP B b1 b2 + c2 x e2 - Luego : x = a) Directa .- Si las cantidades son D.P. (directamente PRODUCTO ( ) a 2 b 2 c 1 e1 d1 PRODUCTO ( ) a1 b1 c 2 e 2 proporcionales) Ejemplo 1 : - Si un móvil recorre 120 km en 8 horas. Determina en cuantas horas recorrerá 30km. Solución : Distancia(km) PROBLEMAS RESUELTOS 1).- Si tres patas ponen tres huevos en tres días, doce patas, ¿En cuántos días podrán poner doce huevos? Tiempo (H) Solución : 120 8 30 x Son magnitudes D.P Luego : x = + Patas 3 12 - 30 x 8 = 2 horas 120 b) Inversa .- Si las cantidades son I.P. (inversamente x= proporcionales) Ejemplo 1 : 73 Huevos 3 12 + + Días 3 x - 12 x 3 x 3 = 3días 12 x 3
- 74. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 2).- En una competencia de glotones 40 de ellos puede comer 300 panes en 2 días. Si fueran 50 en 3 días. ¿Cuántos panes podrán comer? Solución : + Panes Glotones 3000 40 x 50 + Camp. Días + + 10 15 15 x + Días 2 3 + X= a)160 c) 130 a) 16 c) 33 Tiempo + 6 5 - a) 60% b) 80% c) 90% e) 120 b) 34 d) 18 e) 32 d) 100% e) 70% 4).- Si 10 carpinteros hacen 25 mesas. ¿Cuántas mesas harán 4 carpinteros? a) 20 c) 13 4).- Si 60 obreros trabajando 8 horas diarias construyen 320 metros de una obra en 20 días. ¿ En cuántos días 50 obreros trabajando 6 horas diarias construyen 300 metros de la misma obra? Solución : X= b) 140 d) 150 3).- Con un rendimiento del 50% se puede hacer una obra en 30 días. ¿Cuál es el rendimiento si se demora 15 días? Debe aumentarse 18 – 12 = 6 hombres H/D 8 6 + 7 días 2).- Si una obra tiene una dificultad del 60% y se puede realizar en 24 días. ¿En cuántas días se podrá hacer la misma obra si tiene una dificultad de 80%? 12 x 5 x 6 18 x= 4x5 Obreros + + 60 50 - - 10 x 15 x 7 x 1 x 80 = 15 x 8 x 2 x 50 Área 50 80 1).- Viajando con una velocidad de 90 Km/h. Un auto demora 8 horas. ¿A que velocidad debe viajar si desea demorar 6 horas? 3).- Una cuadrilla de 12 hombres encargados de la conservación de un tramo de la línea férrea Arequipa –Cusco, construyen 4/5 de una alcantarilla en 6 días. Si se quiere concluir la obra en 5 días, ¿cuántos hombres serán necesario aumentar? Solución : Obra 4/5 5/5 + Habilid. + 1 2 PROBLEMAS PROPUESTOS Luego : 3000 x 50 x 3 x= = 3625 panes 2 x 40 Hombres + 12 5 Horas + 7 8 b) 8 d) 10 e) 12 5).- Con una habilidad del 70% se puede hacer un trabajo en 27 minutos. ¿Cuánto demorará con una habilidad del 90%? a) 18 c) 12 Metros Tiempo + 320 20 300 x b) 24 d) 20 e) 21 6).- 8 conejos tienen alimento para 18 días. Si hay 6 conejos. ¿Cuánto duran los alimentos? a) 16 c) 21 60 x 8 x 300 x 20 = 30 días 50 x 6 x 320 b) 24 d) 20 e) 12 7).- En una semana, José gasta S/.48 en comprar gasolina, en 42 días gastará: 2 5).- 10 campesinos siembran un terreno de 50m en 15 días, en jornadas de 7 horas. Si las jornadas fueran de 8 horas. ¿Cuántos días demorarán en 2 sembrara otro terreno de 80m , 15 campesinos doblemente hábiles? a) 168 c) 336 b) 48 d) 288 e) 208 8).- Si en dos días 20 niños comen 80 panes, en una semana, ¿Cuántos panes comerán? Solución : 74
- 75. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA a) 160 c) 320 b) 240 d) 250 a) 112 b) 120 c)114 d)115 e) N.A. 17).- Caminando 6 horas diarias, un hombre ha empleado 4 días para ir de un pueblo a otro distantes entre sí 96 km. Si continuando su viaje debe ir a otro pueblo distante 192 km de este último, ¿cuántos días empleará caminando 8 horas diarias? e) 280 9).- 20 mineros tienen víveres para 15 días. Si desisten trabajar 5 de ellos, ¿Para cuántos días tendrá víveres el resto? a) 20 b) 25 c) 15 d) 18 e) 23 10).- Si 8 obreros hacen una obra en 15 días, 12 obreros harán la obra de igual característica en: a) 16 c) 20 b) 7 d) 15 a) 6 d) 8 b) 148 e) 342 e) 10 a) 18 d) 24 b) 6 e) 10 b) 6 e) 3 a) 16 d) 13 c) 5 b) 15 e) 18 c) 5 a) 18 d) 30 b) 11 e) 8 c)14 b) 12 e) N.A c) 27 CLAVES DE RESPUESTAS 1) e 4) d 7) d 10)e 13)b 16)a 19)a c) 16 15).- Doce hombres tardan 10 días en cavar una zanja de 2 m de profundidad. ¿Cuántos hombres serán necesarios para cavar otra zanja de 3 m de profundidad en 20 días? a) 10 d) 9 b) 15 e) N.A 20).- Ocho hombres cavan una zanja de 24 m de largo por 2 de ancho y 2m de profundidad, en 12 días. ¿Cuántos trabajadores con la misma habilidad serán necesarios para cavar otra zanja de 18 m de largo por 3 m de ancho y 4 m de profundidad en 8 días? 14).- Doce hombres trabajando 8 horas diarias pueden hacer un muro en 15 días. ¿En cuántos días harán otro muro igual 15 hombres trabajando 6 horas diarias? a) 14 d) 17 c) 22 19).- Doce hombres trabajando 8 horas diarias construyen 24 m de una pared en 10 días. ¿Cuántos hombres serán necesarios para construir 20 m de pared continuada en 5 días trabajando 10 horas diarias? 13).- Un hombre caminando 8 h/d ha empleado 4 días para recorrer 160 km. ¿Cuántas horas diarias debe caminar otro hombre para recorrer 300 km en 10 días? a) 9 d) 8 b) 20 e) N.A c) 230 12).- Cinco Obreros trabajando 8 horas diarias hacen una obra en 15 días; 10 obreros trabajando 6 horas diarias, ¿En cuántos días harán otra obra de igual característica? a) 9 d) 8 c) 5 18).- 120 soldados tienen provisiones para 20 días a razón de 3 raciones diarias. ¿Para cuántos días tendrán provisiones si se aumentan 30 soldados y el número de raciones diarias se reduce a 2 por día. 11).- ¿Cuántos panes darán por S/.38, si por S/.2 dan 18 panes? a) 242 d) 150 b) 3 e) 7 c) 12 16).- Una familia de 5 personas tomó una pensión durante 6 días y pagó S/. 60. ¿Cuánto pagó otra familia de 4 personas que estuvo alojada en la misma pensión durante dos semanas? 75 2) d 5) b 8) e 11)e 14)c 17)a 20)c 3) d 6) b 9) a 12)e 15)d 18)d
- 76. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA cantidad recuperada respecto al capital inicial. REGLA DE COMPAÑÍA Concepto.Es un caso particular del reparto proporcional donde se reparten las ganancias o pérdidas de las transacciones, según el capital invertido por cada socio en un periodo fijo de tiempo; dentro de una sociedad mercantil. Ganancia neta = K CT T Inical - Capital Invertido PROBLEMAS PARA LA CLASE En la Regla de Compañía se considera al capital y al tiempo como directamente proporcionales a la ganancia o a la pérdida de una transacción comercial. C Ganancia Donde: () : 01) Juan y Pedro ganaron en 1966 y 1967, 1200 soles cada año en un negocio que tienen. En 1966, Juan era dueño de los ¾ del negocio y su socio, del resto, y en 1967, Juan García fue dueño de los 2/5 del negocio y su socio del resto, por que el primero vendió al segundo una parte. Hallar la ganancia total de cada socio en los 2 años. Ganancia o pérdida Rpta.: (C) : Capital de cada socio (T) : Tiempo deS/. 900; B = S/. 800 y A = inversión del 02) A; B; C emprenden un negocio imponiendo C = S/. 750. al cabo de un año, A recibe como ganancia S/. capital180. ¿Cuánto ha ganado B y C? (meses) Rpta.: Clases.03) Tres socios que habían interesado S/. 25000 el primero; S/. 24000, el segundo y S/. 16000 el tercero, tienen que repartirse una perdida de S/. 19500. ¿Cuántos quedan a cada uno? Rpta.: 1) Regla de Compañía Simple, cuando existe un capital únicos para cada socio presentar 2 casos: 04) Cuatro socios han ganado en los 3 años que explotaron una industria, lo siguiente: el primero, S/. 5000; el segundo, los 2/5 de lo que gano el primero; el tercero, los ¾ de lo que gano el segundo, y el cuarto, los 5/8 de lo que gano el tercero. Si el capital social era de S/. 44000; ¿Con cuanto contribuyo cada uno? Rpta.: i. Capital Constante: La variación de la ganancia o pérdida es DP al tiempo. ii. Tiempo constante: La variación de la ganancia o perdida es DP al capital a derecho (de cada socio) 2) Regla de Compañía Compuesta, cuando existen distintos capitales en distintos tiempos presenta 2 casos: i. Capital Constante en tiempo variable: la ganancia o pérdida es DP al capital multiplicándose con el tiempo de cada socio. ii. Capital Variable: Ganancia o pérdida es dp al producto del capital único por el tiempo total. 05) Tres comerciantes reunieron S/. 90000 para la explotación de un negocio y ganaron: el 1° 1000; el 2° 600 y 800 el 3°. ¿Cuánto impuso cada uno? Rpta.: 06) En una industria que trabajo durante 4 años y medio, cuatro socios impusieron: el primero S/. 500 mas que el segundo, el segundo, S/. 600 menos que el tercero; el tercero, la mitad de lo que puso el cuarto y este impulso S/. 3000. si hay que afrontar una perdida de S/. 3400. ¿Cuánto perderá cada uno? Rpta.: OBS: 1) Capital Único: es a suma de todos los capitales (expresados en una misma unidad de tiempo). 2) La Ganancia neta (Gn): es la ganancia, beneficio y/o utilidad Real, después de la inversión del capital, que indica la 07) Tres amigos se asocian para emprender un negocio e imponen: S/. 2500; el segundo, la mitad de lo que puso el primero mas 600; el tercero, 400 menos que los anteriores juntos. 76
- 77. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA Al cabo de 3 años se reparte un beneficio de 16600. ¿Cuánto toca a cada uno? Rpta.: meses y el tercero por 5 meses. Si hay que afrontar una perdida de 1143. ¿Cuánto debe perder cada uno? Rpta.: 08) A emprende un negocio con S/. 3000 y a los 3 meses mas tarde entra de socio C con S/. 3000. si hay un beneficio de S/. 2700 al cabo del año de emprender A el negocio. ¿Cuánto recibe cada uno? Rpta.: 16) En una industria 3 socios han impuesto: el 1° con 6000 soles mas que el segundo; el segundo con 3000 mas que el tercero y este 8000. El primero permaneció en la industria por un año, el segundo por año y medio y el tercero por 2 ½ años. ¿Cuánto corresponde a cada uno de beneficio de 5585 soles? Rpta.: 09) A emprende un negocio de S/. 2000. Al cabo de 6 meses entra como socio B con S/. 2000 y 11 meses mas tarde entra como socio C con S/. 2000. si a los 2 años de comenzar A su negocio hay un beneficio de S/. 630. ¿Cuánto recibe como ganancia cada uno? Rpta.: 17) ¿Cuánto ganará cada uno de los 3 socios que, en la explotación de una industria, impusieron: el primero 300 más que el segundo, este, 850 y el tercero, 200 menos que el segundo; sabiendo que el primero; y el tercero, meses más que el primer; si el beneficio total es de 338? Rpta.: 10) A; B; C impusieron S/. 300 cada uno para la explotación de un negocio. A, permaneció en el mismo un año, B, cuatro meses menos que A y C; 4 meses menos que B. Si hay una pérdida que asciende al 20% del capital social. ¿Cuánto pierde cada socio? Rpta.: 18) Cuatro comerciantes asociados en una industria han impuesto: el primero 300 mas que el tercero; el segundo mas que el cuarto en 400; el tercero, 500 mas que el segundo; el cuarto S/. 2000. el primero permaneció en la industria durante año y medio; el segundo, por 1 ¾ años; el 3° por 2 ½ años y el 4° por 2 ¾ años. Si hay que repartir una ganancia de 4350. ¿Cuánto corresponde a cada uno? Rpta.: 11) Reuniendo un capital de 10 000 soles por partes iguales, tres socios emprenden un negocio por 2 años. El primero se retira a los 3 meses; el segundo, a los 8 meses y 20 días y el tercero estuvo todo el tiempo. Si hay una pérdida de 3210 soles. ¿Cuánto pierde cada uno? Rpta.: 19) Dos individuos emprenden un negocio por 1 año. El primero empieza con S/. 500 y 7 meses después añade S/. 200; el segundo empieza con S/. 600 y, 3 meses después añade S/. 300; ¿Cuánto corresponde a cada uno de un beneficio de S/. 338? Rpta.: 12) Dos individuos reúnen 8500 soles para explotar un negocio. El primero impone S/. 6000 soles para 2 años y el segundo lo restante por 3 años. ¿Cuánto corresponde perder a cada uno si hay una pérdida de S/. 1365? Rpta.: 20) En un negocio, que ha durado 3 años, un socio impuso 4000 bolívares y; a los 8 meses, retiro la mitad; el segundo impuso 6000 y al año añadió 3000; y el tercero, que empezó con 6000; a los 2 años retiro 1500. ¿Cuándo corresponde a cada uno en beneficio de 5740? Rpta.: 13) En una sociedad formada por tres individuos se han hecho las siguientes imposiciones: el primero S/. 500 por 2 años; el segundo S/. 400 por 4 años y el tercero, S/. 300 por 5 años. ¿Cuántos corresponde a cada uno si hay una ganancia de S/. 1230? Rpta.: 21) Dos hermanos forman un negocio, aportando cada uno un mismo capital, A un mes de iniciado el negocio, el primero aumenta en sus 2/3 de capital; 4 meses más tarde, el segundo reduce a sus 2/3 de su capital. Si el negocio duro 6 meses y al final se obtuvo una ganancia waaw; ¿Cuál es la diferencia de las ganancias, si estas son cantidades enteras? 14) Para explotar una industria 3 socios imponen el primero S/. 300; el segundo S/. 200 mas que el primero; y el tercero S/. 100 menos que los 2 anteriores juntos. El primero ha permanecido en el negocio por 3 años. El 2° por 4 y el 3° por 5 años. ¿Cuánto toca a cada uno de un beneficio de S/. 448? Rpta.: a) 2661 c) 1221 15) Tres individuos reúnen 25 000 bolívares, de los cuales el primero ha impuesto 8000; el 2°; 3000 mas que el primero y el 3° lo restante. El primero ha permanecido en el negocio por 8 b) 1331 d) 2112 e) 3113 77
- 78. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 22) En la imprenta Willy´s se observa el siguiente aviso: # de tarjetas impresas Medida 500 5 x 8 cm 2 S/. 7,50 1000 5 x 8 cm 2 25) Se ha realizado un beneficio de 5610 soles en un negocio en el que han intervenido dos individuos. El negocio ha durado unos 3 años. El primero empieza con 8000 soles, a los 7 meses retira la mitad de su capital y 2 meses mas tarde, agrega 2000. El segundo, que empezó con 6000, al año doblo su capital y 5 meses mas tarde retiro S/. 4000. ¿Cuánto ganara cada uno? Indicar la suma de cifras del mayor. S/. 14,00 Costo a) 20 c) 18 Si hay 20% de descuento en la producción de tarjetas. ¿Cuánto se pagaría por 1000 tarjetas 2 de impresión de 8 x 18 cm ; si el material para 2 hacerlas viene en planchas de 1,5 x 2,4 m ? a) 39,5 26) Tres individuos se asocian en un negocio que dura 2 años. El primero impone S/. 2000 y al cabo de 8 meses, S/. 1500 más. El segundo impone al principio S/. 5000 y después de un año saca la mitad. El tercero, que había impuesto al principio S/. 2500, saca a los 5 meses S/. 1000 y 2 meses mas tarde agrega S/. 500. si hay una perdida de S/. 500. ¿Cuánto corresponde perder a cada uno? d) 41,3 e) 41,5 23) Andrade, Fujimori y Toledo forman una sociedad. El capital de Andrade es al capital de Fujimori como 1 es a 2 y el capital de Fujimori es al de Toledo como 3 es a 2. a los 5 meses de iniciado el negocio, Andrade tuvo que viajar y se retiro del negocio; 3 meses después Fujimori también se retiro del negocio 4 meses después, Toledo liquidaría su negocio repartiendo las utilidades. Si Andrade hubiese permanecido un mes en el negocio habría recibido S/. 64 más. ¿Cuál fue la utilidad total obtenida en el negocio? a) 2536 a) 170 2/5; 212 34/35; 117 ¼ d) 170 1/6; 212 34/35; 117 2/3 e) 170 10/47; 212 36/47; 117 1/47 27) Cinco socios han impuesto: el primero S/. 2000 por 2 años, 4 meses; el segundo S/. 2500 por los 3/7 del tiempo anterior el tercero S/. 3000 por os 5/6 del tiempo del segundo; el cuarto S/. 4000 por un año y 8 meses y, el quinto, S/. 500 menos que el cuarto por ¾ de año. Habiendo S/. 9100 soles de utilidad. ¿Cuánto gana cada uno? Dar como respuesta la suma de la suma de las cifras de cada valor. e) 2128 24) Tres socios imponen S/. 60 000 por partes iguales en un negocio que dura 2 años. El primero, al terminar el primer año añadió unos S/. 1500 y 4 meses después, retiro S/. 5000; el segundo a los 8 meses añadió S/. 4000 y, 5 meses después otros S/. 2000; el tercero, a los 14 meses retiro 5600 soles. Si hay una perdida total de 7240 soles. ¿Cuánto pierde cada uno? Indicar la suma de las cifras de cada valor. a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29 28) De los tres individuos que contribuyeron una sociedad, el primero permaneció en la misma durante un año; el segundo, durante 7 meses más que el primero y el tercero durante 8 meses más que el segundo. El primero había impuesto S/. 800, el segundo, 400 menos que le segundo. Si hay una perdida de 224 soles. ¿Cuánto corresponde perder a cada uno, respectivamente? b) 8; 5; 9 c) 13; 13; 5 170 7/9; 212 ½; 117 15/17 c) d) 2218 a) 11; 9; 7 170 11/12; 212 1/3; 117 3/38 b) b) 2812 c) 2182 d) 9 e) 6 b) 40,8 c) 41 b) 10 d) 5; 5; 13 e) 4; 13; 11 78
- 79. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA a) 16; 30; 48 b) 12; 15; 23 c) 27; 39; 51 estado en el negocio 3 años; el segundo, 2 a los y 7 meses; el tercero 14 meses y el cuarto, año y medio. ¿Cuánto tocara a cada uno de una ganancia de 6930 bolívares, respectivamente? d) 48; 85; 81 e) 30; 87; 96 f) g) h) i) j) 29) Tres individuos se asocian para iniciar una empresa. El primero impone S/. 2000 durante 3 años; el 2° S/. 1800 durante 4 años y el 3° S/. 3300 por 8 meses. ¿Cuánto corresponde a cada uno si hay un beneficio de 2500 soles? Dar la aproximación de la parte entera. 1999; 736; 456; 1879 2750; 2000; 930; 712 2520; 2170; 980; 1260 2003; 1982; 727; 432 602; 799; 1988; 1015 33) Luisa y Roxana inauguran un negocio, Luisa aporta S/. 5020 y permanece en el negocio durante 3 meses. Roxana aporto 700 soles y estuvo durante 5 meses. Si al finalizar el negocio hubo una ganancia de 5000; calcular la ganancia de Luisa y Roxana. a) 799; 276; 402 b) 612; 400; 10 c) 900; 1200; 300 a) 100 c) 300 d) 986; 1184; 328 e) 578; 1207; 610 b) 200 d) 400 e) 500 34) Cinco colonos han emprendido un negocio imponiendo el primero S/. 500; el segundo; S/. 200 mas que el segundo y así sucesivamente los demás. Hay que hacer frente a una perdida de S/. 600. ¿Cuánto pierde cada uno? (respectivamente) 30) A emprende un negocio con capital de S/. 2000 a los 4 meses toma como socio a B, que aporta S/. 2000 y 3 meses mas tarde, admiten como socio a C, que aporta otros S/. 2000. Cuando se cumple un año a contar del día en que A emprendió el negocio hay una utilidad de S/. 1250. ¿Cuánto recibe cada socio? (respectivamente) a) 600; 400; 250 k) l) m) n) o) b) 300; 120 70 1/2; 90 1/4; 200; 150; 188 1/9 66 2/3; 93 1/3; 120; 146 2/3; 173 1/3 70; 60; 50; 140; 208 66 1/2; 92 1/5; 100; 107 2/3; 200 1/4 70 1/5; 90 3/4; 208; 152; 188 7/9 c) 460; 500; 300 35) Cuatro individuos explotan una industria por 4 años y reúnen 10 000 soles, de los cuales el primero pone 3500; el segundo 2500, el tercero, la mitad d lo que se puso el primero y, el cuarto, lo restante. Hay que repartir la ganancia de 5000. ¿Cuánto toca a cada uno? (respectivamente) d) 700; 600; 500 e) 250; 120; 212 31) Tres individuos emprenden un negocio imponiendo A = S/. 900; B = S/. 800 y C = S/. 750 al cabo de una año A recibe como ganancia S/. 180. ¿Cuánto han ganado B y C? a) 120; 130 b) 130; 140 c) 140; 150 p) q) r) s) d) 170; 180 N.A. e) 160; 150 32) Se constituye entre 4 comerciantes una sociedad por 4 años, reuniendo 24 000 bolívares por partes iguales. El primero ha 79 1982; 2001; 1946; 875 1750; 1250; 875; 1125 1740; 1230; 825; 1105 1800; 1180; 912; 1179
- 80. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA SESIÓN N° 11 B = 2; calcula “A”, cuando B = 8. TALLER DE REFORZAMIENTO: PROBLEMAS RESUELTOS a) 64 b) 256 e)512 2 1).- Las magnitudes A DP.B; cuando A vale 20 B es 18. ¿Qué valor toma A cuando B vale 72? Resolución: a) 16 d) 75 2 b) 32 e) 25 * Como A DP. B c) 18 2 Valor 2 ( A ) cte Valor (B ) Magnitud 4).- Si “A” es DP. “B ” y cuando “A” es 6; B = 2; calcula “A”, cuando B = 10. Valores A 20 20 B 18 18 a) 164 d) 200 * Luego: b) 150 e) 512 c) 80 5).- Si “A” es IP. a “B” y cuando A = 24; B = 8; ¿cuánto valdrá “A”, cuando B = 16? 202 n2 202 x 72 n2 n2 202 x 4 n 40 18 72 18 2 2).- Si A es DP. B además cuando A = 18; B = 9. Calcula: B cuando A = 8. a) 14 b)12 c) 16 d)54 e)96 6).- Si “A” es DP. a B y cuando A = 6; B = 4, ¿cuánto valdrá “A”, cuando B = 9? Resolución: * Si: A DP. B2 d) 32 3).- Se sabe que “A” es D. P. a B cuando A = 2; B = 5. ¿Cuál será el valor de “A” cuando B = 20? 2 c) 8 A cons tan te B2 a) 6 d) 18 * Luego: 18 8 8 x 9218 2 B2 B 2 36 B 6 2 9 B b) 9 e) 9/2 c) 18 2 7).- Si 3 A es IP. a B y cuando A = 64; B = 4; calcula el valor de “B”, cuando A =64. 3).- Si la magnitud A es inversamente proporcional a la magnitud B y cuando A = 15, B = 24, halla B cuando A es 120. a) 2 d)13 Resolución: b)8 e)7 c) 16 2 8).- Si “A” es DP. “B ” y cuando “A” es 24; B = 4; calcula “A”, cuando B = 6. * Como “A” es IP a “B”, entonces: AB = constante ó A1 x B1 A 2 x B2 A 3B3 ..... a) 12 d) 54 * Luego reemplazamos los valores dados, así: 15 x 24 120 B 15 x 24 B B 3 120 b) 28 e) 17 9).- Si “A” es IP. a “B” y cuando A = 48; B = 16; ¿cuánto valdrá “A”, cuando B = 32? a) 22 d)23 b)24 e)27 2 10).- A es D.P con B e I.P a 1).- Si “A” es DP. a B y cuando A = 12; B=16, ¿cuánto valdrá “A”, cuando B = 18? b) 54 e) 64 c) 26 C , cuando A = 4; B = 8 y C = 16. Halla “A” cuando B = 12 y C = 36. PROBLEMAS PROPUESTOS a) 28 d) 44 c) 36 a) 2 b) 6 c) 8 d) 4 e) 10 11).- Si 3 A es IP. a B y cuando A= 64; B = 4; calcula el valor de “B”, cuando A= 8. c) 36 a) 2 d) 13 2 2).- Si “A” es DP. “B ” y cuando “A” es 16; 80 b) 8 e) 7 c) 16
- 81. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 4 12).- Si “A” es DP. a B y cuando A = 48; B = 2; calcula “A”, cuando B = 3. PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. a) 27 d) 162 b) 9 e) 243 c) 81 13).- “P” varía inversamente proporcional a “T”, cuando P = 125, entonces T = 48. Determina “T”, cuando P = 300. a) 12 d) 13 b) 20 e) 17 Rpta. 2. c) 16 14).- Si la magnitud A es inversamente proporcional a la magnitud B y cuando A = 30, B = 48, halla B cuando A es 240. a) 1 b)2 c) 6 d)3 3. 4. c) 80 4 b)98 c) 81 d)62 Rpta. 270 6. Repartir 360 en 3 partes que sea inversamente proporcionales a los números 3, 4y 6. Hallar la mayor parte. c) 281 18).- Si la magnitud A es inversamente proporcional a la magnitud B y cuando A = 60, B = 96, halla B cuando A es 480. a) 14 d) 13 b) 22 e) 15 28840 5. Repartir 858 en partes directamente proporcionales a los números: 3 5 4 . Hallar la menor parte , y 4 6 5 e)96 4 b) 229 e) 288 320 Tres sastres compran un lote de piezas iguales de tela que valen 57680. El primero se queda con 2 piezas, el segundo con 7 y el tercero en 5. ¿Cuánto paga el segundo? Rpta. 17).- Si “A” es DP. a B y cuando A = 18; B = 4; calcula “A”, cuando B = 8. a) 227 d) 262 Dividir el número 688 en partes D.P. a 8,15 y 20. Hallar la mayor parte Rpta. 16).- Si “A” es DP. a B y cuando A = 6; B = 3; calcula “A”, cuando B = 6. a) 78 400 e)5 2 b)68 e)88 200 Un enunciado reparte 840 soles en partes proporcionales a las edades de sus tres hijos, siendo éstas de 24, 20 y 40 años. ¿Cuándo le corresponderá al mayor? Rpta. 15).- Las magnitudes A DP.B; cuando A vale 20 B es 18. ¿Qué valor toma A cuando B vale 72? a) 92 d)86 Repartir el número 1000 en 3 partes que sena D. P. a los números 2, 3 y 5. Hallar el menor número Rpta. 160 c) 12 7. Repartir 735 en partes inversamente proporcionales a 1/5, 3/5 y 3. hallar la suma de cifras de la mayor parte. 1) b 4) b 7) c 10)b 13)b 16)e CLAVES DE RESPUESTAS 2) b 3) b 5) b 6) b 8) d 9) b 11)b 12)e 14)c 15)c 17)e 18)c Rpta. 8. Tres personas compran todos los boletos de una rifa en forma directamente proporcional a 2, 3 y 7. Si el premio se reparte en forma inversamente proporcional al número de rifas comprado. ¿Cuánto dinero recibió el que compró más boletos si en total se repartió S/. 2542? Rpta. 81 12 372
- 82. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 9. 2. Un padre reparte 520 dólares proporcionalmente al promedio que obtienen sus hijos en Aritmética. ¿Cuánto reciben las notas obtenidas son 12; 13; 15? Dar por respuesta lo que recibe el mayor Divide 1600 en partes inversamente proporcionales a 2/3, 1/5 y 6. Calcular la suma de las partes mayor y menor Rpta. 1240 10. Dividir en 170 en dos partes inversamente proporcionales a los números 3/2 y 4/3. Hallar el mayor Rpta. a) 156 c) 195 e) 179 90 3. Repartir 429 en partes proporcionales a 2/3; ¾ y 5/24. Dar por respuesta la mayor parte. 11. Repartir 1000 en partes directamente proporcionales a 8 , 18 y 150 . Hallar el menor Rpta. a) 55 c) 198 e) 250 200 a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 10 5. Repartir 1000 en forma inversamente proporcional a 1/3, ½, 1/5. Hallar la mayor parte. 372 13. Divide 1600 en partes inversamente proporcionales a 2/3, 1/5 y 6. Calcular la suma de las partes mayor y menor Rpta. a) 100 c) 300 e) 500 1240 a) 1000 c) 4000 e) 8000 90 15. Repartir 1000 en partes directamente proporcionales a 8 , 18 y 150 . Hallar el menor b) 3000 d) 6000 7. Repartir el número 1246 inversamente proporcional a 5/2; 4 y 6/5. hallar la suma de cifras del menor número. Rpta. 200 a) 8 c) 10 e) 12 PROBLEMAS PARA RESOLVER REPARTO PROPORCIONAL 1. Repartir S/. 5200 entre A, B y C partes directamente proporcionales a 2; 3 y 1/5. ¿Cuánto recibe C? a) 55 c) 198 e) 250 b) 200 d) 400 6. Se ha hecho un reparto en 3 partes inversamente proporcional a 3; 13 1/6. la segunda parte es 72 soles. ¿Cuál fue el total repartido? 14. Dividir en 170 en dos partes inversamente proporcionales a los números 3/2 y 4/3. Hallar el mayor Rpta. b) 176 d) 200 4. Repartir el número 1246 inversamente proporcional a 5/2; 4 y 6/5. hallar la suma de cifras del menor número. 12. Tres personas compran todos los boletos de una rifa en forma directamente proporcional a 2, 3 y 7. Si el premio se reparte en forma inversamente proporcional al número de rifas comprado. ¿Cuánto dinero recibió el que compró más boletos si en total se repartió S/. 2542? Rpta. b) 169 d) 215 b) 9 d) 11 8. Repartir 1000 en forma inversamente proporcional a 1/3, ½, 1/5. Hallar la mayor parte. b) 176 d) 200 a) 100 c) 300 e) 500 82 b) 200 d) 400
- 83. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 9. Se ha hecho un reparto en 3 partes inversamente proporcional a 3; 13 1/6. la segunda parte es 72 soles. ¿Cuál fue el total repartido? a) 1000 c) 4000 e) 8000 b) 3000 d) 6000 10. Repartir 348 en dos partes directamente proporcionales a 3 y ¼, e inversamente proporcionales a ½ y 1/5. Hallar la suma de cifras de la mayor parte. a) 12 c) 16 e) 20 b) 14 d) 18 11. Se reparte 596000 en forma proporcional a los números 2, 4, 6, 8 e inversamente proporcional a los números 1, 3, 5, 7. ¿Cuánto le corresponde a la parte menor? a) 100000 c) 250000 e) 320000 b) 120000 d) 300000 CLAVES 1. 2. 3. 4. 5. D C C E E 6. D 7. D 8. A 9. D 10. B 83
- 84. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA SESIÓN N° 12 El 20% del 10% de 40% es: TANTO POR CIENTO 20 10 . 100 100 REGLA DEL TANTO POR CIENTO: Nos indica una relación entre una parte y la unidad que ha sido dividida en 100 partes iguales. 50 30 . x 60% = 9% 100 100 Unidad 1 100 1 100 8 % = 0,8% 10 El 50% del 30% de 60% es;: Es decir: 1 100 . 40% = 1 100 El a% del b% de c% a b abc . .c% % 100 100 10000 TANTO POR CIENTO DE UNA CANTIDAD: 1 100 El 20% de 30 = 20 . 30 = 6 100 100 partes iguales El 60% del 10% de 500 es = 60 10 . . 100 100 500 = 30 Luego: <> 1 = 1% (uno por 100 2 partes <> 2 = 2% (dos por 100 1 parte OPERACIONES CON PORCENTAJE ciento) 20%A + 30%A = 50% A 70%B – 30%B = 40%A ciento) m + 10%m = 100% m + 10% m = 3 3 partes <> = 3 % (tres por 100 ciento) 100 partes <> 1 110% m N – 30%N = 70%N 100 = 100% (cien por ciento) 100 2A + 10%A = 210%A 5% menos = 95% Observamos que: 1 a 1% = a%= 100 100 100 . 100% = =1 . 100 RELACIÓN PARTE - TODO: . OBSERVACIÓN: El 7 por 40 <> Ejemplos: 7 40 El 35 por ciento Parte . 100% . Todo ¿Qué tanto por ciento es 12 de 40? <> 35 100 El 20 por 45 <> 20 45 El 90 por mil <> 12 . 100% = 30% 40 90 1000 El “a” por “b” <> a b PORCENTAJE DE PORCENTAJE: 84
- 85. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA ¿Qué porcentaje de 80 es 25? Otra forma: (–) (–) 10% y 30% de N 90% . 70%N = 63%N Du = 100% - 63% = 37% Ejemplo 2 ¿A que aumento único equivalen tres aumentos sucesivos del 10%; 20% y 50% de una cantidad? 25 . 100% = 31, 25% 80 ¿Qué porcentaje de “A” es “B“? Resolución: (+) (+) (+) 10%; 20% y 50% B . 100% A 110 120 . .150% = 198% 100 100 Aumento único = 198% - 100% = 98% En una reunión de 60 personas, el 20% son hombres y el resto mujeres. ¿Qué porcentaje de las mujeres son los hombres? VARIACIÓN PORCENTUAL Resolución: N° personas: 60 = 20 . 60 12 (hom bres ) 100 48 (mujeres ) Ejemplo 1: Si el lado de un cuadrado aumenta en 20% ¿En que porcentaje aumenta su área? Resolución Luego: Final 12 . 100% = 25% 48 Inicial OBSERVACIÓN: PIERD QUEDA O 10% 75% 8% 40% A1 a PIERD GANO a O 90% 25% 92% 60% 20% 30% 80% 100% A2 120% 130% 180% 200% 120% a +20% El área: 2 2 DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS: Ejemplo 1 ¿A que descuento único equivale dos descuentos sucesivos del 10% y 30% de una cantidad? Otra Forma: Se asume al lado inicial diez Resolución: Sea “N” la cantidad inicial: N (90% N) 70%(90% N) = 63% (Queda) El área: - 10% Descuento A1 = 10 A1 = 100 2 A2 = 12 A2 = 144 Aumento en 44% 2 -30% = 2 A1 = a A = (120% a) 2 2 A = 120%a . 120%a = 144% a El área aumenta en 144% - 100% = 44% 100% - 63% 37% 85
- 86. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA Ejemplo 2: Si el radio de circulo aumenta en 100%, ¿En qué porcentaje aumentara su área? Ejemplo: Para fijar el precio de venta de una articulo se aumento su costo en un 80% pero al venderse se hizo una rebaja del 40%. ¿Qué tanto por ciento del costo se ha ganado? Resolución: Sea precio de costo S/. X 1° PF = x + 80%x PF = 180%x 2° D = 40% PF 3° PV = 60% (PF) = 60% (180%x) = 108%x Luego: PV = PC + G 108%x = x + G G = 8%x ganancia es el 8% del costo El área: A1 = (10 ) A2 = (20 ) 2 2 PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. El radio de una esfera disminuye en 40% con ellos el volumen disminuye en: APLICACIÓN COMERCIAL Rpta. Ejemplo: Aurelio compró una computadora en S/. 400 (precio de costo: PC) y decide ofrecerle en $500(precio fijado: Pf) sin embargo, ala momento de venderlo lo hace por S/. 420(precio de venta PV), se realiza un descuento de (500 – 420 = 80 soles) y se obtuvo una ganancia de 420 – 400 = 20 soles, (ganancia bruta: GB); pero esta operación comercial genera gastos pos S/. 5 o sea se ganó realmente 20 - 5= 15 soles (ganancia neta GN) veamos: 78, 4% 2. El precio de una refrigeradora es de S/. 1200 en tiendas sagafalabella y tiene los siguientes descuentos: 40%, sólo por hoy. 20% más si paga con tarjeta CMR. ¿Cuál es el monto a pagar? Rpta. S/. 576 3. Si la base de un rectángulo se incremente en 20%. ¿En cuánto disminuye la altura si el área no varia? Rpta. 4. El x% de 2057 es 187. Hallar “x” Rpta. Luego del gráfico: * . PV = PF – D . = GN + Gastos 16 2/3% 100/11 5. El 25% de que número es el 35% de 770 * . PV = PC + GB.GB Rpta. Si hay pérdida: 1078 6. ¿De que número es 216 el 8% más? . PV = PC – P . 86
- 87. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA Rpta. 200 Rpta. PROBLEMAS PARA RESOLVER 7. El a% de 300 es b y b% de 30 es 27. Hallar a. Rpta. 1. La base de un triángulo aumenta en 50% y su altura en 20%. ¿En qué porcentaje varia en área? 30 8. El 18% de 990 es el n% de 198. Hallar n. Rpta. a) 70% c) 60% e) 50% 90 9. El a% de b es c el c% de a es e. Hallar a. a) b) c) d) e) 40% 11. En una reunión el 40% del total de personas son hombres. Si se retira la mitad de éstos. ¿Cuál es el nuevo porcentaje de hombres? Rpta. Aumenta en 28,5% Aumenta en 25,8% Disminuye en 28,5% Disminución en 25,8 N.A. 3. De un depósito de agua se extrae primero el 20% y luego el 25%. ¿Qué porcentaje del total se extrajo? a) 40% b) 44,% c) 44% d) 45% e) 39,7% 25% 12. El 20% menos de A es igual a 2% más de B si A + B = 546. Hallar A - B Rpta. b) 80% d) 40% 2. Si al altura de un rectángulo disminuye en 35% y la base aumenta en 10%. El área Rpta. 100 c/b 10. Se observo que en una granja el número de patos, conejos y pavos en la relación de los números 4, 5 y 6. ¿Qué porcentaje del total son pavos? Rpta. 2% 4. Si el lado de un cuadrado disminuye en 30%. ¿En qué porcentaje disminuye el valor de su área? 66 a) 60% c) 39% e) 56% 13. Si el 65% de “N” es igual al 106% de (N 123). ¿Qué porcentaje de N representa 53? b) 30% d) 51% 5. Hallar el 36% de 2500 Rpta. 16.6% 14. En una reunión el 70% del número de mujeres es igual al 50% del número de hombres. ¿Qué porcentaje del total son mujeres? a) 693,3 c) 900 e) N.A. b) 1000 d) 368 6. ¿De que número es 72 el 2.4%? Rpta. 41,6% a) 3 b) 172,8 c) 300 d) 3000 e) N.A. 7. ¿Qué % de 38000 es 190? 15. En una granja: el 30% de los animales son pollos, el 45% son patos y el resto son gallinas. Si se venden la mitad de los pollos; 4/9 de los patos y 3/5 de las gallinas. ¿Qué porcentaje del nuevo total son patos? Rpta. a) 1/2 c) 1/200 e) N.A. 50% b) 50% d) 2% 8. Hallar el 20% del 25% del 40% del 15 por 60 de 24000 16. ¿Qué porcentaje del cuádruplo de la mitad del 60% de un número es el 30% del 20% de los 2/5 del número? a) 120 c) 140 e) 124 87 b) 100 d) 125
- 88. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA SESIÓN N° 13 9. Hallar el 20% del 30% del 10000. a) 50 b) 70 c) 90 d) 100 e) 110 REGLA DE INTERÉS INTERÉS 15% de Es la ganancia o beneficio al prestar un capital durante cierto tiempo y bajo una tasa a considerarse. Si el interés es anual se le llama renta. 10. ¿El 25% de 280 es el 40% más de que número? a) 40 c) 35 e) 48 Interés (I) : Capital (C) : propiedades, etc. Tiempo (T) : b) 50 d) 28 CLAVES 1. B 8. A 4. D 9. C 5. C EL AÑO CONSIDERADO ES EL COMERCIAL, AQUEL QUE TIENE 12 MESES DE 30 DÍAS CADA UNO 7. A 3. A Año, meses, días OBSERVACIONES: 6. D 2. C Crédito, renta (anual) Dinero, acciones, 10. B Tasa (r): Es el porcentaje anual, considerado como tasa de interés. OBSERVACIONES: POR EJEMPLO, TENEMOS: 3 % MENSUAL 36% ANUAL 12% BIMENSUAL 72% ANUAL 10% QUINCENAL 240% ANUAL Monto (M) : Viene a ser la suma del capital con su interés Así: . M=C+1 . Fórmulas para calcular el interés simple: . 1= . 1= . 1= C. r. t 100 C. r. t 1200 C. r. t 1200 , “t” en años . , “t” meses . , “t” en días. . Ejemplo: Pedro deposita 4000 soles bajo una tasa de 12% semestral durante 15 meses. ¿Cuál es el monto que obtiene? Resolución: C = S/. 4000 r = 12% semestral 24 % anual t = 15 meses 88
- 89. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA I= C. . r . t 1200 4000 . 24 . 15 = 1200 8. Hallar el monto que produce un capital de 10800 soles al ser colocado 5% durante 2 años, 3 meses, 20 días Rpta. S/. 12045 = 1200 Y como M = C + I 9. Durante cuanto tiempo estuvo depositado un capital al 12% anual si el interés producido alcanza el 60% del capital M = 4000 + 1200 M = 5200 Rpta. PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. ¿Cuál es el capital que al 5% de interés simple anual se convierte en 3 años en S/. 3174 ? Rpta. 10. Un comerciante dispone de S/. 12000 y coloca una parte al 3% y la otra al 5% tal es así que acumula una renta anual de S/. 430. ¿Cuáles son esas dos partes? S/. 2760 . . Rpta. M=C+I 3174= C + Rpta. 2. Determinar el interés generado al depositar S/. 1200 al 10% trimestral durante 6 meses S/. 240 Rpta. 150% 13. Una persona tiene S/. 16000 que lo presta al 5% trimestral y otra tiene S/. 20000 que lo presta al 5% cuatrimestral. ¿Dentro de cuántos años los monto serán iguales? Rpta. 20 S/. 7500 4. Calcular el interés producido por un capital de S/. 60000 impuesto durante 30 meses al 10% trimestral. Rpta. 4% 12. Un capital colocado a interés simple produjo en 8 meses un monto de S/. 19300. si el mismo capital se hubiera impuesto a la misma tasa de interés por años, el monto hubiera sido S/. 38600. ¿Cuál es la tasa anual? 3. Un capital estuvo al impuesto al 9% de interés anual y después de 4 años se obtuvo un monto S/. 10200. ¿Cuál es el valor del capital? Rpta. S/. 8500 y S/. 3500 11. ¿A que tasa de interés cuatrimestral se presto un capital de S/. 400 de tal manera que al cabo de 8 meses produce un monto de S/. 432? C = 2760 Rpta. 5 años S/. 60000 14. ¿Qué capital es aquel colocado al 5% anual durante 10 meses, produce S/. 3300 menos que si se impusiera al 5% mensual durante el mismo tiempo? 5. los 2/5 de un capital han sido impuesto al 30%, 1/3 al 35% y el resto al 40%. El interés total es de 41200 soles anuales. Calcular el capital Rpta. S/. 120000 Rpta. 7200 15. ¿A qué tasa debe colocarse un capital para que al cabo de 5 años se produzca un interés igual al 20% del monto? Rpta. 5% 6. Un capital de 2100 soles impuesto al 6% anual ha dado un monto de S/. 2400. Calcular el tiempo. Rpta. 2 años 4 meses 20 días 7. Un capital es colocado durante 2 años y medio; entre capital e interés resultan 2728 nuevos soles. Si el interés ha sido 1/10 del capital. Calcular la tasa. Rpta. 4% 89
- 90. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA PROBLEMAS PARA RESOLVER e) 12 años 1. Calcular el interés producido por S/. 2000 impuesto durante 3 años a) S/. 500 c) S/. 2000 e) S/. 2500 9. ¿A que tasa fue impuesto un capital si durante 4 años se obtuvo un interés igual al 22% del capital? b) S/. 1000 d) S/. 1200 a) 3% b) 3,5% c) 5% d) 5,5% 6% 10. ¿Cuántos meses estuvo colocado un capital al 3% cuatrimestral, si produjo un interés igual al 6% del capital? 2. ¿A que tasa de interés, la suma de S/. 20000 llegaría aun monto de S/. 21200 colocada a interés simple en 9 meses? a) 5% c) 7% e) 9% b) 6% d) 8% a) b) c) d) 3. Calcular el interés producido por un capital de S/. 40000 durante 4 años al 30% semestral e) 1 año a) S/. 48000 b) S/. 72000 c) S/. 48000 d) S/. 72000 e) S/. 54000 4. Cuál es el capital que se coloca al 30% durante 2 años para obtener un interés de S/. 120. a) S/. 180 c) S/. 220 e) S/. 250 CLAVES 1. D 2. D 3. B 4. B 5. C b) S/. 200 d) S/. 240 5. Un capital “C” produce al cabo de dos años un beneficio de 1440. Hallar “c”, si la tasa de interés es del 10% bimestral. a) 1320 d) 1200 e) 1260 b) 1440 d) 1220 6. ¿Cuál fue el capital que impuesto al 30% anual, durante 4 años ha producido un monto de S/. 220? a) 200 b) 100 c) 300 d) 400 e) 180 7. Durante cuántos años se deposito un capital de S/.2500 en un banco que paga el 9% trimestral para que se haya convertido en S/. 5200 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 8. ¿Cuánto tiempo debe ser prestado un capital al 20% para que se triplique? a) 8 años c) 10 años 4 meses 6 meses 8 meses 10 meses b) 9 años d) 11 años 90 6. B 7. B 8. C 9. D 10. B
- 91. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA SESIÓN N° 14 Pm REGLA DE MEZCLA P1 . C 1 P 2 . C 2 .... Pn . C n C 1 C 2 .... C n n Se va a calcular el precio de la mezcla conociendo las cantidades y precios respectivos de las sustancias que la componen. Se va a calcular las cantidades o la proporción en los que se deben mezclar varias sustancias para que resulte un precio dado de la mezcla. Se van a observar problemas sobre mezclas homogéneas. MEZCLA Pm Px C x x 1 n Cx x 1 NOTA Cuando en la mezcla se utiliza agua su precio se considera S/. 0 (cero) Ejemplo 1 Se mezclan 2 clases de cacao de 40 kg de S/. 4 el kg y 80 kg de S/. 8 el kg. Hallar el precio medio de la mezcla. Es la unión de dos o más sustancias. Llamadas componentes o ingredientes, donde al mezclarse cada uno de ellos conservan su propia naturaleza. Ejemplo: Arroz tipo A con arroz tipo B al mezclarse se obtiene una mezcla tipo “C”; los granos de A y B no se alteran. Resolución: Pm 40 4 80 8 40 80 Pm S / . 6,6 Ejemplo 2 Se mezclan 3 tipos de vino: 30 litros de S/. 4 el litro, 60 litros de S/. 6 el litro y 20 litros de S/. 5 el litro. Hallar el precio medio de la mezcla. PRECIO: Es el costo por cada unidad de medida del componente. VALOR: Es el costo total de cada componente, que resulta del producto del precio por el número de unidades. Resolución: Pm 30 4 60 6 20 5 30 60 20 580 Pm Pm= S/. 5,27 Rpta. 110 PRECIO MEDIO (PM): Es el costo de una unidad de medida de la mezcla. MEZCLA INVERS Á Una mezcla inversa se caracteriza por que se conocen el precio medio y los precios unitarios, pero no las cantidades. MEZCLA DIRECTA C1 C2 C3 .... S / .P1 S / .P 2 S / .P3 P1 Cn Pm P2 Costo total Cantidad total Luego: S / .Pn C1 C2 C1 Pm P2 C2 Pm P1 Pm Pm P 2 P1 P m Donde: P 1 P m P 2 Ejemplos: Se han mezclado vinos de S/. 100 y S/. 40 para vender la mezcla a S/. 75 el litro. Se dice que la mezcla es directa cuando el propósito es hallar el precio medio (valor medio de la mezcla). 91
- 92. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA ¿Cuál deberá ser la pureza de alcohol que deberá añadirse a 80 litros de alcohol de 96% de pureza, para obtener un hectolitro de alcohol de 90% de pureza? En que relación debe hacerse la mezcla? Resolución: C 1 C 1= 75 40 35 100 75 40 Piden: C 2 100 75 25 C2 C1 C2 35 25 C1 C2 7 5 Resolución: Nota: 1 hectolitro=100 litros Para completar faltan 20 litros: luego: Rpta. 80(96%) 20(x%) 90% 80 20 7 680+ 20x= 9 000 De donde: x= 66% Se tiene café de S/. 13 y S/. 9 respectivamente. ¿Qué cantidad de cada uno de ellos se requiere para obtener una mezcla de 64 kg a S/. 12 el kilogramo? Ejemplo 02 Si 30 L de una solución contiene 12 L de alcohol. ¿Cuántos litros de agua debemos agregar para obtener una solución al 25%? Resolución 13 9 C1 C1= 12 9 3 C2 12 C 13 12 1 2 Resolución: Si agregamos “x” litros de agua, se tiene: 12 gm 25% 30 x 12 1 Resolviendo 30 x 4 x 1 8 L Rpta. Están en relación de: 3k y k Dato: 3k k 64 4 k 64 k= 16 C 1 3(16) 48 C 2 1(16) 16 ALEACIÓN MEZCLAS ALCO HÓ LICAS Cuando se tiene como sustancias componentes al alcohol y agua generalmente. Aleación es la mezcla de dos o mas metales mediante el proceso de la fundición, conservando cada metal su propia naturaleza. Grado de pureza de Alcohol Porcentaje de alcohol puro en la mezcla Grado Metales finos o preciosos: oro, plata, platino Metales ordinarios o de liga: cobre, fierro, zinc, etc. (volumen de alcohol puro).100% volumen total LEY DE UNA ALEACIÓN: Se llama ley de una aleación de un metal fino con un metal ordinario (liga) a la relación que existe entre el peso de un metal fino, y el peso total de la aleación. Se expresa en porcentaje (%) o en grado ( º ). Grado Medio (gm) Es el grado de pureza de la mezcla. L volumen de alcohol puro gm .100% volumen de la mezcla gm Rpta. V1 . g 1 V2 . g 2 .... Vn . g n V1 V2 V3 ..... Vn Peso del metal fino Peso total de la aleación L WF WF WO Nota: Generalmente la ley de una aleación se representa en décimos o milésimos. Ejemplo 01 92
- 93. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA a) 6g LIGA DE UNA ALEACIÓN: d) 10g Peso del metal ordinario Liga Peso total de la aleación WO Liga WF WO WF 0, 4 15 De donde: WF 6 g Rpta. Sean mezcla do 200 litros de vino de a S/. 5.00 el litro con 30 litros de vino de mayor precio obteniendo una mezcla con un precio medio de 6.50 sólo por litro. ¿Cuál es el costo en soles por litro del mencionado vino de mayor precio? a) 16.5 b) 16.9 c) 16.8 d) 16.6 e) n.a. 1 k k: # de quilates 24 Si el oro es de 24 quilates (oro puro) su ley es uno ( 1 ). Ley de oro: L Resolución: El total de litros vendidos es 200 30 230 , como su precio medio por litro es de 6.50 soles el valor total será. LEY MEDIA (lm) W3 l1 l2 l3 lm .......... e) 12g Se tiene que: LEY DE ORO: En el caso del oro su ley se puede expresar también en quilates. Al oro puro se le asigna una ley de 24 quilates, el número de quilates representa el número de décima cuarta parte de oro que contiene la aleación. W2 b) 7g Resolución: Nota: L+Liga=1 Si un metal fino no contiene metal ordinario o sea WO 0 L= 1 Si un metal ordinario no contiene metal fino o sea WF 0 Liga= 1 W1 c) 8g Wn 230 6.50 1 495 soles ln Ahora bien sea el mayor precio por litro, luego el total será W1 l1 W2 l2 W3 l3 ..... Wn ln W1 W2 W3 .... Wn 200 5 30 p ó 1 000+ 30p Como en ambos casos el valor total es el mismo tendremos. Ejemplo 01: Se funden 280 g de oro puro con 200 g de cobre. Hallar el número de quilates de la aleación. 1 000+ 30p= 1 495 1 495 1 000 p 16, 5 30 p 1 6, 5 Resolución: Rpta. ¿Cuál será la ley media de la aleación resultante de fundir 3 bloques de aleación cuyos pesos son: 4; 5 y 6 kg, donde sus leyes respectivas son de 0,750 ; 0,850 y 0,900? 2 280 k 200 280 24 De donde: k= 1 4 Rpta. Del enunciado: Ejemplo 02: ¿Cuántos gramos de oro puro hay en un collar que pesa 15 g, cuya ley es 4 décimos fino? 93
- 94. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA a) 0,483 c) 0,843 d) 0,814 estos pesan 165,420kg. ¿Cuántos litros de agua contiene esta leche? a) 26 litros b) 14 litros c) 28 litros d) 19 litros e) n.a. b) 0,413 e) n.a. Resolución: Ley de aleación: Resolución: Por cada litro de agua agregado se pierde: 4(0, 750) 5(0, 850) 6(0, 900) Lm 456 12 650 Lm 0, 8 4 3 Rpta. 15 1 030 1 000= 30g d e pe so 181, 4 litro s d e le che pura pe sa riá n 161, 4 1 030= 166, 242kg El peso de la leche comprada es 165, 920 g. y la diferencia de pesos da: 840g Luego de agua hay: Un comerciante vende dos tipos de vinos de S/. 90 y S/. 75,60 soles el litro; los cuales los mezcla en la proporción de 5 partes del mas barato por 7 partes del más caro. Si quisiera ganar un 25% en la mezcla a como debe vender el litro. a) S/. 106 b) S/. 107 c) S/. 105 d) S/. 108 e) n.a. 3 840 30 Si 80 litros de agua contiene 15% de sal. ¿Cuánto de agua se debe de evaporar para que la nueva solución contenga 20% de sal? a) 10 litros b) 5 litros c) 20 litros d) 19 litros e)n.a. Resolución: Total 1 008 soles 25% de 1 008 = S/. 252 Sal Luego el precio total de venta será: El precio por litro será: Luego: 12 20 (80 x) Rpta. 100 60 80 x x 20 litros Rpta. Se tiene oro de 9 decimos fino (0,900) y oro de 18 quilates (0,750). ¿Cuántos gramos hay que tomar de cada clase para obtener 60 gr. de ley de 800 milésimos fino? 4 b) 10 y 20 e) n.a. Se ha mezclado de una sustancia con 70kg. De otra, las sustancias cuestan 3 soles y 5 soles el Kg. respectivamente. ¿Qué cantidad tendrá que entrar de una tercera sustancia de 4 soles el kg. Para que el precio medio de la mezcla resulte de 3,95 soles el Kg? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 7 c) 20 y 40 Resolución: Dato: C C 2 60 1 Resolución: Sea “x” la cantidad buscada. 3k 3k 60 Luego: k= 20 80 3 70 5 x 4 3, 95 80 70 x 240 350 4 x 3, 95(150 x) Pr omedio C 1 20 y C 2 40 20 y 40 15 (80) 12 litros 100 Se evapora “x” litros de agua, la sal no se evapora. S / . 1 008 + S / . 252 = S / . 1 260 a) 20 y 10 d) 40 y 30 Rpta. 6 Resolución: Supongamos que el total de la mezcla es 12 litros de vino. Del barato: 5 75, 60 378 so le s Del caro: 7 90 630 soles 1 260 S/. 105 12 28 litros Rpta. 0, 05 x 2, 5 Un litro de leche pura pesa 1 030g. si se han comprado 161,4 litros de leche y 5 94 x= 50 Rpta.
- 95. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA Que cantidad de carbón con 4% de humedad se debe mezclar con un carbón de 8% de humedad para obtener 164 kg de carbón con 7% de humedad. a) 43 b) 42 c) 40 d) 41 e) 50 8 75 y 25 600 y 200gr. Peso= 700 200 950gr. Peso= 950gr. Rpta. Una cierta cantidad de azúcar de 120 soles el kilo se mezcla con 100 kilos de azúcar de 180 soles el kilo, si el precio resultante era 142,5 soles. Hallar dicha cantidad. a) 133 b) 160 c) 166 10 Resolución: Proporción de la mezcla: 8% 1% ó 1kg 0,800 4% 3% ó 3kg Total = 4kg. * Por una mezcla de 4kg. Se toma 1 kg con 4% de humedad * Para una mezcla de 165 kg se tomarán d) 130 Resolución: P1 120 , P 2 180 , P m 142, 5 Sabemos: 164 1 41 Kg. 4 x 4 1 kg Rpta. Pm Si 1 litro de mezcla formado del 75% de alcohol y 25% de agua pesa 850 gramos ¿Cuánto pesara 1 litro de mezcla formado de 25% de alcohol y 75% de agua? a) 890g b) 950g c) 900g d) 980g e) 925g 9 C 1 P1 C 2 P 2 Luego: C1 C 2 142,5= 120x 180 100 x 100 Resolviendo: x 500 166 2 3 3 2 166 Rpta. 3 Resolución: NOTA: 1 litro de agua H 2 O Pesa 1 Kg. ó 1000 gramos. Primera mezcla: OH 2 3 xKg 100Kg x 100 Kg x H 2O e) 166 Si 20 litros de agua contiene 15% de sal ¿Cuánto de agua se debe evaporar, para que la nueva solución contenga 20% de sal? a) 5 b) 10 c) 15 d) 3 e) 8 11 25% 1L pesa 250gr. 75% 1L pesa x gr. 850 gr. xL Se deduce 0,75L de alcohol. Pesa: 850-250=600gr. Segunda mezcla: H 2O OH 20 x L 20L SAL SAL Sal=15%20 litros Sal=3L 25% 1L pesa 250gr. 75% 1L pesa y gr. Se evapora “x” de agua (la sal no se Evapora) Peso?750 y 3 20% 20 x Aplicando regla de 3 simple: Alcohol Peso 0,75 Luego: 3 600 1 mezcla 0, 25 y 2 mezcla 20 20 x 100 x 5 Rpta ra da 95
- 96. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA A una solución de 2 litros de alcohol (en volumen) se le agrega 1 litro de agua y ½ litro de alcohol ¿Cuál seria el nuevo % de alcohol en la mezcla? a) 27,5% b) 25,7% c) 25% d) 20% e) 16,6% alcohol que puede agregarse a la solución original a fin de que la solución final contenga como mínimo 72% de alcohol? a) 14 b) 5 c) 17 d) 9 e) 10 12 Resolución: OH H 2O Alcohol 20% 2 0, 4L agua 80% 2 1, 6L 2 litros Se agrega 1L de agua y Entonces: OH H 2O Resolución: “x” litros de solución al 67% volumen alcohol echado. 67%x 0, 67x 15L Alcohol Agua 75% 1 L de alcohol. 2 Peso?750 y 0, 4 0, 5 0, 9L 1, 6 1 2, 6L Volumen de alcohol: 75 45 15 L 11, 25L 100 4 Obtenga solución al 72%. Al final habrá 15 x L de solución al 72% 3,5 litros 72 15 x 0, 67x 11, 25 100 Luego el nuevo porcentaje de alcohol en la nueva mezcla es: Resolviendo: 10, 8 0, 72x 0, 67x 11, 25 0, 05x 0, 45 Valcohol 0, 9 9 VTotal 3, 5 35 x 9 litros Rpta. 0, 257 25,7% Rpta. Dos clases diferentes de vino se han mezclado en los depósitos Ay B, en el deposito A la mezcla esta en proporción de 2 a 3 respectivamente y en el deposito B, la proporción de la mezcla es 1 a 5 ¿Qué cantidad de vino debe extraerse en cada deposito para formar una mezcla que contenga 7 litros de vino de la primera clase y 21 litros de la otra clase? a) 12 y 16 b) 13 y 15 c) 10 y 18 d) 15 y 13 e) 18 y 10 15 Calcular el peso de un litro de mezcla conteniendo 70% de agua y 30% de alcohol, sabiendo que un litro de agua pesa un kilogramo y un litro de mezcla de 75% de alcohol y 25% de agua pesa 960gr. a) 988gr b) 984gr c) 1007,5gr d) 940gr e) 1000gr 13 Resolución: Mezcla I: Alcoho l75% 1 0, 75L 710gr 1litro agua 25% 1 0, 25L 250gr 960gr Mezcla II: Resolución: A x y Alcohol 30% 1 0, 30L 284gr 1litro agua 70% 1 0, 70L 700gr 984gr 2a 3a B x y 1b 5b 984gr Rpta. x e y clase de vino Una solución de 15 litros de alcohol y agua contiene 75% de alcohol ¿Cuál es el máximo de litros de una solución al 67% de 14 Dato de x 7L 2a b 7............ (1) y 21L 3a 5b 21............ (2) Operando: 5(1)-(2) 96
- 97. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA a) 5,4 7a 14 a 2 En (1) b 3 *Se saca de “A” 5a 5 2 10L d) 4,6 *Se saca de “B” 6b 6 3 18L Rpta. 8 Se han mezclado 40 litros de vino de S/, 60 el litro, con 140 litros de S/. 50 el litro. ¿Qué cantidad de agua habrá que añadir para vender el litro a S/. 1,95 ganando un 30%? a) 110 b) 100 c) 120 d) 108 e) 105 2 Se mezclan 15 litros de alcohol de 40º, con 35 litros de 30º y 40 litros de 60º. ¿De que grado es la mezcla resultante? a) 40º b) 48º c) 50º d) 45º e) 52º 9 Un comerciante pesa 1 030 g, un lechero entrega 55 litros de leche con un peso de 65,5 kg; le agregó en la leche, ¿En que volumen? a) 3 L b) 5 L c) 4 L d) 6 L e) 8 L 3 Se alean 350 g de palta con 150 g de cobre. ¿Cuál es la ley de aleación? a) 0,700 b) 0,750 c) 0,800 d) 0,850 e) 0,900 10 ¿A cuanto debe venderse el litro de vino que resulta de mezclar 20 litros de S/. 80 el litro con 50 y 30 litros de S/. 40 y S/. 69 el litro respectivamente, si no se debe ganar ni perder? 4 Se mezclan tres metales de pesos: 200 g, 300 g y 800 g; cuyas leyes son respectivamente: 320 milésimas, 500 milésimas y 925 milésimas. ¿Cuál es la ley media? a) 0,820 b) 0,733 c) 0,720 d) 0,715 e) 0,723 a) 56,7 d) 55,9 b) 58,4 e) 60 c) 53,9 11 Se mezclan 30kg de café de S/. 39 el kilo con 48 kg y 52 kg de S/.26 y S/.13 respectivamente; se desea saber a como debe venderse cada kg de la mezcla si se debe ganar el 10%. a) 25,40 b) 25,70 c) 26,18 d) 28,4 e) 27 5 Se mezclan dos sustancias cuyas densidades son 2 y 3 g/ l, en las cantidades de 8 litros y 10 litros respectivamente. ¿Cuál es la densidad de la mezcla resultante? b) 2,18 e) 2,55 e) 5,2 7 Se mezclan tres tipos de vino: 20 litros de S/. 3 el litro, 50 litros de S/. 5 el litro para que resulte de S/. 40 el litro. Indicar la cantidad de agua que se debe añadir. a) 55 b) 50 c) 40 d) 70 e) 65 1 Cual es el grado de una mezcla que contiene alcohol y agua, sabiendo que tiene 40 litros de los cuales 16 litros sonde agua? a) 60º b) 50º c) 70º d) 75º e) 55º a) 2,40 d) 2,41 b) 5,8 c) 4,8 c) 2,31 12 ¿A como se vendió cada kilogramo de la mezcla de 27,33 y 45 kg de arroz cuyos precios son respectivamente S/.10,6 ; S/.5,3 y S/.2,65 el kilogramo, si se perdió el 7%? 6 Se mezclan 2 clases de maní: 30 kg de S/.4 el kg y 70 kg de S/. el kg. Hallar el precio medio de la mezcla. 97
- 98. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA a) 6,20 4,7 d) 5,8 b) 4,9 c) litro son de S/.800 y S/.1 100 para obtener una mezcla cuyo precio medio sea de S/.920 a) 2/3 b) 3/4 c) 4/3 d) 4/5 e) 3/2 e) 5,11 13 Se fundieron dos lingotes de plata de igual peso y cuyas leyes son de 0,920 y 0,950. ¿Cuál es la ley resultante? a) 0,924 b) 0,0905 c) 0,935 d) 0,912 e) 0,918 20 ¿Qué cantidades de vino de S/.35 ; S/.50 y S/.60 el litro han de mezclarse para conseguir a S/.43,5 cada litro, con la condición de que la segunda clase, entre el doble de cantidad de la tercera. Indicar la máxima diferencia de 2 de estas cantidades. a) 600 b) 800 c) 700 d) 900 e) 950 14 Un vaso lleno de aceite pesa 1,69 kg y lleno de alcohol pesa 1,609kg sabiendo que a igualdad de volúmenes, el peso del aceite es los 9/10 del peso del agua y el alcohol los 21/25 del mismo. ¿Cuántos gramos pesa el vaso vacio? a) 425 b) 615 c) 608 d) 612 e) 475 21 Un recipiente de 100 litros de capacidad esta lleno con alcohol de 80º. ¿Cuantos litros de dicho recipiente hay que sacar para que al ser reemplazado por agua se obtenga una mezcla de 60º? a) 40 L b) 60 L c) 50 L d) 75 L e) 65 L 15 Un adorno de oro de 16 quilates, contiene 60 g de oro puro. ¿Cuantos gramos de liga contiene el adorno? a) 18 b) 20 c) 30 d) 24 e) 26 22 Se mezclan alcohol puro, agua y vino cuyos volúmenes están e la misma relación que los números 3; 5 y 2. Hallar el porcentaje de alcohol en el vino, si al mezclar éste resulto de grado 37. a) 35º b) 30º c) 45º d) 37º e) 42º 16 Hallar la ley de una aleación de oro y cobre que tiene una densidad de 14, sabiendo que la densidad del oro es de 19 y la del cobre 9 ( aproximadamente) a) 0,678 b) 0,915 c) 0,583 d) 0,584 e) 0,832 23 Un anillo de 33 g de peso está hecho de oro de 17 quilates. ¿Cuántos gramos de oro puro se deberán agregar al fundirlo para obtener oro de 21 quilates? a) 40 g b) 42 g c) 44 g d) 45 g e) 43 g 17 Se mezclan 8 litros de aceite de S/.600 el litro y 12 litros de aceite de S/.800 el litro. ¿A cómo se debe vender cada litro de la mezcla resultante? a) S/.840 b) S/.710 c) S/.730 d) S/.805 e) S/.720 24 ¿Qué cantidad de cobre habrá que mezclar a una barra de plata de 44 kg y de ley de 0,920 para que la ley disminuya en 0,04? a) 42 b) 46 c) 44 d) 45 e) 48 18 Un comerciante ha comprado 350 litros de aguardiente a S/.1.95 el litro. ¿Qué cantidad de agua habrá que añadir para vender el litro a S/.1,95 ganando un 30%? a) 104 b) 105 c) 102 d) 110 e) 108 25 Al precio de S/. 2 200 el kilogramo se plata, se ha vendido en S/770 un vaso que pesaba 500 g. ¿Cuál es la ley de este vaso? 19 En que proporción se deben mezclar dos tipos de vino, cuyo precios por 98
- 99. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA SESIÓN N° 15 a) 0,7 b) 0,6 c) 0,8 d) 0,9 Taller de Reforzamiento e) 0,75 ASUNTOS COMERCIALES: PROBLEMAS PROPUESTOS FORMULAS: 26 Se funden 50 g de oro puro con 450 g de una aleación, la ley de la aleación aumenta en 0,020. ¿Cuál es la ley de aleación de la primera? a) 0,6 b) 0,9 c) 0,36 d) 0,8 e) 0,39 1) Si Pv Pc Pv = Pc + g 2) Si Pv Pc Pv = Pc - p 27 Se tienen 60 litros de una mezcla de ácido sulfúrico al 40% de pureza. ¿Cuántos litros de agua se deben agregar para obtener una mezcla que sólo tenga el 10% de pureza? a) 160 b) 150 c) 180 d) 170 e) 190 Donde : Pv = Precio de venta. Pc = Precio de compra. g = Ganancia. p = Pérdida. 1.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $ 35,si se quiere ganar el 20% del precio de costo?. 28 Se tiene alcohol de 80% y 60% cuyo volumen del primero es el triple del segundo. ¿Cuántos litros de alcohol de 65% se debe agregar para obtener 96 litros de 69%? a) 56,3 b) 57,6 c) 58,1 d) 58,9 e) 60 a) 56 d) 42 e) 35 b) 28 c) 36 2.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $ 82,si se quiere ganar el 18% del precio de costo?. a) 56 d) 94.78 29 Si se funden 50 g de oro con 450 g de una aleación, la ley de aleación aumenta 0,02. ¿Cuál es la ley de la aleación inicial? a) 0,70 b) 0,65 c) 0,91 d) 0,80 e) 0,85 b) 28 e) 35.7 c) 96.76 3.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $ 3500,si se quiere ganar el 25% del precio de costo?. a) 4375 d) 4455 b) 2886 e) 3565 c) 4475 4.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $ 1450,si se quiere ganar el 32% del precio de costo?. 1. 2. 3. a d a 10. 11. 12. a c e 4 b 13 e 5. 6. 7. 8. e a d a a) 1824 d) 1814 9. c a b e b 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. e b c a e b a d c A) 464 D) 191 28. 29. b c) 1914 5.- ¿Cuál fue el precio de venta de un producto que costó S/ 500, si se perdió el 14% del precio de costo? 14. 15. 16. 17. 18. c b) 1328 e) 1235 B) 463 E) 514 C) 430 d 6.- ¿Cuál fue el precio de venta de un televisor que costó S/ 480, si se perdió el 30% del precio de costo? A) 464 99 B) 163 C) 284
- 100. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA D) 336 E) 214 15.- En cuánto se debe vender un artículo que costó $ 750 y se quiere ganar el 22% del precio de costo?. 7.- ¿ Cuál fue el precio de venta de un producto que costó S/ 150, si se perdió el 10% del precio de costo? A) 164 D) 114 B) 163 E) 135 A) 146 D) 191 B) 163 E) 149 16.- En cuanto se vendió un artículo que costó S/. 120 y se perdió el 20% del precio de costo? A) 87 D) 91 B) 1020 E) 1014 B) 510 E) 414 A) 500 D) 914 B) 151 E) 201 B) 516 E) 260 A) 302 D) 191 C) 584 B) 163 E) 114 A) 9300 D) 1900 C) 128 B) 1630 E) 2014 C) 320 B) 5400 E) 9600 C) 8900 20.-El precio de costo de una refrigeradora es de $270. ¿ En cuánto deberá venderse si se desea ganar el 22% del precio de costo? A) 464.5 D) 1914 B) 516.3 E) 315.8 C) 329.5 C) 284 21.- A cómo debo vender lo que me costó S/. 180 para ganar el 30% del costo? A) 234 D) 214 C) 128 B) 415 E) 258 C) 248 22.- A cómo debo vender lo que me costó S/. 360 para ganar el 10% del precio de venta? A) 345 D) 914 14.- En cuánto se debe vender un artículo que costó $ 1500 y se quiere ganar el 24% del precio de costo?. A) 1864 D) 1860 B) 306 E) N.A. 19.- A cómo debería venderse un automóvil que costó $ 7500 , si se desea ganar el 24% del precio de costo? 13.- En cuánto se debe vender un artículo que costó $ 240 y se quiere ganar el 15% del precio de costo?. A) 464 D) 276 C) 584 18.- Calcula el precio de costo de un producto si para ganar el 10% del precio de costo se vendió en $ 352. 12.- ¿Cuál es el precio de costo de un producto, si para ganar el 20% del precio de costo tuvo que venderse en S/.480 ? A) 400 D) 914 B) 516 E) 614 C) 1284 11.- ¿Cuál es el precio de costo de un producto, si para ganar el 20% del precio de costo tuvo que venderse en S/.180 ? A) 146 D) 150 C) 96 17.-¿ Cuánto costó un producto si al venderlo en S/. 600, se gana el 20% del precio de costo? 10.- ¿Cuál fue el precio de venta de un producto que costó S/ 680, si se perdió el 25%?. A) 464 D) 914 B) 104 E) 86 C) 162 9.- ¿ Cuál fue el precio de venta de un producto que costó S/ 1500, si se perdió el 32% del precio de costo?. A) 1064 D) 1914 C) 1284 C) 184 8.- ¿ Cuál fue el precio de venta de un producto que costó S/ 180, si se perdió el 10% del precio de costo?. A) 164 D) 114 B) 915 E) 201 B) 516 E) 396 C) 395 23.- A cómo debo vender lo que me costó $150 para ganar el 30% del costo. C) 1284 A) 345 D) 145 100 B) 316 E) 396 C) 195
- 101. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA REGLA DE INTERÉS 24.-¿ En cuánto debe venderse un Televisor que costó $ 1450,si se quiere ganar el 32% del precio de costo?. A) 1464 D) 1914 B) 5163 E) 2014 1. ELEMENTOS: a) Capital (c) : Dinero que se presta. b) Tiempo(t) : Período por el cual se presta el dinero. c) Tasa o rédito (r): Porcentaje de ganancia o interés. d) Interés o renta (I): Ganancia que produce el capital. e) Monto (M) : Es la suma del capital mas los intereses producidos. C) 1284 25.- ¿En cuánto debe venderse un refrigerador que costó $ 385, si se quiere ganar el 20% del precio de costo?. A) 464 D) 914 B) 163 E) 514 C) 462 2. FORMULAS IMPORTANTES: 26.- ¿En cuánto debe venderse una enciclopedia que costó $ 135, si se quiere ganar el 22% del precio de costo?. A) 164.7 D) 191.6 B) 163 E) 514.9 Observación: En cada fórmula la tasa debe ser anual C) 184 Para t = años 27.- ¿ En cuánto debe venderse lo que costó $ 350, si se hace una rebaja del 35% del precio de costo?. A) 1464 D) 191.4 B) 516.3 E) 201.4 I=c.r.t 100 100 C) 227.5 Para t = meses I=c.r.t 1200 28.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $ 350,si se quiere ganar el 35% del precio de costo?. A) 464,5 D) 914,5 B) 163 E) 514,5 Para t = días C) 472,5 I=c.r.t 36000 29.- ¿Cuál fue el precio de venta de un producto que costó S/ 80, si se perdió el 30% del precio de costo? A) 56 B) 63 D) 91 E) 51 100 Nota: Si r y t no están en las mismas unidades, podemos reemplazarlas por sus equivalencias. C) 84 Si la tasa es mensual: x = 12r%. Si la tasa es bimestral: x = 6r%. Si la tasa es semestral: x= 2r% 30.- ¿Cuál fue el precio de venta de un producto que costó S/ 180, si se perdió el 10% del precio de costo?. A) 146 D) 191 B) 156 E) 201 C) 162 8% mensual <> CLAVES DE RESPUESTAS 1) D 4) C 7) E 10)B 13)D 16)C 19)A 22)E 25)C 28)C 2) C 5) C 8) C 11)D 14)D 17)A 20)C 23)C 26)A 29)A Esta fórmula se utiliza solo cuando r y t tengan las mismas unidades. 3) A 6) D 9) B 12)A 15)B 18)C 21)A 24)D 27)C 30)C 16% Bimestral. 24% Trimestral. 48% Semestral. 96% Anual. 4% quincenal. El mes comercial es 30 días. El año comercial es 360 días. PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Calcula el interés, si: C = S/. 2 000 r = 2% anual t = 3 años. 101
- 102. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA Solución: a) S/. 4 230 b) S/.3420 S/. 2340 e) S/. 2 430. I = 2 000x2x3 100 c) S/. 4 320 d) 2.- ¿Qué interés produce un capital de S/. 3200 prestados al 30% anual durante 2 años? I = 120 a) 320 e) 1320 2.- Calcula el interés, si: C = S/. 2 000 r = 6% mensual t = 3 años. b) 192 c)1920 d) 169 3.- ¿Cuál es el interés de S/.8000 al 15% anual en 9 meses? Solución: a)1080 e) N.A. r = 6% x 12= 72% anual I = 2 000x72x3 100 d)1200 4.- El interés que produce S/.516 000 al 2,5% anual durante 72 días es: I = 4320 a) S/.2866.70 c) S/.2668 3.- ¿Cuál es el interés que produce S/.1100, colocados al 38% anual durante 5 años? b) S/.2686 d) S/.2866.5 e) 2580 5.- Si un capital prestado al 3% mensual durante 20 meses ha producido un interés de S/. 225, entonces dicho capital es: Solución I =? C = 1100 r = 38% T = 5 años. I = 1100x38x5 100 b)10800 c)900 a) S/. 375 d) S/.510 b)S/. 5000 e) S/. 735. c) S/. 550 6.- A qué tanto por ciento se impone S/. 700 tal que en 90 días ha producido S/. 63 de interés, es: I = 2090 a)18% d)36% 4.- ¿Cuál es el interés que prestado al 2,8% mensual durante un año tres meses y diez días ha producido S/. 1500 de interés? b)30% e)32%. c)34% 7.- Si se desea obtener una renta mensual de S/ 2000. ¿A qué tanto por ciento anual se debe prestar S/.50 000? Solución C =? r = 2.8%x12= 33.6% T = 1 A+4 M+ 10 D= 490 días. I = 1500. a)38% d)25% b) 40% e)18%. c)48% 8.- ¿A qué tanto por ciento mensual se prestó S/.208 000 si produjo S/.700 en 60 días? (aproximación al centésimo) 1500 = Cx33.6x490 3600 a) 2% d) 2,02% b) 2,2% c) 1,2% e) 0.17% C = 328 9.- El tiempo que estuvo impuesto un capital de S/.8600 al 36% para producir un interés de S/.1548 es: PROBLEMAS PROPUESTOS a) 2a d) 4m 1.- Un interés producido por S/. 4 800 impuestos al 30% anual durante 3 años es: 102 b) 6m e) 3a. c) 120d
- 103. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 10.- Miguel recibe un préstamo por el cual tiene que pagar S/. 1680 de interés al 32% anual durante un año y dos meses, Miguel recibió: a) 1200 e)N.A. b)3400 c)4500 d) 590 20.- ¿ Cuál es el interés que produce S/.1100 colocados al 12% anual durante 5 días? (con aproximación al décimo) d) 1900 a) 1.8 d) 2.3 11.- Si un capital prestado al 2,5% mensual durante año y medio ha producido un interés de S/.3240, dicho capital es: a) 8000 d) 7200 b)1400 e) N.A. a) 12 d) 20 b) 5a e) N.A. b) 34 e) N.A. c) 4a a) 2% d) 20% a) 54 d) 50 b) 800 e) 700 c) 600 b) 180 e) 140 a) 960 d) 810 c) 600 b) 28 e) 27 b) 280 e) 170 c) 26 a) 1280 d) 1210 b) 800 c) 600 b) 1380 e) 1170 c) 1600 27).- Calcula el interés, si: C = S/. 3 000 r = 6% mensual t = 2 años. c) 600 19.- Calcula el monto que genera un capital de S/. 400 durante 10 meses al 12% anual. a) 880 b) 980 e) 870 C = S/. 2 000 r = 8% anual t = 8 años. 18.- Calcula el interés que produce un capital de S/. 2 000 en 2 años al 0.5% mensual? a) 240 d) 210 c) 66 26).- Calcula el interés, si: 17.- Halla el interés que genera $ 720 colocados al 40% anual durante 35 días? a) 14 d) 50 b) 64 e) 47 25).- Calcula el interés, si: C = S/. 4 000 r = 4% anual t = 6 años. 16.- ¿Cuál es el interés que genera $ 2400 colocados al 18% anual durante 3 meses? a) 108 d) 160 b) 22% c) 12% e) 18% 24).- ¿ Cuál es el interés que produce S/.1100, colocados al 38% anual durante 5 años? a) 2000 b)1400 c) 2600 d) 2090 e) N.A. c) 250d 15.- ¿Cuál es el interés que produce S/. 500 colocados al 20% anual durante 7 años? a) 800 d) 500 c) 45 23).- ¿ Cuál es el interés que genera $ 600, colocados al 8% anual durante 1 año 4 meses? c) 45 b) 240m e) N.A. b) 34 e) N.A. 22).- Se pagó S/.51,75 de interés después de 45 días por un préstamo de S/.2300, ¿ A qué tanto por ciento se prestó? 14.- ¿ Cuánto tiempo tardó un capital de S/.3200 para producir al 3,3% mensual un interés de S/.880? a) 120d d) 190a c) 1.6 c) 2600 13.- Elsa recibe un préstamo de S/.900 al 2% mensual durante 40 días, el interés que pagará es: a) 12 d) 24 b) 8 e) 1.9 21).- ¿Qué tiempo estuvieron prestados S/.800 que al 30% anual ha producido S/.4800 de interés? 12.- El tiempo que estuvieron prestados S/.12 000 que al 40% anual ha producido S/.14 400 de interés es: a) 3 a d) 6 a e) 730 a) 3240 d) 3210 c) 660 103 b) 4320 e) 4170 c) 4600
- 104. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 28).- ¿Cuál es el interés de S/.12000 al 12% anual en 9 meses? a)1080 b)10800 c)900 d)1200 e) N.A. x= 2).- En una competencia de glotones 40 de ellos puede comer 300 panes en 2 días. Si fueran 50 en 3 días. ¿Cuántos panes podrán comer? Solución : 29).- ¿Qué interés produce un capital de S/. 6400 prestados al 15% anual durante 2 años? a) 320 e)1320 b)192 c)1920 d) 169 + Panes Glotones 3000 40 x 50 + 30).- El interés que produce S/.258 000 al 5% anual durante 72 días es: a) S/.2866.70 c) S/.2668 e) 2580 b) S/.2686 d) S/.2866.5 29)c + Días 2 3 + Luego : 3000 x 50 x 3 x= = 3625 panes 2 x 40 3).- Una cuadrilla de 12 hombres encargados de la conservación de un tramo de la línea férrea Arequipa –Cusco, construyen 4/5 de una alcantarilla en 6 días. Si se quiere concluir la obra en 5 días, ¿cuántos hombres serán necesario aumentar? Solución : CLAVES DE RESPUESTAS 1) c 2) c 3) c 4) e 5) a 6) d 7) c 8) e 9) b 10)c 11)d 12)a 13)d 14)c 15)e 16)a 17)b 18)a 19)a 20)a 21)d 22)e 23)b 24)d 25)a 26)a 27)b 28)a 12 x 3 x 3 = 3días 12 x 3 Hombres + 12 5 Obra 4/5 5/5 + Tiempo + 6 5 - 30)e x= 12 x 5 x 6 18 4x5 Debe aumentarse 18 – 12 = 6 hombres 4).- Si 60 obreros trabajando 8 horas diarias construyen 320 metros de una obra en 20 días. ¿ En cuántos días 50 obreros trabajando 6 horas diarias construyen 300 metros de la misma obra? Solución : REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA PROBLEMAS RESUELTOS Obreros + + 60 50 - - 1).- Si tres patas ponen tres huevos en tres días, doce patas, ¿En cuántos días podrán poner doce huevos? Solución : + Patas 3 12 - Huevos 3 12 + + Días 3 x - X= H/D 8 6 + Metros Tiempo + 320 20 300 x 60 x 8 x 300 x 20 = 30 días 50 x 6 x 320 2 5).- 10 campesinos siembran un terreno de 50m en 15 días, en jornadas de 7 horas. Si las jornadas fueran de 8 horas. ¿Cuántos días demorarán en 104
- 105. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 2 sembrara otro terreno de 80m , 15 campesinos doblemente hábiles? a) 168 c) 336 Solución : Camp. Días + + 10 15 15 x Horas + 7 8 Habilid. + 1 2 Área 50 80 a) 160 c) 320 a) 16 c) 20 a) 242 d) 150 d) 100% e) 32 a) 9 d) 8 b) 8 d) 10 a) 9 d) 8 e) 12 b) 24 d) 20 a) 14 d) 17 e) 21 6).- 8 conejos tienen alimento para 18 días. Si hay 6 conejos. ¿Cuánto duran los alimentos? a) 16 c) 21 b) 24 d) 20 c) 230 b) 6 e) 10 c) 5 b) 6 e) 3 c) 5 14).- Doce hombres trabajando 8 horas diarias pueden hacer un muro en 15 días. ¿En cuántos días harán otro muro igual 15 hombres trabajando 6 horas diarias? 5).- Con una habilidad del 70% se puede hacer un trabajo en 27 minutos. ¿Cuánto demorará con una habilidad del 90%? a) 18 c) 12 b) 148 e) 342 13).- Un hombre caminando 8 h/d ha empleado 4 días para recorrer 160 km. ¿Cuántas horas diarias debe caminar otro hombre para recorrer 300 km en 10 días? e) 70% 4).- Si 10 carpinteros hacen 25 mesas. ¿Cuántas mesas harán 4 carpinteros? a) 20 c) 13 e) 10 12).- Cinco Obreros trabajando 8 horas diarias hacen una obra en 15 días; 10 obreros trabajando 6 horas diarias, ¿En cuántos días harán otra obra de igual característica? 3).- Con un rendimiento del 50% se puede hacer una obra en 30 días. ¿Cuál es el rendimiento si se demora 15 días? a) 60% b) 80% c) 90% b) 7 d) 15 11).- ¿Cuántos panes darán por S/.38, si por S/.2 dan 18 panes? e) 120 2).- Si una obra tiene una dificultad del 60% y se puede realizar en 24 días. ¿En cuántas días se podrá hacer la misma obra si tiene una dificultad de 80%? b) 34 d) 18 e) 280 a) 20 b) 25 c) 15 d) 18 e) 23 10).- Si 8 obreros hacen una obra en 15 días, 12 obreros harán la obra de igual característica en: 1).- Viajando con una velocidad de 90 Km/h. Un auto demora 8 horas. ¿A que velocidad debe viajar si desea demorar 6 horas? b) 140 d) 150 b) 240 d) 250 9).- 20 mineros tienen víveres para 15 días. Si desisten trabajar 5 de ellos, ¿Para cuántos días tendrá víveres el resto? PROBLEMAS PROPUESTOS a) 16 c) 33 e) 208 8).- Si en dos días 20 niños comen 80 panes, en una semana, ¿Cuántos panes comerán? 10 x 15 x 7 x 1 x 80 X= = 7 días 15 x 8 x 2 x 50 a)160 c) 130 b) 48 d) 288 b) 15 e) 18 c) 16 15).- Doce hombres tardan 10 días en cavar una zanja de 2 m de profundidad. ¿Cuántos hombres serán necesarios para cavar otra zanja de 3 m de profundidad en 20 días? e) 12 a) 10 d) 9 7).- En una semana, José gasta S/.48 en comprar gasolina, en 42 días gastará: 105 b) 11 e) 8 c) 12
- 106. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA RECORDANDO PORCENTAJES 16).- Una familia de 5 personas tomó una pensión durante 6 días y pagó S/. 60. ¿Cuánto pagó otra familia de 4 personas que estuvo alojada en la misma pensión durante dos semanas? 1. FORMULA : Halla el “n%” de “S” a) 112 b) 120 c)114 d)115 e) N.A. 17).- Caminando 6 horas diarias, un hombre ha empleado 4 días para ir de un pueblo a otro distantes entre sí 96 km. Si continuando su viaje debe ir a otro pueblo distante 192 km de este último, ¿cuántos días empleará caminando 8 horas diarias? a) 6 d) 8 b) 3 e) 7 100 n S x X= Ejem : El 28% de 500 X = 28 x500 140 100 c) 5 NOTA: % se puede expresar como fracción donde el denominador es 100 Así: 18).- 120 soldados tienen provisiones para 20 días a razón de 3 raciones diarias. ¿Para cuántos días tendrán provisiones si se aumentan 30 soldados y el número de raciones diarias se reduce a 2 por día. a) 18 d) 24 b) 20 e) N.A 15 xA 100 36 xB 36% de B = 100 15% de A = c) 22 2. FORMULAS QUE SE UTILIZAN FRECUENTEMENTE EN LOS SIGUIENTES CASOS: 19).- Doce hombres trabajando 8 horas diarias construyen 24 m de una pared en 10 días. ¿Cuántos hombres serán necesarios para construir 20 m de pared continuada en 5 días trabajando 10 horas diarias? a) 16 d) 13 b) 15 e) N.A 1).- Halla el n% de “N” X= c)14 20).- Ocho hombres cavan una zanja de 24 m de largo por 2 de ancho y 2m de profundidad, en 12 días. ¿Cuántos trabajadores con la misma habilidad serán necesarios para cavar otra zanja de 18 m de largo por 3 m de ancho y 4 m de profundidad en 8 días? a) 18 d) 30 b) 12 e) N.A 2) d 5) b 8) e 11)e 14)c 17)a 20)c n xN 100 2) El n% de qué número es “N” X= 100 xN n c) 27 3) Qué porcentaje es “n” de “N” X= CLAVES DE RESPUESTAS 1) e 4) d 7) d 10)e 13)b 16)a 19)a n xS 100 3) d 6) b 9) a 12)e 15)d 18)d n x 100 N 4) ¿De qué número 4000 es el 8%? 100 X 8 .4000 50000 5) El 48% de 550 es: X 48 x 550 264 100 6) ¿Qué porcentaje de 500 es 140? 106
- 107. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 140 X .100 500 Du= 100 (100 20)(100 30)(100 40)(100 15) % 41 10 Du = 71,44% X = 28% 4. AUMENTOS SUCECIVOS 3. DESCUENTOS SUCESIVOS 20% de 100 Segundo Descuento 20% de 80 Au 20 80 100 n 1 PRECIO S/.100 Primer Descuento Au= (100 A 1)(100 A 2 ).....(100 A n ) 100 % ó 100 A1 100 A 2 100 A 3 x x .....(100 A n ) 100 100 100 100 Nuevo precio 9).-A qué aumento único equivale un aumento sucesivo de 20 y 30% 16 (100 20)(100 30) 100 Au = S/. 64 100 2 1 Au = 56% Descuento efectivo por cada 100 soles. 5. VARIACIONES PORCENTUALES Descuento efectivo por cada 100 soles. 100 – 64 = 36 ó 36% Nota: Siempre al total se considera 100%. Si una cantidad sufre un aumento del x% entonces resultará al final ( 100 + x ) %. Si una cantidad sufre un descuento del x% entonces al final tendremos ( 100 - x ) %. FORMULAS (100 D1 ) (100 D2 )....(100 Dn ) Du= 100 % n1 100 Ejm: 10).- Qué sucede si aumentamos 18% y 15% Sol: 100 D1 100 D 2 Du 100 x x .....(100 Dn ) 100 100 100 18 % x (100 15 )% 7).- Si de una botella de gaseosa me tomo sucesivamente el 25%, 30%, 40% y 50%, siempre de lo que me queda, ¿Cuál es el porcentaje que me queda? 118 13570 x115% 135.7% 100 100 Luego Aumenta: 135.7 – 100 = 35.7% 11).- Qué sucede si descontamos 40% y 20% Sol: Du= (100 25)(100 30)(100 40)(100 50) 100 % 41 100 Du = 84,25% Me queda 100 - 84,25 = 15,75 60 x 80% 48% 100 Descontamos 100 – 48 = 52% 8).- A que descuento único equivale un descuento de 20, 30 , 40 y 15% 12).- Qué sucede si aumentamos 20% y descontamos 15%. Sol: 107
- 108. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA A) 430 120 x 85 % 102% 100 B) 345 C) 434 D) 370 E) 568 D) 425 E) 180 D) 125 E) 90 D) 125 E) 70 102 – 100 = 2% Aumenta en 2% 9.- El 42 % de 550 es: 13).- Qué sucede si + 20% y – 25% Sol: A) 231 120 x75% 90% 100 A) 231 PROBLEMAS PROPUESTOS A) 31 C) 90 B) 60 C) 54 A) 31 B) 15 C) 12 D) 70 E) 80 2.- Halla el 25 % de 400. B) 160 C) 120 D) 70 E) 80 B) 54 C) 41 A) 310 D) 240 D) 57 E) 28 B) 660 C) 190 A) 207 D) 110 D) 70 E) 800 B) 360 C) 390 A) 310 D) 180 D) 370 E) 380 B) 86 C) 79 A) 300 D) 120 D) 74 B) 650 C) 490 B) 150 E) 170 C) 120 B) 150 E) 210 C) 200 B) 500 E) 170 C) 100 E) 60 17.- El 8% de qué número es 24?. 7.- Halla el 65% de 420. A) 273 C) 120 16.- El 12% de que número es 60?. 6.- Halla el 20% de 370. A) 36 B) 150 E) 170 15.- El 8% de qué número es 16?. 5.- Calcula el 30% de 1300. A) 330 100 xN n 14.-El 20% de qué número es 22?. 4,- Halla el 50% de 1600. A) 530 E) 17 13.- El 15% de qué número es 36? 3.- Calcula el 40% de 135. A) 30 D) 12 II.- El n% de qué número es N X= A) 100 C) 80 12.- Halla el 20% del 25% del 30% del 50% de 1600. n xN 100 1.- Halla el 30 % de 300. B) 60 B) 160 11.- Calcula el 25% de 280. I.- Halla el n% de N A) 30 C) 182 10.- El 40 % de 200 es: Descontamos 10% X= B) 160 D) 270 A) 300 D) 250 E) 380 B) 150 E) 400 18.- El 10% de qué número es360?. 8.-Calcula el 70% de 620 108 C) 120
- 109. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA A) 360 D) 420 B) 3600 E) 240 C) 36 28.-Dos descuentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un descuento único de: 19.- El 75% de qué número es 3000?. A) 4000 D) 600 B) 1500 E) 5000 A) 53% D) 20% B) 400 E) 340 29.- Tres descuentos sucesivos del 20%,30% y 50% equivalen a un descuento único de: A) 53% D) 45% C) 500 n x 100 N A) 92% D) 80% 21.- ¿ Qué porcentaje de 240 es 12? A) 3% B) 4% C) 5% D) 1% B) 4% C) 1% D) 1% E) 34% B) 24% E) 34% 1.- Aumentamos el 40% y el 10%. A) Aumentamos 54% B) Aumentamos 24% C) Descontamos 48% D) Aumentamos 80% E) Descontamos 75% E) 34% C) 21% 2.- Aumentamos el 40% y el 20%. A) Aumentamos 68% B) Aumentamos24% C) Descontamos 48% D) Aumentamos 80% E) Descontamos 75% 24.- Qué porcentaje de 160 es 40? A) 23% D) 20% B) 24% E) 25% C) 21% 3.- Aumentamos el 50% y el 10%. 25.- Que porcentaje de 80 es 20? A) 23% D) 20% B) 24% E) 25% A) Aumentamos 54% B) Aumentamos 65% C) Descontamos 48% D) Aumentamos 80% E) Descontamos 75% C) 21% 26.- Si al venderte mi auto, te hago un descuento del 15% te lo vendería en $1700. ¿Cuánto me ha costado? A) 2000 D) 200 B) 204 E) 2650 4.- Aumentamos el 40% y el 40%. C) 2121 A) Aumentamos 74% B) Aumentamos 24% C) Descontamos 48% D) Aumentamos 96% E) Descontamos 75% 27.- Hallar un descuento único que reemplace a dos descuentos sucesivos de 20% y 10%? A) 23% D) 20% B) 24% E) 25% B) 24% E) 75% I.- Qué sucede si: 23.-¿ 396 qué % es de 1980? A) 23% D) 20% C) 62% C) 18% VARIACIONES PORCENTUALES 22.-¿ Qué porcentaje de 1200 es 12? A) 3% B) 72% E) 82% 30.- Se hace los descuentos sucesivos del 20%,60%,50% y 50%. Halla el descuento equivalente? III.- Que porcentaje de “N” es “n” X= C) 26% C) 2000 20.- El 40% de qué número es 160?. A) 300 D) 180 B) 44% E) 45% C) 28% 5.- Aumentamos el 10% y el 70%. A) Aumentamos 54% 109
- 110. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA B) Aumentamos 78% C) Descontamos 48% D) Aumentamos 80% E) Aumentamos 87% A) Aumentamos 54% B) Aumentamos24% C) Descontamos 16% D) Aumentamos 80% E) Descontamos 75% II.- Qué sucede si: 6.- Descontamos el 10% y el 20%. 13.- Aumentamos el 15% y descontamos el 20%. A) Aumentamos 54% B) Aumentamos 24% C) Descontamos 28% D) Aumentamos 80% E) Descontamos 75% A) Aumentamos 54% B) Aumentamos24% C) Descontamos 48% D) Aumentamos 80% E) Descontamos 8% 7.- Descontamos el 50% y el 30%. A) Aumentamos 54% B) Aumentamos 24% C) Descontamos 48% D) Aumentamos 80% E) Descontamos 65% 14.- Aumentamos el 30% y descontamos el 30%. A) Aumentamos 54% B) Aumentamos24% C) Descontamos 9% D) Aumentamos 80% E) Descontamos 75% 8.- Descontamos el 20% y el 20%. 15.- Descontamos el 20% y aumentamos el 25%. A) Aumentamos 48% B) Aumentamos 32% C) Descontamos 36% D) Aumentamos 80% E) Descontamos 75% A) Aumentamos 54% B) Aumentamos24% C) Descontamos 48% D) Aumentamos 80% E) N.A. 9.- Descontamos el 30% y el 60%. Observaciones. A) Aumentamos 54% B) Aumentamos24% C) Descontamos 48% D)Descontamos 72% E) Descontamos 75% Si tenemos que: Aumento ( + ) Descuento ( - ) 16.- 10.- Descontamos el 10% y el 50%. + 20% y + 60% A) Aumentamos 54% B) Aumentamos24% C) Descontamos 48% D) Aumentamos 80% E) Descontamos 55% A) +92% D) +80% B) –24% E) –75% C) +18% 17.+ 30% y - 10% III.- Qué sucede si: A) +92% D) +17% B) –24% E) –75% C) +18% 11.- Aumentamos el 40% y descontamos el 20%. 18.A) Aumentamos 12% B) Aumentamos24% C) Descontamos 48% D) Aumentamos 80% E) Descontamos 75% - 40% y + 50% A) +24% D) +80% 19.- B) –24% E) –75% + 10% y + 50% 12.- Aumentamos el 40% y descontamos el 40%. 110 C) –10%
- 111. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA A) +62% D) +65% B) –24% E) –72% C) +18% 20.+ 10% y + 70% A) +52% D) +65% B) –24% E) +87% C) +18% 21.- 40% y + 80% A) +15% D) +65% B) –24% E) –72% C) +8% CLAVES DE RESPUESTAS 1) c 2) a 4) e 5) c 7) a 8) c 10)c 11)e 13)d 14)d 16)b 17)a 19)a 20)b 22)c 23)d 25)e 26)a 28)b 29)b VARIACIONES PORCENTUALES 1) a 2) a 4) d 5) e 7) e 8) c 10)e 11)a 13)e 14)c 16)a 17)d 19)d 20)e 3) b 6) d 9) a 12)d 15)c 18)b 21)c 24)e 27)c 30)a 3) b 6) c 9) d 12)c 15)e 18)c 21)c 111
- 112. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA IV UNIDAD ESTADISTICA DESCRIPTIVA COMPETENCIAS Describe e interpreta las propiedades de estadística descriptiva en problemas reales. Es asertivo con su opinión. Participa activamente en forma individual y grupal. 112
- 113. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA presentación,descripción SESIÓN 16 y simplificación de datos. ESTADISTICA 2.2. Estadística Inferencia Es la parte de la estadística, que en base a los resultados y análisis de 1. CONCEPTO los datos aplicando las teorías La estadística es una metodología que nos provee de un conjunto necesarias, pretende inferir las de peculiaridades y las leyes que métodos, pautas y procedimientos, para la recolección, gobiernan la población de la cual organización proceden los datos. (clasificación), análisis einterpretación 3. CONCEPTO BÁSICOS de datos en forma adecuada, para en 3.1. Población base de ellos, tomar decisiones cuando Conjunto de todos los individuos existen situaciones de incertidumbre. en las cuales se presentan una Ejemplo: característica que se tiene interés en estudiar. Estudiar la variación mensual del 3.2. Muestra precio del dólar durante los últimos Es un subconjunto de la población, 5 años, para averiguar qué mes del elegido convenientemente con el año es el más favorable para propósito de obtener información comprar dólares. y conclusiones de la población del cual proviene. El grado de aceptación de un Se toman muestras cuando es producto por los consumidores para difícil o costosa la observación de averiguar la rentabilidad de un todos negocio dedicado a tal producto. de la 4. VARIABLE ESTADÍSTICA Descriptiva Una variable es un símbolo que Inferencia representa a uno de los elementos 2.1. Estadística Descriptiva de un conjunto de datos. Parte de la estadística que se de elementos población. 2. CLASES DE ESTADÍSTICA ocupa los la Ejemplo: recolección, organización, Sea “x” la variable “estatura” de los alumnos de 4to. de secundaria 113
- 114. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA entonces “x” puede tomar los valores siguientes: 7. x1 = 1,68 mts. x2 = 1,66 mts. x3 = 1,52 mts. MEDIDAS DE TENDENCIA x4 = 1,85 mts. CENTRAL: O PROMEDIOS Existen diferentes tipos de CLASIFICACIÓN DE VARIABLES promedios, entre ellos los más 5.1. Variable Cualitativa 5. usuales son: Cuando presenta una cualidad o atributo de la población. a) La media aritmética o media. Ejemplo: b) La mediana. - Estadio civil c) La moda. d) La media geométrica. 5.2. Variable Cuantitativa Cuando los valores que asume e) La media cuadrática. son números, como resultado f) La media armónica. de conteos. Ejemplo: 7.1. Para datos sueltos: Peso, edad, estatura, etc. Sean los siguientes datos: 6. DIAGRAMAS a1, a2, a3, a4, … , an 6.1. Diagrama de Barras A. MEDIA ARITMÉTICA ( x) DATO B ( x) = m.a a1 a2 a3 ... an n Ejemplo: DATO A Dados los siguientes datos: 4, 12, 5, 7, 8, 6 6.2. Diagrama de Sectores Hallar la media aritmética. A Solución: B E x C x D 114 4 12 5 7 8 6 6 = 8,4 = 8,4
- 115. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA B. MEDIANA(Me) C. MODA (Mo) La mediana de un conjunto de datos Es un rango de la variable que se repite ordenados con mayor número de veces en la en forma creciente o decreciente es la cantidad que divide a los distribución. datos en dos grupos de igual número de elementos. Ejemplo: Caso 1: n = impar término central Consideremos los siguientes datos: Caso 2: n = par semisuma de los 10, 13, 11, 8, 9, 10, 13, 8, 10, 14, 11, 12 dos términos centrales Ejemplo 1 : Solución: Considérense las siguientes 6 datos de Ordenando los datos: medida de pesos. 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 13, 13, 14 notamos que el dato con mayor repetición 3,8 kg, 4, 6; 5,2; 9,0; 8,4; 3,6 es 10. Mo = 10 Solución: Ordenando los datos: EJERCICIOS DE APLICACION 3,6; 3,8; 4,6; 5,2; 8,4; 9,0 n = 6 n : par 1. De los siguientes datos: Me = Enésima t3 y t4 Me = 8, 12, 15, 15, 13, 21, 24, 36. 4,6 5,2 9,8 2 2 Hallar su x a) 16 Me = 4,9 b) 18 c) 20 Ejemplo 2 : d) 22 Considere los siguientes 7 datos de notas e) 24 2. De los siguientes datos: de los alumnos del 4to. año 08, 09, 12, 05, 1.20; 1.22; 1.20; 1.18; 1.35 14, 06, 08. Hallar su x Solución: a) 1.20 Ordenando los datos: b) 1.21 c) 1.22 0,5, 06, 08, 08, 09, 12, 14 d) 1.23 Luego n = 7; n = impar e) 1.25 3. En la última práctica calificada de Me = Término central aritmética se obtuvieron las siguientes Me = 08 metas de 5 alumnos. 08, 12, 14, 06, 20 Hallar Me respectivamente. 115
- 116. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA a) 8 b) 6 c) a) 13 d) 17 12 d) 14 b) 14 c) 16 e) 13 e) 20 4. En el último examen se obtuvieron las 10. Del problema “2” indicar la “Mo” siguientes notas de 8 alumnos: 12, 14, 16, 12, 14, 08, 05, 03. Hallar Me a) 12 d) 17 respectivamente. a) 8 b) 12 d) 14 e) 14,5 d) 12 e) 13 11. Dados los siguientes datos de las edades de 10 profesores de 6, 8, 4, 6, 6, 8, 4, 12, 13, 4, 6 b) 6 c) 16 c) 12,5 5. De los siguientes datos hallar la moda: a) 4 b) 14 ciencias: c) 8 22, 25, 23, 36, 32, 36, 23, 23, 23, 25 e) 13 Dar la “Mo” 6. De los siguientes datos halla la mediana: a) 22 b) 23 14, 16, 25, 36, 18, 12, 11, 16, 14 d) 25 e) 28 a) 12 b) 11 d) 16 c) 14 e) 25 7. De los siguientes datos no agrupados hallar la media aritmética: 26, 34, 24, 16, 14, 12, 16, 18 a) 26 b) 34 d) 12 c) 20 e) 18 8. Indicar la “ x ” de los siguientes datos: 6, 8, 14, 16, 18, 9, 6 a) 10 b) 11 d) 13 c) 12 e) 14 9. Indicar la “Me” de los siguientes datos: 12, 14, 16, 17, 14, 14, 14, 14, 16, 13, 11, 11 116 c) 24
- 117. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA SESIÓN 17 Ejemplo: LECTURA DE GRAFICOS 7.2. Para datos agrupados: Veamos previamente definiciones: Edades algunas [10 – 15> [15 – 20> [20 – 25> [25 – 30> [30 – 35> [35 – 40> [40 – 45> Tamaño de muestra (n) Número total de datos Alcances (A) Intervalo definido por los datos de menor y mayor valor. Rango (R) También llamado “recorrido de los datos” es la diferencia entre elmayor y el menor de los valores que toma la variable. fi Fi hi Hi 12,5 8 8 0.16 0.16 17,5 12 20 0.24 0.40 22,5 2 22 0.04 0.44 27,5 3 25 0 0.50 32,5 10 35 0.20 0.70 37,5 5 40 0.10 0.80 42,5 10 50 0.20 1.00 50 Frecuencia absoluta (fi) Se llama frecuencia absoluta de un valor de variable, al número de vecesque se repite dicho valor en el conjunto de datos. El siguiente es la tabla de salarios de los empleados de una empresa (en soles) Sueldos x fi Fi hi Hi [0 – 250> 125 20 20 0.20 0.20 [250 - 500> 375 15 35 0.15 0.35 [500 – 750> 625 30 65 0.30 0.65 [750 – 1000> 875 Frecuencia Relativa (hi) La frecuencia relativa de un valor, es el cociente de su frecuencia absoluta entre el tamaño de la muestra. 5 70 0.05 0.70 20 90 0.20 0.90 10 100 010 1.00 [1000 – 1250> [1250 – 1500> fi n 112 5 137 5 Frecuencia Relativa Acumulada (Hi) 100 La frecuencia relativa acumulada de un dato, es el cociente de su frecuencia absoluta acumulada entre el tamaño de la muestra Hi = 1.00 EJEMPLOS DE APLICACION Frecuencia absoluta acumulada (Fi) Es la suma de las frecuencias relativas correspondientes a los datos menores e iguales al dato en referencia. hi = x 1.00 12. ¿Cuántos empleados ganan entre 750 y 1000 soles? a) 5 d) 30 Fi n b) 20 e) 15 c) 10 13. ¿Cuántos empleados ganan entre 500 y 1500 soles? a) 5 117 b) 30 c) 20
- 118. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA d) 10 e) 65 19. De la tabla diga Ud. ¿Cuántos alumnos tuvo la muestra? 14. ¿La encuesta fue realizada sobre que cantidad de personas? a) 5 d) 50 b) 10 e) 100 a) 50 d) 250 c) 20 b) 35 e) 90 a) 20 d) 130 c) 65 b) 20 e) 50 a) 10 d) 40 c) 30 1.00 – 1.20 1.20 – 1.40 1.40 – 1.60 1.60 – 180 1.80 – 2.00 fi x 1.1 0 1.3 0 1.5 0 1.7 0 1.9 0 a) 0.10 d) 0.65 Fi hi Hi 23. Hallar: J = 0.2 0 20 0.2 5 a) 10 d) 40 80 b) 20 e) 100 c) 30 b) 0.15 e) 0.90 c) 0.30 f .f 1 2 f 3 b) 20 e) 50 c) 30 24. Hallar: P = (H4 + H2) (f4 – f2) 0.2 5 a) 15 d) 25 b) 18 e) 50 c) 20 25. Diga Ud. ¿Cuál es la cantidad de alumnos cuya estatura es menor a 1.60 mts.? Completar los datos de estatura de los alumnos de 4to. año. a) 20 d) 80 17. ¿Cuántos alumnos miden menos de 1.40 mts.? a) 20 b) 30 d) 50 c) 40 a) 0.65 0.25 d) 0.10 18. ¿Cuál es el valor de H3 + H4? b) 1.05 e) 1.25 b) 30 e) 60 c) 50 26. ¿Cuál es la frecuencia relativa acumulada de los alumnos cuya estatura es menor a 1.80 mts.? e) 100 a) 1.00 d) 1.20 c) 80 22. Hallar: E = h2 + h3 + h5 Dada la siguiente tabla: Estatura b) 50 e) 200 21. ¿Cuál es la frecuencia absoluta de los alumnos que miden entre 1.40 y 1.60 mts.? 16. ¿Cuántos empleados ganan igual o más de 1000 soles? a) 10 d) 40 c) 200 20. ¿Cuántos alumnos miden menos de 1.80 mts.? 15. ¿Cuántos empleados ganan menos de 1000 soles? a) 20 d) 70 b) 100 e) 500 c) 1.10 118 b) 0.40 e) 0.80 c)
- 119. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 6. Calcular: G = H1 + H4 – H2 OTROS EJEMPLOS a) 0.55 0.35 d) 0.95 Completa el siguiente esquema y luego contesta las preguntas: Salario x fi 0 – 400 200 25 400 – 800 600 100 0 140 1200 - 1600 0 180 1600 - 2000 0 Fi hi Hi 40 800 – 1200 0.15 0.80 b) 40 DATO B DATO A c) DATO B e) 80 3. ¿Cuántos empleados ganan entre 800 y 1200? a) 15 35 d) 40 b) 25 DIAGRAMAS DE BARRAS c) e) 90 b) 35 En los periódicos y en la televisión habrás visto si eres observador, que se ofrece información acerca de hechos; fenómenos o actividades mediante cuadros o tablas y gráficos. I. 2. ¿Cuántos empleados ganan menos de 800 soles? a) 25 40 d) 50 c) A e) 80 B b) 0.35 E INDIVIDUAL C D c) e) 0.85 B A 5. Calcular: E = f2 + f3 – f5 a) 15 10 d) 30 DATO A II. GRÁFICO DE SECTORES 4. ¿Cuál es la frecuencia relativa acumulada de los trabajadores que ganan hasta 1200 soles? a) 0.25 0.45 d) 0.55 e) 1.10 A continuación vamos a considerar como se representa e interpreta la información obtendrá como resultado de observar un fenómeno o actividad. 20 1. ¿Cuántos empleados ganan igual o más a 800 soles? a) 30 60 d) 80 c) LECTURA DE GRAFICOS II 0.40 0.80 b) 0.65 b) 20 % % C % c) D e) 50 % PARALELO 119
- 120. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA I. En el siguiente gráfico se muestra la población urbana y rural dada en los años 1970 y 2000. POLÍGONOS DE FRECUENCIAS Población 100% Urbano 70% Rural 40% Año 1970 2000 Población: En 1970: 6 000 000 habitantes En 2000: 11 000 000 habitantes En el siguiente gráfico se muestra el número de choques ocurridos en cinco años consecutivos. 29. ¿Cuál fue la variación de la población del año 1970 al año 2000? a) 57% b) 64,3% c) 70,3% d) 83,33% e) 57,3% 4,7 # de choques 4,5 (miles) 30. ¿En cuánto disminuye o aumenta la población rural del año 2000 con respecto al año 1970? 3,7 2,9 1,2 a) b) c) d) e) Año 95 96 97 98 99 EJERCICIOS PROPUESTOS En una fábrica de un total de 200 vehículos se tiene que: 27. Promedios de choques en los cinco años: a) 3200 d) 3600 b) 3800 e) 3400 c) 3700 Buses A Tractores 10%Camiones 60% 28. Variación porcentual entre el primer y quinto año (aprox.) a) 92% d) 192% Aumenta en 4,76% Aumenta en 30% Disminuye en 20% Disminuye en 4,76% Disminuye en 3,5% 10% C 40% 30% D B 20% 30% b) 392% c) 292% e) 302% 31. ¿Cuántos vehículos corresponden a tractores del grupo B? a) 6 d) 4 120 b) 8 e) 12 c) 10
- 121. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 32. Indicar cuales con correctas: i. El número de camiones es igual al número de tractores de tipo B y D juntos. ii. iii. En esta fábrica se hizo un estudio sobre la edad de los trabajadores; con el fin de establecer un plan de seguro grupal. Los resultados fueron los siguientes: 22 34 60 33 32 30 47 37 El número de buses es igual que el número de tractores del tipo A. 30 34 47 42 42 46 43 53 48 46 26 55 El número de buses es mayor que los tractores del tipo A. a) Sólo I d) I y II b) Sólo II e) I y III 61 38 41 55 67 32 49 46 48 41 57 44 45 67 51 23 31 51 47 52 03) ¿Cuántos trabajadores tienen por lo menos 49 años y que porcentaje representan? Rpta: c) Sólo III 04) ¿Qué porcentaje de trabajadores tiene de 39 a 58 años? Rpta: Enunciado: SESIÓN 17 Se clasifico la inversión de un grupo de compañías mineras en una tabla de distribución de frecuencias. Se sabe que la máxima inversión es de 56 millones de soles; que la amplitud de los intervalos es de 8 millones de soles; que las frecuencias absolutas correspondientes a los intervalos son: 1; 16; 21; 9; 8; 3 y 2. Con esta información resolver los problemas 5; 6; 7; 8 y 9. TALLER DE ESTADISTICA Enunciado: Dada la siguiente distribución de frecuencias según el mismo número de empleados por empresa. Numero de Frecuencia (fi ) Empleados [0; 10 5 [10; 20 20 [20; 30 05) ¿Qué porcentaje de compañías invierten menos de 40 millones de soles? Rpta: 35 [30; 40 40 [ 40; 60 50 [60;80 30 [80; 100 20 [100; 140 20 [140; 180 15 [180; 200] 15 TOTAL 06) ¿Qué porcentaje de compañías invierten 24 millones como mínimo? Rpta: 250 07) Hallar la inversión millones de soles) Rpta: promedio (en 01) Determinar el porcentaje de empresas que tienen un número de empleados entre 50 y 90. Rpta: 08) Hallar la mediana de los datos clasificados. (en millones de soles) Rpta: 02) Determinar el porcentaje de empresas con número de empleados inferior a 35. Rpta: Enunciado: 09) Hallar la moda de los datos agrupados. (en millones de soles) Rpta: Enunciado: 121
- 122. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA Se tiene la siguiente tabla de distribución de frecuencias relativas de 300 empleados según su edad. Edades ni 19; 21 0,15 22; 24 0,25 25; 27 0,40 28; 30 0,10 31; 33 0,10 16) ¿Cuántos paquetes tiene 27 gramos o menos? Rpta: Enunciado: A partir de los siguientes datos: 2 5 3 9 9 10) ¿Cuántos empleados tienen edades de 22 a 33 años? Rpta: 4 8 3 3 9 5 8 1 4 8 9 1 10 4 0 10 10 3 0 10 12 2 7 8 4 2 9 4 6 5 1 6 9 3 11 9 6 2 5 7 3 2 7 4 10 17) ¿Calcular la agrupados? 11) ¿Qué porcentaje de los empleados tienen 25 años a más? Rpta: media de los datos Rpta: 18) ¿Calcular la mediana para los datos agrupados? 12) ¿Cuántos empleados tienen 27 años o menos? Rpta: Rpta: 19) ¿Calcular la moda para los datos agrupados? 13) ¿Qué porcentaje de los empleados tienen 24 años o menos? Rpta: Rpta: Enunciado: Enunciado: La siguiente información representa composición de una dieta alimenticia. La siguiente distribución muestra el peso en gramos de 30 paquetes en un determinado producto. Peso (g) 10; 14 15; 19 20; 24 25; 29 30; 35 Carbohidratos Proteínas Grasas ni K/2 0,17 Gramos 500 100 100 la Calorías 2050 410 930 2K K 20) ¿Qué porcentaje del total de calorías de la dieta se debe a las proteínas. 0;13 Rpta: 14) ¿Cuántos paquetes tienen pesos que van desde 15 hasta 29 gramos? REFORZANDO Enunciado: Rpta: Se analizan las notas de 20 alumnos en el curso de Estadística recogiéndose los siguientes datos: 15) ¿Cuántos paquetes tiene 22 gramos a más? 3; 4; 8; 2; 7; 11; 10; 12; 16; 15. 7; 11; 13; 10; 6; 9; 9; 10; 13; 14. Rpta: 122
- 123. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA 01) Agrupe los datos en intervalos de ancho común igual a 4 y complete la siguiente tabla. Ii 0; ; ; ; ; Xi fi Fi Hi a) 9,2 c) 10,1 e) 9,83 X i .fi a) 7 c) 9 e) 11 09) Calcular la moda (para los datos ya agrupados) b) 43; 40 d) 38; 95 a) 10,28 c) 9,87 e) 10,21 b) 2 d) 1,71 Fi 25 22 16 8 3 b) 0,5 d) 1,75 Ii a) 10; 4, 125; 5,2 b) 25; 4, 125; 5,2 c) 25; 4,125; 1,2 d) 25; 5, 125; 5,2 e) 25; 5, 125; 1,2 04) Calcular la media (para datos sin agrupar) a) 10,5 c) 9,5 e) 12,7 05) Calcular la agrupados) a) 9,8 c) 10,7 e) 9,71 b) 10,2 d) 10,31 Enunciado: media (para Dado el tablero incompleto de la distribución de la frecuencia de las notas de 25 alumnos. Completar el tablero con un ancho de clase constante e igual a 2. datos b) 11,3 d) 10,3 06) Calcular la mediana (para los datos sin agrupar) a) 9,5 c) 9 e) 10,5 b) 9,83 d) 10,17 10) A partir de la siguiente grafica: Calcular el tamaño; la mediana y la moda de la muestra. 03) ¿Cuántos obtuvieron notas superiores o iguales a 15? Dar como respuesta la diferencia de los valores obtenidos (en datos originales y en datos agrupados) a) 1,25 c) 0,75 e) 0,25 b) 8 d) 10 F3 + H4 + X2. f2 02) ¿Cuántos estudiantes aprobaron el curso; según los datos originales y según los datos agrupados? Dar como respuesta la diferencia de los valores obtenidos? (Nota aprobatoria igual a 10) a) 1 c) 3 e) 1,4 b) 9,8 d) 10,0 08) Calcular la moda (para los datos sin agrupar) Dar como respuesta: a) 38; 70 c) 99; 40 e) 76; 70 hi 07) Calcular la mediana (para los datos ya agrupados) b) 9,8 d) 10 123
- 124. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA xi Fi Fi [ ; [;6 a) 1/3 c) 1/2 e) 3/4 x i fi 15 20 Ii [ ; 11 [ ; 14 15) Dada la siguiente tabla: Calcular el máximo valor de (h2; h3); sabiendo que la media aritmética es 0,61. 8 [ ; 22 [ ; 25 hi Ii [0,20; 0,40 0,10 11) Si la nota aprobatoria es 11 ¿Qué porcentaje de alumnos desaprobados existe? a) 72% c) 76% e) 80% b) 1/4 d) 1/5 b) 74% d) 78% 12) Determinar la clase en la cual se encuentra el mayor porcentaje de alumnos y hallar dicho porcentaje. ra a) 0,30 c) 0,50 e) 0,70 To a) 1 ; 20% era c) 3 ; 44% era e) 3 ; 32% b) 4 ; 32% to d) 4 ; 76% 13) ¿Cuántos alumnos obtuvieron notas menores que 8? a) 15 c) 13 e) 11 b) 15 d) 12 14) Dada en la siguiente distribución de frecuencias. Ii fi [10; 20 4 [20; 40 m [ 40; 50 4 [50; 70 n [70; 80 g 100 Si se sabe además que: h1 = h5 y h2 = h4. Determinar la suma h5 + h2 124 b) 0,40 d) 0,60
- 125. ESCUELA TECNICA SUPERIORPNP PUENTE PIEDRA ANEXOS 125