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Introducción a las Paradojas Matemáticas
Compilado por:
Ramiro Aduviri Velasco
@ravsirius
Fuente:
Paradojas Matemáticas
Northrop
1
¿Qué esunaParadoja?
Una paradoja es algo que a
primera vista parece ser falso,
pero que en realidad es cierto;
O… que parece ser cierto
pero que en rigor es falso;
O… sencillamente que encierra
en si mismo contradicciones.
Lo que a unos les parece claro como el agua puede
parecerles a otros muy confuso.
Algunas Paradojas
No, es cierto con tal de que el trio este
compuesto de padre, hijo y nieto.
Dos padres y dos hijos salen de la ciudad, pero
el número de habitantes de esta solo se
reduce en tres. ¿Falso?
Algunas Paradojas
Una polilla penetra por la parte exterior de la tapa
delantera del tomo I de una cierta colección de libros y se
abre paso hasta la parte de fuera de la tapa posterior del
tomo III. Si cada tomo tiene un centímetro de espesor,
habrá recorrido en total tres centímetros. ¿Cierto?
No, es inexacto.
Recorre
solamente un
centímetro.
Algunas Paradojas
Si una persona dice: “Estoy mintiendo”.
¿Ha dicho la verdad? En tal caso esta
mintiendo, y su afirmación es falsa. ¿Es
falsa? Entonces esta mintiendo y lo que
dijo es cierto.
Algunas Paradojas
Los diccionarios definen una isla diciendo que es
una porción de tierra enteramente rodeada de
agua, y un lago como una porción de agua
enteramente rodeada de tierra.
Pero supongamos que
todo el hemisferio
septentrional fuera tierra
y el meridional todo
agua. ¿Se diría entonces
que todo el hemisferio
norte es una isla, o que el
meridional es un lago?
En el Polo Norte, en el
cual todas las
direcciones son sur.
Una persona, un tanto caprichosa, construye una casa
de planta cuadrada, con una ventana en cada pared, y
de modo que las cuatro daban al sur. Nada de miradores
(que darían a tres lados) ni otra cosa por el estilo…
¿Como se puede hacer esto?
Algunos rompecabezas muy sencillos
Un cazador salió a cazar. De repente diviso uno , enorme, a
unos 100 m al este. Asustado, echo a correr, pero tal era su
pánico, que no lo hizo en sentido opuesto a donde estaba el
oso, sino hacia el norte. Unos 100 m mas allá, recobro su
presencia de animo, se paro, se volvió, y mato al oso, que no se
había movido de donde estaba al principio, apuntando hacia el
sur. ¿Cómo es posible esto?
¿Verdad que estamos de acuerdo, en que de dos relojes, el mejor
es el que con mayor frecuencia marca la hora exacta?
Supongamos ahora que nos dan a elegir entre dos relojes, uno de
los cuales se retrasa un minuto cada día, y otro que no marcha.
¿Cuál escogemos?
El reloj que no marcha, porque estará
en hora dos veces al día, mientras que
otro estará en hora una vez cada dos
años, aproximadamente.
Una señorita un poco atolondrada, entro una vez en una
joyería, escogió un anillo que valía $5, lo pago y se
marcho. Volvió a presentarse en la tienda al siguiente día,
y pregunto si podría cambiarlo por otro. Esta vez eligió
uno de $10, le dio melosamente las gracias al joyero, y ya
se marchaba cuando este le pidió otros $5.
Ella hizo notar muy indignada
que el día anterior le había
pagado $5, y que ahora
acababa de devolverle un
anillo que valía otros $5, y
que por tanto no le debía
nada. Al decir esto salió
majestuosamente, mientras el
joyero, atónito, se quedaba
echando la cuenta de la vieja.
Un joven que solicitaba un empleo. Le dijo al gerente que creía
merecer un sueldo de $1500 anuales, pero este no parecía ser de la
misma opinión. “Mire”, le dijo, “un año tiene 365 días. Duerme
usted 8 horas diarias, o sea un total de 122 días. Quedan 243.
Descansa otras 8 horas diarias, es decir otros 122 días. Quedan 121.
Hay 52 domingos en que no se trabaja. Quedan así 69 días.
Tampoco trabaja por las tardes de los 52 sábados, 26 días en total.
Quedan, pues, 43. Todos los días pierde una hora para comer, lo que
hace unos 15 días. Quedan 28. Tiene dos semanas de vacaciones.
Quedan 14 días. Y todavía quedan por lo menos cuatro fiestas……
¿Le parece bien que
por 10 días de
trabajo le pague
$1500?”
Tres hombres fueron a un hotel y pidieron tres habitaciones; les dijeron
que costaban $30; cada uno pago $10 al muchacho que había subido
acompañándolos. Bajo este a entregárselos al cajero, y al pasar por la
oficina le dijo al gerente que había habido una equivocación y que las
tres piezas no costaban mas que $25. En consecuencia, le dieron al
muchacho cinco billetes de $1 para que fuera a devolverlos. Por el
camino se le ocurrió que iba ser difícil dividir $5 entre los tres hombres,
y que como de todos modos no sabían cuanto costaban las
habitaciones, se contentarían con lo que les devolviera. Se guardo,
pues, para si dos de los billetes de $1, y entrego uno a cada uno de los
tres hombres. De esta forma cada uno de ellos había pagado $9. Ahora
$9 por tres son $27. El botones tenia otros $2 en su bolsillo. $27 mas
$2 son $29, pero los hombres habían entregado en un principio $30.
¿Dónde esta el otro peso?
Los gobiernos de dos países vecinos, Norte y Sur, tenían un acuerdo
en virtud del cual un peso de Norte valía también un peso en Sur, y
viceversa. Pero un buen día, el Gobierno de Norte decreto que en lo
sucesivo el peso de Sur no valdría en Norte mas de 90 ctvs. Al día
siguiente, el Gobierno de Sur, por no ser menos, decreto que en
adelante el peso de Norte no valdría en Sur mas que 90 ctvs.
Vivía en una ciudad situada en la frontera que separaba ambos
países, un joven avispado. Entro en una tienda situada en Norte,
compro una maquinilla de afeitar de 10 ctvs. y la pago con un peso
de Norte. Como vuelta le dieron un peso de Sur, que allí no valía
mas que 90 ctvs. Cruzo la calle, entro en otra tienda situada en Sur
y compro un paquete de hojas de afeitar de 10 ctvs., pagándolo con
el peso de Sur. Le devolvieron un peso de Norte. Cuando regreso a
su casa, tenia, como al salir, un peso de norte, y además lo que
había comprado. Y cada uno de los comerciantes tenia en su caja
registradora 10 ctvs. mas.
¿Quién había, pues, pagado la maquinilla y las hojas de afeitar?
¿El truco?
Un árabe rico al morir dejo a sus tres hijos una cuadra de
17 hermosos caballos, especificando que debían
repartirla en la siguiente forma: al mayor la mitad de los
caballos, al siguiente un tercio, y al menor un noveno. Los
jóvenes herederos al ver que no podían repartir los 17
caballos de esta manera sin la colaboración del carnicero.
Buscaron finalmente los
consejos de un anciano y sabio
amigo que prometió su ayuda.
En una gran empresa el gerente de personal eligió a tres
jóvenes que parecían prometer, y les dijo: “Sus sueldos han
de ser, al empezar, de $1000 anuales, pagaderos por
semestres. Si su trabajo es satisfactorio y decidimos que
sigan, se les aumentara el sueldo; pero, díganme que
prefieren, ¿un aumento de $150 anuales o uno de $50 cada
semestre?” Los dos primeros aceptaron sin ninguna duda la
primera alternativa, pero el tercero, después de pensarlo un
momento, eligió la segunda. Inmediatamente lo pusieron al
frente de los otros dos…. ¿Por que?
Un automovilista sube por una carretera de un kilometro
de longitud hasta la cima de una montaña a una velocidad
de 15 kilómetros por hora. ¿A que velocidad tendrá que
descender por el kilometro de carretera que hay al otro
lado para conseguir en el recorrido total de 2 kilómetros
una velocidad media de 30 kilómetros por hora?
Problemas relativos a velocidades
Dos vendedoras tienen cada una 30 manzanas. La primera de 2 por 5
centavos, y la segunda de 3 por 5 centavos. Al terminar la jornada
tenían respectivamente 75 y 50 centavos, o sea $1.25 en total. Al día
siguiente deciden juntar el negocio, de modo que reúnen sus
manzanas y las venden a 5 por 10 centavos (2 por 5 ctvs. mas 3 por 5
ctvs.). Pero al hacer las cuentas por la noche se encuentra con que no
tienen mas que $1.20.
Buscan por todas partes los otros cinco centavos y acaban
por acusarse mutuamente de habérselos apropiado.
¿Dónde están?
Paradoja 1. Un reloj tarda cinco segundos en dar seis campanadas.
¿Cuánto tardara en dar doce? ¡No! La contestación no es 10 segundos.
Paradoja 2. Una botella y su tapón cuestan $1.10. La botella cuesta un
peso mas que el tapón. ¿Cuánto cuesta la botella? ¡No! La respuesta no
es 1.00.
Paradoja 3. En el fondo de un pozo de 30 metros hay una rana. Cada
hora sube 3 metros y se resbala perdiendo 2. ¿Cuántas horas tardara en
salir? ¡No! La respuesta no es 30 horas.
Paradoja 4. Un expreso sale de Nueva York hacia Boston en el mismo
momento en que un correo de Boston hacia Nueva York. Aquel va a 50
kilómetros por hora, y este a 30. ¿Cuál de los dos esta mas lejos de
Nueva York cuando se cruzan? ¡No! La contestación no es el expreso.
Una aldeana fue en una ocasión al mercado a vender un cesto de
huevos. El primer comprador se llevo la mitad mas medio huevo. El
segundo le vendió la mitad de los que le quedaban mas medio huevo.
Y al tercero le dio la mitad de lo que entonces le quedaba mas medio
huevo. Se quedo con tres. ¿Cuántos tenia al principio si no se rompió
ningún huevo?
La respuesta es 31.
Tenemos dos vaso, una con agua y la otra con leche (sin aguar). Cogemos una
cucharadita de leche del primer vaso, la echamos en el segundo y agitamos.
Entonces cogemos del segundo vaso una cucharada de mezcla y la ponemos en
el segundo. Se pregunta ¿habrá mas agua en la leche que leche en el agua, o
mas leche en el agua que agua en la leche?
Respuesta: hay la misma cantidad, 4/5 de cucharada, de leche en el agua y de agua en la leche.
“No tengo ni hermanos ni hermanas, pero el padre de
ese hombre, es hijo de mi padre”
Acertijos relativos a parentescos familiares
Si como dice el que habla, es hijo único, “el hijo de mi padre” será el
mismo. Y si el “padre de ese hombre” es “hijo de mi padre”, el “padre de
ese hombre” ha de ser el que habla, y por tanto “ese hombre” es su hijo.
Hay de un abuelo, una abuela, dos padres, dos
madres, cuatro hijos, tres nietos, un hermano, dos
hermanas, dos hijos varones, dos hijas, un suegro, una
suegra y una nuera.
Contemos a ver cuantos son. ¿Veintitrés, dice usted?
No, solo siete.
Es muy posible que dos hombres
que no estén unidos por ningún
parentesco, tengan la misma
hermana. Un esquema nos
ayudara a comprenderlo.
Era posible que un chico fuera a
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Dos hombres, cada uno de los
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Introducción a las Paradojas Matemáticas

  • 1. Introducción a las Paradojas Matemáticas Compilado por: Ramiro Aduviri Velasco @ravsirius Fuente: Paradojas Matemáticas Northrop 1
  • 2. ¿Qué esunaParadoja? Una paradoja es algo que a primera vista parece ser falso, pero que en realidad es cierto; O… que parece ser cierto pero que en rigor es falso; O… sencillamente que encierra en si mismo contradicciones. Lo que a unos les parece claro como el agua puede parecerles a otros muy confuso.
  • 3. Algunas Paradojas No, es cierto con tal de que el trio este compuesto de padre, hijo y nieto. Dos padres y dos hijos salen de la ciudad, pero el número de habitantes de esta solo se reduce en tres. ¿Falso?
  • 4. Algunas Paradojas Una polilla penetra por la parte exterior de la tapa delantera del tomo I de una cierta colección de libros y se abre paso hasta la parte de fuera de la tapa posterior del tomo III. Si cada tomo tiene un centímetro de espesor, habrá recorrido en total tres centímetros. ¿Cierto? No, es inexacto. Recorre solamente un centímetro.
  • 5. Algunas Paradojas Si una persona dice: “Estoy mintiendo”. ¿Ha dicho la verdad? En tal caso esta mintiendo, y su afirmación es falsa. ¿Es falsa? Entonces esta mintiendo y lo que dijo es cierto.
  • 6. Algunas Paradojas Los diccionarios definen una isla diciendo que es una porción de tierra enteramente rodeada de agua, y un lago como una porción de agua enteramente rodeada de tierra. Pero supongamos que todo el hemisferio septentrional fuera tierra y el meridional todo agua. ¿Se diría entonces que todo el hemisferio norte es una isla, o que el meridional es un lago?
  • 7. En el Polo Norte, en el cual todas las direcciones son sur. Una persona, un tanto caprichosa, construye una casa de planta cuadrada, con una ventana en cada pared, y de modo que las cuatro daban al sur. Nada de miradores (que darían a tres lados) ni otra cosa por el estilo… ¿Como se puede hacer esto? Algunos rompecabezas muy sencillos
  • 8. Un cazador salió a cazar. De repente diviso uno , enorme, a unos 100 m al este. Asustado, echo a correr, pero tal era su pánico, que no lo hizo en sentido opuesto a donde estaba el oso, sino hacia el norte. Unos 100 m mas allá, recobro su presencia de animo, se paro, se volvió, y mato al oso, que no se había movido de donde estaba al principio, apuntando hacia el sur. ¿Cómo es posible esto?
  • 9. ¿Verdad que estamos de acuerdo, en que de dos relojes, el mejor es el que con mayor frecuencia marca la hora exacta? Supongamos ahora que nos dan a elegir entre dos relojes, uno de los cuales se retrasa un minuto cada día, y otro que no marcha. ¿Cuál escogemos? El reloj que no marcha, porque estará en hora dos veces al día, mientras que otro estará en hora una vez cada dos años, aproximadamente.
  • 10. Una señorita un poco atolondrada, entro una vez en una joyería, escogió un anillo que valía $5, lo pago y se marcho. Volvió a presentarse en la tienda al siguiente día, y pregunto si podría cambiarlo por otro. Esta vez eligió uno de $10, le dio melosamente las gracias al joyero, y ya se marchaba cuando este le pidió otros $5. Ella hizo notar muy indignada que el día anterior le había pagado $5, y que ahora acababa de devolverle un anillo que valía otros $5, y que por tanto no le debía nada. Al decir esto salió majestuosamente, mientras el joyero, atónito, se quedaba echando la cuenta de la vieja.
  • 11. Un joven que solicitaba un empleo. Le dijo al gerente que creía merecer un sueldo de $1500 anuales, pero este no parecía ser de la misma opinión. “Mire”, le dijo, “un año tiene 365 días. Duerme usted 8 horas diarias, o sea un total de 122 días. Quedan 243. Descansa otras 8 horas diarias, es decir otros 122 días. Quedan 121. Hay 52 domingos en que no se trabaja. Quedan así 69 días. Tampoco trabaja por las tardes de los 52 sábados, 26 días en total. Quedan, pues, 43. Todos los días pierde una hora para comer, lo que hace unos 15 días. Quedan 28. Tiene dos semanas de vacaciones. Quedan 14 días. Y todavía quedan por lo menos cuatro fiestas…… ¿Le parece bien que por 10 días de trabajo le pague $1500?”
  • 12. Tres hombres fueron a un hotel y pidieron tres habitaciones; les dijeron que costaban $30; cada uno pago $10 al muchacho que había subido acompañándolos. Bajo este a entregárselos al cajero, y al pasar por la oficina le dijo al gerente que había habido una equivocación y que las tres piezas no costaban mas que $25. En consecuencia, le dieron al muchacho cinco billetes de $1 para que fuera a devolverlos. Por el camino se le ocurrió que iba ser difícil dividir $5 entre los tres hombres, y que como de todos modos no sabían cuanto costaban las habitaciones, se contentarían con lo que les devolviera. Se guardo, pues, para si dos de los billetes de $1, y entrego uno a cada uno de los tres hombres. De esta forma cada uno de ellos había pagado $9. Ahora $9 por tres son $27. El botones tenia otros $2 en su bolsillo. $27 mas $2 son $29, pero los hombres habían entregado en un principio $30. ¿Dónde esta el otro peso?
  • 13. Los gobiernos de dos países vecinos, Norte y Sur, tenían un acuerdo en virtud del cual un peso de Norte valía también un peso en Sur, y viceversa. Pero un buen día, el Gobierno de Norte decreto que en lo sucesivo el peso de Sur no valdría en Norte mas de 90 ctvs. Al día siguiente, el Gobierno de Sur, por no ser menos, decreto que en adelante el peso de Norte no valdría en Sur mas que 90 ctvs. Vivía en una ciudad situada en la frontera que separaba ambos países, un joven avispado. Entro en una tienda situada en Norte, compro una maquinilla de afeitar de 10 ctvs. y la pago con un peso de Norte. Como vuelta le dieron un peso de Sur, que allí no valía mas que 90 ctvs. Cruzo la calle, entro en otra tienda situada en Sur y compro un paquete de hojas de afeitar de 10 ctvs., pagándolo con el peso de Sur. Le devolvieron un peso de Norte. Cuando regreso a su casa, tenia, como al salir, un peso de norte, y además lo que había comprado. Y cada uno de los comerciantes tenia en su caja registradora 10 ctvs. mas. ¿Quién había, pues, pagado la maquinilla y las hojas de afeitar?
  • 14. ¿El truco? Un árabe rico al morir dejo a sus tres hijos una cuadra de 17 hermosos caballos, especificando que debían repartirla en la siguiente forma: al mayor la mitad de los caballos, al siguiente un tercio, y al menor un noveno. Los jóvenes herederos al ver que no podían repartir los 17 caballos de esta manera sin la colaboración del carnicero. Buscaron finalmente los consejos de un anciano y sabio amigo que prometió su ayuda.
  • 15. En una gran empresa el gerente de personal eligió a tres jóvenes que parecían prometer, y les dijo: “Sus sueldos han de ser, al empezar, de $1000 anuales, pagaderos por semestres. Si su trabajo es satisfactorio y decidimos que sigan, se les aumentara el sueldo; pero, díganme que prefieren, ¿un aumento de $150 anuales o uno de $50 cada semestre?” Los dos primeros aceptaron sin ninguna duda la primera alternativa, pero el tercero, después de pensarlo un momento, eligió la segunda. Inmediatamente lo pusieron al frente de los otros dos…. ¿Por que?
  • 16. Un automovilista sube por una carretera de un kilometro de longitud hasta la cima de una montaña a una velocidad de 15 kilómetros por hora. ¿A que velocidad tendrá que descender por el kilometro de carretera que hay al otro lado para conseguir en el recorrido total de 2 kilómetros una velocidad media de 30 kilómetros por hora? Problemas relativos a velocidades
  • 17. Dos vendedoras tienen cada una 30 manzanas. La primera de 2 por 5 centavos, y la segunda de 3 por 5 centavos. Al terminar la jornada tenían respectivamente 75 y 50 centavos, o sea $1.25 en total. Al día siguiente deciden juntar el negocio, de modo que reúnen sus manzanas y las venden a 5 por 10 centavos (2 por 5 ctvs. mas 3 por 5 ctvs.). Pero al hacer las cuentas por la noche se encuentra con que no tienen mas que $1.20. Buscan por todas partes los otros cinco centavos y acaban por acusarse mutuamente de habérselos apropiado. ¿Dónde están?
  • 18. Paradoja 1. Un reloj tarda cinco segundos en dar seis campanadas. ¿Cuánto tardara en dar doce? ¡No! La contestación no es 10 segundos. Paradoja 2. Una botella y su tapón cuestan $1.10. La botella cuesta un peso mas que el tapón. ¿Cuánto cuesta la botella? ¡No! La respuesta no es 1.00. Paradoja 3. En el fondo de un pozo de 30 metros hay una rana. Cada hora sube 3 metros y se resbala perdiendo 2. ¿Cuántas horas tardara en salir? ¡No! La respuesta no es 30 horas. Paradoja 4. Un expreso sale de Nueva York hacia Boston en el mismo momento en que un correo de Boston hacia Nueva York. Aquel va a 50 kilómetros por hora, y este a 30. ¿Cuál de los dos esta mas lejos de Nueva York cuando se cruzan? ¡No! La contestación no es el expreso.
  • 19. Una aldeana fue en una ocasión al mercado a vender un cesto de huevos. El primer comprador se llevo la mitad mas medio huevo. El segundo le vendió la mitad de los que le quedaban mas medio huevo. Y al tercero le dio la mitad de lo que entonces le quedaba mas medio huevo. Se quedo con tres. ¿Cuántos tenia al principio si no se rompió ningún huevo? La respuesta es 31. Tenemos dos vaso, una con agua y la otra con leche (sin aguar). Cogemos una cucharadita de leche del primer vaso, la echamos en el segundo y agitamos. Entonces cogemos del segundo vaso una cucharada de mezcla y la ponemos en el segundo. Se pregunta ¿habrá mas agua en la leche que leche en el agua, o mas leche en el agua que agua en la leche? Respuesta: hay la misma cantidad, 4/5 de cucharada, de leche en el agua y de agua en la leche.
  • 20. “No tengo ni hermanos ni hermanas, pero el padre de ese hombre, es hijo de mi padre” Acertijos relativos a parentescos familiares Si como dice el que habla, es hijo único, “el hijo de mi padre” será el mismo. Y si el “padre de ese hombre” es “hijo de mi padre”, el “padre de ese hombre” ha de ser el que habla, y por tanto “ese hombre” es su hijo. Hay de un abuelo, una abuela, dos padres, dos madres, cuatro hijos, tres nietos, un hermano, dos hermanas, dos hijos varones, dos hijas, un suegro, una suegra y una nuera. Contemos a ver cuantos son. ¿Veintitrés, dice usted? No, solo siete.
  • 21. Es muy posible que dos hombres que no estén unidos por ningún parentesco, tengan la misma hermana. Un esquema nos ayudara a comprenderlo. Era posible que un chico fuera a un mismo tiempo hijo legitimo de su padre, e ilegitimo de su madre. Dos hombres, cada uno de los cuales era a un mismo tiempo sobrino y tio del otro. ¿Imposible?