El documento describe conceptos básicos de lógica difusa, incluyendo proposiciones compuestas, relaciones clásicas y difusas, operaciones como extensión cilíndrica y proyección, y sistemas difusos basados en reglas. Explica cómo modelar relaciones mediante funciones de membresía y composición relacional, así como los pasos de inferencia difusa que incluyen agrupar resultados de reglas y defuzzificación.

1. Por Ramiro Aduviri Velasco
@ravsirius

2. Proposiciones compuestas de lógica difusa
Small = Short y Light (conjunción)
small(h, w) = short(h)  Light(w)

3. Relaciones clásicas
La relación clásica representa la presencia o ausencia de interacción entre los
elementos de dos o más conjuntos.
Ejemplo:
X ={English, French} Y = {dólar, pound, franc, mark}
Z = {USA, France, Canada, Britain, Germany}
R(X, Y, Z) = {(English, dolar, USA), (French, franc, France), (English, dolar,
Canada),
(French, dolar, Canada), (English, pound, Britain)}

4. Extensión cilíndrica
extx2(A) = {A(x1)/(x1, x2) I (x1, x2)  X1 x X2}
Proyección
proyx2(A) = {(x1, sup A(x1, x2) I x1  X1)}
x2X2

5. Producto Cartesiano
Una operación entre conjuntos difusos definido en diferentes dominios, que
resulta de un conjunto difuso multidimensional.
Ejemplo: A1  A2 en X1 x X2

6. Relaciones difusas
Con relaciones difusas, el grado de asociación (correlación) es representado por
grados de membresía.
Una relación difusa de dimensión n es una representación
R : X1 x X2 x . . . x Xn [0, 1]
la cual asigna grados de membresía a todos los n-tuples (x1, x2,, . . . ,xn) a partir
del universo del producto Cartesiano.

7. Composición de relaciones
R(X, Y) = P(X, Y) o Q(Y, Z)
Condiciones:
(x, y)  R si existe y  Y tal que
(x, y)  P y (y, z)  Q.
Composición max-min
PoQ(x, z) = max min[P(x, y), Q(x, z)]
yY
Composición relacional
Dada la relación difusa R en X x Y y el conjunto
difuso A definido en X, deriva el conjunto difuso
correspondiente B definido en Y:
B = A o R = proyY(extXxY(A)  R)
Composición max-min
B(y) = max min [A(x), B(x, y)]
x x,y
Análogo a evaluar una función.

8. Interpretación gráfica
Función convencional:
Función intervalo:
Relación difusa:

9. Composición max-min: Ejemplo
B(y) = max min[A(x), R(x, y)], y
x x
Sistemas difusos Envuelve conjuntos difusos como parámetros o variables
 Sistemas con parámetros difusos
 Entradas y/o estados difusos
 Sistemas difusos basados en reglas:
Si el poder calorífico es alto
Entonces la temperatura subirá rápido

10.  Modelo lingüístico difuso (Mamdani) Si x es A entonces y es B
 Modelo relacional difuso Si x es A entonces y es B1(0.1), B2(0.8)
 Modelo difuso de Takagi-Sugeno Si x es A entonces y = f(x)
Sistema dinámico difuso
Sistemas basados en reglas

11. Modificadores lingüísticos: Ejemplo
muy(A) = 2
A mas o menos(A) = a

12. Modelo Lingüístico
Si x es A entonces y es B
x es A  antecedente (proposición difusa)
y es B  consecuente (proposición difusa)
Proposiciones compuestas (conectivos lógicos, hedges):
Si x1 es muy grande y x2 es no pequeño

13. Partición del Espacio Antecedente

14. Mecanismo de Inferencia
Dado las reglas si-entonces y un conjunto difuso de entrada, se deduce el
correspondiente conjunto difuso de salida.
• Planteamiento formal basado en relaciones difusas:
1. Representa cada regla si-entonces como una relación difusa.
2. Agrega estas relaciones en una relación representativa para toda la base
de reglas.
3. Dada una entrada, usa la composición relacional para derivar la salida
correspondiente.
• Planteamiento simplificado (inferencia de Mamdani)
• Interpolación (Sistemas difusos aditivos)

15. Reglas de Inferencia en Modus Ponens
Lógica clásica
Si x es A entonces y es B
x es A

y es B
Lógica difusa
Si x es A entonces y es B
x es A´

y es B´

16. Implicaciones y Conjunciones difusas
La implicación difusa es representada como una relación difusa:
R : [0, 1] x [0, 1]  [0, 1]
R(x, y) = I(A(x), B(y))
I(a, b)  función de implicación

“clásico” Kleene-Diene I(a, b) = max(1  a, b)
Lukasiewicz I(a, b) = min(1, 1  a + b)
tnormas Mamadani I(a, b) = min(a, b)
Larsen I(a, b) = a  b)


17. Inferencia con una regla
Construir la relación de implicación:
R(x, y) = I(A(x), B(y))
Use composición relacional para derivar B´ de A´
B´ = A´ o R
R(x, y) = min(A(x), B(y))

18. Ilustración gráfica
B´(y) = maxx minx(A´(x), R(x, y))

19. Inferencia con varias reglas
1. Cuando la implicación es el operador conjunción:
Cada regla
es representado por una relación difusa en X Y:
Ri = Ai x Bi R(x, y) = Ai(x)  Bi(y)
2. La relación en conjunto de la base de reglas es la unión:
3. Dado un valor de entrada A´ el valor de salida B´ es:
B´ = A´ o R B(y) = max X [A(x)  R(x, y)]

20. Planteamiento simplificado
1. Calcule el matrimonio entre la entrada y la función de
membresía del antecedente (grado de compromiso).
2. Recorte el conjunto difuso de salida correspondiente para
cada regla utilizando el grado de compromiso.
3. Ponga los conjuntos difusos de salida de todas las reglas
en un conjunto difuso.
A esto se llama método de inferencia de Mamdani o max-min.

21. Ejemplo: Control del nivel de líquido
Si es nivel es bajo entonces incremente en abrir válvula
Si es nivel es OK entonces mantenga en abrir válvula
Si es nivel es alto entonces reduzca en abrir válvula

22. Inferencia difusa: Etapas 1 y 2
Recorta la función de membresía del consecuente de la segunda y tercera regla.

23. Agregado Combina los resultados de las dos reglas (unión)
Defuzzificación Conversión de un conjunto difuso a un valor convencional.

24. Método del Centro de Gravedad: Inferencia y Defuzzificación difusas

25. Componentes del sistema difuso

26. Modelos no Lineales
Modelos en el espacio de estado
• Continuo:
x(t) = f(x(t), u(t), t)
y(t) = g(x(t), u(t), t)
• Discreto:
x(k+1) = f(x(k), u(k), k)
y(k) = g(x(k), u(k), k)
Modelos de entrada-salida
• Continuo:
y(n)(t) = f(y(n-1)(t), . . . , y(t), u(m)(t), . . . , u(t))
• Discreto :
y(k+1) = f(y(k), y(k-1), . . . , y(k-ny + 1), u(k), u(k-1), . . . , u(k-ny + 1))

27. ¿Cómo obtener modelos?
 Físico (modelado mecánico)
1. Principios básicos  Ecuaciones diferenciales
(no lineal)
2. Linealización en torno a un punto de operación
 Identificación del sistema
1. Medición de datos de entrada y salida (en torno al punto de
operación)
2. Postulado de la estructura del modelo (lineal, no lineal, orden)
3. Estimación de los parámetros del modelo a partir de datos (mínimos
cuadrados)
 Combinación de las dos.

28. Identificación del sistema
y(1), y(2), . . . , y(N)

29. Formulación del problema de modelado
x(k+1) = f(x(k), u(k))
y(k) = g(x(k))
x(k) = [y1(k), . . . , y1(k  p1 + 1), . . . , yp(k), . . . , yp(k  pp + 1),
u1(k), . . . , u1(k  m1 + 1), . . . , um(k), . . . , um(k  mm + 1)]T
y(k+1) = f(x(k))