1) La realimentación del estado es un método de control que utiliza la información del estado de un sistema para generar la señal de control. 2) Existen varios métodos para diseñar la realimentación del estado como ubicar los polos, igualación directa, forma canónica o fórmula de Ackermann. 3) Los observadores de estado estiman las variables de estado no medidas utilizando la información de salida y permiten aplicar la realimentación cuando no se conocen todas las variables.

1. Realimentación del estado

2. Introducción Una vez introducida la descripción en el espacio de estados de un sistema, el siguiente paso es el estudio de los sistemas de control basados en la realimentación del estado .

3. Ubicación de polos Esquema típico: realimentar el estado del sistema para conducir el estado inicial al origen del espacio de estados y mantenerlo en ese punto.

4. K es la matriz de ganancias de realimentación de las variables de estado. La señal de control generada es u=-Kx Objetivo del diseño: obtener los valores de los coeficientes de K que hacen que los polos del sistema realimentado sean los fijados por las especificaciones .

5. El problema tiene solución si el sistema es de estado completo controlable. x’(t) = Ax(t)+Bu(t) = (A-BK)x(t) |sI-(A-BK)|=0 La dinámica del sistema con realimentación del estado viene dada por los autovalores de la matriz A-BK . Si el sistema es controlable, podrá ponerse en forma canónica controlable.

6. Las matrices A y B en forma canónica controlable son: |sI-A+BK|=0 Tomando K=[k 1 k 2 ... k n ].

7. La matriz A-BK queda: La ecuación característica resultante es: Como los coeficientes de realimentación aparecen aislados, si el sistema es controlable siempre se pueden ubicar los polos en las posiciones deseadas .

8. Igualación directa. Comprobar la controlabilidad del sistema. Obtener la ecuación característica deseada a partir de las especificaciones. Obtener la ecuación característica del sistema realimentado en función de las ki . Igualar los polinomios característicos y despejar los valores de las ganancias de realimentación. Procedimientos de diseño

9. Paso a forma canónica controlable. Comprobar la controlabilidad del sistema. Obtener la matriz de transformación a forma canónica controlable T . Obtener las ganancias de realimentación a partir de igualar el polinomio característico del sistema en forma canónica controlable al polinomio deseado.  sI-A+BK  =  sI-T -1 AT+T -1 BKT  = s n +  1 s n-1 + ... +  n-1 s +  n K = [  n -a n  n-1 -a n-1 ...  2 -a 2  1 -a 1 ]T -1

10. Fórmula de Ackermann. Comprobar la controlabilidad del sistema. Aplicar la fórmula. K = [0 0 ... 0 1] [B AB ... A n-1 B] -1  (A) donde  es la ecuación característica del sistema.

11. Ejemplo: Sea el sistema La ecuación característica |sI-A|=s 2 -20.6=0 posee autovalores en ±4.54 (sistema inestable), que se desea trasladar a -1.8±2.4j usando realimentación del estado. El sistema es controlable puesto que la matriz de controlabilidad M=[B|AB]=[0 1; 1 0] tiene rango 2. La ecuación característica deseada será: (s+1.8+2.4j)(s+1.8-2.4j)=s 2 +3.6s+9=0.

12. El polinomio característico del sistema realimentado es: Igualando ambas expresiones resulta: k 1 =29.6, k 2 =3.6

13. Respuestas libres desde condiciones iniciales [1 1]. Sistema sin compensar. Sistema con realimentación de estado.

14. Catálogos de funciones. Criterios de minimización. El objetivo es minimizar funcionales del tipo J =  0  [py 2 + u 2 ] dt (equivalente a resolver la ecuación 1 + pG(-s)G(s) = 0 ) Se pondera la rapidez de la respuesta frente al esfuerzo de control. Selección de los polos deseados

15. Cuestiones a tener en cuenta: el esfuerzo de control crece cuando: El desplazamiento que debe introducir la realimentación sobre los polos en bucle abierto para alcanzar las ubicaciones deseadas de los polos en bucle cerrado es elevada. Existen configuraciones de pares polo-cero cercanos en bucle abierto que hay que romper.

16. Observadores de estado En la práctica puede ocurrir que todas o algunas de las variables de estado no sean medibles directamente.

17. Soluciones: Realimentación de la salida: u=-Ky Estimación del estado.

18. A partir de la identificación de las matrices del sistema se construye un estimador de la forma: Observador en bucle abierto Problemas: Errores de identificación en las matrices del sistema. Errores de identificación en las condiciones iniciales. Ausencia de realimentación.

19. Incluyendo en la expresión del estimador información de la salida tenemos: Observador asintótico de orden completo La dinámica del error de estimación (diferencia entre las variables de estado reales y las estimadas) viene dada por la ecuación:

20. Para independizar el error de la señal de entrada se toma z=Bu . Sustituyendo además y=Cx queda: La expresión final del error se obtiene tomando M=A-K e C . Si los autovalores de A -K e C son estables, el error converge a 0 con independencia de las condiciones iniciales -> las variables de estado estimadas convergen a las variables reales. El observador asintótico de orden completo resultante es:

21. Si el sistema es observable se podrán elegir libremente la dinámica del error de estimación fijando K e . Considerando el sistema dual Sabemos que si es controlable, podemos elegir los autovalores de A*-C*K libremente. Como los autovalores de A*-C*K coinciden con los de A-K*C , tomando K e =K* , tenemos que en el sistema original, la dinámica del error puede fijarse a voluntad.

22. La condición de controlabilidad en el sistema dual es rango[C* A*C* ... (A*) n-1 C*]=n Esta es la condición de observabilidad sobre el sistema original, luego si el sistema es observable se puede diseñar un observador de orden completo que tenga un comportamiento prefijado .

23. Ejemplo: Sea el sistema Diseñar un observador para las variables de estado suponiendo que la matriz A estimada es A1=[0 1; 20.599 0] , las condiciones iniciales reales son [1 1] , y las condiciones iniciales estimadas son [1.5 1.5] . Observador en bucle abierto: el estimador será

24. Variables de estado reales y estimadas. Comportamiento del estimador en bucle abierto. Error de estimación.

25. Observador asintótico: el estimador será El sistema es observable puesto que la matriz de observabilidad M=[C*|A*C*]=[1 1; 20.599 1] tiene rango 2. Seleccionando Ke para que proporcione la dinámica del error venga gobernada por los autovalores -1.8±2.4j queda: (s+1.8+2.4j)(s+1.8-2.4j)=s 2 +3.6s+9=|sI-(A-KeC)| ke 1 =1.34, ke 2 =2.26

26. Variables de estado reales y estimadas. Comportamiento del observador asintótico. Error de estimación.

27. Principio de separación Combinando las ecuaciones del sistema de control con las del observador tenemos: La ecuación característica del conjunto es  sI-A+BK   sI-A+K e C  = 0 , lo que quiere decir que la dinámica del control y del error de estimación pueden seleccionarse de forma independiente. Interesa que el observador sea más rápido que el control.

28. Cuando no se estiman la totalidad de las variables de estado del sistema , sino que algunas se miden directamente y otras se estiman tenemos los observadores de orden reducido. Cuando el número de variables observadas es el menor posible tenemos los observadores de orden mínimo. Observadores de orden reducido

29. Servosistemas Trataremos ahora el caso en que se precisa que la señal de salida siga a una señal de referencia cambiante. Distinguiremos dos casos: Planta con integrador. Planta sin integrador.

30. La señal de control con y=x 1 es u = -Kx + k 1 r, donde K = [k 1 k 2 ... k n ] . Planta con integrador

31. La dinámica del sistema viene dada por: x' = Ax + Bu = (A-BK)x + Bk 1 r En estado estacionario se tiene: x'(  ) = (A-BK)x(  ) + Bk 1 r(  ) = (A-BK)x(  ) + Bk 1 r Restando ambas ecuaciones : e' = (A-BK) e Si el sistema de partida es controlable, se podrá elegir la dinámica del error de forma que éste tienda a cero.

32. La señal de control en el equilibrio debe ser cero (dado que el sistema posee un integrador), con lo que queda u(  ) = 0 = -Kx(  ) + k 1 r = k 1 [x 1 (  )-r]+k 2 x 2 (  )+...+k n x n (  ) Asumiendo que el sistema ha sido transformando a la representación en forma canónica controlable se tiene x i+1 =x' i , con lo que debe verificarse x 1 (  )=r=y , y el sistema presenta error nulo en régimen permanente.

33. Deberemos introducir un integrador en serie con la planta. Planta sin integrador

34. El integrador supone la adición de una nueva variable de estado al sistema: Restando de la ecuación anterior la correspondiente al estado estacionario se llega a: donde e=[x e n e ] T , siendo x e , n e , y u e las desviaciones de cada una de las variables de sus valores en el equilibrio, y además, u e = -Kx e + k I n e = -K'e (con K'=[K|-k I ] ).

35. Si el sistema definido por esta última ecuación es controlable, se puede elegir su comportamiento de modo que tienda asintóticamente a cero, con lo que de nuevo el sistema presentará error nulo en régimen permanente.