El documento describe los diferentes sistemas de numeración, incluyendo el binario, decimal, octal y hexadecimal. Explica que un sistema de numeración consiste en un conjunto de símbolos y reglas para generar números válidos. También describe cómo convertir números entre los diferentes sistemas, como dividir números decimales por la base del sistema objetivo y agrupar los restos para obtener el número en el nuevo sistema.

1. Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir
todos los números válidos.
Un sistema de numeración puede representarse como
donde:
es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.).
es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son
{0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son
{0,1,...9,A,B,C,D,E,F}.
son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles
no. En un sistema de numeración posicional las reglas son bastante simples, mientras que la
numeración romana requiere reglas algo más elaboradas.Estas reglas son diferentes para cada
sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir
números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos
permitidos en ese sistema.Para indicar en qué sistema de numeración se representa una cantidad
se añade como subíndice a la derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho
sistema.Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de
numeración de raíz mixta de base 20 (vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaron
independientemente el concepto de cero alrededor del año 36 a. C.1 Este es el primer uso
documentado del cero en América, aunque con algunas peculiaridades que le privaron de
posibilidad operatoria. Las inscripciones, los muestran en ocasiones trabajando con sumas de
hasta cientos de millones y fechas tan extensas que tomaba varias líneas el poder representarlas
El sistema binario, en matemáticas e informática, es un sistema de numeración en el que los números
se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las
computadoras, debido a que trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo cual su sistema
de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).El antiguo matemático hindú
Pingala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema de numeración binario en el siglo
tercero antes de nuestra era, lo cual coincidió con su descubrimiento del concepto del número ceroUna
serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (análogos a 3 bit) y números binarios de 6 bit eran
conocidos en la antigua China en el texto clásico del I Ching. Series similares de combinaciones binarias
también han sido utilizadas en sistemas de adivinación tradicionales africanos, como el Ifá, así como en
la geomancia medieval occidental.Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching,
representando la secuencia decimal de 0 a 63, y un método para generar el mismo fue desarrollado por
el erudito y filósofo Chino Shao Yong en el siglo XI.En 1605 Francis Bacon habló de un sistema por el
cual las letras del alfabeto podrían reducirse a secuencias de dígitos binarios, las cuales podrían ser
codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto arbitrario.
El sistema de numeración decimal, también llamado sistema decimal, es un sistema de numeración
posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del
número diez. El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de diez
cifras diferentes: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y
nueve (9).Excepto en ciertas culturas, es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y en todas las
áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo

2. en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método del binario o el
hexadecimal.
El sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza los dígitos 0 a 7.Para convertir un número en base
decimal a base octal se divide por 8 sucesivamente hasta llegar a cociente 0, y los restos de las divisiones
en orden inverso indican el número en octal. Para pasar de base 8 a base decimal, solo hay que
multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posición de la cifra, y sumar el resultado.Es más fácil pasar de
binario a octal, porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los dígitos binarios, así, el número 74 (en decimal)
es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 / 001 / 010, después obtenemos el número en decimal
de cada uno de los números en binario obtenidos: 1=1, 001=1 y 010=2. De modo que el número decimal
74 en octal es 112.En informática a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal, y se
suele indicar poniendo 0x delante del número octal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros
símbolos diferentes de los dígitos. Sin embargo, para trabajar con bytes o conjuntos de ellos, asumiendo
que un byte es una palabra de 8 bits, suele ser más cómodo el sistema hexadecimal, por cuanto todo byte
así definido es completamente representable por dos dígitos hexadecimales.
El sistema numérico hexadecimal o sistema hexadecimal (a veces abreviado como Hex, no confundir
con sistema sexagesimal) es un sistema de numeración que emplea 16 símbolos. Su uso actual está muy
vinculado a la informática y ciencias de la computación, pues los computadores suelen utilizar el byte u
octeto como unidad básica de memoria; y, debido a que un byte representa valores posibles, y esto
puede representarse como
que, según el teorema general de la numeración posicional, equivale al número en base 16 ,
dos dígitos hexadecimales corresponden exactamente —permiten representar la misma línea de
enteros— a un byte.En principio, dado que el sistema usual de numeración es de base decimal y, por
ello, sólo se dispone de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del alfabeto
latino para suplir los dígitos que nos faltan. El conjunto de símbolos sería, por tanto, el siguiente:
Se debe notar que A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15. En ocasiones se emplean letras
minúsculas en lugar de mayúsculas. Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor
numérico de cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando
multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16. Por ejemplo: 3E0A16
= 3×163 + E×162 + 0×161 + A×160 = 3×4096 + 14×256 + 0×16 + 10×1 = 15882.
El sistema hexadecimal actual fue introducido en el ámbito de la computación por primera vez por IBM
en 1963. Una representación anterior, con 0–9 y u–z, fue usada en 1956 por la computadora Bendix G-
15.
Converciones entre sistemas numericos
Antes de analizar como se convierte un número de un sistema a otro, es importante destacar algunos
aspectos. Se denomina base de un sistema de numeración a la cantidad de símbolos que posee el sistema.
La base del sistema Decimal es 10 y la del Binario es 2.
Si se analiza el sistema decimal, se puede decir que todo número se representa mediante una sucesión de
símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Cada símbolo tiene un determinado valor absoluto, que es el que le

3. corresponde cuando está solo, y un determinado valor relativo según la posición que ocupe dentro de un
número. Los hindúes descubrieron esta propiedad en el siglo 1 después de Cristo. Por ejemplo, en el
número 1328 a pesar de que 1 tiene menor valor absoluto que 3, 2 y 8, posee mayor valor relativo por la
posición en la que se encuentra dentro del número.En un número expresado en el sistema decimal, cada
dígito empezando por la derecha (que es el menos significativo) y siguiendo hacia la izquierda (dígito
más significativo), es multiplicado por potencias sucesivas de la base 10. Por ejemplo:
1328 = 1000 + 300 + 20 + 8
1328 = 1 x 103 + 3 x 102 + 2 x 101 + 8 x 100
El valor de la posición, llamado peso, indica cuantas veces la base ha sido multiplicada por su misma. En
forma general, un número N de n dígitos expresado en base b (que se simboliza como Nb), puede
escribirse según la siguiente expresión polinómica:
Nb = an x bn + an-1 x bn-1 + ……. + a2 x b2 + a1 x b1 + a0 x b0, donde 0 ai b.
Esta última relación indica que los elementos que componen el número, son siempre mayores o iguales
que cero y menores que la base del sistema de numeración.
CONVERSIÓN DE UN NUMERO DECIMAL A BINARIO
Para esta transformación es necesario tener en cuenta los pasos que mostraremos en el siguiente
ejemplo: Transformemos el numero 42 a numero binario
1. Dividimos el numero 42 entre 2
2. Dividimos el cociente obtenido por 2 y repetimos el mismo procedimiento hasta que el cociente
sea 1.
3. El numero binario lo formamos tomando el primer dígito el ultimo cociente, seguidos por los
residuos obtenidos en cada división, seleccionándolos de derecha a izquierda, como se muestra en
el siguiente esquema.
Figura 7: Conversión de decimal a binario
CONVERSIÓN DE UN NUMERO DECIMAL FRACCIONARIO A UN NUMERO BINARIO

4. Para transformar un número decimal fraccionario a un numero binario debemos seguir los pasos
que mostramos en el siguiente ejemplo: transformemos el numero 42,375.
1. la parte entera se transforma de igual forma que el ejemplo anterior.
2. La parte fraccionaria de la siguiente manera:
Multiplicamos por el numero 2 y tomamos la parte entera del producto que ira formando el numero
binario correspondiente
Tomamos nuevamente la parte entera del producto, y la parte fraccionaria la multiplicamos
sucesivamente por 2 hasta llegar a 0
Tomamos nuevamente la parte entera , y como la parte fraccionaria es 0, indica que se ha
terminado el proceso. El numero binario correspondiente a la parte decimal será la unión de todas
las partes enteras, tomadas de las multiplicaciones sucesivas realizadas durante el transcurso del
proceso , en donde el primer dígito binario corresponde a la primera parte entera , el segundo
dígito a la segunda parte entera , y así sucesivamente hasta llegar al ultimo .Luego tomamos el
numero binario , correspondiente a la parte entera , y el numero binario , correspondiente a la parte
fraccionaria y lo unimos en un solo numero binario correspondiente a el numero decimal.
Figura 8: Conversión de decimal fraccionario a binario
CONVERSIÓN DE UN NUMERO BINARIO A UN NUMERO DECIMAL
Para convertir un número binario a decimal, realizamos los siguientes pasos:
1. Tomamos los valores de posición correspondiente a las columnas donde aparezcan únicamente
unos
2. Sumamos los valores de posición para identificar el numero decimal equivalente

5. Figura 9: Conversión de binario a decimal
CONVERSIÓN DE UN NUMERO DECIMAL A OCTAL
Para convertir un numero en el sistema decimal al sistema de numeración Octal, debemos seguir
los pasos que mostraremos en el siguiente ejemplo Convertir el numero decimal 323.625 a el
sistema de numeración Octal
1. Se toma el numero entero y se divide entre 8 repetidamente hasta que el dividendo sea menor
que el divisor, para colocar entonces el numero 0 y pasar el dividendo a formar el primer dígito del
numero equivalente en decimal
2. Se toma la parte fraccionaria del numero decimal y la multiplicamos por 8 sucesivamente hasta
que el producto no tenga números fraccionarios
3. Pasamos la parte entera del producto a formar el dígito correspondiente
4. Al igual que los demás sistemas , el numero equivalente en el sistema decimal , esta formado
por la unión del numero entero equivalente y el numero fraccionario equivalente.
Figura 10: Conversión de decimal a octal
CONVERSIÓN DE UN NUMERO OCTAL A BINARIO
La ventaja principal del sistema de numeración Octal es la facilidad conque pueden realizarse la
conversión entre un numero binario y octal. A continuación mostraremos un ejercicio que ilustrará

6. la teoría. Por medio de este tipo de conversiones, cualquier numero Octal se convierte a binario de
manera individual. En este ejemplo, mostramos claramente el equivalente 100 111 010 en binario
de cada numero octal de forma individual.
Figura 11: Conversión de octal a binario
CONVERSIÓN DE UN NUMERO DECIMAL A UN NUMERO HEXADECIMAL
Convertir el numero 250.25 a Hexadecimal
1. Se toma la parte entera y se divide sucesivamente por el numero decimal 16 (base) hasta que el
cociente sea 0
2. Los números enteros resultantes de los cocientes, pasarán a conformar el numero hexadecimal
correspondiente, teniendo en cuenta que el sistema de numeración hexadecimal posee solo 16
símbolos, donde los números del 10 hasta el 15 tienen símbolos alfabéticos que ya hemos
explicado
3. La parte fraccionaria del numero a convertir se multiplica por 16 (Base) sucesivamente hasta que
el producto resultante no tenga parte fraccionaria
4. Al igual que en los sistemas anteriores, el numero equivalente se forma, de la unión de los dos
números equivalentes, tanto entero como fraccionario, separados por un punto que establece la
diferencia entre ellos.
Figura 12: Conversión de decimal a hexadecimal
CONVERSIÓN DE UN NUMERO HEXADECIMAL A UN NUMERO DECIMAL
Como en los ejemplos anteriores este también nos ayudará a entender mejor este procedimiento:
Convertir el numero hexadecimal 2B6 a su equivalente decimal.
1. Multiplicamos el valor de posición de cada columna por el dígito hexadecimal correspondiente.
2. El resultado del número decimal equivalente se obtiene, sumando todos los productos obtenidos

7. en el paso anterior.