El documento presenta el método de sustitución trigonométrica para calcular integrales involucrando expresiones como ax^2 +, ax^2 - y xa - . Explica tres ejemplos generales utilizando las sustituciones adecuadas para cada forma y resuelve las integrales resultantes. Además, incluye la introducción del autor y una tabla con las sustituciones correspondientes a cada tipo de expresión.

1. 1
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ADOLFO CHAPUZ BENITEZ PRESENTA:
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA parte I

2. 2
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3. 3
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Sobre el autor.
Adolfo Chapuz Benítez
Lic. En Matemáticas en la Universidad Juárez Autónoma De Tabasco
Profesor desde el año 1999 de matemáticas en el Instituto Tecnológico Superior De Comalcalco en
Tabasco, México
http://www.comoaprendomatematicas.com
Dedico este trabajo primeramente a Cristo Jesús, a Él sea toda lo gloria, toda la honra y toda la
alabanza. Él es el camino, y la verdad, y la vida Juan 14:6
A mi esposa Guillermina, a mis hijas Dulce y Regina, por quienes me esfuerzo para que tengan una
vida llena de bendiciones.
A mis padres Felipe y Valentina. Los mejores.
A mis hermanos: Nena, Mini, Sandra, Richard, Marbe e Ingrid. Inigualables.
A todos mis alumnos. De todo corazón.
Esto es para todos.

4. 4
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Contenido:
1.- Ejemplo General De la Forma
22
ax 
2.- Ejemplo General De la Forma
22
ax 
3.- Ejemplo General De la Forma
22
xa 
4.- Cinco ejemplos diversos

5. 5
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Introducción.
Uno de los métodos de integración clásicos es el llamado Método De Sustitución
Trigonométrica.
Este se usa para calcular integrales que involucran expresiones del tipo:
donde a es una constante.
Para cada una de estas expresiones existe una sustitución específica que nos ayuda a
que la raíz cuadrada involucrada desaparezca y la integral que se quiera calcular sea
más fácil de encontrar.
Además de la sustitución, se le asocia un triángulo que nos va a servir para poder
regresar a nuestra variable original.
Las sustituciones las usamos de acuerdo a la siguiente tabla:
TIPO DE EXPRESION SUSTITUCIÓN
ADECUADA
22
ax  tanax 
dadx 2
sec
22
ax  secax 
 dadx tansec
22
xa  asenx 
dadx cos
Antes de empezar con nuestros ejemplos, debo decirte que necesitamos de algunas
integrales que vamos a suponer que ya calculamos, éstas se pueden consultar en los
ejercicios vistos en la sección de Integrales trigonométricas. Estas integrales son las
siguientes:
222222
, xaaxax 

6. 6
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I.-   cd   tanseclnsec
II.-   cd   cotcsclncsc
III.-   cd   tansecln
2
1
tansec
2
1
sec3
IV.-   cd   seclntan
I.- EJEMPLO GENERAL DE LA FORMA
22
ax 
1.- dxax  22
Desarrollo: En este caso queremos calcular la integral en forma general porque
vamos a trabajar para cualquier valor de a y usamos el primer tipo de sustitución
porque es una SUMA de cuadrados.
tanax 
dadx 2
sec
Aquí aprovechamos igual para observar como la raíz cuadrada se cancela de manera
automática. De hecho este mismo procedimiento es el que debes aplicar cada vez que
quieras resolver una integral de este tipo. Así que pon mucha atención, porque no será
necesario repetirlo, sino simplemente aplicar el resultado ya obtenido.
Simplificamos 22
ax  :
   


secsec
sec1tantantan
22
22222222222
aa
aaaaaaax


Conclusión: sec22
aax 
2
sec

7. 7
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Ahora, calculamos la integral:
 
  c
aa
ca
da
daadxax














tansecln
2
tansec
2
tansecln
2
1
tansec
2
1
sec
secsec
22
2
32
222
  c
aa
dxax   tansecln
2
tansec
2
22
22
Resultado previo.
Hasta este punto la integral ya está resuelta, solo debemos regresar a la variable
original x, usando el siguiente triángulo, que solo es válido para esta sustitución
tanax  .
De aquí, obtenemos
adyacente
opuesto
a
x
tan , con esto construimos nuestro triángulo
rectángulo:
x
a
22
ax 
Cateto adyacente
Cateto opuesto 

8. 8
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Observando el triángulo, tenemos que:
a
x
tan , 22
cos
ax
a

 y
a
ax 22
sec

 . Ahora sólo basta sustituir en la
integral anterior.
 
c
a
xaxaaxx
c
a
xaxa
a
axxa
c
a
x
a
axa
a
x
a
axa
c
aa
dxax








 











 








 

























 


22222
222
2
222
222222
22
22
ln
22
ln
22
ln
22
tansecln
2
tansec
2

Por lo tanto, tenemos que:
c
a
xaxaaxx
dxax 







 



22222
22
ln
22

9. 9
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II.- EJEMPLO GENERAL DE LA FORMA
22
ax 
Desarrollo:
secax 
 dadx tansec
Simplificamos 22
ax  :
   


tantan
tan1secsecsec
22
22222222222
aa
aaaaaaax


Conclusión: tan22
aax 
2
tan

10. 10
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Ahora, calculamos la integral, sustituyendo lo que acabamos de obtener:
 
 
   
   
  c
aa
ca
aa
caa
dada
da
da
daadxax











 










tansecln
2
tansec
2
tanseclntansecln
2
tansec
2
tanseclntansecln
2
1
tansec
2
1
secsec
sec1sec
sectan
tansectan
22
2
22
22
232
22
22
22
Tenemos el resultado provisional de la integral en términos de 
  c
aa
dxax   tansecln
2
tansec
2
22
22
Resultado previo.

11. 11
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Hasta este punto la integral ya está resuelta en términos de  , solo debemos
regresar a la variable original x, usando el siguiente triángulo, que solo es válido para
esta sustitución secax  .
De aquí, obtenemos
adyacente
hipotenusa
a
x
sec , con esto construimos nuestro triángulo
rectángulo:
Observando el triángulo, tenemos que:
a
x
sec ,
a
ax
adyacente
opuesto 22
tan

 . Ahora sólo basta sustituir en
  c
aa
dxax   tansecln
2
tansec
2
22
22
,
x
a
22
ax 
Cateto adyacente
Cateto opuesto 

12. 12
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c
a
axxa
axx
c
a
ax
a
xa
a
ax
a
xa
dxax








 









 








 







222
22
222222
22
ln
22
1
ln
22
Conclusión:
c
a
axxa
axxdxax 







 

222
2222
ln
22
1

13. 13
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III.- EJEMPLO GENERAL DE LA FORMA
22
xa 
Desarrollo:
asenx 
dadx cos
Simplificamos 22
xa  :
   


coscos
cos1
22
22222222222
aa
asenasenaaasenaxa


Conclusión: cos22
axa 
Ahora calculamos la integral:
2
cos

14. 14
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 
 
csen
aa
csen
aa
csen
aa
csen
aa
dada
da
da
daadxxa






























cos
22
cos2
42
2
42
2
2
1
22
)2cos(
2
1
2
1
)2cos(
2
1
2
1
cos
coscos
22
22
22
22
22
2
22
22
Tenemos el resultado provisional de la integral en términos de 
Resultado previo.
Hasta este punto la integral ya está resuelta en términos de  , solo debemos
regresar a la variable original x, usando el siguiente triángulo, que solo es válido para
esta sustitución asenx  .
De aquí, obtenemos
hipotenusa
opuesto
a
x
sen  , con esto construimos nuestro triángulo
rectángulo:
csen
aa
dxxa   cos
22
22
22

15. 15
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22
xa 
Observando el triángulo, tenemos que:
a
x
sen 
,






 
a
x
sen 1

a
xa
Hipotenusa
adyacente 22
cos

 . Ahora sólo basta sustituir en:
cxa
x
a
x
sen
a
c
a
xa
a
xa
a
x
sen
a
dxxa

























221
2
222
1
2
22
22
22
Y finalmente tenemos:
cxa
x
a
x
sen
a
dxxa 





 

221
2
22
22
x
a
Cateto adyacente
Cateto opuesto 
csen
aa
dxxa   cos
22
22
22

16. 16
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Ejemplos diversos:
NOTA: EN ESTOS EJEMPLOS VAMOS A USAR LAS SIGUENTES EXPRESIONES
QUE HEMOS OBTENIDO ANTERIORMENTE PARA AHORRAR UN POCO DE
ESPACIO Y TIEMPO EN LAS EXPLICACIONES.



cos.3
tan.2
sec.1
22
22
22
axa
aax
aax



1.- dx
x
x

 32
Desarrollo:
Primero identificamos el valor de :a
332
 aa .
tan3x y ddx 2
sec3 .Entonces recordemos que hemos obtenido con
anterioridad la siguiente expresión: sec22
aax  , así que sólo vamos a sustituir
el valor de :a
Tenemos que sec332
x y debemos sustituir en la integral.

17. 17
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 
 







































dd
dd
d
d
d
d
ddx
x
x
csc3sectan3
tan
sec
3
tan
sectan
3
tan
secsectan
3
tan
sec1tan
3
tan
secsec
3
tan
sec
3
sec3
tan3
sec33
2
2
2
2
3
2
2
  cddx
x
x


  cotcscln3sectan3
32
Simplificamos el integrando de la primera integral:







dsendu
u
sensen



cos
coscos
1
cos
sectan 2








csc
1
cos
cos
cos
cos
1
tan
sec


sensensen

18. 18
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Ahora usamos cambio de variable.
 
 
 
 
  c
c
u
c
u
cduu
c
u
du
dx
x
x























cotcscln3
cos
3
cotcscln3
3
cotcscln3
1
3
cotcscln33
cotcscln33
3
1
2
2
2
  cdx
x
x


 

cotcscln3
cos
332
Resultado previo.
Ahora regresamos a la variable x, nos basamos en la sustitución con que empezamos
adyacente
opuestox
x 
3
tantan3  :
x
3
32
x
Cateto adyacente
Cateto opuesto 

19. 19
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Observando el triángulo, tenemos que:
3
tan
x
 ,
x
3
cot 
32


x
x
sen ,
x
x 3
csc
2

 .
3
3
sec,
3
3
cos
2
2




x
x
 Ahora sólo basta sustituir en la integral anterior.
 
c
x
x
x
c
x
xx
c
xx
x
cdx
x
x








 









 


















33
ln33
33
ln3
3
3
3
33
ln3sec3
cotcscln3
cos
33
2
2
22
2
2



c
x
x
xdx
x
x








 



33
ln33
3 2
2
2
Conclusión.

20. 20
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2.-
dx
x
x

 252
Desarrollo:
Aquí usamos sec5x y  ddx tansec5 al sustituir estas expresiones nos
ayudan a simplificar la parte que tiene el radical.
tan5252
x
.Entonces tenemos lo siguiente:
 
c
dd
d
d
ddx
x
x

















5tan5
5sec5
1sec5
tan5
tansec5
sec5
tan525
2
2
2
2
cdx
x
x


  5tan5
252
Resultado previo.
Hasta este punto la integral ya está resuelta, solo debemos regresar a la variable
original x, usando el siguiente triángulo, que solo es válido para esta sustitución con la
que iniciamos sec5x .


2
2
tan1sec
tan1sec
2
2



21. 21
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De aquí, obtenemos
adyacente
hipotenusax

5
sec , con esto construimos nuestro triángulo
rectángulo:
Observando el triángulo, tenemos que:
5
sec
x
 , )
5
sec(
x
arc
5
25
tan
2


x
adyacente
opuesto
 . Ahora sólo basta sustituir en
cdx
x
x


  5tan5
252
c
x
arc
x
x
cdx
x
x






)
5
sec(5
25
5
5tan5
25
2
2

Conclusión:
cxarc
x
x
dx
x
x




 )5/sec(5
25
5
25 22
x
5
252
x
Cateto adyacente
Cateto opuesto 

22. 22
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3.- dx
x
x

 2
16
Desarrollo: 4,162
 aa
senx 4
ddx cos4
Hemos obtenido previamente que:
cos22
axa 
Así que cos416 2
 x .
 
 
  c
dsend
d
sen
sen
d
sen
d
sen
sen
d
sen
d
sen
dx
x
x








 




















cos4cotcscln4
4csc4
4
1
4
1
4
cos
4
cos4
4
cos416
2
2
2
2
  cdx
x
x


  cos4cotcscln4
16 2
Resultado previo.

23. 23
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Hasta este punto la integral ya está resuelta en términos de  , solo debemos
regresar a la variable original x, usando el siguiente triángulo, que solo es válido para
esta sustitución senx 4 .
De aquí, obtenemos
hipotenusa
opuestox
sen 
4
 , con esto construimos nuestro triángulo
rectángulo:
2
16 x
Observando el triángulo, tenemos que:
4
x
sen 
, xsen
41
csc 


4
16
cos
2
x
Hipotenusa
adyacente 

2
16
tan
x
x
adyacente
opuesto


x
x2
16
cot


x
4
Cateto adyacente
Cateto opuesto 

24. 24
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Ahora sólo basta sustituir en:
  cdx
x
x


  cos4cotcscln4
16 2
cx
x
x
c
x
x
x
x
dx
x
x








 











 



2
2
222
16
164
ln4
4
16
4
164
ln4
16
Conclusión:
cx
x
x
dx
x
x








 



2
22
16
164
ln4
16

25. 25
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Ejemplo 4.-
dx
x
x
  4
3
Primero hacemos un cambio de variable: xdxduxu 2,2
 y transformamos nuestra
integral original en términos de u .
   



 2224
32
1
3
2
2
1
3 u
du
x
xdx
dx
x
x
En este punto es donde aplicamos la sustitución trigonométrica.
Desarrollo: 3,32
 aa
senu 3
ddu cos3 y cos33 2
 u
 
c
d
d
u
du
u
du
x
xdx
dx
x
x


















2
1
2
1
cos3
cos3
2
1
32
1
32
1
3
2
2
1
3
2
2224

26. 26
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cdx
x
x


 
2
1
3 4
Resultado previo.
Ahora vamos a regresar a la variable original x:
senu 3
3
u
sen  






3
u
arcsen
Pero como
2
xu  , entonces 






3
2
x
arcsen , por lo tanto:
c
x
arcsendx
x
x








 32
1
3
2
4
Conclusión.

27. 27
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Ejemplo 5.-
dx
x
x
 1002
2
Desarrollo:
10,1002
 aa
 22
sec100sec10  xx
 ddx tansec10
Además: tan101002
x
 
  c
d
ddx
x
x















tansecln
2
1
tansec
2
1
100
sec100
tansec10
tan10
sec100
100
3
2
2
2
  cdx
x
x


  tansecln
2
100
tansec
2
100
1002
2
Resultado previo.
Solo debemos regresar a la variable original x, usando el siguiente triángulo, que solo
es válido para esta sustitución con la que iniciamos sec10x .

28. 28
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De aquí, obtenemos
adyacente
hipotenusax

10
sec , con esto construimos nuestro triángulo
rectángulo:
Observando el triángulo, tenemos que:
10
sec
x
 ,
10
100
tan
2


x
adyacente
opuesto
 . Ahora sólo basta sustituir en
  cdx
x
x


  tansecln50tansec50
1002
2
c
xx
xx
c
xxxx
dx
x
x








 









 








 









10
100
ln50100
2
1
10
100
10
ln50
10
100
10
50
100
2
2
22
2
2
Conclusión c
xx
xxdx
x
x








 


 10
100
ln50100
2
1
100
2
2
2
2
x
10
1002
x
Cateto adyacente
Cateto opuesto 