Metodo completando cuadrado

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Ecuaciones Cuadráticas
1
Completar el Cuadrado

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Método de Completar el Cuadrado
19

19
El método de completar el cuadrado tiene el objetivo
de obtener una ecuación equivalente que contenga un
trinomio cuadrado perfecto (trinomio cuya factorización
tiene dos paréntesis idénticos).

19
Este método transforma una ecuación de la forma
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 en otra ecuación equivalente de la forma
(𝑥 + 𝑏
2𝑎
)2 = −𝑐 + 𝑏2
4𝑎2.

19
Este método transforma una ecuación de la forma
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 en otra ecuación equivalente de la forma
(𝑥 + 𝑏
2𝑎
)2 = −𝑐 + 𝑏2
4𝑎2.
Luego se resuelve esta ecuación equivalente por el
método de la raíz cuadrada.

20
Procedimiento:
1. Deje de un lado todos los términos con variables.

20
Procedimiento:
2. Divida por el coeficiente de la variable cuadrática

20
Procedimiento:
3. Encuentre el término que completa el cuadrado
– Este se obtiene elevando al cuadrado el cociente del
coeficiente del termino lineal y dos.

20
Procedimiento:
4. Sume el término que completa el cuadrado a cada lado de la
ecuación.

20
Procedimiento:
4. Sume el término que completa el cuadrado a cada lado de la
ecuación.
5. Factorice y use el método de la raíz.

21
Ejemplo 1:
Resuelva 𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 0, completando el cuadrado.

21
Ejemplo 1:
Solución:
Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
𝑥2
+ 8𝑥 + 14 = 0
𝑥2 + 8𝑥 = −14

21
Ejemplo 1:
Solución:
𝑥2
+ 8𝑥 + 14 = 0 Escribir la ecuación a resolver y
𝑥2 + 8𝑥 = −14
= 16
Buscar el número que completa el
cuadrado.
𝑏
2
2
= 8 ∙
1
2
2
8
= 4 2

21
Ejemplo 1:
Solución:
𝑥2
cuadrado.
𝑥2 + 8𝑥 = −14
𝑏
2
2
= 8 ∙
1
2
2
= 16= 4 28
Sumar el número que completa el
cuadrado en ambos lados de la ecuación.𝑥2 + 8𝑥 = −14+16 +16

21
Ejemplo 1:
Solución:
𝑥2
cuadrado.
𝑥2 + 8𝑥 = −14
𝑏
2
2
𝑥2 + 8𝑥 = −14
= 8 ∙
1
2
2
= 16= 4 2
+16 +16
cuadrado en ambos lados de la ecuación.
Factorizar el trinomio de un lado de la
ecuación y simplificar el otro.
𝑥 + 4 2 = 2
8

21
Ejemplo 1:
Solución:
𝑥2
cuadrado.
𝑥 + 4 2 = 2
𝑥2 + 8𝑥 = −14
𝑏
2
2
𝑥2 + 8𝑥 = −14
= 8 ∙
1
2
2
= 16= 4 2
+16 +16
8
Aplicar el método de la raíz cuadrada,
simplificar la expresión con radical y
establecer el conjunto solución.
±

21
Ejemplo 1:
Solución:
𝑥2
cuadrado.
±𝑥 + 4 2 = 2
𝑥2 + 8𝑥 = −14
𝑏
2
2
𝑥2 + 8𝑥 = −14
= 8 ∙
1
2
2
= 16= 4 2
+16 +16
8
𝑥 + 4 = 2±
𝑥 = −4± 2

21
Ejemplo 1:
Solución:
𝑥2
cuadrado.
±𝑥 + 4 2 = 2
𝑥2 + 8𝑥 = −14
𝑏
2
2
𝑥2 + 8𝑥 = −14
= 8 ∙
1
2
2
= 16= 4 2
+16 +16
∴ C.S. −4 − 2, −4 + 2
8
𝑥 + 4 = 2±
𝑥 = −4± 2

22
Ejemplo 2:
Resuelva 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0, completando el cuadrado.

22
Ejemplo 2:
3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0
Solución:

22
Ejemplo 2:
3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0
3 3 3 3
Solución:
= 0
𝑥2 − 4𝑥 = 5
𝑥2 −4𝑥 −5

22
cuadrado.
𝑏
2
2
= ∙
1
2
2
= 4= 2 2
Ejemplo 2:
3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0
Solución:
𝑥2 − 4𝑥 = 54

22
cuadrado.
𝑏
2
2
= ∙
1
2
2
= 4= 2 2
Ejemplo 2:
3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0
Solución:
𝑥2 − 4𝑥 = 5
4
𝑥2 − 4𝑥 = 5+4 +4

22
cuadrado.
Ejemplo 2:
3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0
Solución:
𝑥2 − 4𝑥 = 5
𝑥 − 2 2
= 9
𝑥2 − 4𝑥 = 5+4 +4

22
cuadrado.
Ejemplo 2:
3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0
Solución:
𝑥2 − 4𝑥 = 5
±
𝑥2 − 4𝑥 = 5+4 +4
𝑥 − 2 2
= 9

22
cuadrado.
Ejemplo 2:
3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0
Solución:
𝑥2 − 4𝑥 = 5
𝑥2 − 4𝑥 = 5+4 +4
𝑥 − 2 = ±3
±𝑥 − 2 2
= 9

22
cuadrado.
Ejemplo 2:
3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0
Solución:
𝑥2 − 4𝑥 = 5
𝑥2 − 4𝑥 = 5+4 +4
𝑥 = 2 ± 3
±𝑥 − 2 2
= 9
𝑥 − 2 = ±3

22
cuadrado.
Ejemplo 2:
3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0
Solución:
𝑥2 − 4𝑥 = 5
𝑥2 − 4𝑥 = 5+4 +4
𝑥 = 2 − 3 o 𝑥 = 2 + 3
𝑥 = −1 o 𝑥 = 5
±𝑥 − 2 2
= 9
𝑥 = 2 ± 3
𝑥 − 2 = ±3

22
cuadrado.
Ejemplo 2:
3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0
Solución:
𝑥2 − 4𝑥 = 5
𝑥2 − 4𝑥 = 5+4 +4
∴ C.S. −1, 5
±𝑥 − 2 2
= 9
𝑥 = 2 − 3 o 𝑥 = 2 + 3
𝑥 = 2 ± 3
𝑥 − 2 = ±3

23
Ejemplo 3:
Resuelva la ecuación 3𝑥2 + 9𝑥 = 0, completando el cuadrado.

23
Ejemplo 3:
Solución:
3𝑥2 + 9𝑥 = 0
3 3 3
𝑥2 +3𝑥 = 0

23
Ejemplo 3:
3𝑥2 + 9𝑥 = 0
Solución:
3 3 3
𝑥2 +3𝑥 = 0
cuadrado.
𝑏
2
2
= ∙
1
2
2
=
9
4
=
3
2
2
3

23
cuadrado.
Ejemplo 3:
3𝑥2 + 9𝑥 = 0
Solución:
3 3 3
𝑥2 +3𝑥 = 0
𝑥2
+ 3𝑥 = 0
9
4
+
9
4
+

23
cuadrado.
Ejemplo 3:
3𝑥2 + 9𝑥 = 0
Solución:
3 3 3
𝑥2 +3𝑥 = 0
𝑥2
+ 3𝑥 = 0
9
4
+
9
4
+
𝑥 +
3
2
2
=
9
4

23
cuadrado.
Ejemplo 3:
3𝑥2 + 9𝑥 = 0
Solución:
3 3 3
𝑥2 +3𝑥 = 0
𝑥2
+ 3𝑥 = 0
9
4
+
9
4
+
±𝑥 +
3
2
2
=
9
4

23
cuadrado.
Ejemplo 3:
3𝑥2 + 9𝑥 = 0
Solución:
𝑥 = −
3
2
±
3
2
𝑥 +
3
2
=±
3
2
3 3 3
𝑥2 +3𝑥 = 0
𝑥2
+ 3𝑥 = 0
9
4
+
9
4
+
±𝑥 +
3
2
2
=
9
4

23
cuadrado.
Ejemplo 3:
3𝑥2 + 9𝑥 = 0
Solución:
establecer el conjunto solución.∴ C.S. 0, −3
𝑥 = −
3
2
±
3
2
𝑥 +
3
2
=±
3
2
3 3 3
𝑥2 +3𝑥 = 0
𝑥2
+ 3𝑥 = 0
9
4
+
9
4
+
±𝑥 +
3
2
2
=
9
4

Práctica
24
Ir al manual de práctica:
Hacer el ejercicio 1 de la página 1

25
Práctica:
Resuelva las siguientes ecuaciones por el método de factorización.
1. 2𝑥2 − 4𝑥 = 0
2. 3𝑥2 + 6𝑥 = 0
3. 𝑝2
− 4𝑝 = 0
4. 𝑥2 + 3𝑥 = −1
5. 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0
6. 3𝑥2
− 12𝑥 = 0

25
Práctica:
1. 2𝑥2 − 4𝑥 = 0
2. 3𝑥2 + 6𝑥 = 0
3. 𝑝2
− 4𝑝 = 0
4. 𝑥2 + 3𝑥 = −1
5. 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0
6. 3𝑥2
− 12𝑥 = 0
𝑥 = 0 𝑥 = 2

25
Práctica:
1. 2𝑥2 − 4𝑥 = 0
2. 3𝑥2 + 6𝑥 = 0
3. 𝑝2
− 4𝑝 = 0
4. 𝑥2 + 3𝑥 = −1
5. 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0
6. 3𝑥2
− 12𝑥 = 0
𝑥 = 0 𝑥 = 2
𝑥 = 0 𝑥 = −2

25
Práctica:
1. 2𝑥2 − 4𝑥 = 0
2. 3𝑥2 + 6𝑥 = 0
3. 𝑝2
− 4𝑝 = 0
4. 𝑥2 + 3𝑥 = −1
5. 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0
6. 3𝑥2
− 12𝑥 = 0
𝑥 = 0 𝑥 = 2
𝑝 = 0 𝑝 = 4
𝑥 = 0 𝑥 = −2

25
Práctica:
1. 2𝑥2 − 4𝑥 = 0
2. 3𝑥2 + 6𝑥 = 0
3. 𝑝2
− 4𝑝 = 0
4. 𝑥2 + 3𝑥 = −1
5. 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0
6. 3𝑥2
− 12𝑥 = 0
𝑥 = 0 𝑥 = 2
𝑝 = 0 𝑝 = 4
𝑥 =
3
2
−
5
2
𝑥 = 0 𝑥 = −2
𝑥 =
3
2
+
5
2

25
Práctica:
1. 2𝑥2 − 4𝑥 = 0
2. 3𝑥2 + 6𝑥 = 0
3. 𝑝2
− 4𝑝 = 0
4. 𝑥2 + 3𝑥 = −1
5. 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0
6. 3𝑥2
− 12𝑥 = 0
𝑥 = 0 𝑥 = 2
𝑝 = 0 𝑝 = 4
𝑥 =
3
2
−
5
2
𝑥 =
1
4
𝑥 = 1𝑥 = 0 𝑥 = −2
𝑥 =
3
2
+
5
2

25
Práctica:
1. 2𝑥2 − 4𝑥 = 0
2. 3𝑥2 + 6𝑥 = 0
3. 𝑝2
− 4𝑝 = 0
4. 𝑥2 + 3𝑥 = −1
5. 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0
6. 3𝑥2
− 12𝑥 = 0
𝑥 = 0 𝑥 = 2
𝑝 = 0 𝑝 = 4
𝑥 =
3
2
−
5
2
𝑥 =
1
4
𝑥 = 1
𝑥 = 0 𝑥 = 4
𝑥 = 0 𝑥 = −2
𝑥 =
3
2
+
5
2

26
Práctica:
Resuelva 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, completando el cuadrado.

26
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Solución:
Práctica:

26
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
Solución:
= 0𝑥2
+ 𝑏
𝑎 𝑥 + 𝑐
𝑎
Práctica:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑥2
+ 𝑏
𝑎
𝑥 = − 𝑐
𝑎

26
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
Solución:
Práctica:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑥2
+ 𝑏
𝑎
𝑥 = − 𝑐
𝑎
cuadrado.
𝑏
2
2
= ∙
1
2
2
=
𝑏2
4𝑎2
=
𝑏
2𝑎
2
𝑏
𝑎

26
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
Solución:
Práctica:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑥2
+ 𝑏
𝑎
𝑥 = − 𝑐
𝑎
cuadrado.
𝑏
2
2
= ∙
1
2
2
=
𝑏2
4𝑎2
=
𝑏
2𝑎
2
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Sumar la expresión que completa el
𝑥2 + 𝑏
𝑎 𝑥 = − 𝑐
𝑎+ 𝑏2
4𝑎2 + 𝑏2
4𝑎2

26
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
Solución:
Práctica:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑥2
+ 𝑏
𝑎
𝑥 = − 𝑐
𝑎
cuadrado.
𝑏
𝑎
𝑥2 + 𝑏
𝑎 𝑥 = − 𝑐
𝑎+ 𝑏2
4𝑎2 + 𝑏2
4𝑎2
𝑥 + 𝑏
2𝑎
2
= 𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2

26
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
Solución:
Práctica:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑥2
+ 𝑏
𝑎
𝑥 = − 𝑐
𝑎
cuadrado.
𝑏
𝑎
𝑥2 + 𝑏
𝑎 𝑥 = − 𝑐
𝑎+ 𝑏2
4𝑎2 + 𝑏2
4𝑎2
±𝑥 + 𝑏
2𝑎
2
= 𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2

26
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
Solución:
Práctica:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑥2
+ 𝑏
𝑎
𝑥 = − 𝑐
𝑎
cuadrado.
𝑏
𝑎
𝑥2 + 𝑏
𝑎 𝑥 = − 𝑐
𝑎+ 𝑏2
4𝑎2 + 𝑏2
4𝑎2
𝑥 + 𝑏
2𝑎 = ± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 + 𝑏
2𝑎
2
= 𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2±

26
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
Solución:
Práctica:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑥2
+ 𝑏
𝑎
𝑥 = − 𝑐
𝑎
cuadrado.
𝑏
𝑎
𝑥2 + 𝑏
𝑎 𝑥 = − 𝑐
𝑎+ 𝑏2
4𝑎2 + 𝑏2
4𝑎2
𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 + 𝑏
2𝑎
2
= 𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2±
𝑥 + 𝑏
2𝑎 = ± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎

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Esta es una muestra de algunas páginas de la
presentación Ecuaciones Cuadráticas. Si deseas la
presentación completa la puedes obtener en
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a aclarar sus dudas del método de completar el
cuadrado.

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