Manual del estudiante para el tema de integración de funciones trigonométricas.

1. Cálculo Integral
Unidad 2: Métodos de integración e integral indefinida
Tema 2.3.4: Trigonométricas
Ing. Ricardo Lara Colón

2. Integrales Trigonométricas
Ing. Ricardo Lara Colón
Objetivo
Resolver integrales que incluyan expresiones trigonométricas, sin importar su
complejidad.
Que vas a necesitar
Será necesario que revises el tema de identidades trigonométricas.
Como sabes, cuando aparece una expresión trigonométrica en una integral, puedes
usar el método de cambio de variable para encontrar rápidamente su solución. Sin
embargo, es posible que la expresión del integrando no sea tan fácil de trabajar.
Pensemos por ejemplo en las siguientes integrales:
a. ∫ 𝑐𝑜𝑠4
𝑥 𝑑𝑥
b. ∫ 𝑠𝑖𝑛3
𝑥 𝑑𝑥
c. ∫ 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 cos3
𝑥 𝑑𝑥
Como vemos el argumento de las funciones trigonométricas es x, por lo que su
diferencial es simplemente dx. Lo complicado de estas integrales no está en calcular
y completar su diferencial, sino en su estructura. Para ayudarnos vamos a hacer
uso de las identidades trigonométricas, que son expresiones que nos permiten
intercambiar una expresión trigonométrica por otra equivalente.
Cuando se te presenten integrales con potencias pares trabajaremos con las
identidades:
𝑐𝑜𝑠2
∎ =
1
2
+
1
2
𝑐𝑜𝑠2∎ y 𝑠𝑒𝑛2
∎ =
1
2
−
1
2
𝑐𝑜𝑠2∎
Repaso de identidades trigonométricas
Es decir que si tienes la expresión
𝑐𝑜𝑠2
4𝑥
puede ser cambiada por
1
2
+
1
2
cos (8𝑥) (el nuevo argumento de la función es el doble
del original).

3. Integrales Trigonométricas
Ing. Ricardo Lara Colón
Otro ejemplo sería la expresión
𝑠𝑒𝑛4
2𝑥
como puedes ver la potencia es 4 y no 2, por lo que haremos un pequeño cambio
para que el seno esté el cuadrado, pero siga siendo la misma expresión
𝑠𝑒𝑛4
2𝑥 = (𝑠𝑒𝑛2
2𝑥)2
(como puedes ver, si desarrollas la expresión de la derecha
el resultado será la expresión original elevada a la potencia 4)
Ahora sí, dentro del paréntesis tenemos una expresión de seno al cuadrado por lo
que puedes cambiarla por la expresión equivalente.
𝑠𝑒𝑛4
2𝑥 = (𝑠𝑒𝑛2
2𝑥)2
= (
1
2
−
1
2
𝑐𝑜𝑠2(2𝑥))
2
= (
1
2
−
1
2
cos (4𝑥))
2
A su vez, esta nueva expresión, que es un binomio al cuadrado, puede ser
desarrollada
(
1
2
−
1
2
cos (4𝑥))
2
=
1
4
−
1
2
cos(4𝑥) +
1
4
𝑐𝑜𝑠2
(4𝑥)
El último término de esta expresión es un coseno al cuadrado, el cual ya sabes que
puede ser cambiado usando 𝑐𝑜𝑠2
∎ =
1
2
+
1
2
𝑐𝑜𝑠2∎
Por lo que
1
4
𝑐𝑜𝑠2
(4𝑥) puede ser cambiado por
1
4
(
1
2
+
1
2
𝑐𝑜𝑠2(4𝑥)) =
1
8
+
1
8
cos (8𝑥)
Así la expresión inicial quedaría transformada de la siguiente forma
𝑠𝑒𝑛4
2𝑥 =
1
4
−
1
2
cos(4𝑥) +
1
8
+
1
8
cos (8𝑥)

4. Integrales Trigonométricas
Ing. Ricardo Lara Colón
Si reduces los términos semejantes
𝑠𝑒𝑛4
2𝑥 =
3
8
−
1
2
cos(4𝑥) +
1
8
cos (8𝑥)
En principio podría parecer que la expresión se hizo más complicada, pero ahora
los términos ya no están elevados a una potencia.
Ejemplo 1
Una vez que hemos recordado como se usan las identidades trigonométricas y
cómo nos ayudan para simplificar las expresiones, regresemos al ejemplo del inicio
a. ∫ 𝑐𝑜𝑠4
𝑥 𝑑𝑥
En esta integral aparecen tanto el seno como el coseno con potencias pares.
Vamos a cambiar el coseno por su equivalente, usando identidades trigonométricas.
𝑐𝑜𝑠4
𝑥 = (𝑐𝑜𝑠2
𝑥)2
(𝑐𝑜𝑠2
𝑥)2
= (
1
2
+
1
2
𝑐𝑜𝑠2𝑥)
2
=
1
4
+
1
2
𝑐𝑜𝑠2𝑥 +
1
4
𝑐𝑜𝑠2
2𝑥
El último término es un coseno al cuadrado, que puede ser nuevamente
intercambiado por su equivalente en identidades trigonométricas
1
4
(𝑐𝑜𝑠2
2𝑥) =
1
4
(
1
2
+
1
2
cos (4𝑥))
quedando la expresión como
1
4
+
1
2
cos (2𝑥) +
1
8
+
1
8
cos (4𝑥)
reduciendo términos semejantes
3
8
+
1
2
cos (2𝑥) +
1
8
cos (4𝑥)
Si esta expresión la sustituimos en la integral original, quedará de la siguiente
manera:

5. Integrales Trigonométricas
Ing. Ricardo Lara Colón
∫ (
3
8
+
1
2
cos (2𝑥) +
1
8
cos (4𝑥)) 𝑑𝑥
Aplica la multiplicación indicada y separa las integrales resultantes
3
8
∫ 𝑑𝑥 +
1
2
∫ cos(2𝑥)𝑑𝑥 +
1
8
∫ cos (4𝑥) 𝑑𝑥
Podría parecerte que luego de todo el trabajo realizado obtuvimos una expresión
más difícil, pero si vemos con más atención la expresión, te darás cuenta que todas
las integrales resultantes son directas, es decir, pueden realizarse con fórmulas,
también llamadas propiedades de las integrales.
Para resolver estas integrales vamos a usar las siguientes propiedades
∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
∫ cos 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶
En la segunda y tercera integral, es necesario completar el diferencial, dado que
Si u=2x du = 2 dx
Si u = 4x du = 4 dx
Completando la integral quedaría de la siguiente manera
3
8
∫ 𝑑𝑥 +
1
4
∫ cos(2𝑥)2𝑑𝑥 +
1
32
∫ cos (4𝑥)4 𝑑𝑥
Y su resultado sería:
3
8
𝑥 +
1
4
𝑠𝑒𝑛(2𝑥) +
1
32
𝑠𝑒𝑛(4𝑥) + 𝐶

6. Integrales Trigonométricas
Ing. Ricardo Lara Colón
Ejemplo 2
Sigamos ahora con la integral
b. ∫ 𝑠𝑖𝑛3
𝑥 𝑑𝑥
Ahora tenemos una función trigonométrica elevada a una potencia impar, en estos
casos usaremos las identidades
𝑐𝑜𝑠2
∎ = 1 − 𝑠𝑒𝑛2
∎ y 𝑠𝑒𝑛2
∎ = 1 − 𝑐𝑜𝑠2
∎
Por lo que nuestra expresión 𝑠𝑒𝑛3
𝑥 puede separarse en
𝑠𝑒𝑛3
𝑥 = (𝑠𝑒𝑛2
𝑥)(𝑠𝑒𝑛 𝑥)
Cambiando el seno cuadro por su expresión equivalente
𝑠𝑒𝑛3
𝑥 = (1 − 𝑐𝑜𝑠2
𝑥)(𝑠𝑒𝑛 𝑥)
Realizando la multiplicación indicada
𝑠𝑒𝑛3
𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠2
𝑥
Ahora sustituye la expresión resultante en la integral
∫(𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠2
𝑥) 𝑑𝑥
Como puedes ver, puede separarse en dos integrales
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
Para resolver estas integrales, usaremos las siguientes fórmulas
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = cos 𝑥 + 𝐶
∫ 𝑢𝑛
𝑑𝑢 =
𝑢𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝐶

7. Integrales Trigonométricas
Ing. Ricardo Lara Colón
La primer integral se resuelve aplicando directamente la fórmula. Para el caso de
la segunda integral tenemos que
u = cos x
n = 2
du = - sen x
El diferencial está completo, por lo que solo resta aplicar la fórmula.
El resultado final de la integral será:
− cos 𝑥 +
𝑐𝑜𝑠3𝑥
3
+ 𝐶
Ejemplo 3
La última integral de las que se plantearon en un inicio es
c. ∫ 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 cos3
𝑥 𝑑𝑥
Aquí el seno aparece con potencia par y el coseno con potencia impar, en casos
como este se impone la potencia impar, por lo que usaremos la identidad
𝑐𝑜𝑠2
∎ = 1 − 𝑠𝑒𝑛2
∎
Por lo que nuestra integral quedará de la siguiente forma
∫ 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 cos3
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2
𝑥(𝑐𝑜𝑠2
𝑥) cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2
𝑥(1 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑥) cos 𝑥 𝑑𝑥
Aquí debes notar algo interesante (y muy conveniente para nosotros)
Si u = sen x, entonces du= cos x dx
Por lo que la integral que obtuvimos puede reescribirse como
∫ 𝑢2(1 − 𝑢2)𝑑𝑢
Resolviendo el producto indicado
∫(𝑢2
− 𝑢4)𝑑𝑢

8. Integrales Trigonométricas
Ing. Ricardo Lara Colón
Separamos las dos integrales
∫ 𝑢2
𝑑𝑢 − ∫ 𝑢4
𝑑𝑢
Resolviendo las integrales
𝑢3
3
−
𝑢5
5
+ 𝐶
Dijimos que u = sen x, por lo que el resultado final es:
𝑠𝑒𝑛3
𝑥
3
−
𝑠𝑒𝑛5
𝑥
5
+ 𝐶
Ejemplo 4
Ahora estamos listos para enfrentar ejercicios un poco más complejos, resolvamos
la integral
∫ 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 𝑑𝑥
Tanto el seno como el coseno están elevados a una potencia par, elige sólo uno de
ellos para cambiarlo por su equivalente según las identidades trigonométricas que
usamos en los ejemplos anteriores
∫ 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 (
1
2
+
1
2
cos 2𝑥) 𝑑𝑥
Resolvemos el producto indicado y separamos las dos integrales
1
2
∫ 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 𝑑𝑥 +
1
2
∫ 𝑠𝑒𝑛2
𝑥(cos 2𝑥)𝑑𝑥
Ahora cambiamos el 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 por su equivalente y la expresión resultante es
1
2
∫ (
1
2
−
1
2
𝑐𝑜𝑠2𝑥) 𝑑𝑥 +
1
2
∫ (
1
2
−
1
2
𝑐𝑜𝑠2𝑥) (cos 2𝑥)𝑑𝑥

9. Integrales Trigonométricas
Ing. Ricardo Lara Colón
Resolvemos los productos indicados
1
4
∫ 𝑑𝑥 −
1
4
∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥 +
1
4
∫ cos 2 𝑑𝑥 −
1
4
∫(cos 2𝑥)2
𝑑𝑥
Los términos segundo y tercero son semejantes, por lo que pueden reducirse. En el
caso del tercer término, vemos que el coseno está al cuadrado, por lo que
nuevamente debemos usar la identidad
1
4
∫ 𝑑𝑥 −
1
4
∫(cos 2𝑥)2
𝑑𝑥
1
4
∫ 𝑑𝑥 −
1
4
∫ (
1
2
+
1
2
cos 4𝑥) 𝑑𝑥
1
4
∫ 𝑑𝑥 −
1
8
∫ 𝑑𝑥 −
1
8
∫ cos 4𝑥 𝑑𝑥
Las integrales obtenidas son directas, usando las propiedades correspondientes
obtenemos el resultado final (observa que es necesario completar el diferencial de
la última integral)
1
8
𝑥 −
1
32
𝑠𝑒𝑛 4𝑥 + 𝐶
Ejemplo 5
Hasta el momento hemos trabajado solo con integrales que contienen senos y
cosenos, pero ¿cómo podemos resolver las integrales que involucran otras
funciones trigonométricas?
Resolvamos la integral
∫ 𝑡𝑎𝑛3
𝑥 𝑑𝑥
Existen identidades que nos permiten cambiar otras expresiones trigonométricas
𝑡𝑎𝑛2
𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 − 1 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 = 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 + 1
𝑐𝑜𝑡2
𝑥 = 𝑐𝑠𝑐2
𝑥 − 1 𝑐𝑠𝑐2
𝑥 = 𝑐𝑜𝑡2
𝑥 + 1

10. Integrales Trigonométricas
Ing. Ricardo Lara Colón
Por lo que nuestra integral quedaría así:
∫(𝑡𝑎𝑛2
𝑥) tan 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑠𝑒𝑐2
𝑥 − 1) tan 𝑥 𝑑𝑥
El resultado de realizar ese producto es
∫(𝑠𝑒𝑐2
𝑥 tan 𝑥 − tan 𝑥)𝑑𝑥
Separando las integrales
∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ tan 𝑥 𝑑𝑥
En el caso de la primera integral es claro que
u = tan x du = sec2x dx
por lo que la integral ya está completa. La segunda integral es directa.
El resultado final es:
𝑡𝑎𝑛2
𝑥
2
+ ln(cos 𝑥) + 𝐶
Ejemplo 6
∫
𝑐𝑜𝑠5
𝑥
𝑠𝑒𝑛3𝑥
𝑑𝑥
Cuando seno y coseno aparecen como un cociente, podemos usar estas
identidades para cambiarlos por su equivalente.
tan 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
cot 𝑥 =
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
sec 𝑥 =
1
cos𝑥
csc 𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
Aplicando las dos identidades de la derecha nuestra integral queda como

11. Integrales Trigonométricas
Ing. Ricardo Lara Colón
∫ 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 𝑐𝑜𝑡3
𝑥 𝑑𝑥
La cual puede adaptarse para usar otras identidades (mismas que ya vimos antes)
∫ 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 cot 𝑥 𝑐𝑜𝑡2
𝑥 𝑑𝑥
∫(1 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑥)𝑐𝑜𝑡 𝑥(𝑐𝑠𝑐2
𝑥 − 1) 𝑑𝑥
Recordando que csc 𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
∫ (1 −
1
𝑐𝑠𝑐2𝑥
) 𝑐𝑜𝑡 𝑥(𝑐𝑠𝑐2
𝑥 − 1) 𝑑𝑥
Reordenamos
∫ (1 −
1
𝑐𝑠𝑐2𝑥
) (𝑐𝑠𝑐2
𝑥 − 1)𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑑𝑥
En este punto será importante recordar la derivada de cosecante (ya que, como
ves, aparece dos veces en nuestra integral)
𝑑(𝑐𝑠𝑐 𝑥) = −𝑐𝑠𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑑𝑥
Por lo que nos conviene multiplicar el integrando por
csc𝑥
csc𝑥
y así completar nuestro
diferencial, la integral queda de la siguiente manera
∫ (1 −
1
𝑐𝑠𝑐2𝑥
) (𝑐𝑠𝑐2
𝑥 − 1)𝑐𝑜𝑡 𝑥
csc 𝑥
csc 𝑥
𝑑𝑥
∫
(1 −
1
𝑐𝑠𝑐2𝑥
) (𝑐𝑠𝑐2
𝑥 − 1)𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑐𝑠𝑐 𝑥
𝑐𝑠𝑐 𝑥
𝑑𝑥
Si consideramos que
u = csc x entonces du=-csc x cot x dx
como ya habíamos mencionado líneas arriba, por lo que haciendo el cambio de
variable la integral queda reducida a

12. Integrales Trigonométricas
Ing. Ricardo Lara Colón
∫
(1 −
1
𝑢2) (𝑢2
− 1)(−1)𝑑𝑢
𝑢
Realizando el producto indicado y simplificando la expresión
∫ (−𝑢 +
2
𝑢
−
1
𝑢3
) 𝑑𝑢
Separando las integrales
− ∫ 𝑢 𝑑𝑢 + 2 ∫
𝑑𝑢
𝑢
− ∫
𝑑𝑢
𝑢3
Las cuales son directas y su resultado es:
−𝑢2
2
+ 2 ln 𝑢 +
𝑢−2
2
+ 𝐶
Pero u = csc x, por lo que el resultado final de la integral es:
−𝑐𝑠𝑐2
𝑥
2
+ 2 ln|csc 𝑥| +
𝑐𝑠𝑐−2
𝑥
2
+ 𝐶
La potencia negativa del último término se quita al bajar al denominador la
cosecante, pero sabemos que el recíproco de la cosecante es el seno, por lo que
la expresión cambia a
−𝑐𝑠𝑐2
𝑥
2
+ 2 ln|csc 𝑥| +
𝑠𝑒𝑛2
𝑥
2
+ 𝐶
Ejemplo 7
Ahora estás listo para enfrentar ejercicios más complicados, recuerda que el secreto
para abordar estos ejercicios es concentrarte en la parte que estás realizando, sin
preocuparte por lo extenso que pueda ser toda la resolución del ejercicio.
Resolvamos la integral
∫
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥

13. Integrales Trigonométricas
Ing. Ricardo Lara Colón
En esta ocasión tenemos un cociente, donde en el denominador aparece un
producto de senos y cosenos. Cuando debas resolver integrales de este tipo, la
mejor estrategia es multiplicar el integrando por 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 ya que esta
expresión es igual a 1, y cuando multiplicamos cualquier expresión o cantidad por
1, ésta no se altera.
∫
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥
(𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑥)
lo cual resulta en
∫
𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥
𝑑𝑥
y puede separarse en
∫
𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥
𝑑𝑥 + ∫
𝑐𝑜𝑠2
𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥
𝑑𝑥
simplificamos los cocientes y nos queda
∫
𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥
𝑑𝑥 + ∫
𝑐𝑜𝑠2
𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑑𝑥
∫
1
𝑐𝑜𝑠4𝑥
𝑑𝑥 + ∫
1
𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑑𝑥
vemos que la segunda integral, de nueva cuenta presenta un producto de senos y
cosenos en el denominador, por lo que volveremos a aplicar la técnica de multiplicar
por 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑥.
En el caso de la primer integral, vemos que tenemos un denominador elevando a la
cuarta potencia, por lo que también multiplicares su integrando por 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑥.
∫
1
𝑐𝑜𝑠4𝑥
(𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑥)𝑑𝑥 + ∫
1
𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥
(𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑥)𝑑𝑥

14. Integrales Trigonométricas
Ing. Ricardo Lara Colón
∫
1
𝑐𝑜𝑠4𝑥
(𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑥)𝑑𝑥 + ∫
1
𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥
(𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑥)𝑑𝑥
separando las integrales resultantes
∫
𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑐𝑜𝑠4𝑥
𝑑𝑥 + ∫
𝑐𝑜𝑠2
𝑥
𝑐𝑜𝑠4𝑥
𝑑𝑥 + ∫
𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑑𝑥 + ∫
𝑐𝑜𝑠2
𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑑𝑥
simplificando cocientes
∫
𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑐𝑜𝑠4𝑥
𝑑𝑥 + ∫
𝑐𝑜𝑠2
𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑑𝑥 + ∫
𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑑𝑥 + ∫
𝑐𝑜𝑠2
𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑑𝑥
∫
𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑐𝑜𝑠4𝑥
𝑑𝑥 + ∫
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑑𝑥 + ∫
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑑𝑥 + ∫
1
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑑𝑥
sumando términos semejantes
∫
𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑑𝑥 + 2 ∫
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑑𝑥 + ∫
1
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑑𝑥
sabemos que
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos𝑥
= tan 𝑥,
1
cos 𝑥
= sec 𝑥 y
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
= csc 𝑥, por lo que las integrales se
cambian por su equivalente trigonométrico que es:
∫ 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑠𝑐2
𝑥 𝑑𝑥
En la primera integral hacemos u= tan x, por lo que du = sec2x dx
∫ 𝑢2
𝑑𝑢 + 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑠𝑐2
𝑥 𝑑𝑥
Las dos últimas integrales son directas mediante la aplicación de las propiedades
de las integrales.

15. Integrales Trigonométricas
Ing. Ricardo Lara Colón
Resolviendo
𝑢3
3
+ 2 𝑡𝑎𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡 𝑥 + 𝐶
dado que u=tan x, el resultado final es:
𝑡𝑎𝑛3
𝑥
3
+ 2 𝑡𝑎𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡 𝑥 + 𝐶
Ejemplo 8
∫
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
2
El integrando es similar al anterior, con la diferencia de que el argumento de la
función en esta ocasión es
𝑥
2
, por lo que multiplicaremos la expresión por
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
2
+ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
2
(que es equivalente a la que usamos en el ejemplo anterior)
∫
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
2
(𝑠𝑒𝑛2
𝑥
2
+ 𝑐𝑜𝑠2
𝑥
2
)
Aplicando el producto y separando las integrales
∫
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
2
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
2
+ ∫
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
2
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
2
∫
𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
2
+ ∫
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
2
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
2
∫
𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
2
+ ∫
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛
𝑥
2

16. Integrales Trigonométricas
Ing. Ricardo Lara Colón
Recordando que
𝑠𝑒𝑛
𝑥
𝑦
𝑐𝑜𝑠
𝑥
𝑦
= 𝑡𝑎𝑛
𝑥
𝑦
1
𝑠𝑒𝑛
𝑥
𝑦
= 𝑐𝑠𝑐
𝑥
𝑦
1
𝑐𝑜𝑠
𝑥
𝑦
= 𝑠𝑒𝑐
𝑥
𝑦
Nuestra integral queda como
∫ 𝑡𝑎𝑛
𝑥
2
𝑠𝑒𝑐
𝑥
2
𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑠𝑐
𝑥
2
𝑑𝑥
Las cuales se resuelven directamente usando propiedades de las integrales
∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑢 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 𝑢 + 𝐶
∫ csc 𝑢 𝑑𝑢 = −ln|csc 𝑢 + cot 𝑢| + 𝐶
(es importante recordar que al ser u=x/2 se debe completar el diferencial)
El resultado final es:
2sec
𝑥
2
− 2ln |csc
𝑥
2
+ cot
𝑥
2
| + 𝐶
Ejemplo 9
∫
𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
4
)
𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥
𝑑𝑥
Es natural que al ver ejercicios como este te sientas intimidado, ya que presentan
expresiones que no son muy usuales. Para trabajar con la expresión del numerador
recurriremos a la identidad trigonométrica
𝑠𝑒𝑛 (∎ + ∆) = 𝑠𝑒𝑛∎𝑐𝑜𝑠∆ + 𝑠𝑒𝑛∆𝑐𝑜𝑠∎
Por lo que el numerador cambia a
𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
4
) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠
𝜋
4
+ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
𝑐𝑜𝑠 𝑥

17. Integrales Trigonométricas
Ing. Ricardo Lara Colón
Sabemos que
𝑐𝑜𝑠
𝜋
4
= 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
=
1
√2
por lo que
𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
4
) =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
√2
+
𝑐𝑜𝑠 𝑥
√2
Así que, sustituyendo las equivalencias en la integral, nos queda
∫ (
𝑠𝑒𝑛 𝑥
√2
+
𝑐𝑜𝑠 𝑥
√2
)
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥
𝑥𝑑𝑥
Realizamos el producto indicado
∫ (
𝑠𝑒𝑛 𝑥
√2𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥
+
𝑐𝑜𝑠 𝑥
√2𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥
) 𝑑𝑥
∫ (
𝑠𝑒𝑛 𝑥
√2𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥
+
𝑐𝑜𝑠 𝑥
√2𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥
) 𝑑𝑥
∫ (
1
√2 cos 𝑥
+
1
√2𝑠𝑒𝑛 𝑥
) 𝑑𝑥
Además, sabemos que
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
= 𝑐𝑠𝑐 𝑥
1
𝑐𝑜𝑠 𝑥
= 𝑠𝑒𝑐 𝑥
Por lo que la integral queda
∫ (
𝑠𝑒𝑐 𝑥
√2
+
𝑐𝑠𝑐 𝑥
√2
) 𝑑𝑥
Separando las integrales resultantes

18. Integrales Trigonométricas
Ing. Ricardo Lara Colón
1
√2
∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥𝑑𝑥 +
1
√2
∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑥𝑑𝑥
Quedando dos integrales que pueden ser resueltas directamente por propiedades
de las integrales. El resultado final es:
1
√2
ln|sec 𝑥 + tan 𝑥| −
1
√2
ln|𝑐𝑠𝑐 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡 𝑥| + 𝐶
Factorizando
1
√2
(ln|sec 𝑥 + tan 𝑥| − ln|𝑐𝑠𝑐 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡 𝑥|) + 𝐶
Aplicando propiedades de logaritmos
1
√2
𝑙𝑛 (
𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑐𝑠𝑐 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡 𝑥
) + 𝐶

19. Integrales Trigonométricas
Ing. Ricardo Lara Colón
Ejercicios
Ejercicio Solución (agregar +C al final)
∫ 𝑐𝑜𝑠3
𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑠𝑒𝑛5
𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑐𝑜𝑠6
𝑥
2
∫ 𝑠𝑒𝑛3
𝑥
2
𝑐𝑜𝑠5
𝑥
2
𝑑𝑥
∫ 𝑠𝑒𝑐4
𝑥𝑑𝑥
𝑡𝑎𝑛3
𝑥
3
+ tan 𝑥
∫ 𝑡𝑎𝑛5
𝑥 𝑠𝑒𝑐4
𝑥𝑑𝑥
𝑡𝑎𝑛8
𝑥
8
+
𝑡𝑎𝑛6
𝑥
6
∫ 𝑐𝑜𝑡5
𝑥 𝑐𝑠𝑐7
𝑥 𝑑𝑥
𝑐𝑠𝑐11
𝑥
11
+
2𝑐𝑠𝑐9
𝑥
9
−
𝑐𝑠𝑐7
𝑥
7
∫ 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥
1
2
[𝑠𝑒𝑛(𝑥) −
𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
5
]
∫ cos(3𝑥) cos(𝑥) 𝑑𝑥
1
2
[
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
2
+
𝑠𝑒𝑛(4𝑥)
4
]
∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛2(2𝑥)𝑑𝑥
∫ 𝑠𝑒𝑛5
𝑥√cos 𝑥 𝑑𝑥 −
2 𝐶𝑂𝑆
3
2𝑥
3
+
4 𝑐𝑜𝑠
7
2
7
−
2 𝑐𝑜𝑠11/2
𝑥
11
∫
𝑐𝑜𝑠2
4𝑥
𝑠𝑒𝑛34𝑥
−
1
8
csc(4𝑥) cot(4𝑥) +
1
8
ln (csc(4𝑥) + cot(4𝑥))
∫ 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) cos(5𝑥) 𝑑𝑥 −
cos(8𝑥)
16
+
cos (2𝑥)
4
∫ 𝑐𝑜𝑠7
4𝑥 𝑑𝑥
1
4
𝑠𝑒𝑛(4𝑥) −
1
4
𝑠𝑒𝑛3(4𝑥) +
3
20
𝑠𝑒𝑛5(4𝑥) −
1
28
𝑠𝑒𝑛7
(4𝑥)
∫ 𝑠𝑒𝑐5
𝑥 𝑡𝑎𝑛3
𝑥 𝑑𝑥
1
7
𝑠𝑒𝑐7
𝑥 −
1
5
𝑠𝑒𝑐5
𝑥