El documento presenta 10 problemas de ecuaciones diferenciales. Los problemas cubren temas como puntos de equilibrio, líneas de fase, métodos de solución (separación de variables, Euler), modelado de poblaciones y circuitos RC. Se piden determinar valores críticos, esbozar gráficas, resolver analítica y numéricamente las ecuaciones y proponer modelos matemáticos.

1. Taller 1: ecuaciones diferenciales
(1) Dada la ecuación diferencial
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑦(1 − 𝑦2) = 𝑓(𝑦)
(a) ¿Para qué valores de y esta y(t) en equilibrio?
(b) ¿Para qué valores de y esta y(t) creciendo?
(c) ¿Para qué valores de y esta y(t) decreciendo?
(d) Esbozar las líneas de fase.
(e) Esbozar la gráfica de la solución que satisface la condición inicial: y (0) =0.5
(2) Dada la ecuación diferencial
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 2𝑡𝑦, 𝑦(0) = 5
(a) Resolver analíticamente.
(b) Completar la tabla usando el método de Euler con paso h=0.1
n 𝑡 𝑛 𝑦𝑛 𝑓(𝑡 𝑛, 𝑦𝑛) Solución
analítica
Error
0
1
2
3
3
(3) Resolver
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑦 + 𝑡, 𝑦(0) = 0
(4) Un tanque contiene 400 galones de una disolución salina obtenida al disolver 50 libras
de sal. Por una entrada fluye agua fresca al tanque a razón de 10 galones por minuto
manteniéndose la concentración uniforme por medio de agitadores. Cuanta sal habrá en el
tanque al cabo de media hora si por el desagüé sale sal a la misma velocidad.
(5) Resolver
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦−𝑥
𝑦+𝑥
(6) Dada la ecuación diferencial
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑦(1 − 𝑦2) = 𝑓(𝑦)
Resolver (a) Por el método de separación de variables (b) Como una ecuación de Bernoulli.
(7) Dada la ecuación
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑓(𝑥)
(a) Realizar las líneas de fase
(b) Realizar el grafico de 𝑓(𝑥)
(c) Esbozar el grafico de la solución
(d) Resolver analíticamente la ecuación
(8) Suponga que se desea modelar una población con una ecuación diferencial de la forma
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑓(𝑃)
Donde 𝑃(𝑡) es la población en el tiempo 𝑡 . Se han efectuado experimentos que dan la siguiente
información:

2. • Los únicos puntos de equilibrio son 𝑃 = 0; 𝑃 = 10; 𝑃 = 50.
• Si la población es 100, la población decrece.
• Si la población es 25, la población aumenta.
(a) Esboce las posibles líneas de fase (hay dos)
(b) Haga un croquis aproximado de las correspondientes funciones 𝑓(𝑃) para cada una de
sus líneas de fase.
(c) De una fórmula para las funciones 𝑓(𝑃) cuyas graficas concuerden con las respuestas
obtenidas en la parte (b).
(9) Se define un desfibrilador como un dispositivo capaz de administrar una descarga eléctrica
al corazón. ¿Cómo? A través de la pared torácica. Cuenta con sensores integrados que se
encargan de analizar el ritmo cardíaco de la persona, así como determinar cuándo es
necesario proceder a la desfibrilación y administrar la descarga en el nivel de intensidad
necesario. Suponga que un desfibrilador se puede modelar mediante un circuito RC. Suponga
que R representa el cuerpo del paciente que recibe la descarga y C el dispositivo. Escriba el
modelo (ecuación diferencial) que permite obtener el voltaje que recibe el paciente.
(10) Resolver la ecuación
𝑑𝑣 𝑐
𝑑𝑡
+
𝑣 𝑐
𝑅𝐶
=
𝑣(𝑡)
𝑅
, con 𝑅 = 1; 𝐶 = 1; 𝑣(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛𝑡