1) El documento presenta la definición de circunferencia trigonométrica y explica las variaciones de las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante en dicha circunferencia. 2) Se resuelven varios problemas relacionados al tema utilizando la circunferencia trigonométrica. 3) El documento concluye con un problema de clase con varias preguntas sobre funciones trigonométricas.
1. El documento presenta información sobre ángulos trigonométricos, incluyendo su definición, características y sistemas de medición. Explica la diferencia entre ángulos geométricos y trigonométricos, y compara los sistemas sexagesimal, centesimal y radial.
2. Incluye ejemplos numéricos para convertir entre los diferentes sistemas de medición angular y resuelve problemas aplicando estas conversiones.
3. Finalmente, propone algunos problemas adicionales relacionados con ángulos trigonométricos y los diferentes sist
1. El documento presenta información sobre la circunferencia trigonométrica, incluyendo su definición, líneas trigonométricas y variaciones de las razones trigonométricas. 2. Se resuelven varios problemas relacionados con la circunferencia trigonométrica y las razones trigonométricas. 3. El documento proporciona una guía para analizar y representar gráficamente conceptos trigonométricos fundamentales.
1) El documento presenta 15 problemas de trigonometría relacionados con sectores circulares, ángulos centrales, áreas de sectores y figuras formadas por arcos de circunferencia. 2) Los problemas incluyen cálculos para determinar áreas, longitudes de arcos, números de vueltas de ruedas y medidas de ángulos. 3) La resolución de los problemas requiere aplicar conceptos como relación entre área y medida del ángulo central de un sector, fórmulas para calcular áreas de sectores y figuras compuestas, y relaciones entre
Este documento contiene las soluciones a varios ejercicios de trigonometría. Los ejercicios involucran hallar ángulos dados relaciones trigonométricas, simplificar expresiones trigonométricas, y reducir ángulos al primer cuadrante. Las soluciones muestran los pasos de trabajo para llegar a la respuesta correcta en cada caso.
El documento define y compara los ángulos geométricos y trigonométricos, explicando que los ángulos trigonométricos tienen sentido de giro y magnitud ilimitada, a diferencia de los ángulos geométricos. También describe los sistemas sexagesimal, centesimal y radial para medir ángulos, estableciendo equivalencias y relaciones entre ellos. Finalmente, presenta algunos problemas resueltos como ejemplo.
El documento define el ángulo trigonométrico como el ángulo generado por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice. Explica los sistemas sexagesimal, centesimal y radial para medir ángulos. Presenta ejemplos de conversión entre sistemas y problemas resueltos sobre cálculos trigonométricos.
Este documento presenta conceptos básicos de trigonometría como razones trigonométricas, resolución de triángulos rectángulos y propiedades de las razones trigonométricas. Incluye ejemplos de cálculo de razones trigonométricas para ángulos notables y complementarios, así como problemas de resolución de triángulos rectángulos. Finalmente, propone ejercicios prácticos para aplicar los conceptos.
Este documento contiene varios problemas de trigonometría. Se presentan 9 problemas en la primera página que involucran cálculos trigonométricos como seno, coseno, tangente, cotangente, etc. La segunda página contiene más problemas similares. El documento parece ser parte de un examen o seminario de trigonometría.
1. El documento presenta información sobre ángulos trigonométricos, incluyendo su definición, características y sistemas de medición. Explica la diferencia entre ángulos geométricos y trigonométricos, y compara los sistemas sexagesimal, centesimal y radial.
2. Incluye ejemplos numéricos para convertir entre los diferentes sistemas de medición angular y resuelve problemas aplicando estas conversiones.
3. Finalmente, propone algunos problemas adicionales relacionados con ángulos trigonométricos y los diferentes sist
1. El documento presenta información sobre la circunferencia trigonométrica, incluyendo su definición, líneas trigonométricas y variaciones de las razones trigonométricas. 2. Se resuelven varios problemas relacionados con la circunferencia trigonométrica y las razones trigonométricas. 3. El documento proporciona una guía para analizar y representar gráficamente conceptos trigonométricos fundamentales.
1) El documento presenta 15 problemas de trigonometría relacionados con sectores circulares, ángulos centrales, áreas de sectores y figuras formadas por arcos de circunferencia. 2) Los problemas incluyen cálculos para determinar áreas, longitudes de arcos, números de vueltas de ruedas y medidas de ángulos. 3) La resolución de los problemas requiere aplicar conceptos como relación entre área y medida del ángulo central de un sector, fórmulas para calcular áreas de sectores y figuras compuestas, y relaciones entre
Este documento contiene las soluciones a varios ejercicios de trigonometría. Los ejercicios involucran hallar ángulos dados relaciones trigonométricas, simplificar expresiones trigonométricas, y reducir ángulos al primer cuadrante. Las soluciones muestran los pasos de trabajo para llegar a la respuesta correcta en cada caso.
El documento define y compara los ángulos geométricos y trigonométricos, explicando que los ángulos trigonométricos tienen sentido de giro y magnitud ilimitada, a diferencia de los ángulos geométricos. También describe los sistemas sexagesimal, centesimal y radial para medir ángulos, estableciendo equivalencias y relaciones entre ellos. Finalmente, presenta algunos problemas resueltos como ejemplo.
El documento define el ángulo trigonométrico como el ángulo generado por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice. Explica los sistemas sexagesimal, centesimal y radial para medir ángulos. Presenta ejemplos de conversión entre sistemas y problemas resueltos sobre cálculos trigonométricos.
Este documento presenta conceptos básicos de trigonometría como razones trigonométricas, resolución de triángulos rectángulos y propiedades de las razones trigonométricas. Incluye ejemplos de cálculo de razones trigonométricas para ángulos notables y complementarios, así como problemas de resolución de triángulos rectángulos. Finalmente, propone ejercicios prácticos para aplicar los conceptos.
Este documento contiene varios problemas de trigonometría. Se presentan 9 problemas en la primera página que involucran cálculos trigonométricos como seno, coseno, tangente, cotangente, etc. La segunda página contiene más problemas similares. El documento parece ser parte de un examen o seminario de trigonometría.
El documento presenta las funciones trigonométricas inversas y sus propiedades. Define las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante inversas, también llamadas arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arccotangente, arcsecante y arcosecante. Además, explica algunas propiedades como que estas funciones inversas anulan la composición con las funciones trigonométricas directas.
1. El documento presenta conceptos básicos de trigonometría en triángulos rectángulos, incluyendo definiciones de las seis razones trigonométricas, teoremas como el de Pitágoras y relaciones entre ángulos complementarios.
2. Se explican fórmulas para calcular lados desconocidos en triángulos rectángulos y se presentan ejemplos numéricos para practicar el cálculo de razones trigonométricas.
3. Finalmente, se proponen varios problemas para que los estudiantes apliqu
El documento presenta las definiciones y propiedades de las seis razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Define las razones trigonométricas como las relaciones entre los lados del triángulo y explica las relaciones entre las razones de ángulos complementarios y recíprocas. También incluye ejemplos numéricos de razones trigonométricas para ángulos notables y la resolución de triángulos rectángulos.
1. El documento presenta 16 problemas de trigonometría relacionados con ángulos y sus medidas en diferentes sistemas (sexagesimal, centesimal, radianes). Se resuelven cada uno de los problemas aplicando propiedades trigonométricas y conversiones entre sistemas de medida angular.
2. Los problemas involucran ecuaciones trigonométricas, relaciones entre medidas de ángulos, cálculo de ángulos dados datos parciales, y conversiones entre grados, radianes y centesimales.
3. El documento provee una solución
1) El documento presenta información sobre la circunferencia trigonométrica, incluyendo definiciones de líneas trigonométricas como seno, coseno y tangente, y cómo varían sus valores cuando cambia el ángulo. También incluye ejemplos resueltos de problemas matemáticos relacionados.
Este documento presenta 18 problemas de trigonometría relacionados con ángulos y sus medidas en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial. Se resuelven cada uno de los problemas aplicando propiedades trigonométricas como la suma de los ángulos internos y externos de un triángulo, las relaciones entre las medidas de un ángulo en los diferentes sistemas, y las propiedades de suma y producto de raíces de una ecuación cuadrática.
Este documento presenta las identidades trigonométricas para ángulos compuestos y diferencias de ángulos. Inicia demostrando las identidades fundamentales de Sen(α + β), Cos(α + β) y Tg(α + β). Luego, deduce las identidades para la diferencia de ángulos usando estas demostraciones. Finalmente, enlista algunas propiedades importantes de las identidades trigonométricas. El documento concluye con ejemplos numéricos para practicar.
Este documento contiene 3 exámenes de trigonometría de la Universidad Nacional de San Agustín (UNS) del año 2009. El primer examen contiene 8 problemas que involucran cálculos trigonométricos, como senos, cosenos, tangentes y cotangentes. El segundo examen también contiene 8 problemas de trigonometría. El tercer examen presenta 9 problemas que evalúan conceptos como funciones trigonométricas, triángulos rectángulos, sistemas de ecuaciones y ángulos.
Este documento presenta los teoremas y fórmulas fundamentales para resolver triángulos oblicuángulos, incluyendo el teorema de los senos, teorema de los cosenos, teorema de las proyecciones y teorema de las tangentes. También propone varios problemas para que los estudiantes apliquen estos conceptos y determinen medidas de ángulos y lados desconocidos en diferentes triángulos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre sectores circulares, incluyendo la definición de sector circular, fórmulas para calcular la longitud de arco, área de sector circular, área de trapecio circular y número de vueltas de una rueda. También incluye ejemplos numéricos y problemas resueltos relacionados con estos conceptos.
1) El documento presenta 20 problemas de trigonometría relacionados con la conversión de ángulos entre los sistemas sexagesimal, centesimal y radial. 2) Los problemas involucran cálculos trigonométricos, como senos, cosenos y tangentes de ángulos. 3) El objetivo es que los estudiantes practiquen la resolución de este tipo de ejercicios y mejoren su comprensión de los diferentes sistemas de medición angular.
1) El documento presenta definiciones y propiedades de ángulos en posición normal, ángulos cuadrantales y coterminales. 2) Incluye fórmulas para calcular las funciones trigonométricas de ángulos especiales como cuadrantales y negativos. 3) Contiene 24 ejercicios resueltos sobre aplicación de conceptos de ángulos especiales.
Este documento presenta una serie de problemas de trigonometría y sus respectivas soluciones. Los problemas incluyen cálculos de funciones trigonométricas como seno, coseno, tangente y cotangente para ángulos dados en triángulos rectángulos y no rectángulos. También incluye ecuaciones trigonométricas que deben resolverse para hallar valores desconocidos. El documento provee las respuestas a cada uno de los problemas planteados.
Este documento presenta los conceptos y procedimientos para reducir ángulos a su forma equivalente en el primer cuadrante. Define la reducción al primer cuadrante y explica cómo calcular las funciones trigonométricas de ángulos que no son agudos en términos de ángulos equivalentes en el primer cuadrante. Luego, detalla los casos para ángulos entre 0° y 90°, mayores a 360°, de medida negativa, y relacionados entre sí. Finalmente, incluye ejemplos resueltos de problemas que aplican estas técnicas.
Este documento presenta 20 problemas de trigonometría que involucran conceptos como reducción al primer cuadrante, cálculo de áreas, sumatorias, funciones trigonométricas, identidades trigonométricas y triángulos rectángulos. Los problemas deben ser resueltos seleccionando la opción correcta entre 5 alternativas.
1. El documento presenta 15 problemas de trigonometría relacionados con ángulos, sectores circulares, longitudes de arco y otras propiedades geométricas. Los problemas son resueltos aplicando fórmulas como la longitud del sector circular (L = θr) y el área del sector circular (A = 1/2θr^2).
2. La mayoría de los problemas involucran calcular longitudes de arco, áreas de sectores o relaciones entre medidas geométricas dadas propiedades como radios, ángulos centrales u otras cantidades.
3.
Este documento presenta definiciones y propiedades de ángulos trigonométricos especiales como ángulos en posición normal, ángulos cuadrantales y coterminales. Explica cómo calcular las razones trigonométricas de un ángulo dependiendo de su posición en los cuadrantes y provee ejemplos resueltos de problemas que involucran ángulos especiales.
El documento presenta 12 problemas de trigonometría relacionados con ángulos trigonométricos, sus medidas en los sistemas sexagesimal y centesimal, y ecuaciones trigonométricas. Los problemas involucran convertir entre sistemas, resolver ecuaciones cuadráticas y trigonométricas, y calcular medidas de ángulos dados relaciones entre sus funciones trigonométricas.
1. El documento presenta conceptos básicos de trigonometría en triángulos rectángulos, incluyendo definiciones de las seis razones trigonométricas, teoremas de Pitágoras y ángulos complementarios, y relaciones entre las razones de ángulos complementarios.
2. Se explican las razones trigonométricas recíprocas y de ángulos notables como 30°, 45° y 60°, así como métodos para resolver triángulos rectángulos mediante el cálculo de lados.
3. Finalmente, se presentan ej
1. El documento presenta conceptos básicos de trigonometría en triángulos rectángulos como las seis razones trigonométricas, el teorema de Pitágoras y el teorema de los ángulos complementarios.
2. Se definen formalmente cada una de las seis razones trigonométricas para un ángulo agudo en un triángulo rectángulo.
3. Se explican las razones trigonométricas recíprocas y el teorema del complemento para pasar de una razón a su co-razón.
Este documento presenta conceptos y fórmulas relacionadas con la longitud de arco, área de sector circular, números de vueltas de ruedas y poleas, y problemas de aplicación. Explica cómo calcular la longitud de arco y área de sector circular en función del radio y ángulo central. También cubre las relaciones entre ruedas y poleas unidas por correas o ejes, y cómo calcular el número de vueltas. Finalmente, propone 23 problemas para practicar estos conceptos.
1) El documento presenta definiciones y propiedades de ángulos trigonométricos especiales como ángulos en posición normal, cuadrantales, coterminales y negativos. Incluye tablas de signos de las funciones trigonométricas en los cuadrantes y para ángulos cuadrantales.
2) Se resuelven problemas aplicando las definiciones y propiedades presentadas, como calcular razones trigonométricas para ángulos en distintos cuadrantes.
3) El documento concluye con más problemas de aplicación y
El documento presenta las funciones trigonométricas inversas y sus propiedades. Define las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante inversas, también llamadas arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arccotangente, arcsecante y arcosecante. Además, explica algunas propiedades como que estas funciones inversas anulan la composición con las funciones trigonométricas directas.
1. El documento presenta conceptos básicos de trigonometría en triángulos rectángulos, incluyendo definiciones de las seis razones trigonométricas, teoremas como el de Pitágoras y relaciones entre ángulos complementarios.
2. Se explican fórmulas para calcular lados desconocidos en triángulos rectángulos y se presentan ejemplos numéricos para practicar el cálculo de razones trigonométricas.
3. Finalmente, se proponen varios problemas para que los estudiantes apliqu
El documento presenta las definiciones y propiedades de las seis razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Define las razones trigonométricas como las relaciones entre los lados del triángulo y explica las relaciones entre las razones de ángulos complementarios y recíprocas. También incluye ejemplos numéricos de razones trigonométricas para ángulos notables y la resolución de triángulos rectángulos.
1. El documento presenta 16 problemas de trigonometría relacionados con ángulos y sus medidas en diferentes sistemas (sexagesimal, centesimal, radianes). Se resuelven cada uno de los problemas aplicando propiedades trigonométricas y conversiones entre sistemas de medida angular.
2. Los problemas involucran ecuaciones trigonométricas, relaciones entre medidas de ángulos, cálculo de ángulos dados datos parciales, y conversiones entre grados, radianes y centesimales.
3. El documento provee una solución
1) El documento presenta información sobre la circunferencia trigonométrica, incluyendo definiciones de líneas trigonométricas como seno, coseno y tangente, y cómo varían sus valores cuando cambia el ángulo. También incluye ejemplos resueltos de problemas matemáticos relacionados.
Este documento presenta 18 problemas de trigonometría relacionados con ángulos y sus medidas en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial. Se resuelven cada uno de los problemas aplicando propiedades trigonométricas como la suma de los ángulos internos y externos de un triángulo, las relaciones entre las medidas de un ángulo en los diferentes sistemas, y las propiedades de suma y producto de raíces de una ecuación cuadrática.
Este documento presenta las identidades trigonométricas para ángulos compuestos y diferencias de ángulos. Inicia demostrando las identidades fundamentales de Sen(α + β), Cos(α + β) y Tg(α + β). Luego, deduce las identidades para la diferencia de ángulos usando estas demostraciones. Finalmente, enlista algunas propiedades importantes de las identidades trigonométricas. El documento concluye con ejemplos numéricos para practicar.
Este documento contiene 3 exámenes de trigonometría de la Universidad Nacional de San Agustín (UNS) del año 2009. El primer examen contiene 8 problemas que involucran cálculos trigonométricos, como senos, cosenos, tangentes y cotangentes. El segundo examen también contiene 8 problemas de trigonometría. El tercer examen presenta 9 problemas que evalúan conceptos como funciones trigonométricas, triángulos rectángulos, sistemas de ecuaciones y ángulos.
Este documento presenta los teoremas y fórmulas fundamentales para resolver triángulos oblicuángulos, incluyendo el teorema de los senos, teorema de los cosenos, teorema de las proyecciones y teorema de las tangentes. También propone varios problemas para que los estudiantes apliquen estos conceptos y determinen medidas de ángulos y lados desconocidos en diferentes triángulos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre sectores circulares, incluyendo la definición de sector circular, fórmulas para calcular la longitud de arco, área de sector circular, área de trapecio circular y número de vueltas de una rueda. También incluye ejemplos numéricos y problemas resueltos relacionados con estos conceptos.
1) El documento presenta 20 problemas de trigonometría relacionados con la conversión de ángulos entre los sistemas sexagesimal, centesimal y radial. 2) Los problemas involucran cálculos trigonométricos, como senos, cosenos y tangentes de ángulos. 3) El objetivo es que los estudiantes practiquen la resolución de este tipo de ejercicios y mejoren su comprensión de los diferentes sistemas de medición angular.
1) El documento presenta definiciones y propiedades de ángulos en posición normal, ángulos cuadrantales y coterminales. 2) Incluye fórmulas para calcular las funciones trigonométricas de ángulos especiales como cuadrantales y negativos. 3) Contiene 24 ejercicios resueltos sobre aplicación de conceptos de ángulos especiales.
Este documento presenta una serie de problemas de trigonometría y sus respectivas soluciones. Los problemas incluyen cálculos de funciones trigonométricas como seno, coseno, tangente y cotangente para ángulos dados en triángulos rectángulos y no rectángulos. También incluye ecuaciones trigonométricas que deben resolverse para hallar valores desconocidos. El documento provee las respuestas a cada uno de los problemas planteados.
Este documento presenta los conceptos y procedimientos para reducir ángulos a su forma equivalente en el primer cuadrante. Define la reducción al primer cuadrante y explica cómo calcular las funciones trigonométricas de ángulos que no son agudos en términos de ángulos equivalentes en el primer cuadrante. Luego, detalla los casos para ángulos entre 0° y 90°, mayores a 360°, de medida negativa, y relacionados entre sí. Finalmente, incluye ejemplos resueltos de problemas que aplican estas técnicas.
Este documento presenta 20 problemas de trigonometría que involucran conceptos como reducción al primer cuadrante, cálculo de áreas, sumatorias, funciones trigonométricas, identidades trigonométricas y triángulos rectángulos. Los problemas deben ser resueltos seleccionando la opción correcta entre 5 alternativas.
1. El documento presenta 15 problemas de trigonometría relacionados con ángulos, sectores circulares, longitudes de arco y otras propiedades geométricas. Los problemas son resueltos aplicando fórmulas como la longitud del sector circular (L = θr) y el área del sector circular (A = 1/2θr^2).
2. La mayoría de los problemas involucran calcular longitudes de arco, áreas de sectores o relaciones entre medidas geométricas dadas propiedades como radios, ángulos centrales u otras cantidades.
3.
Este documento presenta definiciones y propiedades de ángulos trigonométricos especiales como ángulos en posición normal, ángulos cuadrantales y coterminales. Explica cómo calcular las razones trigonométricas de un ángulo dependiendo de su posición en los cuadrantes y provee ejemplos resueltos de problemas que involucran ángulos especiales.
El documento presenta 12 problemas de trigonometría relacionados con ángulos trigonométricos, sus medidas en los sistemas sexagesimal y centesimal, y ecuaciones trigonométricas. Los problemas involucran convertir entre sistemas, resolver ecuaciones cuadráticas y trigonométricas, y calcular medidas de ángulos dados relaciones entre sus funciones trigonométricas.
1. El documento presenta conceptos básicos de trigonometría en triángulos rectángulos, incluyendo definiciones de las seis razones trigonométricas, teoremas de Pitágoras y ángulos complementarios, y relaciones entre las razones de ángulos complementarios.
2. Se explican las razones trigonométricas recíprocas y de ángulos notables como 30°, 45° y 60°, así como métodos para resolver triángulos rectángulos mediante el cálculo de lados.
3. Finalmente, se presentan ej
1. El documento presenta conceptos básicos de trigonometría en triángulos rectángulos como las seis razones trigonométricas, el teorema de Pitágoras y el teorema de los ángulos complementarios.
2. Se definen formalmente cada una de las seis razones trigonométricas para un ángulo agudo en un triángulo rectángulo.
3. Se explican las razones trigonométricas recíprocas y el teorema del complemento para pasar de una razón a su co-razón.
Este documento presenta conceptos y fórmulas relacionadas con la longitud de arco, área de sector circular, números de vueltas de ruedas y poleas, y problemas de aplicación. Explica cómo calcular la longitud de arco y área de sector circular en función del radio y ángulo central. También cubre las relaciones entre ruedas y poleas unidas por correas o ejes, y cómo calcular el número de vueltas. Finalmente, propone 23 problemas para practicar estos conceptos.
1) El documento presenta definiciones y propiedades de ángulos trigonométricos especiales como ángulos en posición normal, cuadrantales, coterminales y negativos. Incluye tablas de signos de las funciones trigonométricas en los cuadrantes y para ángulos cuadrantales.
2) Se resuelven problemas aplicando las definiciones y propiedades presentadas, como calcular razones trigonométricas para ángulos en distintos cuadrantes.
3) El documento concluye con más problemas de aplicación y
de
la
división:
1) El documento presenta el Teorema del Resto y sus reglas para determinar el resto de la división de polinomios.
2) Se demuestra el teorema a través de la identidad fundamental de la división y se presentan dos casos de división de polinomios.
3) Se plantean varios ejemplos resueltos para ilustrar la aplicación del teorema en la determinación del resto de divisiones polinómicas.
Este documento trata sobre la factorización de polinomios. Contiene varios ejercicios de factorización y preguntas sobre conceptos relacionados como el MCM y MCD de polinomios. Algunas de las preguntas incluyen factorizar polinomios específicos e indicar sumas de coeficientes o términos independientes de los factores. El documento provee una guía para practicar diferentes métodos de factorización de polinomios.
1. El documento presenta las identidades trigonométricas para ángulos compuestos y la diferencia de ángulos, incluyendo propiedades importantes como sen(α + β)sen(α-β).
2. Incluye 15 problemas resueltos como ejemplos y una sección de problemas de clase y repaso con 18 problemas para practicar diferentes conceptos.
3. El documento provee una guía detallada sobre identidades trigonométricas para ángulos compuestos y su aplicación en la resolución de problemas.
Este documento es un examen de trigonometría de 4o de ESO que contiene 10 preguntas. La primera pregunta pide transformar ángulos entre grados y radianes. La segunda pregunta pide deducir las razones trigonométricas de un ángulo de 60 grados. Las preguntas siguientes involucran ecuaciones trigonométricas, cálculos trigonométricos usando la calculadora y sin usarla, y problemas geométricos que involucran ángulos y distancias.
Simularo trigonometría ii bimestre reduccionLiceo Naval
Este documento presenta un simulacro de trigonometría para estudiantes de quinto grado. Contiene 6 preguntas de opción múltiple sobre identificar funciones trigonométricas y calcular valores. También incluye 5 problemas de resolución que involucran calcular expresiones trigonométricas, reducir y simplificar funciones. El propósito es evaluar las habilidades de los estudiantes en trigonometría.
Este documento contiene las instrucciones para una práctica de trigonometría que incluye cuatro actividades: 1) calibrar y determinar la exactitud de una aplicación electrónica mediante mediciones, 2) medir distancias horizontales hasta un compañero, 3) calcular alturas inaccesibles usando distancias horizontales y ángulos de elevación, y 4) calcular la altura del colegio desde diferentes puntos. El documento proporciona tablas y rúbricas para registrar los resultados.
Este documento presenta conceptos básicos de trigonometría sobre sectores circulares, incluyendo la longitud de arco, el área de un sector circular, el número de vueltas de una rueda, y resuelve ejercicios numéricos relacionados.
1) El documento presenta transformaciones trigonométricas y sus demostraciones, incluyendo transformaciones de suma a producto, producto a suma y diferencia, y series trigonométricas. 2) Se resuelven varios problemas como ejemplo de aplicación de las transformaciones. 3) El documento concluye presentando problemas adicionales para que el estudiante practique con diferentes tipos de expresiones trigonométricas.
El documento presenta información sobre una lección de trigonometría en un aula de secundaria. Incluye el nombre del estudiante, fecha, grado, asignatura y profesor. La lección se enfoca en la reducción de ángulos al primer cuadrante.
Este documento trata sobre la factorización de polinomios. Contiene varios ejercicios de factorización y preguntas sobre conceptos relacionados como el MCM y MCD de polinomios. Algunas de las preguntas incluyen factorizar polinomios específicos e indicar sumas de coeficientes o términos independientes de los factores. El documento provee una guía para practicar diferentes métodos de factorización de polinomios.
Este documento describe las relaciones binarias y algunas de sus propiedades. Define relación binaria, dominio, rango y representación gráfica. Explica las clases de relaciones reflexivas, simétricas, transitivas, de equivalencia y de orden. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos.
1. El documento presenta problemas de trigonometría relacionados con la conversión entre grados, radianes y el sistema sexagesimal. Incluye cálculos de funciones trigonométricas, conversiones entre sistemas y hallazgo de lados y ángulos en figuras geométricas.
2. Los problemas abarcan temas como triángulos rectángulos, sectores circulares, circunferencias y arcos. Se pide calcular longitudes, radios, ángulos y expresiones trigonométricas.
3. El documento proporciona una varied
Este documento presenta un repaso de trigonometría que incluye ángulos en posición normal, reducción al primer cuadrante e identidades trigonométricas. Contiene 16 problemas de ángulos en posición normal, 5 problemas de reducción al primer cuadrante y 16 problemas que involucran demostrar identidades trigonométricas a través de cálculos. El documento está dirigido a estudiantes de 5to año de secundaria.
1) La gráfica de una función real f es el conjunto de todos los puntos (x, y) en el plano tales que x está en el dominio de f e y es la imagen de x por f.
2) Para que una gráfica sea una función, una línea paralela al eje y debe cortar la gráfica en un solo punto.
3) Se describen las funciones constantes, identidad, valor absoluto, raíz cuadrada y lineal, incluyendo sus reglas de correspondencia y gráficas.
1) Un sector circular es la porción de un círculo delimitada por dos radios y un arco de circunferencia. Se explican fórmulas para calcular la longitud del arco, el área del sector, y el número de vueltas de una rueda.
2) Se presentan ejemplos resueltos de cálculos relacionados a sectores circulares, áreas de trapecios circulares y número de vueltas de ruedas.
3) Finalmente, se proponen problemas adicionales sobre estos temas para que sean resueltos.
El documento presenta una discusión sobre ángulos trigonométricos. Define ángulo trigonométrico y lo distingue de un ángulo geométrico. Explica que los ángulos trigonométricos tienen sentido de giro y magnitud ilimitada, mientras que los ángulos geométricos son estáticos y están limitados entre 0° y 360°. También compara los sistemas sexagesimal, centesimal y radial para medir ángulos.
1) El documento presenta 11 problemas de trigonometría relacionados con la circunferencia trigonométrica. Los problemas incluyen calcular áreas de regiones, determinar valores de funciones trigonométricas y ordenar razones trigonométricas.
2) Se pide resolver los problemas eligiendo la alternativa correcta entre 5 opciones.
3) También incluye algunos problemas de repaso al final.
1. El documento trata sobre la circunferencia trigonométrica y las razones trigonométricas de ángulos y números reales. 2. Se define la circunferencia trigonométrica como una circunferencia con radio igual a 1 y centro en el origen del plano cartesiano. 3. Se analizan las variaciones de las razones trigonométricas como el seno, coseno, tangente y cotangente de ángulos en la circunferencia.
1) El documento presenta 20 problemas de trigonometría relacionados con el círculo trigonométrico, incluyendo hallar áreas de regiones, valores de funciones trigonométricas, y ordenar razones trigonométricas. 2) Los problemas involucran conceptos como seno, coseno, tangente y cotangente. 3) Las respuestas a los problemas se presentan en forma de opciones múltiples para ser seleccionadas.
1. El documento presenta 30 problemas y preguntas de trigonometría sobre ángulos especiales, funciones trigonométricas, identidades trigonométricas y triángulos rectángulos. Incluye gráficos y expresiones matemáticas para resolver los problemas.
2. Se pide determinar valores numéricos, indicar opciones verdaderas o falsas, calcular áreas, expresiones trigonométricas y ángulos dados diferentes condiciones.
3. Los problemas abarcan una variedad de conceptos y aplicaciones de la trigonometría.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ángulos trigonométricos en posición normal y especiales. Define ángulos en posición normal, cuadrantales y coterminales, y explica cómo calcular las funciones trigonométricas para estos ángulos. También resume las propiedades de las funciones trigonométricas para ángulos en los diferentes cuadrantes y para ángulos negativos. Finalmente, incluye ejemplos resueltos de problemas que involucran ángulos especiales.
Este documento presenta un examen de trigonometría que contiene 29 preguntas de opción múltiple sobre conceptos trigonométricos como funciones trigonométricas, áreas de regiones en la circunferencia trigonométrica y resolución de problemas que involucran ángulos y funciones trigonométricas. El examen evalúa la comprensión de los estudiantes sobre cómo varían las funciones trigonométricas en la circunferencia trigonométrica y cómo calcular áreas de figuras geométricas usando conceptos trigonométric
Este documento presenta varias identidades trigonométricas y sus demostraciones, incluyendo transformaciones de suma a producto, producto a suma, y propiedades de triángulos. También cubre series trigonométricas y problemas de clase para practicar estas transformaciones y propiedades.
Este documento presenta un balotario de trigonometría que contiene 40 preguntas de razonamiento y demostración y cálculo de áreas geométricas en la circunferencia trigonométrica. El balotario evalúa habilidades como analizar la variación de las funciones trigonométricas, calcular áreas de regiones, reformular expresiones utilizando reducciones al primer cuadrante y calcular funciones trigonométricas de ángulos en posición normal.
1. El documento presenta definiciones y teoremas relacionados con las razones trigonométricas en triángulos rectángulos. Incluye las definiciones de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante para un ángulo agudo.
2. Se explican las razones trigonométricas recíprocas y de ángulos complementarios. También incluye valores de razones trigonométricas para ángulos notables como 30°, 45° y 60°.
3. Se describen métodos para resolver triángulos rect
1. El documento presenta definiciones y teoremas relacionados con las razones trigonométricas en triángulos rectángulos. Incluye las definiciones de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante para un ángulo agudo.
2. Se explican las razones trigonométricas recíprocas y de ángulos complementarios. También incluye valores de razones trigonométricas para ángulos notables como 30°, 45° y 60°.
3. Se describen métodos para resolver triángulos rect
1. El documento contiene 14 problemas de trigonometría con sus respectivas opciones de respuesta. Los problemas incluyen cálculos de funciones trigonométricas, simplificación de expresiones y resolución de igualdades y desigualdades trigonométricas.
2. Se presentan 3 exámenes formativos de la Universidad Nacional de San Agustín sobre el tema de trigonometría con problemas numéricos, algebraicos y geométricos.
3. Los problemas abarcan conceptos como cálculo de ángulos, funciones trigonométricas
1) El documento presenta definiciones y propiedades de las funciones trigonométricas para ángulos en posición normal y ángulos especiales como cuadrantales y coterminales. Incluye tablas con los signos de las funciones trigonométricas en los cuadrantes y valores para ángulos cuadrantales.
2) Se explican conceptos como razones trigonométricas de ángulos negativos y coterminales, y se plantean ejercicios resueltos como problemas tipo para que el estudiante aplique los conocimientos.
1. El documento contiene 35 preguntas de matemáticas con 5 opciones de respuesta cada una. Las preguntas incluyen temas como porcentajes, áreas, funciones, geometría y probabilidad.
2. Algunas preguntas específicas incluyen calcular el 25% de 8, factorizar la expresión ax2 + ax - 6a, y determinar la probabilidad de obtener el puntaje máximo en un examen si se contesta al azar.
3. El documento provee material para que los estudiantes practiquen y evalúen sus habilidades
1) El documento presenta definiciones y propiedades relacionadas con ángulos en posición normal y ángulos trigonométricos especiales como cuadrantales y coterminales. Incluye fórmulas para calcular las funciones trigonométricas de dichos ángulos.
2) Contiene 20 problemas resueltos como ejemplos de aplicación de los conceptos.
3) El objetivo es que los estudiantes aprendan a distinguir información relevante, sintetizar conocimientos y resolver problemas usando funciones trigonométricas de ángulos
Este documento presenta las identidades trigonométricas para ángulos compuestos y diferencias de ángulos. Incluye la demostración de las identidades fundamentales de seno y coseno para la suma de ángulos, así como algunas propiedades importantes de las funciones trigonométricas. Finalmente, propone una serie de problemas para aplicar los conceptos explicados.
1. El documento presenta 43 preguntas de matemáticas con opciones de respuesta. Las preguntas abarcan diversos temas como álgebra, geometría, trigonometría y probabilidad.
1) El documento presenta conceptos básicos de trigonometría en triángulos rectángulos como las seis razones trigonométricas, los teoremas de Pitágoras y de los ángulos complementarios, y fórmulas para calcular lados desconocidos.
2) Se explican las razones trigonométricas recíprocas y de ángulos complementarios, así como triángulos rectángulos notables.
3) Finalmente, se plantean ejercicios prácticos sobre aplicación de conceptos como cálculo de lados
1) El documento presenta conceptos básicos de trigonometría como sistemas de coordenadas, ángulos en posición normal, y definiciones de las funciones trigonométricas.
2) Se explican las razones trigonométricas para ángulos en posición normal e incluyen gráficos y ejemplos numéricos.
3) Se presentan ejercicios resueltos para practicar el cálculo de funciones trigonométricas a partir de puntos en un plano cartesiano.
Este documento contiene 30 preguntas de matemáticas para un examen final de quinto grado de secundaria. Las preguntas cubren una variedad de temas matemáticos como probabilidad, estadística, álgebra, geometría y cálculo. El examen evalúa la comprensión de los estudiantes y su habilidad para resolver problemas matemáticos complejos.
Mariano Dámaso Beraún fue un destacado científico peruano nacido en 1813 en Huanuco. Estudió en el Convictorio de San Carlos en Lima y se graduó de doctor en ciencias matemáticas en 1837. Enseñó física y matemáticas y descubrió un nuevo método para dividir un ángulo en tres partes llamado la Trisectriz de Beraún. Publicó numerosos trabajos científicos y ocupó cargos como rector, catedrático y diputado. Falleci
Federico Villarreal fue un destacado matemático, ingeniero, físico y políglota peruano que realizó importantes contribuciones a las matemáticas, la ingeniería y otras ciencias. A los 23 años descubrió el método para elevar polinomios a cualquier potencia. Fue decano de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos y rector de la misma universidad. Publicó cerca de 600 artículos científicos y fue un importante divulgador de la ciencia en el Perú.
François Viète fue un matemático y criptógrafo francés del siglo XVI. Trabajó como abogado y consejero privado para los reyes Enrique III y Enrique IV de Francia. Es conocido por haber introducido el uso de letras para representar cantidades desconocidas en las ecuaciones, sentando las bases del álgebra moderna. También descifró códigos secretos del enemigo y resolvió problemas matemáticos complejos.
Tales de Mileto fue un filósofo, matemático, astrónomo y político griego del siglo VI a.C. considerado el primer filósofo de la escuela jonia. Se le atribuyen descubrimientos en geometría y astronomía, aunque no se conservan sus escritos. Vivió y murió en la ciudad jonia de Mileto, donde tuvo como discípulo a Anaximandro. Se le considera el iniciador de la filosofía occidental al buscar explicaciones racionales a los fenómenos naturales en lugar de explic
Paolo Ruffini fue un matemático y médico italiano del siglo XVIII. Estudió en la Universidad de Módena y luego se convirtió en profesor allí. En 1799 publicó un libro donde demostró que las ecuaciones de quinto grado no pueden resolverse mediante raíces, anticipándose a su época. Aunque su trabajo fue ignorado inicialmente, hoy se le reconoce como pionero en el uso de la teoría de grupos y la demostración de la irresolubilidad de las ecuaciones de quinto grado.
Bernhard Riemann fue un matemático alemán del siglo XIX que realizó importantes contribuciones al análisis y la geometría diferencial. Formuló la hipótesis de Riemann, un problema sin resolver en teoría de números, e introdujo conceptos como la función zeta de Riemann, la integral de Riemann y la geometría de Riemann. Fue profesor de matemáticas en la Universidad de Göttingen y miembro de varias academias científicas.
Henri Poincaré fue un destacado matemático, físico y filósofo francés nacido en 1854. Realizó importantes contribuciones en diversas áreas como topología, teoría de grupos, mecánica celeste y relatividad. Entre sus logros se encuentran haber establecido el grupo fundamental de un espacio topológico y haber demostrado el carácter caótico del problema de los tres cuerpos, anticipando la teoría del caos. También realizó contribuciones fundamentales a la relatividad especial, como la formul
Pitágoras fue un importante matemático y filósofo griego del siglo VI a.C. que realizó contribuciones fundamentales al desarrollo de las matemáticas. Fundó una escuela en Crotona, Italia donde enseñaba que la realidad subyacente es matemática y que las matemáticas pueden usarse para la purificación espiritual. Se le atribuyen descubrimientos como el teorema de Pitágoras y la existencia de los números irracionales.
Blaise Pascal fue un polímata francés del siglo XVII conocido por sus contribuciones a las matemáticas, la física y la filosofía. Nació en Clermont-Ferrand en 1623 e inventó la primera calculadora mecánica, la Pascalina. También realizó investigaciones pioneras sobre la presión atmosférica y el vacío y desarrolló conceptos matemáticos como el triángulo de Pascal y la teoría de probabilidad. Tras una conversión religiosa en 1654, Pascal se dedicó a
Isaac Newton nació en 1643 en Inglaterra. Se convirtió en un destacado matemático y físico y descubrió las leyes del movimiento y la gravitación universal. Estudió en la Universidad de Cambridge donde fue profesor y desarrolló el cálculo infinitesimal y la óptica. En 1687 publicó sus Principia Mathematica que establecieron los fundamentos de la física moderna. Pasó los últimos años de su vida como director de la Casa de la Moneda en Londres y presidente de la Royal Society.
John von Neumann nació en 1903 en Hungría y murió en 1957 en Estados Unidos. Fue un matemático prodigio que hizo contribuciones fundamentales a las matemáticas, la teoría de juegos, la computación y el desarrollo de la bomba atómica. Von Neumann ayudó a diseñar las primeras computadoras digitales como el ENIAC y el EDVAC, y propuso la arquitectura de von Neumann que es la base de las computadoras modernas. También participó en el Proyecto Manhattan para desarrollar
Nikolái Lobachevski (1792-1856) fue un matemático ruso pionero en el desarrollo de la geometría no euclidiana. Enseñó en la Universidad de Kazán durante más de 30 años y fue rector entre 1827 y 1846. Formuló de manera independiente un sistema de geometría hiperbólica que rechazaba el quinto postulado de Euclides. Sus ideas sobre una geometría alternativa se adelantaron a su época y recibieron inicialmente críticas, pero posteriormente se reconocieron como una contrib
Gottfried Leibniz fue un filósofo, matemático y político alemán del siglo XVII. Realizó importantes contribuciones al cálculo infinitesimal, la lógica y otras áreas. Inicialmente su reputación decayó, pero luego fue reconocido como uno de los pensadores más influyentes de su época. Actualmente se le considera uno de los últimos genios universales y se le otorgan premios en su honor.
Adrien-Marie Legendre fue un destacado matemático francés nacido en 1752. Realizó importantes contribuciones en áreas como la geometría, la teoría de números, el álgebra abstracta y el análisis matemático. Escribió la popular obra Elementos de Geometría y desarrolló el método de los mínimos cuadrados. Fue miembro de prestigiosas academias como la Academia de Ciencias de Francia y la Royal Society. Legendre murió en París en 1833 tras una larga carrera dedic
Laplace fue un destacado astrónomo, matemático y físico francés que hizo importantes contribuciones a la astronomía y probabilidad. Formuló la hipótesis nebular sobre la formación del sistema solar y demostró la estabilidad del mismo. También sentó las bases de la teoría matemática de probabilidades y fue un firme defensor del determinismo científico. Fue miembro de numerosas academias científicas y ocupó cargos como ministro del Interior de Francia.
Joseph-Louis de Lagrange fue un destacado matemático francés nacido en Italia en 1736. Estudió en Turín y se convirtió en profesor de matemáticas a los 19 años, destacando por resolver problemas complejos. Más tarde trabajó en Berlín y París, donde hizo contribuciones fundamentales al cálculo variacional y la mecánica analítica. Publicó obras influyentes y enseñó en la École Polytechnique. Fue reconocido como el mayor matemático de su época.
Andréi Kolmogórov fue un destacado matemático ruso que realizó importantes contribuciones en teoría de la probabilidad y topología. Estructuró el sistema axiomático de la teoría de la probabilidad utilizando el lenguaje de la teoría de conjuntos. Recibió numerosos premios y honores de academias de ciencias de todo el mundo por su trabajo pionero. Fue miembro de la Academia Rusa de Ciencias y profesor en la Universidad Estatal de Moscú.
Johannes Kepler (1571-1630) fue un astrónomo y matemático alemán conocido por sus tres leyes sobre el movimiento de los planetas. Estudió en la Universidad de Tubinga y trabajó como profesor de matemáticas y astrónomo imperial para Rodolfo II. Descubrió que los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, no en círculos, y formuló sus tres leyes fundamentales sobre el movimiento planetario.
Herón de Alejandría fue un matemático y astrónomo del siglo I a.C. que desarrolló fórmulas importantes como la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo a partir de sus lados. También inventó máquinas como la eolipila, un precursor de la turbina de vapor, y desarrolló un método para calcular raíces cuadradas. Escribió varios tratados sobre temas como mecánica, áreas, volúmenes y óptica.
1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
y
A
x
Q
sen
(-)
-1
sen
(+)
M
1sen
(+)
N
sen
(-)
P
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2014-II
TRIGONOMETRÍA
“Circunferencia Trigonométrica”
Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Objetivos:
Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con circunferencia trigonométrica.
Representar gráficamente las razones trigonométricas de arcos dirigidos en posición
normal.
Analizar las variaciones de las razones trigonométricas de los números reales.
Definición
Se llama circunferencia trigonométrica a aquella
circunferencia cuyo centro coincide con el origen del
sistema cartesiano y su radio es igual a la unidad del
sistema. En el gráfico adjunto tenemos:
Los arcos a ubicar en ella pueden estar expresados en
grados sexagesimales, en radianes o como números reales,
para ello se recomienda tener en cuenta:
Líneas trigonométricas
Son segmentos de medida positiva, negativa o nula; que
van a representar los valores numéricos de las razones
trigonométricas de un arco, ángulo o número real, siempre
que esté definido.
1. L.T. seno
Variación del seno de un arco:
2. L.T. coseno
B
y
M
B' N
R = 1
A' A
x
(+)
(-)
y
2
2
0
x
3
2
y
90º
180º
360º
270º
0º
x
y
0
x
1,57
6,28
4,71
3,14
y
A
x
Q
sen
(-)
-1
sen
(+)
M
1sen
(+)
N
sen
(-)
P
IC
0
2
IIC
2
IIIC
3
2
IVC
2
3
2
0 1 1 0 0 -1 -1 0
0<sen <1 0<sen <1 -1<sen <0 -1<sen <0
sen
Semana Nº 5
2. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
Variación del coseno de un arco:
3. L.T. tangente
4. L.T. Cotangente
En el gráfico:
Se observa que BT
representa a la cotangente del arco
trigonométrico .
Línea Secante:
En el gráfico:
Se observa que OR
representa a la secante del arco
trigonométrico.
Línea Cosecante:
En el gráfico:
Se observa que OM
representa a la cosecante del arco
trigonométrico.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Determine la veracidad (V) o falsedad (F) de
c/u de las siguientes proposiciones
(I) sen2 > sen1 > sen3 ( )
(II) sen 6 > sen4 > sen5 ( )
(III)cos 6 cos1 cos5 ( )
(IV)cos 2 cos 4 cos3 ( )
A) FFVV B) VVFF C) VVFV
D) FVFV E) VFVF
y
x
N
M
cos
(-)
-1
1
cos
(+)
A
P
cos
(-)
cos
(+)
Q
IC
0
2
IIC
2
IIIC
3
2
IVC
2
3
2
0 11 0 0 -1 -1 0
0<cos <1 0<cos <1-1<cos <0 -1<cos <0
cos
y
x
N
O
P
Q
M
T
T1
A
tan
tan
tan
tan
C.T.
P
0
T
rad
Tangente
Geométrica
tangente
geométrica
C.T.
P
0
rad
A
Y
tangente
geométrica
C.T.
P
M
0
rad
B(0;1)Y
3. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
RESOLUCIÓN
1,57
2
Según la C.T. las proposiciones serán:
(I) (V)
(II) (V)
(III) (F)
(IV) (F)
RPTA.: C
2. ¿Qué valores puede tomar “x” para que se
cumpla:
x 2 x 1
Sen
3 2
siendo un arco del
tercer cuadrante?
A)
5
3
;
5
1
B)
5
2
;
5
1
C)
1
1;
5
D)
5
2
;0 E)
5
3
;0
RESOLUCIÓN
6
15
2
1
3
2
xxx
Sen
Como: 01 SenCIII
5x 1
1 0
6
6 <5x 1 > 0
5 <5x < 1
1 < x <
1
5
5
1
;1x
RPTA.: C
3. Si: 1-2x
sen " " IIIC
3
; Halle la
variación de “x”
A) 2;
2
1
B)
2
1
;2 C) 2;
2
1
D) 2;2 E) 1;1
RESOLUCIÓN
Si: CIII"" 01 sen
Como: 0
3
21
1
3
21
xx
sen
0213 x
1
"x" ;2
2
RPTA.: C
4. Del gráfico mostrado calcule el área del
cuadrilátero sombreado.
x
y
A) 0,5 sen cos B) 0,5 sen cos
C) 0,5 cos sen D) 0,5 sen cos
E) 0,5sen cos
RESOLUCIÓN
21 SSS
Calculamos
1
6
4
2
O
5
2 6,28
cos 2
cos 1
cos 3
cos 4
cos 5
cos 6
sen1
sen2
sen4
sen5sen 3
314
3
sen6
3
4,71
2
124 x
2
1
2 x
4. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Trigonometría.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
2S
1S
sen
cos
1
1
S (cos )
2
2
1
S (sen )
2
S 0,5(sen cos )
RPTA.: A
5. Si 3
;
4
, de la circunferencia
trigonométrica determina la variación de la
región sombreada.
A)
2
2
;
2
1 B)
2
2
;0
C)
2
1
;0
D)
2
2
;
2
1 E)
2
3
;
2
1
RESOLUCIÓN
cos
sen ; cos
sen cos ;sen
cos1
2
1
senS
)cos(
2
1
senS
42.
2
1
senS
Como:
4
3
4
3
42
1
42
2
sen
2
2
4
.
2
2
2
1
sen
2
2
;
2
1
S
RPTA.: A
6. El siguiente gráfico es una circunferencia
trigonométrica. Calcule el área del triángulo
EBF.
x
y
A
C.T.
B
F
E
A) cos B) 2cos C) sen
D) 2sen E)
1
sen
2
5. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Trigonometría.
5
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
RESOLUCIÓN
Área cos)2(
2
1
EBF
Área cosEBF
B
F
E
cos
1
RPTA.: A
PROBLEMA DE CLASE
1) Ordene en forma decreciente las siguientes
razones trigonométricas:
4
Sen ; Sen 2; Cos 1; Cos 6; Tg 1.
A) Cos 6; Sen 2; Cos 1;
4
Sen ; Tg 1.
B) Sen 2; Tg 1 ;
4
Sen ; Cos 1; Cos 6.
C) Tg 1 ;Sen 2;
4
Sen ; Cos 1; Cos 6.
D) Tg 1 ;Cos 6 ;Sen 2;
4
Sen ; Cos 1.
E) Tg 1; Cos 1;
4
Sen ; Sen 2; Cos 6.
2) Sean
2121
2
;, xxyxx
,
Indique verdadero (V) o falso (F) en las
siguientes proposiciones:
I. 21 SenxSenx
II. 21 TgxTgx
III. 12 CosxCosx
A) VVV B) VFV C) VFF D) FVF E) FVV
3) Sabiendo que:
321
2
3
xxx ,
Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. 21 SenxSenx
II. 321 TgxTgxTgx
III. 321 CosxCosxCosx
A) VVV B) VFV C) FFF D) FVF E) VFF
4) Si
3
;
3
y 122
nxCos ,
Determine la extensión de “n”
A) 18
5
n B) 14
5
n C) 14
5
n
D) 18
5
n E) 17
5
n
5) En la circunferencia trigonométrica de la
figura mostrada, mAM = , determinar el
área de la región sombreada.
a) cos15,0 sen b) cos15,0 sen
c) cos15,0 sen d) cos15,0 sen
e) cos18,0 sen
6) En la circunferencia trigonométrica de la
figura mostrada, si mAp = , determinar la
suma de las áreas de las regiones BOP y PQA.
6. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Trigonometría.
6
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
a)
2
cos tgsen b)
2
cos tgsen
c)
2
cos Ctgsen d)
2
cos Ctgsen
e) tgsen cos
7) En la circunferencia trigonométrica de la
figura mostrada; si mAB´P = , determinar el
área de la región sombreada.
a)
1
5,0
tg
b)
1
1
tg
c)
1
2
tg
d)
1
5,0
tg
e)
1
2
tg
8) En un triángulo rectángulo ABC, B = 90º, el
ángulo A es el menor , determine la variación
de k , Si 4k - √2. SenA = 4
A)
3
5
;
2
1 B)
2;
3
1 C)
2
5
;
4
1
D)
5
6
;1
E)
4
5
;1
9) En la figura mostrada se tiene la
circunferencia trigonométrica, mAB´P = ,
determinar el área de la región triangular
A´TP.
a)
sen
sen
12
cos.cos1 b)
sen
sen
12
cos.cos1
c)
12
.cos1
sen
sensen d)
12
.cos1
sen
sensen
e)
12
.cos1
sen
sensen
10) En la figura mostrada se tiene la
circunferencia trigonométrica, mAB´M = ,
determinar el área de la región sombreada.
a)
1
2
1
senctg
b)
senctg 1
2
1
c)
sentg 1
2
1 d)
1
2
1
sentg
e)
1
2
1
sentg
11) Calcule el área de la región sombreada en
términos de " ".
A) B)
C) D)
E)
x
y
x + y = 1
22
1
sen cos
2
1
sen cos
2
1 sen cos
1
2sen cos
2
1 sen cos
7. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Trigonometría.
7
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
12) Calcule el área de la región sombreada si M
es punto medio de y = -135°.
A) B) C) D) E)
13) Calcule el área de la región sombreada en
términos de " ".
A) B) C)
D) E)
14) Calcule el área de la región sombreada en
términos de " ".
A) B)
C) D) E)
15) Calcule el área de la región sombreada en
términos de " ".
A) B)
C) D) E)
PROBLEMAS DE REPASO
1. Calcule el área de la región sombreada sí
.
A) B) C)
D) E)
2. Hallar si el área de la región sombreada es
OB
2
4
2
2
2
8
2
6 2
x
y
O
P
M
A
B
x + y = 1
22
x
y
O
x + y = 1
22
sen
2
cos
2
sen2
sen2
2
sen
2
x
y
x + y = 1
22
O
A
(0,5)sen 2
(0,5)cos
2
(0,25)sen 2
(0,5)sen (0,5)cos
1
(1 2sen )
2
1
(1 2sen )
4
1
(1 2sen )
2
1
(1 2sen )
4
(1 2sen )
x
y
x + y = 1
22
O
A
5
4
x
y
A
B
2
4
2 1
2
2 1
2 1
2
2 1
1
u
8
2
8. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Trigonometría.
8
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
A) B) C) D) E)
3. Halle el área de la región sombreada:
A) B) C)
D) E) No se puede determinar
4. Si: 45° < x1 < x2 < 90° analice la
veracidad de lo siguiente:
√2
2
< 𝑆𝑒𝑛x1 < 𝑆𝑒𝑛x2 < 1
−1 < 𝐶𝑜𝑠2x1 < 𝐶𝑜s2x2 < 0
Tan2x2 < 𝑇𝑎𝑛2x1 < 0
Sen2x1 < 𝑆𝑒𝑛2x2
a) VFFV b) VFFF c) VVVF
d) VFVF e) FVVF
5. Hallar la extensión de:
E =
1
|3 − 2|Senx||
a)[
1
3
; 1] b)[1; 3] c) [1; 9]
d) 〈0; 3] e) 〈0;
1
3
]
6. Indicar verdadero(V) o falso(F) según
corresponda: Si – π < x1 < x2 < −
π
2
Entonces:
Tanx1 > 𝑇𝑎𝑛x2
|Tanx1| < |Tanx2|
Tan|x1| > 𝑇𝑎𝑛|x2|
a) FFV b) FVV c) VVF
d) FFF e) VVV
7. Si: θ ∈ IIIC. Hallartodos los valores que
toma ‘‘k’’ para que verifique la igualdad.
πCotθ = π − |k|
a) 〈– 𝜋; 𝜋〉 b) 𝑅— [𝜋; 𝜋] c) 〈0; 𝜋〉
d) 𝑅 − 〈−𝜋; 𝜋〉 e) [−𝜋; 𝜋]
8. Si:
π
2
< 𝜃 < 𝜋, Hallar la extension de:
E = Csc(Senθ)
a) 〈0; 𝐶𝑠𝑐1〉 b) 〈– 𝐶𝑠𝑐1; 𝐶𝑠𝑐1〉
c) 〈1; 𝐶𝑠𝑐1〉 d) 〈𝐶𝑠𝑐1; +∞〉 e) {1}
9. Indicar verdadero (V) o falso(F) segun
corresponda.
Sen(Cos1) < 𝐶𝑜𝑠(𝑆𝑒𝑛1)
Tan(Sen1) > 𝑆𝑒𝑛(𝑇𝑎𝑛1)
Cos(Tan1) < 𝑇𝑎𝑛(𝐶𝑜𝑠1)
a) VVV b) VFV c) VFF
d) FVV e) FFV
10. Calcule el área de la región sombreada:
x
y
C.T.
α
6
8
4
6
3
1
.sen
2
1
.sen
2
sen
sen
9. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Trigonometría.
9
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
a) 1 + 0,5𝑇𝑎𝑛𝛼 b) 1 + 𝑇𝑎𝑛𝛼
c) 2 + 0,5𝑇𝑎𝑛𝛼 d) 2 − 0,5𝑇𝑎𝑛𝛼
e) 3 + 0,5𝑇𝑎𝑛𝛼
11. Hallar el mayor valor de ‘‘k’’para que se
cumpla: 𝐶𝑜𝑡4
𝜃 + 8𝐶𝑜𝑡2
𝜃 + 3 ≥ 𝑘
a) -8 b) -3 c) 0 d) 3 e) 8