1. El documento presenta cuatro exámenes parciales de ecuaciones diferenciales que incluyen problemas para resolver ecuaciones diferenciales y circuitos eléctricos. 2. Se pide resolver ecuaciones diferenciales, determinar la carga y corriente en circuitos RLC, y analizar reacciones químicas donde la velocidad depende de las cantidades presentes. 3. Los exámenes también incluyen demostraciones geométricas sobre líneas de fuerza eléctrica.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA AREA DE CIENCIAS BASICAS
FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL CICLO 2005-I
Y DE SISTEMAS
EXAMEN PARCIAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES
(CB-142)
1.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
 y  tg2 ax by  c b  a ab  0
a) , , (3.5 pt)
 2  2 0 2 2 x  y  x dx  ydy 
b) (3.0 pt)
y
x
c) (2.0 pt)

dx
   
0
2 2 3/ 2 2 2 3/ 2

x 
y
x 
y
dy
2.- Si cuando la temperatura del aire es 20°C, se enfría una sustancia desde 100°C hasta
60°C en 10 minutos, hallar la temperatura después de 40 minutos (3.5 pt)
3.-Una resistencia de R ohmios varía con el tiempo t (segundos) de acuerdo a
  t
R= R(t) =1 + 0,01t , 0 1000. Se conecta en serie con un condensador de 0.1
faradios y una fem de 100 voltios. La carga inicial en el condensador es de 5 culombios.
Encuentre:
a) La carga y la corriente como una función del tiempo.
b) La carga máxima teórica. (4.0 pt)
4.- Los experimentos muestran que las líneas de fuerza eléctrica de dos cargas opuestas de
la misma intensidad y que se encuentran en (-1, 0) y (1, 0) son las circunferencias que
pasan por (-1, 0) y (1, 0). Demuéstrese que es posible representar estas
circunferencias por la ecuación: x 2  (y c) 2 1 c
2 . Determine, además las líneas
equipotenciales (trayectorias ortogonales). (4.0 pt)
CAO/Victoria Lima, 17 de Junio de 2005

2. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA AREA DE CIENCIAS BASICAS
FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL CICLO 2003-II
Y DE SISTEMAS
EXAMEN PARCIAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES
(CB-142)
1.- Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es n veces la
pendiente de la recta que pasa por el origen y éste punto. (4.0 pt)
2.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1
   
a) (4.0 pt)
1
8
3 
y x
xy y

   2 2 2 2 2


    dx y x x y dy x y x xy 
b) (4.0 pt)


3.- “El carbono C14 radioactivo contenido en las personas se desintegra a una rapidez
proporcional a la cantidad presente”. El carbono extraído de un cráneo antiguo contenía
solamente una sexta parte del carbono C14 extraído de un hueso de los tiempos actuales.
¿Cuál es la antigüedad del cráneo?.
(4.0 pt)
x cos y ae 
4.- Hallar las trayectorias ortogonales de: (4.0 pt)
CAO/Victoria Lima, 05 de noviembre de 2003

3. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA AREA DE CIENCIAS BASICAS
FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL CICLO 2004-I
Y DE SISTEMAS
EXAMEN PARCIAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES
(CB-142)
1.- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:


1 2   
 tgydx sec ydy
0
x
(1 seny)dx  2y cos y  x (sec y  tgy) dy
1
a) (3.0 pt)

b) (3.5 pt)
cos (4 5 ) 0 2 y xdx   y senx dy 
c) (3.0 pt)
2.- En un cultivo de levadura la cantidad de fermento activo crece a una velocidad
proporcional a la cantidad presente. Si se duplica la cantidad en 1 hora, ¿cuántas veces
3
2
puede esperarse que se tenga la cantidad original al cabo de hora? (3.5 pt)
4
3.- En un circuito serie RL se cierra el interruptor en . Si la inductancia es 0.5 henrios,
0  t
u(t)  64sen 8t
0  t
la resistencia 3 ohmios y la fuerza electromotriz es voltios, determine la
intensidad de corriente en cualquier tiempo (4.0 pt)
Nota:
asenbt b bt e
( 
cos )
at
 

2 2
a b
e senbtdt
at
4.- Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de cardioides r = (1 + sen )
(3.0 pt)
CAO/Victoria Lima, 21 de Mayo de 2004

4. Facultad de Ingeniería Electrónica
Curso : ANÁLISIS MATEMÁTICO III
Profesor : CARLOS ARAMBULO OSTOS
Turno : MAÑANA
Aula : B-305
Ciclo : IV
Fecha : 04.05.04
Período Académico : 2004-I
EXAMEN PARCIAL
Instrucciones:
a) Está prohibido el uso de copias, apuntes, etc.
b) Duración del Examen 90 minutos
1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
2

 
r  
a) (sen)dr = 2r cos d , (2.5 pt)
2



1


b) (x + 3)-1 cos ydx - (3.5 pt)
) 15 x 5 ( Ln ) seny (  
dy 0
y



 
2. Una resistencia de 500 ohmios se conecta en serie con una inductancia de 4 henrios y
una f.e.m. de u(t) = 220 voltios. Si i = 0 en t = 0, encuentre la intensidad de corriente en
un instante t cualquiera. Muestre la gráfica de i(t). ¿Cuándo alcanza la corriente el 90%
de su valor límite? (5.0 pt).
3. Dos sustancias químicas A y B se combinan para formar un compuesto C. La reacción
que resulta entre las dos sustancias químicas es tal que por cada 2 gramos (2) de A se
usa 1g de B. Se observa que se forman 10g del compuesto C en 5 min. Determine la
cantidad de C en un instante cualquiera si la rapidez de la reacción es proporcional a las
cantidades de A y B restantes y si en un principio hay 40g de A y 50g de B. ¿Qué
cantidad de compuesto C hay después de 20 min? Interprete la solución cuando t, es
decir, ¿cuánta sustancia de C se ha formado y cuánto quedan de A y de B? (5.0 pt)
4. Los experimentos muestran que las líneas de fuerza eléctrica de dos cargas opuestas de
la misma intensidad y que se encuentran en (-1,0) y (1,0) son las circunferencias que
pasan por (-1,0) y (1,0). Demuéstrese que es posible representar estas circunferencias
por la ecuación x2 + (y - c)2 = 1 + c2. Determine, además, las líneas equipotenciales
(trayectorias ortogonales). (4.0 pt)

5. Facultad de Ingeniería Electrónica
Curso : ANÁLISIS MATEMÁTICO III
Profesor : CARLOS ARAMBULO OSTOS
Turno : NOCHE
Aula : B-215
Ciclo : IV
Fecha : 04.05.04
Período Académico : 2004-I
EXAMEN PARCIAL
Instrucciones:
a) Está prohibido el uso de copias, apuntes, etc.
b) Duración del Examen 90 minutos
1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) y = cos (4x + 4y) (3.0 pt)
b) (x + y2) dx – 2xydy = 0 (4.0 pt)
2. Una resistencia de 1 ohmio se conecta en serie con una capacitancia de 5x10-2 fd y una
f.e.m. de u(t) = 200cos10t voltios. Si Q = 0 en t = 0, encuentre la carga Q y la
intensidad de corriente en un instante t cualquiera. Muestre la gráfica de i(t). (4.0 pt).
3. Dos sustancias químicas A y B se combinan para formar un compuesto C. La reacción
que resulta entre las dos sustancias químicas es tal que por cada gramo de A se usa 4g
de B. Se observa que se forman 30g del compuesto C en 10 min. Determine la cantidad
de C en un instante cualquiera si la rapidez de la reacción es proporcional a las
cantidades de A y B restantes y si en un principio hay 50g de A y 32g de B. ¿Qué
cantidad de compuesto C hay después de 15 min? Interprete la solución cuando t, es
decir, ¿cuánta sustancia de C se ha formado y cuánto quedan de A y de B? (5.0 pt)
4. Los experimentos muestran que las líneas de fuerza eléctrica de dos cargas opuestas de
la misma intensidad y que se encuentran en (-1,0) y (1,0) son las circunferencias que
pasan por (-1,0) y (1,0). Demuéstrese que es posible representar estas circunferencias
por la ecuación x2 + (y - c)2 = 1 + c2. Determine, además, las líneas equipotenciales
(trayectorias ortogonales). (4.0 pt)

6. Facultad de Ingeniería de Sistemas e Industrial
Curso : ANÁLISIS MATEMÁTICO IV
Profesor : CARLOS ARAMBULO OSTOS
Turno : NOCHE
Aula : B-503
Ciclo : V
Fecha : 16.01.04
Período Académico : 2003-II
PRIMER EXAMEN
Instrucciones:
a) Está prohibido el uso de copias, apuntes.
b) Duración del Examen 90 minutos.
1. Dos sustancias químicas A y B se combinan para formar un compuesto C. La reacción
que resulta entre las dos sustancias químicas es tal que por cada 2 gramos (2) de A se
usa 1g de B. Se observa que se forman 6g del compuesto C en 20 min. Determine la
cantidad de C en un instante cualquiera si la rapidez de la reacción es proporcional a las
cantidades de A y B restantes y si en un principio hay 10g de A y 20g de B. ¿Qué
cantidad de compuesto C hay después de 15 min? Interprete la solución cuando t.(5.0 pt)
2. En un tanque se encuentra inicialmente 1500 litros de agua pura. En el instante t=0
comienza a fluir al tanque agua con un contaminante C a una razón de 80 l/min. La
concentración de C en el agua que entra al tanque es de 0,25 g/l. La mezcla bien agitada,
sale del tanque a la misma razón de 80 l/min. Para poder usar el agua de ese tanque, ésta
no debe tener una concentración de C mayor a 0,05 g/l. ¿Cuánto tiempo puede estar
fluyendo el agua contaminada al tanque (y saliendo de él) antes de que el agua del
tanque ya no pueda ser usada? (5.0 pt)
5
3. En un circuito serie RLC con una inductancia de henrios, una resistencia de 10 y
3
una capacitancia de 1/30 faradios, el generador eléctrico suministra un voltaje
. Determine la carga Q(t) y la intensidad de corriente i(t) en cualquier
E e sen t t 50 3  
instante t. (5.0 pt)
3t 3t f (t) e e sen4t dt
  
t
4. Hallar la transformada de Laplace de: (5.0 pt)
0

7. CURSO : ANÁLISIS MATEMÁTICO IV
PROFESOR : ING. CARLOS ARÁMBULO OSTOS
CICLO : V
AULA : A212
TURNO : NOCHE
FECHA :
PERIODO ACADÉMICO : 2002-2
EXAMEN PARCIAL
Observaciones:
- Esta prohibido el uso de separatas, copias, apuntes u otros materiales
- Duración 80 minutos.
1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) ( x4 lnx – 2xy3 ) dx + 3x2 y2 dy = 0 (4.0 pt.)
b) (x2 +2y e2x) y´+ 2xy + 2y2 e2x = 0 (4.0 pt.)


y
x
y
dy
c) (4.0 pt.)
   2
2. Un tanque está parcialmente lleno con 100 galones de salmuera con 10 libras de sal
disuelta. Se ingresa salmuera con ½ libra de sal por galón a una velocidad de 6 gal/min.
El contenido del tanque está bien mezclado y de él sale un flujo de 4 gal/min de
solución. Calcule la cantidad de libras de sal que hay en el tanque a los 30 minutos.
(4.0 pt.)
3. Un circuito consiste de una resistencia de 20 ohmios y un condensador de 0.01 y 0.01
faradios y una f.e.m. de 200 e-5t voltios que están en serie. La carga inicial en el
condensador es cero. Encuentre la carga y la corriente en cualquier tiempo. Muestre
que la carga alcanza un máximo, calcúlelo y halle cuanto se obtiene.
(4.0 pt.)




3 2
x
xtg
y
x
dx
Escuelas de Ingeniería de Sistemas e
Industrial

8. Escuelas de Ingeniería de Sistemas e
Industrial
CURSO : ANÁLISIS MATEMÁTICO IV
PROFESOR : ING. CARLOS ARÁMBULO OSTOS
CICLO : V
AULA : A212
TURNO : EXTRAORDINARIO
FECHA :
PERIODO ACADÉMICO : 2002-2
EXAMEN PARCIAL
Observaciones:
- Esta prohibido el uso de separatas, copias, apuntes u otros materiales
- Duración 80 minutos.
1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
3 1
sec
dy
a) (4.0 pt.)
b) (4.0 pt.)
c) (x2 +y2 + 1) dy + xy dx = 0 (4.0 pt.)
2. En un depósito que contiene 150 litros de salmuera está entrando agua a razón de 2
litros/ minuto y la mezcla sale a razón de 3 litros / minuto, manteniéndose uniforme la
concentración por agitación. Hállese la cantidad de sal al cabo de media ora, si al
comienzo tenía 6 kilogramo de sal (4.0 pt.)
3. En el circuito serie R-L se introduce una f.e.m. de 100 sen 40t, donde la resistencia es
de 10 ohmios y el inductor de 0.5 henrios. Si la corriente es inicial es cero, determine
i(t) (4.0 pt.)
Nota:
2
y
xy
dx

2
3
3
´
1
x
y
x y

 
sen  t cos
t
at at e
 e sen t dt 
 2 2
a b


9. Escuelas de Ingeniería Electrónica
CURSO : ANÁLISIS MATEMÁTICO III
PROFESOR : ING. CARLOS ARÁMBULO OSTOS
CICLO : IV
AULA : B405
TURNO : NOCHE
FECHA :
PERIODO ACADÉMICO : 2002-2
EXAMEN PARCIAL
Observaciones:
- Esta prohibido el uso de separatas, copias, apuntes u otros materiales
- Duración 80 minutos.
4. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
´ . 0 2 2 ln( )   y xy y y xe e
i) (3.5 pt.)
y x
ii) (3.5 pt.)
iii) (4.0 pt.)
5. Cuando se saca un pastel del horno, este se encuentra a 130°C. La temperatura de la
cocina es de 20°C. Después de una hora la temperatura del pastel es de 50°C.
Determine la temperatura que tendrá el pastel en función del tiempo t.
(4.0 pt.)
6. Una resistencia de 10 ohmios y un condensador de 0,01 faradios están en serie con una
fuerza electromotriz de 50 cos 6t t  0. Encontrar la carga y la corriente en un tiempo
t. (5.0 pt.)
Nota:
xy
y
4
4
´
2 4 

2 ( ) 0 2 xdx  y  x y dy 
sen t a t
  cos

at at e
 e t dt a


 2 2
cos



10. Escuelas de Ingeniería Electrónica
CURSO : ANÁLISIS MATEMÁTICO III
PROFESOR : ING. CARLOS ARÁMBULO OSTOS
CICLO : IV
AULA : A307
TURNO : MAÑANA
FECHA :
PERIODO ACADÉMICO : 2002-2
EXAMEN PARCIAL
Observaciones:
- Esta prohibido el uso de separatas, copias, apuntes u otros materiales
- Duración 80 minutos.
7. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
y
(1 ) ´ 0
i) (3.5 pt.)
ii) 2x tgy + sen 2y + (x2 sec2 y + 2x cos 2y – ey) y´ = 0 (4.0 pt.)
iii) (3.5 pt.)
8. Un termómetro que marca 18°F, se lleva a un cuarto cuya temperatura es de 70°F, un
minuto después la lectura del termómetro es de 31°F. Determínese la temperatura en
cualquier instante de tiempo, desde que se lleva al cuarto.
(4.0 pt.)
9. Un inductor de 2 henrios y un generador con una f.e.m. dada por 100 sen 10t, t  0 se
conectan en serie con una resistencia de 40 ohmios. Encuentre la corriente i(t), si la
corriente es cero en t = 0. (5.0 pt.)
NOTA:
2
  
x lmx
y e y y
( ) 0 2 3 x y  y dy  xdx 
sen  t cos
t
at at e
 e sen t dt 
 2 2
a b
