El documento presenta 25 problemas de matemáticas para un examen de tercer grado de secundaria. Los problemas cubren una variedad de temas como lógica, álgebra, geometría y estadística. El examen evalúa las habilidades de los estudiantes para resolver problemas matemáticos complejos de manera analítica.

1. P - 1
1. Sea la operación lógica
p ♣ q ≡ (∼ q → p) ♣ p
Respecto a lo anterior, indique el valor de verdad de las
siguientes proposiciones.
I. (∼ p → q) ♣ p ≡ p ∨ q
II. (q ♣ ∼ p) ♣ ∼ q ≡ q
III. ( p ♣ q) ♣ r ≡ (r ♣ p) ♣ q
A) FVV B) FFV
C) VFV D) VFF
2. Para ver una obra teatral se disponían de tres tribunas;
dos laterales cada una con capacidad para 100 personas
y una tribuna central con capacidad para 200 personas.
El precio de las entradas a las tribunas laterales (del mis-
mo precio) costaba 40% menos que el costo de la en-
trada a la tribuna central; además se recaudó lo mismo
en la tribuna central que en las laterales y la cantidad
de asientos vacíos de la tribuna lateral izquierda es el
25% de los asientos vacíos que hay en la tribuna central.
Si en la tribuna lateral derecha había 12 personas más
que en la otra y se esperaba un lleno completo, ¿qué
porcentaje se dejó de recaudar?
A) 20% B) 25%
C) 30% D) 40%
3. La cuadrilla A de 24 obreros avanza el x% de una obra
en 12 días y la cuadrilla B de 18 obreros realiza el x% de
la obra que quedaba en 8 días. Si para terminar lo que
falta de la obra en 32 días trabajaron 16 obreros de la
cuadrilla A y 8 de la cuadrilla B, ¿qué cuadrilla tiene obre-
ros más eficientes y qué tanto por ciento más eficientes
son respecto a la otra?
Tercer grado de secundaria
Tema
P
A) B; 60%
B) A; 60%
C) B; 40%
D) A; 40%
4. Se tiene tres recipientes que contienen alcohol de 40º,
60º y 80º; en los dos primeros hay la misma cantidad
de alcohol puro. A los tres recipientes se les agregan x,
2x y 3x litros de agua, respectivamente, y se obtienen
alcoholes de la misma pureza. ¿Qué grado de alcohol se
obtiene al mezclar los contenidos iniciales del primer y
del tercer recipiente?
A) 40º B) 48º
C) 50º D) 55º
5. Siguiendo las líneas de la figura, ¿cuántos caminos hay
para ir del punto A al punto B considerando que no
pasen dos veces por el mismo punto y que solo avancen
hacia abajo y hacia los lados pero no hacia arriba?
B
A
A) 768
B) 3840
C) 15 360
D) 30 720

2. P - 2
Prueba final - Tercer grado de secundaria
6. De las edades de 8 amigos se sabe que la media, la me-
diana y la moda son iguales a 20; además, la media y la
mediana de las edades de los cinco menores son iguales
a 18. Calcule la mayor diferencia de edades que pueden
tener 2 de los 8 amigos.
A) 14 B) 15
C) 16 D) 17
7. Un experimento aleatorio consiste en lanzar 3 dados de
colores diferentes. Se definen los eventos
• A: Se obtienen puntajes diferentes entre sí.
• B: El producto de los puntajes obtenidos es divisible
entre 5.
Calcule n(AC
∩ BC
) + n(A D BC
).
A) 125 B) 130
C) 156 D) 190
8. Se tiene que
α β=
−
+( )
∧ =
− −( )
+
4 2 2
2 2
2 2
2 4
5
5 2
5 2
5
Halle el valor de ab+2a+2(b+3)
A) 2 B) 25
C) 0 D) 4
9. Dado el polinomio
P ax by czx y z
a
bc
a b
ac
b c
ba
c
( ; ; ) = + +














,
Determine el valor reducido de
P P
P
a b c b c b
a b c
( ; ; ) ( ; ; )
( ; ; )
− + − +
− +
+1 1 1 1
2 2
.
A) 3 B) 4
C) 2 D) 1
10. Luego de factorizar el polinomio homogéneo
f(x; y)=x6
+x4
y2
+x3
y3
+x2
y4
+y6
se obtiene solo dos factores primos de los cuales el pro-
ducto de sus términos de primer grado respecto a x es
A) – xy5
.
B) – x3
y3
.
C) – x2
y4
.
D) x2
y4
.
11. Si mm
=( abc )–1
, tal que m ∈ Z, y se define el polinomio
P(x+1)=cx2
+bx+a, calcule el producto de coeficientes de
P(x).
A) –126 B) –136
C) – 72 D) –160
12. Respecto al polinomio
P(x)=(x – a)(x – b)(x – c) –1,
considere que a, b y c son números enteros diferentes.
De lo anterior, indique verdadero (V) o falso (F) según
corresponda en las siguientes proposiciones.
I. Existen los números m y n ∈ Z, tal que f(x)= x2
+nx+m
sea un factor de P(x). ( )
II. Puede aceptar un factor lineal mónico de término
independiente entero. ( )
III. 2 –1
puede ser una raíz de P(x). ( )
A) VVV B) FVF
C) FFV D) FFF
13. Si f(x) es una función polinomial de coeficiente principal
uno, tal que
f xf xx( )+ −( ) = +3 2 3,
determine el valor numérico de f f( )2( ).
A) 8 B) 4
C) 6 D) 10
14. Si la función cuadrática f es mónico, tal que f 2
3
1
9



= ,
calcule el valor de 2 1
2
1
3
f f







− .
A)
2
15
B) −
1
6
C)
1
3
D)
1
18

3. P - 3
Concurso Nacional de Matemática César Vallejo 2012
15. Dada la ecuación cuártica
P(x) = ax4
+ bx2
+ cx + d = 0; {a; b; c; d} ⊂ Q
se cumple que P(3)=P(7) = 1 y P(1) = –1.
Entonces podemos afirmar que
A) sí posee raíz entera.
B) posee raíz entera positiva.
C) no posee raíz entera.
D) posee raíz entera negativa.
16. Cuando la sangre se mueve por una vena, su velocidad v
es mayor a lo largo del eje central y disminuye a medida
que se incrementa la distancia r desde el eje central (ver
el gráfico). La fórmula que da v como una función de r
es denominada ley de flujo laminar. Para una arteria
con radio 0,5 cm se tiene
v(r)=k(0,25 – r2
); k > 0; 0 ≤ r ≤ 0,5
0,5 cm r v
Determine la gráfica aproximada de v(r).
A) v
r
B) v
r
C) v
r
D) v
r
17. ¿Cuánto es la suma de los valores de x para que los nú-
meros (2x+x3
) y (3x+x3
–1), al ser ubicados en la recta
real, equidisten del número (x3
+1)?
A) 1/2 B) 1
C) 8/5 D) 9/4
18. Juan debe ubicarse fuera del jardín, de tal forma que la
suma de cuadrados de las distancias desde P hacia las
esquinas A y B menos el triple del cuadrado de la dis-
tancia desde P hacia la esquina C sea lo máximo posible.
Calcule dicho valor máximo.
C
jardínjardín
P
B
A
4
5
3
A) 34 B) 90
C) 86 D) 102
19. Determine las soluciones no enteras de la ecuación
− −( ) = − −x x x x
2 2
.
A) 〈0; +∞〉 – Z
+
B) [0; +∞〉 – Z
+
C) 〈– ∞; 0〉 – Z
–
D) 〈– ∞; 0]– Z
–
20. En un triángulo isósceles ABC, de base AC, se traza la
bisectriz interior CD, tal que BD = CD. Halle la mBDC.
A) 90º
B) 96º
C) 102º
D) 108º
21. Del gráfico, L es la mediatriz de AN; además DI=IN y la
m  DIN=80º. Calcule el valor de a.
α
L
A N
I
D
A) 95º
B) 100º
C) 105º
D) 110º

4. P - 4
Prueba final - Tercer grado de secundaria
22. Un prisma cuadrangular regular tiene su diagonal igual
a 5; además, la longitud de la arista lateral toma su máxi-
mo valor entero. Halle el volumen de dicho prisma.
A) 3 B) 6
C) 12 D) 18
23. Del gráfico, ABCD y COF son un cuadrado y un triángu-
lo equilátero, respectivamente. Calcule la razón de las
áreas de las regiones que limitan ABCD y COF. Considere
que O es el centro de ABCD.
A D
O
B C
F
A)
4 3
3
B)
8 3
3
C)
16 3
9
D)
32 3
9
24. En la cima de una colina situada sobre un terreno lla-
no se tiene un poste PQ de 3,5 m de altura. Desde el
punto A, en el terreno llano, los ángulos de elevación
del extremo superior Q y del extremo inferior P son,
respectivamente, 53º y 37º. Halle la altura de la colina
aproximadamente.
A) 3,5 m B) 4 m
C) 4,5 m D) 5 m
25. En el gráfico, AC=m y CD=n.
B CD
A
x x
¿A qué será igual sec x?
A)
m
n
B)
m n
m
2 2
+
C)
m n
mn
2 2
+
D)
m n
n
2 2
+