Este documento presenta un examen sobre regresión lineal simple y múltiple. Incluye preguntas sobre estimación de parámetros por mínimos cuadrados ordinarios, interpretación de matrices como M y P, cálculo de estadísticos como R^2 y varianza de estimadores, y aplicación de regresión a un conjunto de datos para estimar una relación entre calificaciones y horas de estudio.

1. Facultad de Econom´ıa
Taller V, Grupo 0502
Tarea Examen I
Entrega: 17/05/2019
1. [20 Puntos] Considere los siguientes modelos:
a) Yi = ↵ + Xi + "i
b) Yi = Xi + "i
Encuentre los estimadores por M´ınimos Cuadrados Ordinarios para los par´ametros
↵ y en ambos modelos.
2. [20 Puntos] Considere el siguiente modelo en forma matricial:
Y = X + "
a) Encuentre los estimadores por M´ınimos Cuadrados Ordinarios del par´ametro
.
b) Muestre que las matrices M = I - X(X0
X) 1
X0
y P = X(X0
X) 1
X0
son sim´etricas
(A = A0
) e idempotentes (A = A2
).
c) Interprete las matrices M y P ¿Para qu´e sirven? ¿Cu´al es su significado geom´etri-
co?
3. [10 Puntos] Calcule lo siguiente:
a)
Pn
i=1 ˆ"i = 0
b)
Pn
i=1 yi =
Pn
i=1 ˆyi, por lo tanto, ¯y = ¯ˆy
c)
Pn
i=1 xi ˆ"i = 0
d)
Pn
i=1 ˆyi ˆ"i = 0
4. [10 Puntos] Muestre que:
R2
=
Pn
i=1(ˆyi
¯ˆy)2
Pn
i=1(ˆyi
¯ˆy)2
= 1
SCR
SCT
Donde, SCR = Suma de los cuadrados de los residuos y SCT = suma de cuadrados
totales.
a) ¿C´omo se interpreta R2
?¿R2
puede ser menor que 0? ¿R2
puede ser mayor que
1? Justifique sus respuestas.
b) ¿C´omo se interpreta ¯R2
? ¿R2
siempre es mayor que ¯R2
? Justifique sus respues-
tas. ¯R2
= 1 n 1
n k (1 R2
).
5. [10 Puntos] Considere los siguientes modelos:
a) Calificaci´oni = 5 + 1.5 ⇥ Horas de estudioi
b) Calificaci´oni = 5 + 1.5 ⇥ ln(Horas de estudioi)
c) ln(Calificaci´oni) = 5 + 1.5 ⇥ Horas de estudioi
d) ln(Calificaci´oni) = 5 + 1.5 ⇥ ln(Horas de estudioi)
Interprete los coeficientes asociados a la variable “Horas de estudio” de cada mo-
delo.
P´agina 1 de 2

2. Facultad de Econom´ıa
Taller V, Grupo 0502
Tarea Examen I
Entrega: 17/05/2019
6. [10 Puntos] Considere el siguiente modelo:
Yi = ↵ + Xi + "i
a) Muestre que el estimador de es insesgado, E[ˆ] = .
b) Calcule la varianza del estimador de .
7. [20 Puntos] Con los siguientes datos
i Horas de estudio (Xi) Calificaci´on (Yi)
1 2 7
2 5 10
3 3 8
4 3 9
5 4 10
6 1 6
7 1 5
8 3 8
9 4 9
10 2 8
a) Dibuje una gr´afica y comente ¿Qu´e relaci´on espera encontrar entre las variables?
a) Estimar por M´ınimos Cuadrados Ordinarios los par´ametros ↵ y de la siguiente
ecuaci´on:
Calificaci´oni = ↵ + ⇥ Horas de estudioi
Interprete sus resultados.
b) Calcule R2
y ¯R2
. Interprete sus resultados.
c) Dibuje una gr´afica de los residuos. Interprete sus resultados.
P´agina 2 de 2