El documento introduce el concepto de programación lineal, que involucra asignar recursos para resolver problemas describibles mediante ecuaciones y desigualdades lineales con el objetivo de maximizar o minimizar una función. Presenta un ejemplo práctico de maximizar la utilidad mensual de una empresa que fabrica dos productos sujetos a restricciones de recursos. Resuelve el problema gráficamente encontrando la región factible y la solución óptima.

1. Programación Lineal. Sesión Nro. 07

2. Objetivos : Establecer la naturaleza de un problema de programación lineal. Introducir la terminología asociada a él. Resolver problemas de programación lineal geométricamente. Facultad de Ciencias Empresariales UCV Ing. Marco L. Pérez Silva

3. Introducción: Programar linealmente, es la asignación de un recurso para la solución de un problema que se presenta. La cuantificación de problemas complicados de la vida cotidiana utilizando este enfoque es de la competencia llamada Investigación de Operaciones. Se utiliza cuando un problema se puede describir utilizando ecuaciones y desigualdades que son todas lineales. Facultad de Ciencias Empresariales UCV Ing. Marco L. Pérez Silva

4. Definición: Sea una función lineal en “x” e “y” que tiene la forma: Facultad de Ciencias Empresariales UCV Ing. Marco L. Pérez Silva Donde “ a ” y “ b ” son constantes. Se desea maximizar o minimizar la función bajo ciertas restricciones (representadas por desigualdades que incluyen “≥” o “≤” ). Todas las variables sean no negativas. Por lo tanto: Se le considera un problema de programación Lineal. Función Objetivo: Aquella que se desea maximizar o minimizar. Soluciones factibles o Puntos factibles: Aquellas que tienen un numero infinito de soluciones para el sistema de restricciones. Solución optima: es la solución que da el valor máximo y mínimo de la función objetivo.

5. Ejemplo Práctico: Problema: Una compañía produce dos tipos de artículos manuales y eléctricos. Cada uno requiere para su fabricación del uso de tres máquinas, A, B y C. La siguiente tabla da la información relacionada con la fabricación de estos artículos: Facultad de Ciencias Empresariales UCV Ing. Marco L. Pérez Silva A (hrs) B (hrs) C (hrs) Utilidad/Unidad ($) Manual 2 1 1 4 Eléctrico 1 2 1 6 Horas Disponibles 180 160 100

6. Ejemplo Práctico: ¿Cuántos artículos de cada tipo debe producir con el fin de maximizar la utilidad mensual? Para resolver el problema establezcamos que “x e “y” son el número de artículos manuales y eléctricos, respectivamente, fabricados en un mes. Ya que el número de artículos producidos no es negativo, entonces: x ≥ 0 y y ≥ 0 Facultad de Ciencias Empresariales UCV Ing. Marco L. Pérez Silva

7. Ejemplo Práctico: Para la maquina A, el tiempo necesario para trabajar sobre x artículos es 2x horas y sobre y artículos es 1y horas: La suma de ambos tiempos no debe ser mayor de 180 horas, expresado matemáticamente tenemos: De manera semejante para las maquina B y C, tenemos: Facultad de Ciencias Empresariales UCV Ing. Marco L. Pérez Silva

8. Ejemplo Práctico: La utilidad P es una función de x e y, y está dada por la función de utilidad: Queremos maximizar la función objetivo: Sujeta a las restricciones siguientes: Facultad de Ciencias Empresariales UCV Ing. Marco L. Pérez Silva

9. Ejemplo Práctico: La utilidad P es una función de x e y, y está dada por la función de utilidad: Queremos maximizar la función objetivo: Sujeta a las restricciones siguientes: Facultad de Ciencias Empresariales UCV Ing. Marco L. Pérez Silva

10. Ejemplo Práctico: A las ecuaciones (2) y (3) se les llaman condiciones de no negatividad . La grafica que muestra la región que satisface de manera simultanea las restricciones de la (2) a la (6) la cual se llama región factible . Facultad de Ciencias Empresariales UCV Ing. Marco L. Pérez Silva 2x+y=180 x+2y=160 x+y=100 A B C D E Región factible

11. Ejemplo Práctico: De la ecuación (1), despejamos “y”, encontrando las líneas de isoutilidad y región factible: Facultad de Ciencias Empresariales UCV Ing. Marco L. Pérez Silva A B C D E Región factible Línea de utilidad máxima P=300 P=600, y=-2/3x+100

12. Ejemplo Práctico: Encontrando los puntos A y B: Como vemos el punto A es común a la ecuación (5) y (6), entonces: Donde x = 40 e y = 60. Para encontrar el punto B, este es común a las ecuaciones (4) y (6), entonces: Donde x = 80 e y = 20. Facultad de Ciencias Empresariales UCV Ing. Marco L. Pérez Silva

13. Ejemplo Práctico: Los valores de C, D y E, tenemos: C(90, 0) D(0, 0) E(0, 80) Evaluando la función objetivo para cada punto encontrado: Facultad de Ciencias Empresariales UCV Ing. Marco L. Pérez Silva Valor máximo

14. Región Factible Vacía: Minimizar la función objetivo: Z = 8x – 3y, sujeta a las siguientes restricciones: Facultad de Ciencias Empresariales UCV Ing. Marco L. Pérez Silva x+y=5 -x+3y=21 5 7 Región factible vacía

15. Región Factible No Acotada: Suponga que la región factible está definida por: Facultad de Ciencias Empresariales UCV Ing. Marco L. Pérez Silva y = 2 2 Región factible no acotada Z = x + y = x + 2 Z=2 Z=6 Z=10 Z=14

16. Ejemplos para la pizarra: 1. Maximizar la función objetivo: Z = 3x + y sujeta a las restricciones: Facultad de Ciencias Empresariales UCV Ing. Marco L. Pérez Silva 2. Maximizar la función objetivo: Z = 4,1x – 3,2y sujeta a las restricciones: