Este documento presenta el método de integración por sustitución trigonométrica. Explica que se puede usar este método para integrales cuyos integrandos contengan radicandos de la forma u2 - a2, donde u es una función de x. Luego detalla las sustituciones trigonométricas correspondientes a senu, secu y tanu, y resuelve seis ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método.

1. CURSO: CÁLCULO II
Tema : Integración Por Sustitución Trigonométrica
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA.
Se puede utilizar sustituciones trigonométricas para resolver integrales cuyos
integrandos contengan los radicandos:
a2 u 2 u 2 a2 u 2 a2
Donde u f (x) una función de x .
Para estos casos, el método más corto para integrar tales funciones es efectuar un
cambio de variable del siguiente modo:
Función Triangulo a construir Hacer Sustitución
u
sen
a u asen
a2 u 2
u du a cos d
arcsen
a
u
sec
a u a sec
u 2 a2
u du a sec tan d
arc sec
a
u
tan
a u a tan
u 2 a2
u du a sec 2 d
arctan
a
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2. El propósito de estas sustituciones (o cambios de variables) es eliminar los radicales.
Eso se consigue con las identidades de Pitágoras:
sen2 cos2 1 , 1 tan 2 sec2
Ejemplos:
dx
1. Calcular I
x2 a2
Solución:
En primer lugar, elegimos u x , puesto que la derivada ésta función es muy fácil
De donde tenemos que:
x
x2 a2 tan
x a
x a tan
dx a sec 2 d
a
x
Además arctan , por otro lado
a
x2 a2 a 2 tan 2 a2 a 2 tan 2 1
;
2 2
a sec
Luego sustituyendo en la integral tenemos:
dx a sec2 d d 1
I C
x2 a2 a 2 sec2 a a
dx 1 x
Por lo tanto: arctan C
x2 a2 a a
x 2 dx
2. Calcular I
1 x2
Solución:
Del triángulo se tiene:
x
sen
1
x sen
dx cos d
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3. Además cos 1 x2
Luego en la integral:
x 2 dx sen 2 cos d 1 cos 2
I sen 2 d d
1 x2 cos 2
d cos 2 sen2
d C
2 2 2 4
2sen cos
C
2 4
sen cos
C
2 2
arcsenx x 1 x2
C
2 2
dx
3. Calcular I 3/2
2
x 2
Solución:
x
Hacer: tan
2
x 2 tan
dx 2 sec2 d
Además:
x2 2 2 tan 2 2
2
2(tan 1)
2sec 2
Luego en la integral:
dx 2 sec2 2 sec2 1 1
I 3/2 3/2
d 3
d d
x2 2 2sec2 2 2 sec 2 sec
1 1
cos d sen C
2 2
1 x
C
2 x 2
2
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4. x2 3
4. Calcular I dx
x
Solución:
x
Hacer: sec
3
x 3 sec
dx 3 sec tan d
Sustituir en la integral:
x2 3 3sec2 3 3 sec tan
I dx d 3 sec2 1 tan d
x 3 sec
3tan 2 tan d 3 tan tan d 3 tan 2 d
3 sec2 1 d 3 sec2 d d
3 tan C
x2 3 x
3 arc sec C
3 3
x
x2 3 3arc sec C
3
x3 dx
5. Calcular I
2 x2
Solución:
x
Hacer: s en
2
2 x
x 2 s en
dx 2 cos d
2 x2
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5. Sustituir en la integral
x3 dx 2 2sen3 2 cos d
I 2 2 sen3 d
2
2 x 2 cos
2 2 sen2 sen d 2 1 cos2 sen d 2 sen cos2 sen d
cos3
2 2 cos C
3
2 x2 2 x2 2 x2
2 2 C
2 2 3 2
2 x2
2 2 x2 2 x2 C
3
x 2 dx
6. Calcular I
x2 4
Solución:
x
x x2 4
Haciendo: sec
2
x 2sec
dx 2sec tan d 2
x 2 dx 4sec2 2sec tan d sec3 tan d sec3 tan d
I 8 8
x2 4 4sec2 4 4 sec2 1 4 tan 2
sec3 tan d
8 4 sec3 d
2 tan
Hallando I1 s e 3c d
sec3 d sec sec2 d
Integrando por partes:
u sec du sec tan d
dv sec2 d v tan
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6. I1 sec3 d sec tan tan 2 sec d
sec tan sec2 1 sec d
sec tan sec3 sec d
sec tan sec3 d sec d
I1
Entonces:
2 I1 sec tan ln sec tan
sec tan ln sec tan
I1
2
sec3 tan d
Luego en la integral I 8 4 sec3 d
2 tan
sec tan ln sec tan
I 4
2
2sec tan 2 ln sec tan C
1
I x x 2 4 2ln x x2 4 C
2
x 2 dx
7. Calcular I
2x x2
Solución:
Completando cuadrados en 2 x x2 x2 2x ( x 1)2 1 1 ( x 1)2
x 2 dx x 2 dx
I
2x x2 1 ( x 1) 2
x 1
Haciendo: sen
1
x 1 s en
1 x 1
dx cos d
Además se tiene:
x 1 s en x 1 s en
2x x2
2
2x x cos
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7. Reemplazando en la integral
2
x 2 dx 1 sen 2
I cos d 1 sen d 1 2sen sen 2 d
2x x 2 cos
1 cos 2
2 cos sen 2 d 2 cos d
2
sen 2
2 cos C
2 4
3 1
2 cos sen cos C
2 2
3 1
arcsen x 1 2 2 x x2 x 1 2x x2 C
2 2
3 1
arcsen x 1 x 3 2 x x2 C
2 2
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8. EJERCICIOS PROPUESTOS
x 2 dx dx
1. 14. 2
2 3/ 2 1 2x 4 x2 4 x 4
16 x
dx
4 x2 15.
2. dx 4 x2
x6
dx
3. 25 x 2 dx 16.
2
x 2x 8
4. x 2 36 dx dx
17. 2
x2 2
2
5. 9x 1 dx
dx
dx 18. 3/2
6. x 2
2x 5
4x2 1
du dx
7. 19.
u a2
2 x 2 16 9x 2
x2 1 dx
8. dx 20.
2
x3 x 4 x2
dx x
9. 21. dx
16 6 x x 2 16 x 2
dx dx
10. 22.
3
x2 2 x 26 1 x2
dx
11.
2 3/2
x2 2x 3
4 x 23. dx
x 1
dx
12.
3
1 x2
x2 2x
13. dx
x
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