El documento presenta la solución para calcular la primitiva de la integral S1e2x+4ex+9dx. Primero se transforma la integral aplicando propiedades de potencias. Luego se realiza una sustitución para exponenciales. Finalmente, se aplican fracciones parciales para descomponer la integral en dos integrales más simples de calcular.

1. HKV TEX
Victor Solano Mora 1
Tema: Cálculo integral
Obtener una primitiva de
S
1
e2x + 4ex + 9dx
Solución:
Aplicando la propiedad de potencias que enuncia anm = ‰anŽm, se transforma la integral en:
S
1
‰exŽ2 + 4ex + 9
dx
Multiplicamos por ex en numerador y denominador (en el siguiente paso se verá el por qué):
S
ex
ex Š‰exŽ2 + 4ex + 9
dx
Haciendo una sustitución de ex por u, du = exdx
S
1
u(u2 + 4u + 9)du
Aplicando fracciones parciales, donde un factor lineal es u y el otro factor cuadrático irreductible es
u2 + 4u + 9, se tienen que encontrar las constantes A, B y C, tales que:
S
1
u(u2 + 4u + 9)du = S ŒA
u
+ Bu + C
(u2 + 4u + 9)
‘ du
Para ello, vamos a sumar las fracciones del lado derecho y obtenemos:
S
1
u(u2 + 4u + 9)du = S
(A + B)u2 + (4A + C)u + 9A
u(u2 + 4u + 9) du
De donde obtenemos que A + B = 0, 4A + C = 0 y A =
1
9, entonces B =
−1
9 y C =
−4
9 , entonces la integral
queda:
S Œ
1
9u
+
−u − 4
9(u2 + 4u + 9)
‘ du
Separando las integrales se obtiene:
S
1
9u
du − S
u + 4
9(u2 + 4u + 9)du
Arreglando un poco para facilitar la integración:
19
S
1
u
du −
1
18 S
2u + 8
u2 + 4u + 9du