Ss cap9 - diezmado e interpolacion

CAPITULO 9:
INTERPOLACIÓN Y DIEZMADOINTERPOLACIÓN Y DIEZMADO

•• MODIFICACIÓN DE LA FRECUENCIA DE MUESTREOMODIFICACIÓN DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO
Caso1: k es un número entero
- Diezmado (downsampling)
- Interpolación (upsampling)
Caso2: k no es un número entero
•• APLICACIÓN A LA CONVERSIÓN A/D Y D/AAPLICACIÓN A LA CONVERSIÓN A/D Y D/A
CAP9: INTERPOLACIÓN Y DIEZMADO
•• APLICACIÓN A LA CONVERSIÓN A/D Y D/AAPLICACIÓN A LA CONVERSIÓN A/D Y D/A
- Diezmado aplicado a la conversión A/D
- Interpolación aplicada a la conversión D/A
•• DIEZMADO Y FILTRADO SIMULTÁNEOSDIEZMADO Y FILTRADO SIMULTÁNEOS
•• CODIFICACIÓN EN SUBCODIFICACIÓN EN SUB--BANDASBANDAS FRECUENCIALESFRECUENCIALES
•• FILTROS ESPEJO EN CUADRATURAFILTROS ESPEJO EN CUADRATURA
•• TRANSMULTIPLEXORESTRANSMULTIPLEXORES

Modificación de la frecuencia de muestreo
Supongamos que mediante un conversor A/D hemos adquirido la señal: x[n]=x(nT)
Pero no queremos tener las muestras en todos los instantes de tiempo múltiplos de
periodo de muestreo T, sino queremos: x[n]=x(nT') siendo T'=kT.
Según el valor que tome la variable k, se presentan distintos casos:
-Diezmado (downsampling)
-Interpolación (upsampling)
Caso2: k no es un número entero

Según si el valor de k toma un valor mayor ó menor que la unidad nos encontraremos con
dos situaciones diferentes:
a) Diezmado:a) Diezmado:
(‘downsampling’)
k = M > 1
b) Interpolación:
(‘upsampling’)
k = 1/L < 1

a) Diezmado: K = M > 1 (‘downsampling’)
Si de cada M muestras tan solo cogemos una, es como si pasáramos de un periodo de
muestreo T a uno M veces mayor (T’ = MT), lo que equivale a una disminución (o
compresión) de la frecuencia de muestreo (ω’s = ωs/M).
Por ello a esta constante k se le denomina, en este caso, compresor.

En frecuencia, como la frecuencia de muestreo disminuye a ω’s = ωs/M, el efecto es que
los alias de la señal muestreada se encuentren más próximos unos de otros.

Como a medida que M se incrementa, los alias de las muestras se aproximan unas a otras,
a partir de ciertos valores de M se producirá aliasing, ya que si se eliminan demasiadas
muestras es como si no se hubiera respetado la condición de Nyquist en su adquisición que
indica que ω’s ≥ 2ωm .
El caso limite para no tener aliasing es cuando a ω’s = 2.ωm
Si es necesario utilizar un valor de M elevado, puede reducirse este problema mediante
filtros antialiasing.

Filtros Antialiasing
Permiten limitar la banda de la señal original a un valor menor ωm, de modo que se puedan
utilizar valores elevados de M sin que se produzca aliasing.
Wc = W’s/2 = [Ws/M]/2
La Wc del filtro será:
Wc = Ws/2M
Siempre que:
Se requerirá un filtro antialiasing.
M > Ws/2Wm

Filtros Antialiasing
En general se necesitaran filtros antialiasing para el diezmado si:
Y en ese caso, el esquema completo de un diezmador será el representado a continuación,
donde Wc representa la frecuencia de corte del filtro y deberá ser igual a:
M > Ws/2Wm
Wc = Ws/2M

a) Interpolación: K = 1/L < 1 (‘upsampling’)
Esta situación es contraria al caso anteriore. Ahora se pasa a un periodo de muestreo T a
uno L veces menor (T’ = T/L), lo que equivale a un aumento (o expansión) de la frecuencia
de muestreo (ω’s = ωs.L).
Por ello a esta constante k se le denomina, en este caso, expansor.

Por ello a esta constante k se le denomina, en este caso, expansor.

Añadiendo L-1 muestras de valor cero, entre cada muestra de x[n]:

La señal original no ha modificado realmente su periodo de T a T’, para
corregir ello se utilizará un filtro de interpolación.

Filtros de Interpolación
Es un filtro pasabajos con frecuencia de corte:
Que permite corregir en frecuencia la amplitud de la señal obtenida, quedando el esquema
final del interpolador de la siguiente forma:
Wc = Ws/2

En tiempo, el filtro permite una corrección en la amplitud de la señal, para los valores de
las muestras añadidas que anteriormente tenían valor cero.

Caso2: k es NO un número entero
Para trabajar con un valor de k no entero, el primer paso es representarlo como el cociente
de dos números enteros M y L, de la forma k = M / L.
Según lo visto anteriormente podemos poner en cascada un sistema de interpolación, que
dará el factor 1/L, seguido de un sistema de diezmado, que dará el factor M:
Se puede observar que aparecen dos filtros paso bajo en cascada. Ambos se pueden
sustituir por uno que tenga como frecuencia de corte la menor de los dos.

Caso2: k es NO un número entero
Es un filtro pasabajos final tendrá la siguiente frecuencia de corte:
Y modificará la frecuencia de muestreo y el periodo de la siguiente forma:

Aplicación a la conversión A/D y D/A
Diezmado aplicado a la conversión A/D: Simplificación de los filtros antialiasing.
Supongamos un filtro antialiasing no ideal H(w), con una cierta pendiente de caída del
filtro, utilizado para limitar en banda a una señal x(t) cuya frecuencia máxima es Wm.
El motivo del filtrado es que la máxima frecuencia muestreable con el conversor es de Ws.

El efecto de un filtro real antialiasing será el siguiente:
Como podemos apreciar en la figura, la no idealidad del filtro produce una deformación de
las amplitudes del espectro de la señal (por no ser un filtro de amplificación constante),
además de distorsiones de solapamiento y de cruce (por tener una banda transición con poca
pendiente).
Para evitar estas distorsiones del filtro, se pueden usar filtros analógicos de orden elevado, lo
que conlleva un coste y volumen (tamaño de los circuitos) elevado

Una solución alternativa es sobremuestrear la señal x(t), es decir, utilizar una frecuencia de
muestreo mucho mas elevada de lo necesario, de forma que los alias queden mas
separados entre si. De este modo, al haber menos peligro de aliasing, los filtros son más
sencillos o, incluso, pueden llegar a ser innecesarios.
A continuación de la etapa de muestreo situaremos un sistema de diezmado, para asíA continuación de la etapa de muestreo situaremos un sistema de diezmado, para así
obtener las muestras que realmente necesitamos para el posterior procesado de la señal,
que está limitado a la frecuencia de muestreo Ws.

Interpolación aplicada a la conversión D/A:
Cuando hay que filtrar una secuencia que se ha muestreado a la frecuencia de Nyquist o
ligeramente superior, los filtros deben tener una gran pendiente ya que se dispone de poco
o nulo ancho de guarda para el filtro entre los diferentes alias de la señal.
Una solución para poder trabajar con filtros mas sencillos es hacer una previa interpolación
de las muestras; con ello se separan los espectros y ya no son necesarios filtros de tanta
Una solución para poder trabajar con filtros mas sencillos es hacer una previa interpolación
de las muestras; con ello se separan los espectros y ya no son necesarios filtros de tanta
pendiente.
Este efecto se aprovecha en algunos conversores D/A: si antes del conversor se sitúa un
interpolador podrán usarse filtros mas sencillos para la reconstruccion de la señal
analógica.

Señales SIN Interpolador L:

Señales CON Interpolador L:
Mientras que con el interpolador aparecenMientras que con el interpolador aparecen
más muestras a la entrada del conversor
D/A que, al estar más cercanas entre si, ya
no se dará tanto tiempo al filtro analógico
para que manifieste su respuesta libre
entre muestras.

Diezmado y filtrado simultáneos
Tanto la interpolación como el diezmado suelen conllevar un filtrado digital, en el primer
caso como filtro interpolador y en el segundo como filtro antialiasing.
Seleccionando adecuadamente la estructura, sea en hardware o por programación,
pueden efectuarse el filtrado simultáneamente a la interpolación o al diezmado de las
muestras sin tener que programarse dos bloques separados para cada función.
Como ejemplo, veamos el caso de un diezmado y filtrado simultáneos.Como ejemplo, veamos el caso de un diezmado y filtrado simultáneos.

Diezmado y filtrado simúltaneo
Sea el filtro FIR de la siguiente figura:
Correspondiente a la ecuación de diferencias siguiente:

Para cada instante n tenemos una y[n] sin diezmar (separacion entre muestras de T
segundos):

Si el mismo filtro se implementa con la estructura de la Figura siguientes:
Donde mediante un registro de desplazamiento o una memoria EPROM se van
desplazando los coeficientes con que se multiplican las muestras de x[n] en cada instante,
de forma que un mismo coeficiente tarda 4 iteraciones (caso de la figura) en volver a
multiplicar la muestra de x[n], las sucesivas salidas y[n] serán:

Vemos pues que la separación
entre muestras ya no es de T
sino de T'=4T, es decir sesino de T'=4T, es decir se
consigue un diezmado por un
factor M=4, igual a la longitud
del filtro FIR.

Codificación en sub-bandas frecuenciales
• Algunos métodos de codificación de señales de audio digital o de imágenes se basan en
un proceso de diezmado, como es el caso de la codificación en subbandas.
• Este método de codificación permite representar eficazmente a señales de audio y de
video, bien sea para su transmisión o para su almacenamiento. Algunos dispositivos
comerciales como el cassette digital compacto (DCC) utilizan la codificación en
subbandas para el almacenamiento de la información.subbandas para el almacenamiento de la información.
• Esta codificación se basa en una descomposición de la señal en varias bandas
frecuenciales mediante un banco de filtros, codificándose cada una de ellas por
separado y utilizando un numero de bits en la codificación desigual entre las diferentes
bandas.
• Como la mayor parte de la energía de la señal esta contenida en las bajas frecuencias, en
estas bandas se usan mas bits, mientras que en las bandas de mayor frecuencia se va
reduciendo su numero.

El esquema general de un codificador en subbandas es el de la figura (para 4 subbandas):
A medida que se va reduciendo cada vez mas el ancho de banda de cada camino, se puede usar
una menor frecuencia de muestreo, lo que permite el diezmado de la señal.

Los codificadores son los encargados de asignar un determinado numero de bits a las
muestras de la señal ya diezmada que aparece a su entrada. Si bien los algoritmos de
asignación son variados, básicamente siguen las dos directrices anteriores:
“mas bits para las bajas frecuencias y para las subbandas con niveles energeticos más altos”
El decodificador seguiria el esquema de la siguiente figura:

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