Las funciones algebraicas pueden ser explícitas o implícitas. Las funciones polinomiales se clasifican por su grado: de grado cero (constantes), de primer grado (afines e identidades), de segundo grado (cuadráticas) y de tercer grado (cúbicas). Cada tipo de función polinomial tiene una forma y propiedades distintivas. Por ejemplo, las funciones cuadráticas generan parábolas y pueden ser cóncavas o convexas dependiendo del signo del coeficiente de x al cuadrado.

1. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Las funciones algebraicas pueden ser
Funciones Explícitas
Cuando la variable dependiente está despegada.
f(x) = 5x − 2
Funciones Implícitas
Si la variable dependiente no está despejada, es preciso efectuar operaciones.
X9 + 3Y = X + 4X2Y
3Y - 4X2Y = X – X9
Función Par.
Una función f : A → B es: Par si ∀ x∈A también -x∈A y se cumple que f(x) = f(-x). es decir es simétrica al eje Y porque los puntos (x,y) y (-x,y) son simétricos al eje Y
Ejemplo

2. ( ) ( ) ( ) ( )
La función es Par
Función Impar.
Una función f : A → B es: Impar si ∀ x∈A también -x∈A y se cumple que f(x) = -f(-x). es decir es simétrica con respecto al origen, porque los puntos (x,y) y (-x,-y) son simétricos al origen
Ejemplo
( ) ( ) ( ) ( )
La función es impar
1.1 Función polinomial
Se llama función polinomial en una variable, a la siguiente:
f: R → R / f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an-1xn-1 +anxn ; a0, a1, ... , an ∈ R
si an≠0, el entero no negativo n se llama grado del polinomio f(x)
a. Función Polinomial de grado Cero o Constante.

3. La función constante es aquella en la que para cualquier valor de la variable
independiente ( x ), la variable dependiente ( f(x) ) no cambia, es decir,
permanece constante.
Sea f (x)  c . El dominio de esta función es el conjunto de todos los reales, y
el contradominio es únicamente el real c.
Ejemplo.
La función f(x)=3 se puede representar en forma tabular para algunos
valores de x:
X f(x)
-1 3
0 3
1 3
2 3
1.5 3
5
2
3
La gráfica de esta función para los valores de x entre -3 y 3 es
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-3 -2 -1 0 1 2 3

4. b. Funciones polinómica de primer grado
f(x) = ax + b
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
Son funciones de este tipo las siguientes:
b.1. Función Afin
La función afín es la siguiente función polinomial de primer grado
f: R → R / x →f(x) = ax+b; a,b∈R
a Se llama coeficiente angular o pendiente y b se llama ordenada en el origen de la recta y=ax + b
La gráfica de los puntos (x,f (x)) / f(x) = ax+b es una recta; luego, la gráfica de la función afín es una recta no paralela al eje y.
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.
b.2. Función Lineal
La función lineal es del tipo: y = ax
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
Ejemplo Y = 2x

5. Si a > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.
Si b < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

6. b.3. Función Identidad
Su función Básica es f(x)=x Su nombre proviene del hecho, que el valor del dominio (X),será el mismo o idéntico valor que el contradominio (Y)con esta condición es una función única. Su gráfica es la recta bisectriz del primero y tercer cuadrante si a =1 y b=0, Cuando a=-1 y b=0 la gráfica de la función f(x)=-x, es bisectriz del segundo y cuarto cuadrante
 *Función Continua
 *Dominio del (-) infinito hasta mas infinito.
 *Es de primer grado ( Línea Recta )
 *Tiene pendiente, 1 creciente
 *Su alguno de inclinación es de 45 grados
 *Debe pasar por el origen
 *A la vez es biyectiva, Inyectiva
c. Función Polinómica de Segundo Grado o Cuadrática.
Se llama función cuadrática a la siguiente función polinomial de segundo grado
f: R → R / x →f(x)= ax2+bx+c; a, b, c ∈ R, a≠0
La gráfica que se obtiene se llama parábola, es una curva simétrica respecto a un eje y el punto que es simétrico de sí mismo se llama vértice.
Ejemplo:
Graficar f(x)= x2 + 2x -3 hallar el dominio y su recorrido
Hallemos el vértice para x aplicando ( )
Sustituyendo en la función tenemos que f(x)=-4
El vértice(-1, -4)
Punto de corta el eje Y, entonces x=0
f(x)=02 + 2(0) -3
f(x) = -3
Punto de corte (0, -3)

7. Puntos de corte eje X, entonces f(x)=0
x2 + 2x -3=0 Factorizando o aplicando la fórmula
x=1 X1= -3
Puntos de corte P(1,0) y P1=(-3,0)
Dominio los Reales o ) - ∞ , + ∞(
Recorrido (-4, + ∞(
Características de gráficas en las funciones cuadráticas
Las funciones cuadráticas tienen como representación parábolas con eje de simetría paralelo al eje Y.
Dominio. Para cualquier valor que tome x siempre existe la función.
Convexidad y Concavidad: si a > 0 es cóncava si a < 0 es convexa
Punto crítico: si a > 0 tiene un mínimo si a < 0 tiene un máximo
d. Función Polinómica de Tercer Grado o Cúbica.
La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Tiene la forma:
f: R → R / x →f(x)=ax3+bx2+cx+d; a, b, c, d ∈ R, a≠0
Ejemplo
Graficar la function, halle el dominio y el dominio de imagen
f(x)=x3--6x2+8x

8. Hallemos los puntos de corte del eje X
x3--6x2+8x=0 Factorizando
x(x2 -6x+8)=0
x(x-4)(x-2)=0
X=0, X1=2, X2=4
Dominio ) - ∞ , + ∞(
Recoorrido ) - ∞ , + ∞(
Propiedades:
 El dominio de la función es la recta real es decir (-α : α)
 El recorrido de la función es decir la imagen es la recta real.
 La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-x)=-f(x).
 La función es continua en todo su dominio.
 La función es siempre creciente.
 La función no tiene asíntotas.
 La función tiene un punto de corte con el eje Y.
 La función puede tener hasta un máximo de 3 puntos de intersección con el eje X.