Este documento explica el concepto de función inversa. Indica que una función f tiene una inversa f-1 si y solo si f es biyectiva. Detalla cómo verificar si una función es inyectiva y cómo hallar su función inversa mediante la despeje de variables. Proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.

1. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA<br />DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS<br />MATEMATICAS I<br />FABIO VALENCIA<br />FUNCION INVERSA<br />Una función f dada tiene una inversa notada f-1 si y solo si f es inyectiva o 1-1 y es sobreyectiva<br />( o también f es biyectiva).<br />Recordemos f es inyectiva si y solo si <br />Para x1,x2 ε Df donde x1≠x2 entonces se cumple que f(x1)≠f(x2) otra definición más manejable es <br />F es inyectiva si y solo si f(x1)=f(x2) entonces x1=x2<br />Ejemplo dada f(x)=x+1 demostrar si f es inyectiva<br />Solución dado f(x1)=f(x2) se tiene<br /> x1+1=x2+1 simplificanso se tiene x1=x2 , luego f(x)=x+1 es inyectiva<br />Restringimos su rango y la volvemos sobreyectiva.<br />Como f es biyectiva entonces tiene una inversa. Como hallar esa inversa ?<br />Tomamos la función dada y=x+1 y despejamos a x<br /> x=y-1 aquí cambiamos a x por y y a y por x<br />tenemos y=x-1 esta es la función inversa f-1x=x-1<br />Una manera de verificar si nuestro trabajo ha sido correcto es utilizar el resultado que dice “f-1 es la inversa de f si y solo si <br /> (f ° f-1)(x)=( f-1 ° f)x=x es decir la función identica<br />En nuestro caso f(x)= x+1 f-1x=x-1 <br />(f ° f-1)(x)=f(f-1(x))=f(x-1)=x-1+1=x<br /> f-1° fx=f-1fx=f-1x+1=x+1-1=x la función identica<br />La gráfica de y=x funciona como un espejo<br />EJEMPLO 2)Para la función f(x)=x-2 <br />a)Verificar que f es 1-1 o inyectiva<br />f(x1)=f(x2) se tiene que x1+2 =x2+2 elevando al cuadrado se tiene <br /> x1+2= x2+2 de donde <br /> x1=x2 luego f es inyectiva<br />b)Hallar la fórmula de f-1<br />Recuerde, despejamos x de y=x-2 elevamos al cuadrado y2= x-2 depejamos x<br />X=y2+2 cambiamos x por y ,y por x<br />Y=x2+2 de donde f-1x=x2+2<br />c)Dibujar en un mismo plano f y f-1<br />Y= x funciona como un espejo<br />d)Verificar que (f ° f-1)(x)=( f-1 ° f)x=x<br />(f ° f-1)(x)=f(f-1(x))=f(x2+2)=x2+2-2=x<br /> ( f-1 ° f)x=f-1fx=f-1x-2=(x-2)2+2=x-2+2=x<br />Ejercicio Para cada una de las siguientes funciones aplicar el ejemplo 2<br />a)f(x)=2x-2 +3 b)f(x)=x3+1<br />c)f(x)= (4-x2) +1 si su dominio es 0≤x<2<br />d)f(x)= (4x-x2-3) si su dominio es 1≤x≤2<br />