Este documento trata sobre derivadas implícitas, la regla de la cadena y derivadas sucesivas en cálculo diferencial. Explica cómo derivar ecuaciones que no tienen variables despejadas aplicando las fórmulas de derivación a ambos lados de la ecuación. También cubre cómo usar la regla de la cadena para derivar funciones donde las variables están en diferentes ecuaciones y cómo derivar funciones que ya han sido derivadas para obtener derivadas sucesivas de orden mayor.

1. C Á LC UL O D I FE RE NCI AL
Cuaderno de Apuntes
Aprendem@s
Sobre:
Derivadas Implícitas
Ing. Miguel Angel Carrillo Valenzuela

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Derivadas implícitas
Es aquélla que se obtiene de una ecuación que no tiene ninguna variable
despejada.
Ejemplo de una ec. implícita
x2 + y2 = 5y
Ejemplo de una ecuación explícita y = x2 + 5x
A esta ecuación no despejada se le aplican las fórmulas de la derivada tanto en
la parte izquierda como en la parte derecha de la ecuación. Al terminar de
aplicar fórmulas debe quedar dy/dx en algún lugar (puede quedar uno o varios
dy/dx).
Este término dy/dx se cambia por una m (pendiente) y se despeja para obtener
la derivada de la ecuación.
x
Ejemplo 1 Obtener la derivada de sen(y) = e x
x
d(sen(y) = d(e x)
dx
dx
Fórmula de la parte izquierda
d(Sen(v)) = Cos(v) dv
dx
dx
Fórmula de la parte derecha
v
v
d(e ) = e dv
dx
dx
Sustituyendo en ambas partes
x
cos(y) dy = e dx
dx
dx
Colocando m en lugar de dy/dx
x
cos(y) m = e
Despejando m
x .
dy = m = e
dx
cos(y)
xy
Ejemplo 2 Obtener la derivada de x y = e xy
xy
d(xy) = d(e xy)
dx
dx
d(uv) = ud(v) + vd(u)
dx
dx
dx
u=x
v=y
xy
x dy + y dx = e xy d(xy)
dx
dx
dx
xy
x dy + y dx = e xy (x dy + y dx)
dx
dx
dx
dx
Ejercicios para hacer en Casa
Despejar la m de las siguientes ecuaciones
1. exy – ln(x / y2) = Sen(x2y)
2. 5x/y – Arctg(x2y) = Csc(xy2)
xy
xm + y = e xy(xm + y)
xy
xy
xm + y = e xm + e y
xy
xy
xm – e xm = e y – y
xy
xy
m (x – e ) = e y - y
xy
m = e xyy – y
xy
x-e
v
v
d(ev) = ev d(v)
dx
dx
v=x

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Regla de la cadena
Este es un método que nos permite obtener una derivada a partir de dos
ecuaciones.
Ejemplo
1. Obtener la derivada dy / dx si tenemos como ecuaciones y = u2 u= Sen(x)
Debido a que la derivada que se pide es dy/dx y una variable (y) de ellas está en
una ecuación y la otra variable (x) está en otra ecuación, tenemos que usar la
regla de la cadena para obtener el resultado.
Primeramente se deriva una ecuación para obtener dy / du
dy = d(u2)
du
du
=
dy = 2u
du
También se deriva la otra ecuación
du = d(Sen(x))
dx
dx
=
du = Cos(x)
dx
Para obtener dy / dx se multiplican las dos derivadas anteriores y se igualan a la
multiplicación de sus resultados.
dy . du = 2u Cos(x)
du
dx
Se eliminan los du y solo queda
dy/dx =2u Cos(x)
Como se sabe que u = Sen(x)
Se sustituye para obtener el resultado final
dy/dx = 2 Sen(x) Cos(x)
Ejercicios para hacer en Casa
Obtener dy/dx y dx/dy de las siguientes problemas
1. y = esen(u)
u = Arctg(3 / x2 )
2. x = 3ln(u)
u = Ctg(3y2 )
3. y = elog(2u)
u = ln( 3 /Sen(x2 ) )

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Derivadas Sucesivas
Se llama derivadas sucesivas a aquéllas que se generan a partir de una
expresión diferencial, es decir derivar lo que ya está derivado.
Ejemplo
1. Obtener la segunda derivada de y = x3
Primera derivada
dy /dx = d (x3) / dx
empleando la fórmula d(vn) = nv n-1dv
se obtiene que dy / dx =
3x2
Segunda derivada
Ahora la expresión es 3x2 y sobre ésta se aplican fórmulas de derivación
dy2 / d2x = 3 d (x2) / dx dy2 / d2x
= 6x
Así son las derivadas sucesivas, nos permiten obtener un nuevo resultado
derivando el resultado de la derivada anterior
Ejercicios para hacer en Casa
Obtener la tercera derivada de los siguientes problemas
1. y = 3x4 – 2x3 + 5x2 – 3x – 6
2. y = Sen4 (x) – x3
3. y = e2x – ln(x3)
4. y = 3x + 3x5

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