Los teoremas de Pappus describen cómo calcular el área superficial y el volumen de un cuerpo generado por la rotación de una curva alrededor de un eje. El primer teorema establece que el área superficial es igual al producto de la longitud de la curva generatriz y la distancia recorrida por el centroide de la curva. El segundo teorema establece que el volumen es igual al producto del área generatriz y la distancia recorrida por el centroide del área. El documento proporciona ejemplos de cómo aplicar

1. Integrantes :
Benito Mamani Mamani

2.  Se usan para encontrar el área
superficial y volumen de cualquier
cuerpo en revolución. Fueron
desarrollados por pappus de
Alejandría durante el siglo IV a.C.
 Reformulados por el suizo Paul Guldin
o guldinus (1577-1643).

3. PRIMER TEOREMA DE PAPPUS.
 AREA SUPERFICIAL
Por lo tanto se establece que el área de una superficie de revolución es
igual al producto de la longitud de la curva generatriz y la distancia
viajada por el centroide de la curva al generar el área Superficial.
A
B
L
𝑨 = 𝟐𝝅 𝒓𝐋
360°
L L
𝑟
Si la curva gira solo un Angulo de 𝜃
(radianes) , entonces
Donde
A= área superficial de revolución
𝜃= Angulo de revolución , 𝜃 ≤ 2Π
𝑟= Distancia perpendicular desde el eje de
revolución hasta el centroide de
la curva generatriz
L= Longitud de la curva generatriz
𝐴 = 𝜃 𝑟𝐿

4. SEGUNDA TEOREMA DE PAPPUS.
 VOLUMEN
 Por lo tanto, se establece que el volumen de un cuerpo de
revolución es igual al producto del área generatriz la distancia
viajada por el centroide del área al generar el volumen
A
.G
𝑟
360°
V= 𝟐𝝅 𝒓𝑨
Si el área solo se gira a través de un Angulo
de 𝜃 (radianes) , entonces
Donde
V= volumen de revolución o giro
𝜃= Angulo de revolución , 𝜃 ≤ 2Π
𝑟= Distancia perpendicular desde el eje de
revolución hasta el centroide de
la curva generatriz
A= área generatriz
V= 𝜃 𝑟𝐴

5. EJEMPLO:
 Demuetre que el área superficial de una esfera es 𝐴 = 4𝜋𝑅2
y su volumen
es 𝑉 =
4
3
𝜋𝑅3
.
Area Superficial
Como el centroide se mueve atreves de un Angulo de 𝜃=2𝜋 rad para generar
al esfera.
𝐴 = 𝜃 𝑟𝐿 ; 𝐴 = 2𝜋
2𝑅
𝜋
π𝑅 = 4𝜋𝑅2
Volumen superficial
centroide del área , 𝑟 =
4𝑅
3𝜋
; 𝑉 = 𝜃 𝑟𝐴 : 𝑉 = 2𝜋
4𝑅
3𝜋
1
2
𝜋𝑅2
=
4
3
𝜋𝑅3
R
Y Y
XX
R
C C𝟐𝑹
𝝅
. . 𝟒𝑹
𝟑𝝅
Centroide de curvas planas