Este documento resume la vida y obra del matemático alemán Carl Friedrich Gauss. Explica que Gauss demostró el Teorema Fundamental de la Aritmética, el cual establece que todo número entero mayor que 1 puede descomponerse de manera única como producto de números primos, exceptuando el orden. El documento luego presenta la demostración formal de Gauss de este teorema en varios pasos.
La lógica es una herramienta importante para todo tipo de conocimiento y de actividad racional, pero también para la vida cotidiana (donde, de hecho, la usamos de manera inadvertida). En palabras de Ricardo Guibourg:
En éste video presentamos la relación de la química y la matemática a través del uso de la función logarítmica. Utilizado en el campo de la quimica cinética, en ambos la ecuación de arrhenius y para determinar el pH de una solución.
La lógica es una herramienta importante para todo tipo de conocimiento y de actividad racional, pero también para la vida cotidiana (donde, de hecho, la usamos de manera inadvertida). En palabras de Ricardo Guibourg:
En éste video presentamos la relación de la química y la matemática a través del uso de la función logarítmica. Utilizado en el campo de la quimica cinética, en ambos la ecuación de arrhenius y para determinar el pH de una solución.
Primera Unidad del Curso de Probabilidad y Estadística impartido en Universidad LaSalle Oaxaca, Ingeniería en Software y Sistemas Computacionales, con una introducción a Python.
Usamos la clásica prueba de que
p
2 es irracional para introducir el
lenguaje y los modelos de razonamiento tpicos de la logica (matematica)
y el algebra. Al mismo tiempo, esta prueba sirve como pretexto para
introducir los conceptos de la aritmetica de los numeros.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
Elites municipales y propiedades rurales: algunos ejemplos en territorio vascónJavier Andreu
Material de apoyo a la conferencia pórtico de la XIX Semana Romana de Cascante celebrada en Cascante (Navarra), el 24 de junio de 2024 en el marco del ciclo de conferencias "De re rustica. El campo y la agricultura en época romana: poblamiento, producción, consumo"
IMÁGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁClaude LaCombe
Recuerdo perfectamente la primera vez que oí hablar de las imágenes subliminales de los Testigos de Jehová. Fue en los primeros años del foro de religión “Yahoo respuestas” (que, por cierto, desapareció definitivamente el 30 de junio de 2021). El tema del debate era el “arte religioso”. Todos compartíamos nuestros puntos de vista sobre cuadros como “La Mona Lisa” o el arte apocalíptico de los adventistas, cuando repentinamente uno de los participantes dijo que en las publicaciones de los Testigos de Jehová se ocultaban imágenes subliminales demoniacas.
Lo que pasó después se halla plasmado en la presente obra.
Durante el período citado se sucedieron tres presidencias radicales a cargo de Hipólito Yrigoyen (1916-1922),
Marcelo T. de Alvear (1922-1928) y la segunda presidencia de Yrigoyen, a partir de 1928 la cual fue
interrumpida por el golpe de estado de 1930. Entre 1916 y 1922, el primer gobierno radical enfrentó el
desafío que significaba gobernar respetando las reglas del juego democrático e impulsando, al mismo
tiempo, las medidas que aseguraran la concreción de los intereses de los diferentes grupos sociales que
habían apoyado al radicalismo.
1. Johann Carl Friedrich Gauss
Matemático y Físico.
Nació el 30 de Abril de 1777, Brunswick, Sacro Imperio
Romano Germanico y fallece el 23 de Febrero de 1885 (77
años) Gotinga, Reino de Hanóver.
2. “Todo número entero distinto de ±1 o bien es un número
primo, o bien se puede escribir como ±1 por un producto de
números primos positivos. Esta descomposición es única
salvo el orden de los factores.”
Este teorema, fue enunciado por Euclides, matemático
griego, en el siglo III a.C. aunque con ciertas lagunas en su
demostración. Gauss no sólo rellenó esas lagunas sino que
generalizo el teorema para ciertas estructuras algebraicas
llamadas ideales y dominios de integridad son aquellos tales
que si un producto de sus elementos es cero entonces uno
de los factores también ha de serlo.”
3. DEMOSTRACIÓN
Basta demostrarlo para los enteros positivos:
(I) Sea a Є Ζ, a>1. Demostraremos la existencia de tal descomposición
por inducción sobre a, usando la segunda forma del principio de inducción.
(1) Si a=2, a es primo y la descomposición es válida en un solo factor.
(2) Si a>2 y supongamos que existe la descomposición en producto de
factores primos positivos para todo número natural menor que a [H.I.]
(3) Probemos que a también puede escribirse de esa manera:
- Si a es primo la propiedad se verifica;
- Si a no es primo, entonces a tiene como divisor propio y podemos
escribir: a=b.c ; con 1<b<a ; 1<c<a
Por la Hipótesis inductiva b y c se pueden expresar como productos de
factores primos positivos y por lo tanto lo mismo sucede con a.
Hemos Demostrado que tanto entero positivo distinto de ±1 puede
escribirse como producto de factores primos positivos.
4. (II) Probemos ahora que tal descomposición de a, es única, salvo el orden de
los factores:
(1) Supongamos que:
a= P1.P2. … . Pn ; a= Q1.Q2. … . Qm
Son descomposiciones de a en factores primos positivos:
Probar que: n=m y que Pi=Qi , Para todo i igual a 1, 2, …, m perteneciente a los naturales
Sea n=1 entonces a=P1 es un número primo entonces a=P1=Q1.Q2. … . Qm; por lo tanto
Q1/P1, y como P1 es primo se obtiene P1=Q1 y por lo tanto Q2.Q3. … . Qm=1
Por lo tanto, P1=Q1
(2) Sea n>1, y supongamos que la unicidad de la descomposición vale cuando el
número de factores es n-1 [H.I.]
Probar que: Vale para n
(3) Sea a= P1.P2. … . Pn=Q1.Q2. … . Qm entonces P1/Q1.Q2. … . Qm de donde
resulta por propiedad que Pi=Qi ;
5. Luego, por la ley cancelativa resulta:
P2.P3. … .Pn= Q1.Q2. … .Qm
Por hipótesis inductiva se cumple la igualdad y como P1=Q1, Resulta que
n=m y Pi=Qi para i=1,2,…,n.
Por lo tanto de (I) y (II) la propiedad queda demostrada
para todos los enteros positivos, lo cual es suficiente.
Ejemplo:
30=2.3.5 ; 55=5.11
Este teorema tiene otras aplicaciones mas importantes como es el de hallar el máximo común
múltiplo y mínimo común divisor, entre otras cosas, hasta mas importantes.