Este documento describe diferentes tipos de matrices y métodos para calcular potencias de matrices. Brevemente: 1) Una matriz idempotente satisface A2 = A, una involutiva satisface A2 = I, y una nilpotente de orden r satisface Ar = 0. 2) Los métodos incluyen inducción matemática y el binomio de Newton. 3) Para calcular An, se descompone A como I + B y se aplica el binomio de Newton.

1. Una matriz A es idempotente si:
IDEMPOTENTE
Nota: La identidad no es la única
idempotente
Es una matriz cuadrada ( tiene igual
número de filas que de columnas)
tal que su cuadrado es igual a la
INVOLUTIVA
matriz unidad, es decir: A2 = I
A es involutiva si A x A = I
Decimos que una matriz cuadrada A A es nilpotente de
es Nilpotente de orden r si y sólo si orden 3,
se verifica que , ( r es el
NILPOTENTE
menor entero positivo )
ALGORITMOS PARA EL CALCULO DE An
 INDUCCIÓN MATEMÁTICA
Calcular An,

2. El método de demostración conocido como inducción matemática, se puede
utilizar para demostrar que una cierta proposición p(n), que se refiere a los
números naturales, es cierta para cada n.
El método nos dice:
1. Demuestra que P(1) existe
2. Demuestra que P(n) es cierta, entonces P(n+1) es cierta
Así queda claro que P(n) es cierta
Para la matriz A empezamos A estas potencias las escribimos de
calculando las sucesivas potencias de otro modo:
la matriz cuadrada A:
Esto nos lleva a proponer la siguiente ecuación general:
Demostramos por inducción que es verdad:
1. Comprobemos que es cierto para cada n=2, n=3 por ejemplo.
2. Supongamos que la formula es cierta para n vamos a ver que también es cierta
para n+1

3. Por lo tanto queda demostrado por inducción que:
Ejemplo:
Sea: , encontrar Bn
Primero encontramos sus primeras potencias tales como:
HI)
TI)
Demostración:
B(k+1)=Bk*B1

4. BINOMIO DE NEWTON
Deducción de la fórmula del binomio de newton
Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá elevar a cualquier potencia de
exponente natural, n, un binomio. Esto es la forma de obtener
Para ello veamos cómo se van desarrollando las potencias de (a+b)
Y ya podemos escribir la fórmula general del llamado binomio de Newton
Que también se puede escribir de forma abreviada así:
Tenemos:

5. PASOS PARA CALCULAR An
1. Descomponer la matriz A en dos matrices conmutables de la forma A=I+B
2. Aplicar Binomio de Newton
0 0 0
3. Simplificar:
4. Sustituir matrices y operar:
Ejemplo:
Encontrar con el binomio de newton A n

6. 1.
Descomponer la matriz A en dos matrices conmutables de la forma
A=I+B
2. Aplicar Binomio de Newton
3. Simplificar:
Tenemos:
4. Sustituir matrices y operar: