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DINÁMICA
1º de Bachillerato
1.- Leyes de Newton.
2.- Primera ley de Newton. Ley de la inercia.
3.- Segunda ley de Newton. Ley fundamental de la dinámica.
4.- Tercera ley de Newton. Principio de acción y reacción.
5.- Conservación de la cantidad de movimiento.
6.- Ejemplos conservación cantidad de movimiento.
7.- Cálculo de la Normal.
8.- Recomendaciones problemas aplicaciones leyes de Newton.
9.- Estudio de algunas situaciones dinámicas:
9.1. Dinámica de cuerpos aislados.
Planos horizontales y planos inclinados.
9.2 Problemas de grúas.
9.3 Problemas de ascensores.
9.2. Dinámica de cuerpos enlazados. Cálculo de la aceleración y la
tensión. Máquina de Atwood.
Primera Ley de Newton o ley de la inercia
Segunda Ley de Newton o ley fundamental de la dinámica
Tercera Ley de Newton o principio de acción y reacción
• Si no actúa ninguna fuerza o la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es
nula, los cuerpos permanecen con velocidad (v) contante.
• Es decir, todo objeto continuará en su estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme a
menos que sea obligado a cambiar ese estado debido a fuerzas que actúan sobre él.
• Una explicación para esta ley es que establece que si la fuerza neta sobre un objeto es
cero, si el objeto está en reposo, permanecerá en reposo y si está en movimiento
permanecerá en movimiento en línea recta con velocidad constante.
• No existe ningún cuerpo que se vea libre de la acción de las fuerzas, pero, aún así, esta ley
sigue siendo válida, ya que, si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo
es nula, es lo mismo que si no actúa ninguna fuerza.
• Ningún cuerpo puede mantenerse en MRU si no es por la acción de alguna fuerza, ya que
siempre existen fuerzas de rozamiento que se oponen al movimiento y que es preciso
neutralizar.
• La aceleración producida tiene la misma dirección y el mismo sentido que la fuerza
resultante.
• Si la velocidad aumenta el sentido de los vectores aceleración y velocidad son iguales.
• Si la velocidad disminuye el sentido de los vectores aceleración y velocidad son
diferentes.
fuerza sola o aislada es una imposibilidad física. Las fuerzas actúan por parejas.
A una de ellas (cualquiera) se le llama Fuerza de Acción en tanto que a la otra se la
llama Fuerza de Reacción.
• Ambas son de igual módulo(valor numérico) y dirección, pero de sentido contrario y
diferente punto de aplicación, es decir, que actúan sobre cuerpos diferentes.
• Si actuasen sobre el mismo cuerpo, al aplicar la segunda ley se anularían y
consecuentemente no tendríamos aceleración.
• Aunque una de ellas aparece como reacción a la otra, no actúan una primero y la otra
después, sino que ambas son simultáneas.
Ejercicio: Dibuja las fuerzas de
acción y reacción de un bloque colgado
de una cuerda, salvo la de los pesos.
Solución:
- La mano tira de la cuerda con una
fuerza Fm,c y según el principio de
acción reacción, la cuerda ejercerá una
fuerza sobre la mano Fc,m en sentido
contrario.
– La cuerda tira del bloque con una
fuerza Fc,b y por reacción, el bloque
ejerce una fuerza contraria sobre la
cuerda Fb,c.
- Está dibujado el peso de la cuerda Pc.
Fm,c = Fuerza que hace la mano sobre la cuerda
Fc,m = Fuerza que hace la cuerda sobre la mano
Fc,b = Fuerza que hace la cuerda sobre el bloque
Fb,c = Fuerza que hace el bloque sobre la cuerda
• Observar que lo único que tenemos que hacemos es invertir los subíndices. Por ejemplo:
FT / b Fb / T (reacción).
Acción Reacción
Fmano / cuerda Fcuerda / mano
Fcuerda / bloque Fbloque / cuerda
Sobre la caja
N
B
P
F
Sobre la cuña
N
P
Sobre el hombre
N
C
P
H
Son las fuerzas Normales (fuerza que ejerce el suelo sobre la cuña, hombre y caja) y pesos de los cuerpos.
Es la fuerza que el hombre ejerce sobre la cuña.
Es la fuerza que la cuña ejerce sobre el hombre.
Es la fuerza que el hombre ejerce sobre la caja, y es la suma de C + f´
Es la fuerza de rozamiento entre el hombre y la cuña.
Es la fuerza de rozamiento ejercida por el suelo sobre el hombre. Es la reacción de la anterior y es la que nos hace avanzar.
Es la fuerza de rozamiento entre la caja y el suelo. Esta fuerza puede ser menor que f.
N, P
H
C
B
f
f´
F
f´f
P*
P* Es la fuerza que la caja ejerce sobre el hombre, es la reacción de B.
Sobre el bloque
x
y
N
W
N = Fuerza que el suelo ejerce sobre el
bloque (evita que el bloque se hunda).
W = Fuerza que la Tierra ejerce sobre el
bloque, (peso).
Pareja de fuerzas acción y reacción:
- W y N
Sobre el suelo
y
x
N´
W
W´
N´ = Fuerza que los ladrillos ejercen sobre el
suelo.
W´ = Fuerza que la Tierra ejerce sobre
el suelo (peso del suelo).
W = Fuerza que el bloque ejerce sobre el suelo
(peso del bloque) . Es la reacción de N.
bloque
suelo
ladrillo
Como el sistema está en reposo, las fuerzas que van hacia arriba deben de ser iguales a las que van
hacia abajo N = W ; N´ = W´ + W
• Se define como momento lineal o cantidad de movimiento de un objeto de masa m que se mueve con velocidad v, como el
producto de su masa por su velocidad. Es un vector que tiene la misma dirección y sentido que v y es por tanto también
tangente a la trayectoria.
• El teorema de conservación de la cantidad de movimiento se puede enunciar: “Si la resultante de las fuerzas exteriores
sobre un sistema es nula, la cantidad de movimiento de éste permanece constante” . Si F= 0,  a = 0  v = constante
y p = constante.
pantes =  pdespués
m1 · v1 + m2 · v2 = m1 · v1
’ + m2 · v2
’
• En el choque elástico v1
’ y v2
’ (velocidad con que salen rebotados los objetos) son distintos.
• En el choque inelástico v1
’ = v2’. (los dos objetos salen juntos, incrustado el uno en el otro).
• F, p y v son magnitudes vectoriales.
• Al ser magnitudes vectoriales, se usa un criterio de signos en los problemas, que suele ser: positivo hacia la derecha y
negativo hacia la izquierda.
• Se produce choque entre dos cuerpos cuando uno de ellos encuentra en su trayectoria a otro y se produce
un contacto físico.
• Al producirse el choque también se producen deformaciones en ambos cuerpos, éstas pueden desaparecer
de inmediato o perdurar. Si las deformaciones desaparecen rápidamente significa que se ha producido un
choque elástico, por el contrario, si permanecen se ha producido un choque inelástico o plástico.
Choque plástico o inelástico
a) Velocidades de igual dirección y sentido.
b) Velocidades de igual dirección y sentido contrario.
Choque elástico
a) Velocidades de igual sentido
b) Velocidades de distinto sentido
a) Velocidades de igual dirección y sentido. b) Velocidades de igual dirección y sentido contrario.
a) Velocidades de igual sentido. b) Velocidades de distinto sentido.
Ejemplo:Tenemos una esfera de masa m1 = 0,5 kg que tiene una velocidad V01 = 6
m/s y choca con un bloque de masa m2 = 0,3 kg que se encuentra en reposo (V02=
0), de forma que ambos cuerpos después del choque se mueven unidos con una misma
velocidad V. ¿Cuál es el valor de esta velocidad?
a) Aplicamos un criterio de signos: + hacia la derecha.
b) Aplicamos el principio de conservación del momento lineal:
c) Sustituyendo los datos: 0,5 . 6 + 0,3. 0 = 0,5 . v + 0,3. v
V= 0,5 . 6 / 0,8 = 3,75 m/s
d) Conclusión: Al salir un valor positivo significa que el conjunto se mueve hacia la derecha.
b) Como la cantidad de movimiento de un sistema aislado se conserva en cualquier colisión:
Ejemplo: Consideremos dos partículas de masas m1 = 0,7 kg y m2 = 0,4 kg respectivamente, que se
a lo largo de la misma línea recta con velocidades iniciales V1i = 10m/s y V2i = 7m/s .Las dos part
chocan de frente y se quedan unidas. Hallar la velocidad final de las partículas.
a) Aplicamos un criterio de signos : + hacia la derecha
m1 V1i - m2 V2i. = m1 VF + m2 VF
m1 V1i - m2 V2i. = (m1 + m2 ) VF VF = m1 V1i - m2 V2i. / (m1 + m2 )
0,7 . 10 – 0,4 . 7 = 0,7 . VF + 0,4 . VF
7- 2,8 = 1,1. VF VF = 3,8 m/s El conjunto se mueve hacia el lado tomado como positivo
a) Aplicando el principio de conservación de la cantidad de movimiento:
v1 v2 v1’ v2’
0,010 kg ·5 m/s + 0,2 kg · 0 = 0,010 kg ·(–2 m/s) + 0,2 kg v2’
b) Despejando v2’ obtenemos: 0,05 + 0 = - 0,02 + 0,2. v2’
0,05 + 0,02
v2’ = ————————— = 0,35 m/s
0,2
c) El valor positivo me indica que la bola se mueve hacia la derecha.
Ejemplo: Una canica de 10 g lleva una velocidad constante de 5 m/s, y golpea una bola de plástico de
200 g que está en reposo. Al chocar, la canica sale rebotada con una velocidad de 2 m/s. Calcula la
velocidad con que comienza a moverse la otra bola.
Ejemplo: Un bloque de 1,5 kg de masa se mueve sobre una superficie horizontal sin fricción con
una velocidad de 5 m/s. Este bloque choca con otro bloque de masa 2 kg que se encuentra en
reposo. Calcule: la velocidad del segundo bloque después del choque, suponiendo que el primero se
queda en reposo después del choque.
El valor positivo me indica que el bloque se mueve hacia la derecha.
Ejemplo:Una escopeta de aire comprimido dispara un tapón de corcho de masa 2g y con
rapidez de 10m/s. Si la masa de la escopeta es de 4kg, ¿con qué rapidez retrocede la
escopeta?
a) Antes del disparo tanto el arma como el proyectil están en reposo, por lo que su velocidad
es 0 y “p” antes del disparo también es igual a 0.
v1 = v2 =0
b) Aplicando el principio de conservación de la cantidad de movimiento:
p antes = p después
0 = m tapón . v tapón + m escopeta . v escopeta
v1 v2 vtapón v
0= 0,002 . 10 + 4. v v= - 0,002 /4 = - 0,003 m/s
El signo negativo indica que la escopeta se desplaza hacia la izquierda
Ejemplo:Un cañón de 1200 kg dispara proyectiles de 15 kg que salen del cañón a una
velocidad de 30 m/s. ¿Con qué velocidad retrocede el cañón?
p antes = p después
0 = . v1’ + . v
v1 v2 v1’ v
0= 15 . 30 + 1200. v ; v= - 450 /1200 = - 0,375 m/s
El signo negativo indica que el cañón se desplaza hacia la izquierda
v1 = v2 =0
a) Antes del disparo tanto el arma como el proyectil están en reposo, por lo que su velocidad es 0 y “p” antes
del disparo también es igual a 0.
b) Aplicando el principio de conservación de la cantidad de movimiento:
Ejemplo:Un proyectil de 12g que tiene una velocidad de 200 m/s choca y se queda
incrustado en un bloque de madera de 3kg que está en reposo . ¿Con qué velocidad se mueve
el conjunto?
p antes = p después
0,012 . 200 + 3 . 0 = 0,012 . v + 3 . v
v1 v2 v v
0,36 = 3,012. v ; v= 0,36/ 3,012 = 0,11 m/s
El signo positivo indica que el conjunto se desplaza hacia la derecha.
v2 =0
a) Aplicando el principio de conservación del momento lineal:
v1i v2i v1f v2f
0,7 kg ·10 m/s - 0,4 kg · 7 = 0,7 kg ·(–5 m/s) + 0,4 kg v2f
b) Despejando v2’ obtenemos: 7 – 2,8 = - 3,5 + 0,4. v2f
7,7
v2’ = ——————— = 19,25 m/s
0,4
El valor positivo me indica que la 2ª bola se mueve hacia la derecha.
Ejemplo:Consideremos dos masas = 0,7 kg y = 0,4 kg que se mueven a lo largo de la
misma línea recta con velocidades iniciales V1i = 10m/s y V2i = 7m/s. Las dos masas chocan de
frente y rebotan. La velocidad final de la primera masa es de 5m/s. ¿Cuál es la de la 2ª masa?
Para resolver problemas aplicando las leyes de Newton, se recomienda:
• Hacer el dibujo con todas las fuerzas que actúen sobre el/los cuerpo/s.
• Elegir un sistema de referencia para el eje X e Y.
• Establecer criterio de signos.
Si el sistema no se mueve: + hacia arriba y la derecha.
Si hay movimiento: + a favor del movimiento.
• Descomponer a las fuerzas en sus componentes rectangulares.
• Aplicar la primera Ley de Newton si no hay aceleración.
∑F = 0
• Aplicar la segunda Ley de Newton, haciendo la sumatoria de las componentes de las fuerzas
sobre los ejes X e Y, si existe aceleración.
∑F = m.axx maF  yy maF 
Ejemplo:Calcula el valor de todas las fuerzas que hay cuando un bloque de 200kg está
apoyado sobre una superficie horizontal.
a) Sólo hay fuerzas en el eje Y, por lo tanto: ∑Fy = 0, ya que no hay movimiento en vertical.
N= Normal (perpendicular al plano)
P = Peso (vertical hacia abajo)
b) Criterio de signos: + hacia arriba
N – P = 0 N=P
N = m . g = 200kg . 9,8 N/kg = 1960 N
P
N
Ejemplo:Una persona empuja una caja de 100 kg con una fuerza de 50N sobre una superficie
horizontal con un coeficiente de rozamiento dinámico de 0,2. Determine la aceleración de la caja.
a) En el eje “X” aplicamos 2ª ley Newton: Fr = m .a
b) En el eje “Y” no hay movimiento por lo que : : N - P =0 N = P P= m . g
c) Hallamos la fuerza de rozamiento: Fr = µ . N = µ. P = µ. mg
d) Para hallar la “a”: F – Fr = m . a ; F - µ. mg = m.a
e) Despejamos la aceleración:
100 – 0,2 . 50 . 9,8 = 100 . a
a = 2/100 = 0,02
P
N
Fr
F
Ejemplo:Sobre un baúl de 240kg apoyado en el suelo ejercemos una fuerza “F” hacia arriba que forma
un ángulo de 60º con la horizontal. Calcula el valor mínimo de F para que el baúl se separe del suelo.
a) Descomponemos la fuerza F en Fx y Fy y aplicamos
En el eje “X”: Fx= 0
En el eje “Y”: N + Fy = P Fy = F. sen α P = m . g
b) En el momento en que el baúl se separa del suelo, la fuerza normal se anula:
0 = N = P - Fy ; 0= m . g - F. sen α
c) Despejamos “F”:
F= m . g/ sen α
d) Sustituimos datos:
F = 240 kg . 9,8 N/kg /sen 60º = 2715,9 N
P
N F
Fx
Fy 
Ejemplo: Un cuerpo de masa M = 40 kg está sobre el suelo horizontal. Aplicamos al cuerpo una
fuerza de módulo F = 100 N que forma un ángulo β = 30º con la horizontal. El coeficiente dinámico de
rozamiento entre el cuerpo y el suelo es 0,10. Determina el valor de la aceleración del cuerpo.
a) Descomponemos la fuerza F en Fx y Fy:
Fy = F. sen β Fx = F. cos β
b) En el eje “X” aplicamos 2ª ley Newton: Fx – Fr = m .a
c) En el eje “Y” no hay movimiento por lo que : : N + Fy - P = 0 Fy = F. sen β P = m . g
N = P - Fy
d) Hallamos la fuerza de rozamiento: Fr = µ . N = µ. (P - Fy) = µ. (mg –F. sen β )
e) Para hallar la “a”: Fx – Fr = m . a ; F. cos β - µ. (mg –F. sen β ) = m.a
f) Despejamos la aceleración:
100. cos 30 – 0,10. (40.9,8 – 100. sen 30) = 40 . a
a = 86,6 – 34,2 /40 = 1,31 P
N F
Fx
Fy
β
Fr
Ejemplo:Una grúa levanta un cuerpo de 800 kg con aceleración de 0'5 Calcula: a) la tensión del
cable de la grúa. b) la altura que ha subido el cuerpo en 10 s. c) si subiera el cuerpo sin aceleración ¿cuál sería
la tensión del cable?
a) Aplicando la 2ª ley de Newton en el eje “Y” y despejando la tensión:
b) La altura que ha subido el cuerpo en 10 s, al llevar un MRUA:
y = + t + ½ a . t² = 1/2 . 0'5 . 100 = 25 m
c) Si no llevara aceleración, la 2ª ley de Newton quedaría:
T = P = m . g = 800 kg . 9,8 7840 N P
Ejemplo: Una grúa mantiene colgado un contenedor de 1400 Kg. Determina la tensión del cable de la
grúa en los siguientes casos: a) Sube el contenedor con una aceleración constante de 1,2 . b) Lo baja con
la misma aceleración. c) El contenedor se mantiene colgado pero en reposo. d) Sube el contenedor con
velocidad constante de 1 m/s.
a) Aplicando la 2ª ley de Newton en el eje “Y” y despejando la tensión:
b) Como las fuerzas a favor del movimiento son positivas, según nuestro convenio de signos:
c) Si no llevara aceleración, la 2ª ley de Newton quedaría:
T = P = m . g = 14800 kg . 9,8 0 N
d) Si la velocidad es constante, la 2ª ley de Newton quedaría:
T = P = m . g = 14800 kg . 9,8 0 N
Hay varias formas de resolverlos . En todas ellas he de tener en cuenta si el movimiento es
acelerado o de frenado. Si es acelerado, el sentido y/o signo de la aceleración y velocidad es el
mismo. Si es retardado, el sentido y/o signo de estas dos magnitudes son diferentes.
Algunas de estas formas son:
a) Con criterios de signos para las fuerzas. Pueden ser:
a1) Fuerzas a favor del movimiento son positivas y en contra son negativas. Si uso este criterio,
he de tener en cuenta, además del anterior, si el ascensor sube o baja.
a2) Fuerzas que van hacia arriba son positivas y hacia abajo son negativas. Con este criterio,
los signos de las fuerzas son independientes de si el ascensor sube o baja.
b) Fijándonos en el sentido de la aceleración, para luego ver el sentido (signo) de la fuerza
resultante y decidir que fuerza es mayor. Implica:
b1) Si la aceleración va hacia arriba: El ascensor sube acelerando o baja frenando.
b2) Si la aceleración va hacia abajo: El ascensor baja acelerando o sube frenando.
En ellos, hay que tener en cuenta diferentes casos. En los dibujos vienen representados los sentidos de la
velocidad y aceleración en cada uno de ellos. Serán + o – dependiendo del convenio de signos elegido:
a) Cuerpo apoyado en el suelo del ascensor. N = Normal
b) Ascensor en reposo o en movimiento con velocidad constante. P = Peso
c) Ascensor que sube acelerando o baja frenando con aceleración constante “a”. R = Resultante
d) Ascensor que baja acelerando o sube frenando con aceleración constante.
Casos a y b Caso c Caso d
Fijándonos en el sentido de la aceleración, tenemos los siguientes resultados de la normal al aplicar la 2ª
ley de Newton:
a) Ascensor en reposo o en movimiento con velocidad constante.
b) Ascensor que sube acelerando o baja frenando (aceleración hacia arriba). Si la aceleración va para
arriba, la resultante también, por lo que N tiene que ser mayor que P.
c) Ascensor que baja acelerando o sube frenando (aceleración hacia abajo). Si la aceleración va para
abajo, la resultante también, por lo que P tiene que ser mayor que N.
Utilizando un convenio de signos, que será: positivo si van hacia arriba y negativo si van hacia
abajo, aplicamos la 2ª ley de Newton y nos fijamos en si el movimiento es acelerado o retardado (si
es acelerado, los signos de la aceleración y la velocidad son iguales; si es retardado, son
diferentes). Los resultados serían en cada caso:
a) Ascensor en reposo o en movimiento con velocidad constante.
b) Ascensor que sube con movimiento acelerado
c) Ascensor que sube con movimiento retardado.
En el caso c):
Fn – P = m. (-a)
Fn = P - m.a = m.g - m.a = m (g - a)
Fn = m (g - a)
Utilizando un convenio de signos, que será: positivas si van hacia arriba y negativas si van hacia
abajo, aplicamos la 2ª ley de Newton y nos fijamos en si el movimiento es acelerado o retardado (si
es acelerado, los signos de la aceleración y la velocidad son iguales; si es retardado, son diferentes),
tendremos en cada caso:
a) Ascensor que baja con movimiento acelerado
b) Ascensor que baja con movimiento retardado.
a)
b)
e) En el caso de que haya una báscula en el interior del ascensor:
La báscula no mide el peso de la persona. El peso de una persona es la fuerza con que
la Tierra la atrae. Cuando una persona está sobre una báscula, ésta ejerce sobre ella
una fuerza normal N hacia arriba y, a su vez, la persona ejerce sobre la báscula una
fuerza igual, N’, hacia abajo, que es la que hace marcar a la báscula.
Lo que mide la báscula es la fuerza de contacto con la persona: N’. Sobre la persona
actúan dos fuerzas: el peso y la normal( fuerza que ejerce la báscula sobre la persona.
Esta normal es igual a la que hace la persona sobre la báscula (N’) (acción y reacción),
que es lo que me pide el problema y hace marcar a la báscula .
f) En todos los casos se aplica la 2ª ley de Newton en el eje “Y”:
g)
Ejemplo: Un ascensor, que transporta un pasajero de masa m = 72 kg, se mueve con
una velocidad constante, y al arrancar o detenerse lo hace con una aceleración de 1'8 .
Calcula la fuerza que ejerce el suelo del ascensor sobre el pasajero, en los siguientes casos:
a) El ascensor está parado. b) El ascensor arranca para subir. c) El ascensor arranca para
bajar. d) El ascensor se mueve con velocidad constante. e) El ascensor frena y se detiene en
la subida.
a) Aplicando la 2ª ley de Newton y al estar parado, la a = 0, por lo que :
b)
c)
d)
e) Igual que en el caso c) . N =
Ejemplo: Un hombre de 70 kg se encuentra sobre una báscula dentro de un ascensor. Con el ascensor
parado la báscula marca 700 N . Calcular cuánto marcará si: a) El ascensor sube con velocidad de 5 m/s. b) El
ascensor sube con una aceleración de 2 . c) El ascensor baja con una aceleración de 2 . d) La cuerda
del ascensor se parte y este cae en caída libre.
a) Aplicando la 2ª ley de Newton y al ser la v= cte, la a = 0, por lo que :
b)
c)
d)
Ejemplo:
a) Aplicando la 2ª ley de Newton y al ser la v= 0, la a = 0, por lo que :
b)
c)
d)
e)
Ejemplo:
a) : Px = m .a
b)
Px= P. sen β = ; N = Py = P. cos β = m.g. cos β
c)
d) Despejando la aceleración:
P
Py
Px
β
β
N
Ejemplo:
a) Aplicamos 2ª ley Newton: Px – Fr = m . a
b) Descomponemos el peso:
Px= P. sen β = m.g sen 30 ; N = Py = P. cos β = m.g. cos β
c) Calculamos la Fuerza de rozamiento y sustituimos en la ecuación de Newton:
Fr= µ. N = µ. m. g. cos β
µ. m. g. cos 30 = m.a
d) Despejando la aceleración:
µ. g. cos 30 = a
a= 9,8 . sen 30 – 0,5. 9,8. cos 30 = 2,8
2,8
P
Py
Px
β
β
N
Fr
Ejemplo:
a) : Px + F = m .a
b)
Px = P. sen β = m.g sen 30 ; N = Py = P. cos β = m.g. cos β
c)
-
d) Despejando la fuerza:
P
Py
Px
β
β
N
F
Ejemplo:
a) : Px - Fr + F = m .a
b)
Px= P. sen β = m.g sen 30 ; N = Py= P. cos β = m.g. cos β
c)
- m.g sen 30 - µ. m. g. cos 30 + F = m.a
d) Despejando la fuerza:
P
Py
Px
β
β
N
F
Fr
Ejemplo:
β
a) : Px + F = m . a
b)
Px = P. sen β = mg sen β = m.g sen 30 ; N = Py = P. cos β = m.g. cos β
c)
d) :
P
Py
Px
β
β
N
F
Ejemplo:
β
a) : Px + F - Fr = m . a
b)
Px= P. sen β= mg sen β= m.g sen 30 ; N = Py = P. cos β = m.g. cos β
c)
d)
β
e)
β
P
Py
Px
β
β
N
Fr
F
Ejemplo:
a) : Px + = m . a
Fy + Py = F sen 30 + mg cos 30
b)
Px = P. sen β= mg sen 30 = 19,6 N
Py = P. cos β = mg cos 30 = 33,94N
β= F.cos 30 ; Fy = β = F sen 30
c)
-
d)
= (19,6 + 7,2)/ 0,86 = 26,8/0,86 = 31,16 N
31,16 N
P
Py
Px
β
β
N
Fx
F
Fy
β
β
Ejemplo:
a) : Px - Fr + = m . a
Fy + Py = F sen 30 + mg cos 30
b)
Px = P. sen β= mg sen 30 = 19,6 N Py = P. cos β = mg cos 30 = 33,94N
β= F.cos 30 Fy = β = F sen 30
c)
Fr = N = Fy + Py) = F sen 30 + mg cos 30) ;
- F sen 30 - mg cos 30)
d) Despejando la fuerza y sustituyendo valores:
( m. g sen 30 mg cos 30 cos30 sen 30) = (19,6 + 6,78 + 7,2)/ 0,76 = 33,58/0,76 = 44,18 N
F = 44,18N
P
Py
Px
β
β
N
Fx
Fr
F
Fy
β
β
Para estudiar sistemas de cuerpos unidos por cuerdas o similares
que consideramos sin masa e inextensibles, seguimos estos pasos:
a) Representamos las fuerzas que actúan sobre el sistema.
b) Escogemos un sentido del movimiento como el positivo y
aplicamos la ley fundamental de la dinámica a cada uno de los
cuerpos del sistema, obteniéndose una ecuación para cada uno con
igual aceleración.
c) Al sumar las ecuaciones miembro a miembro deben desaparecer
las tensiones.
d) Tenemos en cuenta únicamente las fuerzas que tienen la
dirección del movimiento, pues las perpendiculares se anulan
(P1 = N).
e) La acción que ejerce un cuerpo sobre otro se traduce en la
tensión de la cuerda que los enlaza, que es igual y de sentido
contrario a la reacción del segundo sobre el primero.
f) Suponemos que las cuerdas son inextensibles y sin masa, lo mismo
que las poleas.
P1
P2
T
T
N
a)
T T
b)
c)
d)
– T = .a
Cuerpo 2: T – = .a
Sumando, las tensiones son iguales y se anulan:
- = ( + ). a
Despejando la aceleración.: a= ( - ) g/ ( + )
e) Para calcular la Tensión, despejamos en cualquiera de ella:
T = T = .a + = .a + .g = (a + g)
Ejemplo:
a)
T = . a
Cuerpo 2: – T = . a
b) Sumando, las tensiones se anulan al ser iguales :
- = ( + ) . a
c) Despejando la aceleración:
( - ) ( - ) ( - ) . g 2 . 9,8
3,26
( + ) ( + ) ( + ) 6
3,26
d) Para calcular la Tensión, despejamos en cualquiera de ella:
T = - . a = g - . a = (a + g) = 4(3,26 + 9,8) = 52,26 N
Ejemplo: Dos bloques de masas = 4 kg y = 2 kg están unidos mediante una cuerda, según la figura.
De ellos se tira con una fuerza F = 36 N. Si los bloques se desplazan sin rozamiento, se pide calcular: a) La
aceleración del sistema. b) La tensión de la cuerda que los une.
a) Aplicamos 2ª ley de Newton a todo el conjunto:
; F = M . a
b)
Ejemplo: Dos bloques de masas = 6 kg y = 3 kg están unidos mediante una cuerda, según la
figura. De ellos se tira con una fuerza F = 20 N. Si los bloques se desplazan sin rozamiento, se pide
calcular: a) La aceleración del sistema. b) La tensión de la cuerda que los une.
a) Aplicamos 2ª ley de Newton a cada cuerpo :
). a ; ; F = M . a
La aceleración se determina mediante:
b) Sustituimos valores para hallar la tensión: T=
F
F
m1
m2 m3
Ejemplo: Una locomotora de 50000 kg arrastra dos vagones de masas = 30000 kg y = 25000 kg
respectivamente. Si la locomotora ejerce una fuerza de tracción F = 62000 N y no hay rozamiento, se pide
calcular: a) La aceleración del sistema. b) La tensión que se ejerce sobre cada vagón.
a) Aplicamos 2ª ley de Newton a cada vagón:
T T T F T
b)
T T
T T T
Ejemplo: Los bloques = 4 kg y = 6 kg de la figura se apoyan sobre una superficie horizontal, sin
rozamiento. La fuerza F = 30 N empuja al conjunto de los 2 bloques. Calcular: a) La aceleración del sistema. b)
Las fuerzas de acción t reacción entre los bloques.
a) Aplicamos 2ª ley de Newton :
b)
F T T
T T
a)
T
P T T
———————————————————————————
b)
P ) a ) a
c)
Ejemplo
a)
b)
T T T
P T T
———————————————————————————
c) T T
P ) a ) a
d) T
T
Fr
1
m2
Ejemplo
Ejemplo
a)
Px = P. sen β= g sen 30 = 6. 9,8. sen 30= 29,4 N ; Py = P. cos β = g cos 30 = 6. 9,8. cos 30 = 50,92 N
b)
Px T Px T
P T T
———————————————————————————
c) T T
- P Px ) a ; - Px ) a
29,4 N
29,4 N
d) T
T
1
P1
P2
TN
Py
Px
β
T2
Ejemplo
a)
Px = P. sen β= g sen 30 = 6. 9,8. sen 30= 29,4 N ; Py = P. cos β = g cos 30 = 6. 9,8. cos 30 = 50,92 N
b)
Px T Px T Py
P T T
———————————————————————————
c) T T
- P Px ) a ; - Py Px ) a
29,4 N
29,4 N
d) T
T
1
P1
P2
TN
Py
Px
β
Fr
T2
Ejemplo
a)
T T T
T
T
b) T T
c) T
Ejemplo
a) T T
T
b)
c)
T T
http://www.monografias.com/trabajos81/vibraciones-mecanicas/vibraciones-mecanicas2.shtml
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/examenes/solido/solido.htm
https://vecinadelpicasso.files.wordpress.com/2017/04/prob-resueltos-dinamica-en-blog.pdf
https://pt.slideshare.net/Gilberto_3/dinmica-30462812
http://fisicamoderna.blog.uol.com.br/arch2006-04-02_2006-04-08.html

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Leyes de Newton y dinámica de cuerpos

  • 2. 1.- Leyes de Newton. 2.- Primera ley de Newton. Ley de la inercia. 3.- Segunda ley de Newton. Ley fundamental de la dinámica. 4.- Tercera ley de Newton. Principio de acción y reacción. 5.- Conservación de la cantidad de movimiento. 6.- Ejemplos conservación cantidad de movimiento. 7.- Cálculo de la Normal. 8.- Recomendaciones problemas aplicaciones leyes de Newton. 9.- Estudio de algunas situaciones dinámicas: 9.1. Dinámica de cuerpos aislados. Planos horizontales y planos inclinados. 9.2 Problemas de grúas. 9.3 Problemas de ascensores. 9.2. Dinámica de cuerpos enlazados. Cálculo de la aceleración y la tensión. Máquina de Atwood.
  • 3. Primera Ley de Newton o ley de la inercia Segunda Ley de Newton o ley fundamental de la dinámica Tercera Ley de Newton o principio de acción y reacción
  • 4. • Si no actúa ninguna fuerza o la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es nula, los cuerpos permanecen con velocidad (v) contante. • Es decir, todo objeto continuará en su estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme a menos que sea obligado a cambiar ese estado debido a fuerzas que actúan sobre él. • Una explicación para esta ley es que establece que si la fuerza neta sobre un objeto es cero, si el objeto está en reposo, permanecerá en reposo y si está en movimiento permanecerá en movimiento en línea recta con velocidad constante. • No existe ningún cuerpo que se vea libre de la acción de las fuerzas, pero, aún así, esta ley sigue siendo válida, ya que, si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es nula, es lo mismo que si no actúa ninguna fuerza. • Ningún cuerpo puede mantenerse en MRU si no es por la acción de alguna fuerza, ya que siempre existen fuerzas de rozamiento que se oponen al movimiento y que es preciso neutralizar.
  • 5. • La aceleración producida tiene la misma dirección y el mismo sentido que la fuerza resultante. • Si la velocidad aumenta el sentido de los vectores aceleración y velocidad son iguales. • Si la velocidad disminuye el sentido de los vectores aceleración y velocidad son diferentes.
  • 6. fuerza sola o aislada es una imposibilidad física. Las fuerzas actúan por parejas. A una de ellas (cualquiera) se le llama Fuerza de Acción en tanto que a la otra se la llama Fuerza de Reacción. • Ambas son de igual módulo(valor numérico) y dirección, pero de sentido contrario y diferente punto de aplicación, es decir, que actúan sobre cuerpos diferentes. • Si actuasen sobre el mismo cuerpo, al aplicar la segunda ley se anularían y consecuentemente no tendríamos aceleración. • Aunque una de ellas aparece como reacción a la otra, no actúan una primero y la otra después, sino que ambas son simultáneas.
  • 7. Ejercicio: Dibuja las fuerzas de acción y reacción de un bloque colgado de una cuerda, salvo la de los pesos. Solución: - La mano tira de la cuerda con una fuerza Fm,c y según el principio de acción reacción, la cuerda ejercerá una fuerza sobre la mano Fc,m en sentido contrario. – La cuerda tira del bloque con una fuerza Fc,b y por reacción, el bloque ejerce una fuerza contraria sobre la cuerda Fb,c. - Está dibujado el peso de la cuerda Pc.
  • 8. Fm,c = Fuerza que hace la mano sobre la cuerda Fc,m = Fuerza que hace la cuerda sobre la mano Fc,b = Fuerza que hace la cuerda sobre el bloque Fb,c = Fuerza que hace el bloque sobre la cuerda • Observar que lo único que tenemos que hacemos es invertir los subíndices. Por ejemplo: FT / b Fb / T (reacción). Acción Reacción Fmano / cuerda Fcuerda / mano Fcuerda / bloque Fbloque / cuerda
  • 9. Sobre la caja N B P F Sobre la cuña N P Sobre el hombre N C P H Son las fuerzas Normales (fuerza que ejerce el suelo sobre la cuña, hombre y caja) y pesos de los cuerpos. Es la fuerza que el hombre ejerce sobre la cuña. Es la fuerza que la cuña ejerce sobre el hombre. Es la fuerza que el hombre ejerce sobre la caja, y es la suma de C + f´ Es la fuerza de rozamiento entre el hombre y la cuña. Es la fuerza de rozamiento ejercida por el suelo sobre el hombre. Es la reacción de la anterior y es la que nos hace avanzar. Es la fuerza de rozamiento entre la caja y el suelo. Esta fuerza puede ser menor que f. N, P H C B f f´ F f´f P* P* Es la fuerza que la caja ejerce sobre el hombre, es la reacción de B.
  • 10. Sobre el bloque x y N W N = Fuerza que el suelo ejerce sobre el bloque (evita que el bloque se hunda). W = Fuerza que la Tierra ejerce sobre el bloque, (peso). Pareja de fuerzas acción y reacción: - W y N Sobre el suelo y x N´ W W´ N´ = Fuerza que los ladrillos ejercen sobre el suelo. W´ = Fuerza que la Tierra ejerce sobre el suelo (peso del suelo). W = Fuerza que el bloque ejerce sobre el suelo (peso del bloque) . Es la reacción de N. bloque suelo ladrillo Como el sistema está en reposo, las fuerzas que van hacia arriba deben de ser iguales a las que van hacia abajo N = W ; N´ = W´ + W
  • 11. • Se define como momento lineal o cantidad de movimiento de un objeto de masa m que se mueve con velocidad v, como el producto de su masa por su velocidad. Es un vector que tiene la misma dirección y sentido que v y es por tanto también tangente a la trayectoria. • El teorema de conservación de la cantidad de movimiento se puede enunciar: “Si la resultante de las fuerzas exteriores sobre un sistema es nula, la cantidad de movimiento de éste permanece constante” . Si F= 0,  a = 0  v = constante y p = constante. pantes =  pdespués m1 · v1 + m2 · v2 = m1 · v1 ’ + m2 · v2 ’ • En el choque elástico v1 ’ y v2 ’ (velocidad con que salen rebotados los objetos) son distintos. • En el choque inelástico v1 ’ = v2’. (los dos objetos salen juntos, incrustado el uno en el otro). • F, p y v son magnitudes vectoriales. • Al ser magnitudes vectoriales, se usa un criterio de signos en los problemas, que suele ser: positivo hacia la derecha y negativo hacia la izquierda.
  • 12. • Se produce choque entre dos cuerpos cuando uno de ellos encuentra en su trayectoria a otro y se produce un contacto físico. • Al producirse el choque también se producen deformaciones en ambos cuerpos, éstas pueden desaparecer de inmediato o perdurar. Si las deformaciones desaparecen rápidamente significa que se ha producido un choque elástico, por el contrario, si permanecen se ha producido un choque inelástico o plástico. Choque plástico o inelástico a) Velocidades de igual dirección y sentido. b) Velocidades de igual dirección y sentido contrario. Choque elástico a) Velocidades de igual sentido b) Velocidades de distinto sentido
  • 13. a) Velocidades de igual dirección y sentido. b) Velocidades de igual dirección y sentido contrario.
  • 14. a) Velocidades de igual sentido. b) Velocidades de distinto sentido.
  • 15. Ejemplo:Tenemos una esfera de masa m1 = 0,5 kg que tiene una velocidad V01 = 6 m/s y choca con un bloque de masa m2 = 0,3 kg que se encuentra en reposo (V02= 0), de forma que ambos cuerpos después del choque se mueven unidos con una misma velocidad V. ¿Cuál es el valor de esta velocidad? a) Aplicamos un criterio de signos: + hacia la derecha. b) Aplicamos el principio de conservación del momento lineal: c) Sustituyendo los datos: 0,5 . 6 + 0,3. 0 = 0,5 . v + 0,3. v V= 0,5 . 6 / 0,8 = 3,75 m/s d) Conclusión: Al salir un valor positivo significa que el conjunto se mueve hacia la derecha.
  • 16. b) Como la cantidad de movimiento de un sistema aislado se conserva en cualquier colisión: Ejemplo: Consideremos dos partículas de masas m1 = 0,7 kg y m2 = 0,4 kg respectivamente, que se a lo largo de la misma línea recta con velocidades iniciales V1i = 10m/s y V2i = 7m/s .Las dos part chocan de frente y se quedan unidas. Hallar la velocidad final de las partículas. a) Aplicamos un criterio de signos : + hacia la derecha m1 V1i - m2 V2i. = m1 VF + m2 VF m1 V1i - m2 V2i. = (m1 + m2 ) VF VF = m1 V1i - m2 V2i. / (m1 + m2 ) 0,7 . 10 – 0,4 . 7 = 0,7 . VF + 0,4 . VF 7- 2,8 = 1,1. VF VF = 3,8 m/s El conjunto se mueve hacia el lado tomado como positivo
  • 17. a) Aplicando el principio de conservación de la cantidad de movimiento: v1 v2 v1’ v2’ 0,010 kg ·5 m/s + 0,2 kg · 0 = 0,010 kg ·(–2 m/s) + 0,2 kg v2’ b) Despejando v2’ obtenemos: 0,05 + 0 = - 0,02 + 0,2. v2’ 0,05 + 0,02 v2’ = ————————— = 0,35 m/s 0,2 c) El valor positivo me indica que la bola se mueve hacia la derecha. Ejemplo: Una canica de 10 g lleva una velocidad constante de 5 m/s, y golpea una bola de plástico de 200 g que está en reposo. Al chocar, la canica sale rebotada con una velocidad de 2 m/s. Calcula la velocidad con que comienza a moverse la otra bola.
  • 18. Ejemplo: Un bloque de 1,5 kg de masa se mueve sobre una superficie horizontal sin fricción con una velocidad de 5 m/s. Este bloque choca con otro bloque de masa 2 kg que se encuentra en reposo. Calcule: la velocidad del segundo bloque después del choque, suponiendo que el primero se queda en reposo después del choque. El valor positivo me indica que el bloque se mueve hacia la derecha.
  • 19. Ejemplo:Una escopeta de aire comprimido dispara un tapón de corcho de masa 2g y con rapidez de 10m/s. Si la masa de la escopeta es de 4kg, ¿con qué rapidez retrocede la escopeta? a) Antes del disparo tanto el arma como el proyectil están en reposo, por lo que su velocidad es 0 y “p” antes del disparo también es igual a 0. v1 = v2 =0 b) Aplicando el principio de conservación de la cantidad de movimiento: p antes = p después 0 = m tapón . v tapón + m escopeta . v escopeta v1 v2 vtapón v 0= 0,002 . 10 + 4. v v= - 0,002 /4 = - 0,003 m/s El signo negativo indica que la escopeta se desplaza hacia la izquierda
  • 20. Ejemplo:Un cañón de 1200 kg dispara proyectiles de 15 kg que salen del cañón a una velocidad de 30 m/s. ¿Con qué velocidad retrocede el cañón? p antes = p después 0 = . v1’ + . v v1 v2 v1’ v 0= 15 . 30 + 1200. v ; v= - 450 /1200 = - 0,375 m/s El signo negativo indica que el cañón se desplaza hacia la izquierda v1 = v2 =0 a) Antes del disparo tanto el arma como el proyectil están en reposo, por lo que su velocidad es 0 y “p” antes del disparo también es igual a 0. b) Aplicando el principio de conservación de la cantidad de movimiento:
  • 21. Ejemplo:Un proyectil de 12g que tiene una velocidad de 200 m/s choca y se queda incrustado en un bloque de madera de 3kg que está en reposo . ¿Con qué velocidad se mueve el conjunto? p antes = p después 0,012 . 200 + 3 . 0 = 0,012 . v + 3 . v v1 v2 v v 0,36 = 3,012. v ; v= 0,36/ 3,012 = 0,11 m/s El signo positivo indica que el conjunto se desplaza hacia la derecha. v2 =0
  • 22. a) Aplicando el principio de conservación del momento lineal: v1i v2i v1f v2f 0,7 kg ·10 m/s - 0,4 kg · 7 = 0,7 kg ·(–5 m/s) + 0,4 kg v2f b) Despejando v2’ obtenemos: 7 – 2,8 = - 3,5 + 0,4. v2f 7,7 v2’ = ——————— = 19,25 m/s 0,4 El valor positivo me indica que la 2ª bola se mueve hacia la derecha. Ejemplo:Consideremos dos masas = 0,7 kg y = 0,4 kg que se mueven a lo largo de la misma línea recta con velocidades iniciales V1i = 10m/s y V2i = 7m/s. Las dos masas chocan de frente y rebotan. La velocidad final de la primera masa es de 5m/s. ¿Cuál es la de la 2ª masa?
  • 23.
  • 24.
  • 25.
  • 26. Para resolver problemas aplicando las leyes de Newton, se recomienda: • Hacer el dibujo con todas las fuerzas que actúen sobre el/los cuerpo/s. • Elegir un sistema de referencia para el eje X e Y. • Establecer criterio de signos. Si el sistema no se mueve: + hacia arriba y la derecha. Si hay movimiento: + a favor del movimiento. • Descomponer a las fuerzas en sus componentes rectangulares. • Aplicar la primera Ley de Newton si no hay aceleración. ∑F = 0 • Aplicar la segunda Ley de Newton, haciendo la sumatoria de las componentes de las fuerzas sobre los ejes X e Y, si existe aceleración. ∑F = m.axx maF  yy maF 
  • 27. Ejemplo:Calcula el valor de todas las fuerzas que hay cuando un bloque de 200kg está apoyado sobre una superficie horizontal. a) Sólo hay fuerzas en el eje Y, por lo tanto: ∑Fy = 0, ya que no hay movimiento en vertical. N= Normal (perpendicular al plano) P = Peso (vertical hacia abajo) b) Criterio de signos: + hacia arriba N – P = 0 N=P N = m . g = 200kg . 9,8 N/kg = 1960 N P N
  • 28. Ejemplo:Una persona empuja una caja de 100 kg con una fuerza de 50N sobre una superficie horizontal con un coeficiente de rozamiento dinámico de 0,2. Determine la aceleración de la caja. a) En el eje “X” aplicamos 2ª ley Newton: Fr = m .a b) En el eje “Y” no hay movimiento por lo que : : N - P =0 N = P P= m . g c) Hallamos la fuerza de rozamiento: Fr = µ . N = µ. P = µ. mg d) Para hallar la “a”: F – Fr = m . a ; F - µ. mg = m.a e) Despejamos la aceleración: 100 – 0,2 . 50 . 9,8 = 100 . a a = 2/100 = 0,02 P N Fr F
  • 29. Ejemplo:Sobre un baúl de 240kg apoyado en el suelo ejercemos una fuerza “F” hacia arriba que forma un ángulo de 60º con la horizontal. Calcula el valor mínimo de F para que el baúl se separe del suelo. a) Descomponemos la fuerza F en Fx y Fy y aplicamos En el eje “X”: Fx= 0 En el eje “Y”: N + Fy = P Fy = F. sen α P = m . g b) En el momento en que el baúl se separa del suelo, la fuerza normal se anula: 0 = N = P - Fy ; 0= m . g - F. sen α c) Despejamos “F”: F= m . g/ sen α d) Sustituimos datos: F = 240 kg . 9,8 N/kg /sen 60º = 2715,9 N P N F Fx Fy 
  • 30. Ejemplo: Un cuerpo de masa M = 40 kg está sobre el suelo horizontal. Aplicamos al cuerpo una fuerza de módulo F = 100 N que forma un ángulo β = 30º con la horizontal. El coeficiente dinámico de rozamiento entre el cuerpo y el suelo es 0,10. Determina el valor de la aceleración del cuerpo. a) Descomponemos la fuerza F en Fx y Fy: Fy = F. sen β Fx = F. cos β b) En el eje “X” aplicamos 2ª ley Newton: Fx – Fr = m .a c) En el eje “Y” no hay movimiento por lo que : : N + Fy - P = 0 Fy = F. sen β P = m . g N = P - Fy d) Hallamos la fuerza de rozamiento: Fr = µ . N = µ. (P - Fy) = µ. (mg –F. sen β ) e) Para hallar la “a”: Fx – Fr = m . a ; F. cos β - µ. (mg –F. sen β ) = m.a f) Despejamos la aceleración: 100. cos 30 – 0,10. (40.9,8 – 100. sen 30) = 40 . a a = 86,6 – 34,2 /40 = 1,31 P N F Fx Fy β Fr
  • 31. Ejemplo:Una grúa levanta un cuerpo de 800 kg con aceleración de 0'5 Calcula: a) la tensión del cable de la grúa. b) la altura que ha subido el cuerpo en 10 s. c) si subiera el cuerpo sin aceleración ¿cuál sería la tensión del cable? a) Aplicando la 2ª ley de Newton en el eje “Y” y despejando la tensión: b) La altura que ha subido el cuerpo en 10 s, al llevar un MRUA: y = + t + ½ a . t² = 1/2 . 0'5 . 100 = 25 m c) Si no llevara aceleración, la 2ª ley de Newton quedaría: T = P = m . g = 800 kg . 9,8 7840 N P
  • 32. Ejemplo: Una grúa mantiene colgado un contenedor de 1400 Kg. Determina la tensión del cable de la grúa en los siguientes casos: a) Sube el contenedor con una aceleración constante de 1,2 . b) Lo baja con la misma aceleración. c) El contenedor se mantiene colgado pero en reposo. d) Sube el contenedor con velocidad constante de 1 m/s. a) Aplicando la 2ª ley de Newton en el eje “Y” y despejando la tensión: b) Como las fuerzas a favor del movimiento son positivas, según nuestro convenio de signos: c) Si no llevara aceleración, la 2ª ley de Newton quedaría: T = P = m . g = 14800 kg . 9,8 0 N d) Si la velocidad es constante, la 2ª ley de Newton quedaría: T = P = m . g = 14800 kg . 9,8 0 N
  • 33. Hay varias formas de resolverlos . En todas ellas he de tener en cuenta si el movimiento es acelerado o de frenado. Si es acelerado, el sentido y/o signo de la aceleración y velocidad es el mismo. Si es retardado, el sentido y/o signo de estas dos magnitudes son diferentes. Algunas de estas formas son: a) Con criterios de signos para las fuerzas. Pueden ser: a1) Fuerzas a favor del movimiento son positivas y en contra son negativas. Si uso este criterio, he de tener en cuenta, además del anterior, si el ascensor sube o baja. a2) Fuerzas que van hacia arriba son positivas y hacia abajo son negativas. Con este criterio, los signos de las fuerzas son independientes de si el ascensor sube o baja. b) Fijándonos en el sentido de la aceleración, para luego ver el sentido (signo) de la fuerza resultante y decidir que fuerza es mayor. Implica: b1) Si la aceleración va hacia arriba: El ascensor sube acelerando o baja frenando. b2) Si la aceleración va hacia abajo: El ascensor baja acelerando o sube frenando.
  • 34. En ellos, hay que tener en cuenta diferentes casos. En los dibujos vienen representados los sentidos de la velocidad y aceleración en cada uno de ellos. Serán + o – dependiendo del convenio de signos elegido: a) Cuerpo apoyado en el suelo del ascensor. N = Normal b) Ascensor en reposo o en movimiento con velocidad constante. P = Peso c) Ascensor que sube acelerando o baja frenando con aceleración constante “a”. R = Resultante d) Ascensor que baja acelerando o sube frenando con aceleración constante. Casos a y b Caso c Caso d
  • 35. Fijándonos en el sentido de la aceleración, tenemos los siguientes resultados de la normal al aplicar la 2ª ley de Newton: a) Ascensor en reposo o en movimiento con velocidad constante. b) Ascensor que sube acelerando o baja frenando (aceleración hacia arriba). Si la aceleración va para arriba, la resultante también, por lo que N tiene que ser mayor que P. c) Ascensor que baja acelerando o sube frenando (aceleración hacia abajo). Si la aceleración va para abajo, la resultante también, por lo que P tiene que ser mayor que N.
  • 36. Utilizando un convenio de signos, que será: positivo si van hacia arriba y negativo si van hacia abajo, aplicamos la 2ª ley de Newton y nos fijamos en si el movimiento es acelerado o retardado (si es acelerado, los signos de la aceleración y la velocidad son iguales; si es retardado, son diferentes). Los resultados serían en cada caso: a) Ascensor en reposo o en movimiento con velocidad constante. b) Ascensor que sube con movimiento acelerado c) Ascensor que sube con movimiento retardado. En el caso c): Fn – P = m. (-a) Fn = P - m.a = m.g - m.a = m (g - a) Fn = m (g - a)
  • 37. Utilizando un convenio de signos, que será: positivas si van hacia arriba y negativas si van hacia abajo, aplicamos la 2ª ley de Newton y nos fijamos en si el movimiento es acelerado o retardado (si es acelerado, los signos de la aceleración y la velocidad son iguales; si es retardado, son diferentes), tendremos en cada caso: a) Ascensor que baja con movimiento acelerado b) Ascensor que baja con movimiento retardado. a) b)
  • 38.
  • 39. e) En el caso de que haya una báscula en el interior del ascensor: La báscula no mide el peso de la persona. El peso de una persona es la fuerza con que la Tierra la atrae. Cuando una persona está sobre una báscula, ésta ejerce sobre ella una fuerza normal N hacia arriba y, a su vez, la persona ejerce sobre la báscula una fuerza igual, N’, hacia abajo, que es la que hace marcar a la báscula. Lo que mide la báscula es la fuerza de contacto con la persona: N’. Sobre la persona actúan dos fuerzas: el peso y la normal( fuerza que ejerce la báscula sobre la persona. Esta normal es igual a la que hace la persona sobre la báscula (N’) (acción y reacción), que es lo que me pide el problema y hace marcar a la báscula . f) En todos los casos se aplica la 2ª ley de Newton en el eje “Y”: g)
  • 40. Ejemplo: Un ascensor, que transporta un pasajero de masa m = 72 kg, se mueve con una velocidad constante, y al arrancar o detenerse lo hace con una aceleración de 1'8 . Calcula la fuerza que ejerce el suelo del ascensor sobre el pasajero, en los siguientes casos: a) El ascensor está parado. b) El ascensor arranca para subir. c) El ascensor arranca para bajar. d) El ascensor se mueve con velocidad constante. e) El ascensor frena y se detiene en la subida. a) Aplicando la 2ª ley de Newton y al estar parado, la a = 0, por lo que : b) c) d) e) Igual que en el caso c) . N =
  • 41. Ejemplo: Un hombre de 70 kg se encuentra sobre una báscula dentro de un ascensor. Con el ascensor parado la báscula marca 700 N . Calcular cuánto marcará si: a) El ascensor sube con velocidad de 5 m/s. b) El ascensor sube con una aceleración de 2 . c) El ascensor baja con una aceleración de 2 . d) La cuerda del ascensor se parte y este cae en caída libre. a) Aplicando la 2ª ley de Newton y al ser la v= cte, la a = 0, por lo que : b) c) d)
  • 42. Ejemplo: a) Aplicando la 2ª ley de Newton y al ser la v= 0, la a = 0, por lo que : b) c) d) e)
  • 43. Ejemplo: a) : Px = m .a b) Px= P. sen β = ; N = Py = P. cos β = m.g. cos β c) d) Despejando la aceleración: P Py Px β β N
  • 44. Ejemplo: a) Aplicamos 2ª ley Newton: Px – Fr = m . a b) Descomponemos el peso: Px= P. sen β = m.g sen 30 ; N = Py = P. cos β = m.g. cos β c) Calculamos la Fuerza de rozamiento y sustituimos en la ecuación de Newton: Fr= µ. N = µ. m. g. cos β µ. m. g. cos 30 = m.a d) Despejando la aceleración: µ. g. cos 30 = a a= 9,8 . sen 30 – 0,5. 9,8. cos 30 = 2,8 2,8 P Py Px β β N Fr
  • 45. Ejemplo: a) : Px + F = m .a b) Px = P. sen β = m.g sen 30 ; N = Py = P. cos β = m.g. cos β c) - d) Despejando la fuerza: P Py Px β β N F
  • 46. Ejemplo: a) : Px - Fr + F = m .a b) Px= P. sen β = m.g sen 30 ; N = Py= P. cos β = m.g. cos β c) - m.g sen 30 - µ. m. g. cos 30 + F = m.a d) Despejando la fuerza: P Py Px β β N F Fr
  • 47. Ejemplo: β a) : Px + F = m . a b) Px = P. sen β = mg sen β = m.g sen 30 ; N = Py = P. cos β = m.g. cos β c) d) : P Py Px β β N F
  • 48. Ejemplo: β a) : Px + F - Fr = m . a b) Px= P. sen β= mg sen β= m.g sen 30 ; N = Py = P. cos β = m.g. cos β c) d) β e) β P Py Px β β N Fr F
  • 49. Ejemplo: a) : Px + = m . a Fy + Py = F sen 30 + mg cos 30 b) Px = P. sen β= mg sen 30 = 19,6 N Py = P. cos β = mg cos 30 = 33,94N β= F.cos 30 ; Fy = β = F sen 30 c) - d) = (19,6 + 7,2)/ 0,86 = 26,8/0,86 = 31,16 N 31,16 N P Py Px β β N Fx F Fy β β
  • 50. Ejemplo: a) : Px - Fr + = m . a Fy + Py = F sen 30 + mg cos 30 b) Px = P. sen β= mg sen 30 = 19,6 N Py = P. cos β = mg cos 30 = 33,94N β= F.cos 30 Fy = β = F sen 30 c) Fr = N = Fy + Py) = F sen 30 + mg cos 30) ; - F sen 30 - mg cos 30) d) Despejando la fuerza y sustituyendo valores: ( m. g sen 30 mg cos 30 cos30 sen 30) = (19,6 + 6,78 + 7,2)/ 0,76 = 33,58/0,76 = 44,18 N F = 44,18N P Py Px β β N Fx Fr F Fy β β
  • 51. Para estudiar sistemas de cuerpos unidos por cuerdas o similares que consideramos sin masa e inextensibles, seguimos estos pasos: a) Representamos las fuerzas que actúan sobre el sistema. b) Escogemos un sentido del movimiento como el positivo y aplicamos la ley fundamental de la dinámica a cada uno de los cuerpos del sistema, obteniéndose una ecuación para cada uno con igual aceleración. c) Al sumar las ecuaciones miembro a miembro deben desaparecer las tensiones. d) Tenemos en cuenta únicamente las fuerzas que tienen la dirección del movimiento, pues las perpendiculares se anulan (P1 = N). e) La acción que ejerce un cuerpo sobre otro se traduce en la tensión de la cuerda que los enlaza, que es igual y de sentido contrario a la reacción del segundo sobre el primero. f) Suponemos que las cuerdas son inextensibles y sin masa, lo mismo que las poleas. P1 P2 T T N
  • 52. a) T T b) c) d) – T = .a Cuerpo 2: T – = .a Sumando, las tensiones son iguales y se anulan: - = ( + ). a Despejando la aceleración.: a= ( - ) g/ ( + ) e) Para calcular la Tensión, despejamos en cualquiera de ella: T = T = .a + = .a + .g = (a + g)
  • 53. Ejemplo: a) T = . a Cuerpo 2: – T = . a b) Sumando, las tensiones se anulan al ser iguales : - = ( + ) . a c) Despejando la aceleración: ( - ) ( - ) ( - ) . g 2 . 9,8 3,26 ( + ) ( + ) ( + ) 6 3,26 d) Para calcular la Tensión, despejamos en cualquiera de ella: T = - . a = g - . a = (a + g) = 4(3,26 + 9,8) = 52,26 N
  • 54. Ejemplo: Dos bloques de masas = 4 kg y = 2 kg están unidos mediante una cuerda, según la figura. De ellos se tira con una fuerza F = 36 N. Si los bloques se desplazan sin rozamiento, se pide calcular: a) La aceleración del sistema. b) La tensión de la cuerda que los une. a) Aplicamos 2ª ley de Newton a todo el conjunto: ; F = M . a b)
  • 55. Ejemplo: Dos bloques de masas = 6 kg y = 3 kg están unidos mediante una cuerda, según la figura. De ellos se tira con una fuerza F = 20 N. Si los bloques se desplazan sin rozamiento, se pide calcular: a) La aceleración del sistema. b) La tensión de la cuerda que los une. a) Aplicamos 2ª ley de Newton a cada cuerpo : ). a ; ; F = M . a La aceleración se determina mediante: b) Sustituimos valores para hallar la tensión: T=
  • 57. Ejemplo: Una locomotora de 50000 kg arrastra dos vagones de masas = 30000 kg y = 25000 kg respectivamente. Si la locomotora ejerce una fuerza de tracción F = 62000 N y no hay rozamiento, se pide calcular: a) La aceleración del sistema. b) La tensión que se ejerce sobre cada vagón. a) Aplicamos 2ª ley de Newton a cada vagón: T T T F T b) T T T T T
  • 58. Ejemplo: Los bloques = 4 kg y = 6 kg de la figura se apoyan sobre una superficie horizontal, sin rozamiento. La fuerza F = 30 N empuja al conjunto de los 2 bloques. Calcular: a) La aceleración del sistema. b) Las fuerzas de acción t reacción entre los bloques. a) Aplicamos 2ª ley de Newton : b) F T T T T
  • 60. a) b) T T T P T T ——————————————————————————— c) T T P ) a ) a d) T T Fr 1 m2 Ejemplo
  • 61. Ejemplo a) Px = P. sen β= g sen 30 = 6. 9,8. sen 30= 29,4 N ; Py = P. cos β = g cos 30 = 6. 9,8. cos 30 = 50,92 N b) Px T Px T P T T ——————————————————————————— c) T T - P Px ) a ; - Px ) a 29,4 N 29,4 N d) T T 1 P1 P2 TN Py Px β T2
  • 62. Ejemplo a) Px = P. sen β= g sen 30 = 6. 9,8. sen 30= 29,4 N ; Py = P. cos β = g cos 30 = 6. 9,8. cos 30 = 50,92 N b) Px T Px T Py P T T ——————————————————————————— c) T T - P Px ) a ; - Py Px ) a 29,4 N 29,4 N d) T T 1 P1 P2 TN Py Px β Fr T2