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MINISTERIO DE TRABAJO Y SEGURIDAD SOCIAL
SERVICIO NACIONAL DE APRENDIZAJE
Kilometro 4 Vía Sogamoso Belencito. Conmutador (987) 703232-703231-704035-718214-Apto aéreo 002 - telex 46461 fax 706138-
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SERVICIO NACIONAL DE APRENDIZAJE SENA
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ELEMENTOS DE TOPOGRAFÍA
1. DEFINICIONES Y CONCEPTOS
1.1. Topografía. La topografía tiene por objeto medir extensiones de tierra,
tomando los datos necesarios para poder representar sobre un plano, a
escala, su forma y accidentes. Es el arte de medir distancias horizontales y
verticales, entre puntos y objetos sobre la superficie terrestre midiendo
ángulos y distancias.
La topografía es la base para la mayoría de los trabajos de Ingeniería, con
los datos obtenidos en el terreno y por medio de elementales procedimientos
matemáticos, se calculan distancias, ángulos, direcciones, coordenadas,
elevaciones, áreas y volúmenes.
1.2. Geodesia. La geodesia tiene la misma finalidad de la topografía, es decir
medir extensiones de tierra, con la diferencia que la topografía actúa en
extensiones de tierra pequeña, no teniendo en cuenta la verdadera forma de
la tierra, pues considera la superficie terrestre como un plano y no como un
elipsoide. La geodesia por el contrario debe tener en cuenta la verdadera
forma de la tierra, es decir su superficie ya no es un plano sino que toma
como parte de la superficie de una esfera. Cuando se trata de confeccionar la
carta de un país o de un departamento, se tiene que recurrir a la geodesia.

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1.3. División básica de la topografía.
La topografía se divide en dos grandes ramas:
• Planimetría
• Altimetría.
La planimetría solo tiene en cuenta la proyección del terreno sobre un plano
horizontal imaginario, que se supone es la superficie media del terreno.
La altimetría tiene en cuenta las diferencias de nivel existentes entre los
diferentes puntos de la tierra. Para que un plano topográfico quede completo,
es necesario que tengas altimetria y planimetría.
1.4. Trabajo topográfico.
Un trabajo topográfico, es un proceso que incluye dos aspectos generales, a
saber:
• Trabajo de Campo: Se refiere a la recopilación de datos del el terreno, por
medio de instrumentos especiales que permiten la localización de puntos.
• Trabajo de oficina: Comprende todos los cálculos para obtener los datos
necesarios que permitan dibujar el plano.
1.5. Punto topográfico
Topográficamente un punto se define como una entidad que posee una
ubicación, con base en un sistema de referencia (ejes), es decir el punto

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estará definido en el momento que posea una ubicación bien sea en el plano
(componente en dos ejes) o en el espacio (componente en tres ejes).
Un punto se puede determinar si se conocen:
• Su dirección y distancia a partir de un punto ya conocido.
• Sus direcciones desde dos puntos conocidos.
• Sus distancias desde dos puntos conocidos.
• Su dirección desde un punto y su distancia desde otro.
Una línea topográficamente esta definida como la unión de dos o más
puntos. Una línea recta es una sucesión de puntos que están ubicados
siguiendo una misma dirección.
Dos rectas son perpendiculares entre si las dos sucesiones de puntos que
conforman las rectas, tienen direcciones que difieren entre si 90º, es decir en
la intersección de las dos rectas se forma un ángulo recto.
Dos rectas son paralelas si las rectas ocupan lugares diferentes en el plano,
pero siguen direcciones iguales
Lo anterior nos lleva a concluir que la topografía registra en el campo puntos,
la unión de dichos puntos permite la creación y diseño de formas
geométricas planas o cuerpos geométricos, que por ser cuerpos tienen un
volumen determinado.

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Los puntos topográficos de clasifican, en:
• Puntos instantáneos o momentáneos: Son puntos que se necesitan en
un determinado instante, pero que después pueden desaparecer, se
determinan por medio de piquetes o jalones.
• Puntos transitorios: son punto que deben perdurar mientras se termina
el trabajo, pero que posteriormente pueden desaparecer, son generalmente
estacas de madera.
• Puntos definitivos: Son puntos que no desaparecen, aún después de
realizado el trabajo, son puntos fijos y determinados; estos pueden ser:
naturales o artificiales.
Un punto natural es un punto existente en el terreno, fijo que puede
diferenciarse fácilmente, por ejemplo la intersección de dos ríos, el punto
más alto de un cerro, la prominencia de una rocas, etc.
Un punto artificial permanente, es generalmente un mojón formado por un
paralelipipedo de concreto de 0.1 x 0.1 m. de sección y 0.6 m. de longitud el
cual sobresales del terreno unos 5 cm.
Un alineamiento es una serie de puntos ubicados sobre la misma recta;
cuando se quiere medir una distancia entre dos puntos y la cinta no alcanza,
se hace necesario colocar puntos intermedios que deben conservar el
alineamiento, de esta forma la distancia total será igual a la suma de los
tramos parciales.
En la medida de distancias se deben distinguir:
• Distancias horizontales: Es una distancia medida entre dos puntos que
tienen la misma altura.

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• Distancias inclinadas: Es la distancia medida entre puntos siguiendo la
inclinación del terreno, si el terreno es plano, la distancia inclinada será igual
a la distancia horizontal; si por el contrario el terreno es quebrado la distancia
inclinada será mayor que la distancia horizontal, la diferencia entre las dos
distancias será mayor, cuanto más inclinado sea el terreno.
1.6. Coordenadas y escala.
Como las áreas medidas en topografía, son relativamente pequeñas, se
pueden considerar como planas y, por tanto representar sobre un plano con
proyecciones ortogonales. así un punto se puede localizar por sus dos
coordenadas ( en el sistema de coordenadas rectangulares), o por un ángulo
y una distancia ( en el sistema de coordenadas polares). Un sistema se
puede convertir en el otro y viceversa.
La escala representa la relación fija entre cada distancia en el mapa a la
correspondiente distancia en el terreno. Como en un plano no se indican
dimensiones, es necesario indicar la escala a la cual se ha dibujado. Ej. una
escala de l: 20000, quiere decir que una unidad en el plano equivale a 20000
unidades en el terreno; de otra forma 1 cm en el plano equivalen a 20000 cm
en el terreno ó 200 m.
En topografía los ejes de referencia para poder representar puntos son: el eje
norte (norte-sur) que equivale al eje de las ordenadas en el sistema
cartesiano; el otro es el eje este (este-oeste) que equivale al eje de las
abscisas.
Los ángulos se miden en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj
y a partir de la norte.

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Los cuadrantes de la circunferencia se identifican con las letras de los puntos
cardinales.
Primer cuadrante, limitado por los ejes de puntos cardinales N - E (norte-
este). de 0º - 90º.
Segundo cuadrante, entre ejes S - E (sur-este). de 90º - 180º.
Tercer cuadrante, entre ejes S - W (sur-oeste). de 180º - 270º.
Cuarto cuadrante, entre ejes N - W (norte-oeste) de 270º - 360º.
1.7. Unidades empleadas en topografía.
• Unidades de longitud. Las más comúnmente empleadas son: metro (m.),
centímetro (cm.), kilómetro (km.), decámetro (Dm.), Pulgada (plg.), pie (ft.).
Las equivalencias son:
1 cm. = 0.01 m. 1Dm. = 10 m. 1km. = 1000 m.
1plg. = 2.54 cm. 1ft. = 30.48 cm.
• Unidades de superficie. Las más empleadas son: el metro cuadrado (m2),
centímetro cuadrado (cm2), Pulgada cuadrada (plg2), pie cuadrado (ft2),
hectárea (Ha), fenegada (Fgd), kilómetro cuadrado (km2).
1m2 = 10000 cm2 1km2 = 1000000 m2 1Ha = 10000 m2
1m2 = 1550 plg2 1ft2 = 144 plg2 1Fg = 6400 m2.
• Unidades de volumen: Las más comunes en topografía, son: metro cúbico
(m3), centímetro cúbico (cm3), pulgada cúbica (plg3), pie cúbico (ft3).

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1m3 = 1000000 cm3 1plg3 = 16.39 cm3 1ft3 = 1728 plg3
• Unidades angulares. Como unidades para medir ángulos, en topografía se
utilizan: grados (xª), gones (gn), radianes (Rad).
La circunferencia tiene 2∏ Rad.,360º y 400g
1rad = 57º17´45¨ 1ª = 1.111g
∏/2 rad. = 90º = 100 g
• Unidades de temperatura. La temperatura en topografía se utiliza cuando
es necesario hacer correcciones en los equipos e instrumentos. Las
unidades de temperatura más empleadas son: el grado Celsius (ºC), el
grado Fahrenheit (ºF), grado Kelvin (ºK).
ºF = 9/5ºC +32 ªC = (ºF-32)5/9 ºK = 273 + ºC
2. MEDICIONES CON CINTA
Al efectuar mediciones con cinta se deben tener en cuenta los siguientes
definiciones y conceptos:
Cadenar: se denomina así a la actividad de medir con cinta; este concepto
tiene su origen en el hecho de que inicialmente, se empleaba para medir una
cadena de 100 pies, compuesta por 100 eslabones de un pie cada eslabón.

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Horizontalidad: Termino que indica si la cinta esta totalmente horizontal al
efectuar la medida.
Terreno plano: Se refiere a un terreno en el cual todos los puntos del mismo,
tienen aproximadamente la misma altura, es decir la inclinación del mismo
tiende a cero.
Terreno quebrado: Al contrario del anterior, un termino quebrado define a un
terreno en el cual los puntos que lo integran presentan una gran diferencia de
altura.
Para hacer mediciones con cinta, se necesitan básicamente: cintas, jalones,
piquetes, estacas.
Cintas: Las cintas más comunes hoy en día son las de tela y las de acero.
Las de tela están hechas de material impermeable y llevan un refuerzo de
delgados hilos de acero o de bronce, para impedir el alargamiento con el uso.
La longitud normal es de 10, 20 ó 30 m. con un ancho de 5/8 de pulgada. Las
cintas de tela tienen el inconveniente de que se alargan muy fácilmente, por
lo que no se aconseja efectuar mediciones con este tipo de cintas.
Las cintas de acero se emplean para mediciones de precisión, son un poco
más angostas que las de tela esto es 1/4” y 5/16” como anchos más
comunes; su principal desventaja es que se rompen fácilmente.
Recientemente se están usando, con buenos resultados las de hilo sintético
o fibra de vidrio con recubrimiento de plástico.

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Algunas cintas especiales como las de invar (aleación de níquel y acero)
tienen una expansión térmica aproximadamente igual a 1/30 de las de acero;
utilizadas para levantamientos de alta precisión.
Piquetes: Son varillas de acero de unos 25 o 30 cm. de longitud, provista en
un extremo de punta y por el otro de una argolla que le sirve de cabeza. Un
juego de piquetes consta de 10 unidades..
Jalones: Son tubos o varas de 2 y m 3 m. de longitud, equipados con
puntas de acero para ser clavados en el terreno, de sección circular u
octagonal de 1 pulg. Están pintados en franjas de 20 cm. de color blanco y
rojo alternativamente.
2.1. Medición de distancias entre dos puntos fijos.
• En un terreno plano: dos jalones ubicados en los puntos definen la
distancia y son la referencia para mantener el alineamiento, los cadeneros
van tomando los tramos o cintadas, cada cintada se marcara en el terreno
con un piquete; por ser terrenos planos no es difícil mantener la cinta
perfectamente horizontal . Cuando se requiere estacar los puntos a lo
largo del alineamiento, inicialmente se coloca la estaca y luego con ayuda
de una tachuela se marca exactamente el sitio donde cae la medida
requerida.
• En terreno inclinado o irregular: es necesario mantener siempre la cinta
horizontal, para lo cual se usa la plomada para proyectar la medida sobre
el terreno y de esta manera poder colocar el piquete. Cuando el terreno es
muy inclinado, se mide por partes, tomando tramos como sea posible,
manteniendo la cinta horizontal. Para mantener la cinta horizontal se
recomienda llevar un nivel de mano, pues a simple ojo se cometen errores

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de apreciación en la horizontalidad. Hay ocasiones en las cuales es más
conveniente medir distancias inclinadas y tomar la pendiente o la
diferencia de altura entre los extremos de éstas, para luego calcular las
correspondientes distancias horizontales.
2.2. Errores que se pueden cometer en las mediciones con cinta.
• Cinta no estándar: Cuando las cinta no tiene la longitud que se indica. Se
corrige patronandola en una base medida con precisión.
• Alineamiento imperfecto: Cuando el cadenero coloca el piquete o jalón
fuera del alineamiento, por lo que resulta una longitud mayor.
• Falta de horizontalidad: Es la principal fuente de error, dicho error es
similar al que se comete por alineamiento imperfecto, este error se evita si se
cuenta con un nivel de mano para darle horizontalidad a la cinta.
• Que la cinta no quede recta: Puede deberse al efecto del viento o debido a
la presencia de obstáculos; su corrección solo se logra haciendo que la cinta
quede totalmente recta.
• Errores accidentales: Se cometen al leer la cinta, al colocar la plomada y
los piquetes.
• Variación en longitud de la cinta debido a la temperatura: La cinta se
expande cuando la temperatura sube y se contrae cuando baja. Se evita en
los levantamientos que exigen gran precisión , no haciendo lecturas en
condiciones extremas. Sinembargo existe una formula para hacer dicha
corrección cuando no se puedan evitar las temperaturas extremas:

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Ct = 0,000012 L (t-to)
t: temperatura a la cual se hace la medida en ºC
to: temperatura de patronamiento en ºC
L: longitud medida en metros.
Ct: corrección, en metros.
Ejemplo: Cual es la verdadera distancia medida entre dos puntos, si a 17 ºC
se midió una longitud de 48,253 m. (la cinta esta patronada a 10 ºC).
Ct= 0,004 m
Longitud real = longitud medida + corrección = 48,253 + 0,004 = 48,257 m.
• Corrección por tensión: Una cinta esta calibrada para una determinada
tensión, por ser elásticas, la cinta se puede alargar o acortar, según la
tensión aplicada sea menor o mayor. Si la precisión del levantamiento así
lo exige, se recurre a la siguiente formula, para hacer la corrección por
tensión:
CT = ((T-To).L/S.E.)
T: tensión aplicada en kilogramos
To: tensión de patronamiento en kilogramos.
L: longitud a la cual se aplica la corrección, en metros
S: área de la sección transversal de la cinta en mm2
E: módulo de elasticidad del material de la cinta en
kg/mm2 para el acero se puede tomar 24.000kg/mm2
CT : corrección, en metros.

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• Formación de catenaria: Se forma por el mismo peso de la cinta, se
corrige pensionando adecuadamente la cinta. Sin embargo si es necesario
hacer esta corrección, se utiliza la formula siguiente:
Cc= P2
L/24. T2
P: peso total del tramo de cinta entre los dos soportes, en
kilogramos.
L: longitud entre soportes, en metros.
T: tensión aplicada, en kilogramos.
Cc: corrección para el tramo, en metros.
2.3. Medición de ángulos con cinta.
Si se tiene el ángulo BAC, se puede conocer el valor de dicho ángulo, de la
siguiente forma: ver figura
Se mide una distancia (r), tanto en la dirección A-C como en la dirección A-B,
a manera de radio con centro en A, de esta forma se obtienen los puntos 1 y
2. Se mide el segmento 1-2 y a esta longitud se le llama cuerda (c).
Utilizando la trigonometría se encuentra el valor del ángulo, así:
Senα

/2 = c/2d por tanto α

= 2arcsen(c/2d)
2.4. Trazado con cinta de una perpendicular a una recta.
• Método 3, 4, 5 .

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Se tiene la recta A - B, a partir de del punto 1, se pretende trazar una
perpendicular a dicha línea. Con base en el teorema de Pitágoras con la cinta
se construye un triángulo cuyos lados deben medir 3, 4 y 5 m o múltiplos de
los mismos (6, 8 y 10) el ángulo recto debe quedar exactamente en el punto
1, después se prolonga dicha perpendicular si es necesario. La recta 1 - 2 es
perpendicular a A - B.
• Método de la cuerda bisectada.
Se toma a ojo un punto 1 a una distancia prudencial a la recta A -B, con la
cinta tomamos una distancia (d) que nos sirve de radio, cortamos la recta A -
B en dos partes, como si se tratara de construir una circunferencia; de esta
forma generamos dos punto E - F, se mide la distancia E-F y se divide en dos
partes; esta distancia medida a partir de E en dirección de F genera el punto
2, el cual al ser unido con 1 se obtiene una recta que es perpendicular a la
recta A - B.
2.5. Levantamiento de un lote con cinta.
• Procedimiento.
- Se divide el terreno en triángulos procurando que los ángulos no sean
demasiado agudos.
- Se miden los lados de los triángulos.
- Se determina el valor de los ángulos en cada vértice, por el método ya
reseñado.
- Generalmente los linderos no son rectos, por lo que hay que tomar detalles
a izquierda o a derecha. Recorriendo los lados de los triángulos en el sentido
del movimiento de las manecillas del reloj, los detalles que se sitúen a mano

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izquierda se llamarán detalles a izquierda, si quedan a la derecha se
llamaran detalles a derecha.
- Dividir los lados de los triángulos donde existan detalles, en distancias
preferiblemente iguales (para facilitar cálculos), las cuales se convertirán en
las alturas de los trapecios.
- A partir de dichos puntos de división se trazan perpendiculares, hasta
alcanzar el lindero del terreno, de esta forma se obtienen trapecios, a los
cuales se les calculará el área.
- Para el cálculo del área del lote, se sigue la siguiente formula:
At = Σ
¡
área de los triángulos + detalles a izquierda - detalles a derecha.
Para calcular el área de los triángulos se toma la formula del semiperímetro:
s = (a + b + c)/2
a,b,c : son los lados del triángulo
s: semiperímetro del triángulo.
A∆
¢
= [£ s(s-a)(s-b)(s-c)]
¤
1/2
Para calcular el área de los detalles se emplea la formula de los trapecios:
A= h ((a +n)/2 +b+c+.....+n-1).
h: distancia entre puntos donde se levantaron las perpendiculares
a y n: corresponden a los valores de la primera y ultima perpendicular.
La formula anterior se usa solamente cuando la distancia entre
perpendiculares es la misma, en caso contrario se tendrá que calcular el área
de cada trapecio en particular.

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• Cartera de campo
CALCULO DE ÁNGULOS
Punto Distancia Detalles
Izquierda
Detalles
Derech
a
Radio
R
l.
cuerda
c
senα¥
/2 α¥
1 0.0 0.0 10 19.135 0.95676 146º10”48”
10.0 1.5
20.0 2.0
30 1.8
2 32.8 0.0
2 0.0 0.0 10 7.654 0.38268 45º
10.0 1.0
20.0 1.3
3 24.5 0.0
3 0.0 0.0 10 18.126 0.9063 130º
10.0 1.75
20.0 1.94
30.0 1.45
4 36.7 0.0
4 0.0 0.0 10 6.646 0.3323 38º49”12”
10.0 0.85
20 1.35
1 25.38 0.0
1-3 23.23

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• Cuadro de cálculos
Triángulos
Longitud de los lados en metros Semipe
en m.
Área m2
Triángulo 1-2 1-3 2-3 3-4 4-1 s A
I 32.8 23.23 24.5 40.265 284.116
II 23.23 36.7 25.38 42.655 291.937
Total 576.053
Detalles
Perpendiculares Altura Formula de los trapecios Área
Detalles a b C d e h m2
Izquierda
s I
0 1.5 2.0 1.8 0 10, 2.8 [10((a+d)/2+b+c]+[2.8(d+e)/
2]
49.04
Izquierda
s II
0 1.7
5
1.9
4
1.4
5
0 10, 6.7 [10((a+d)/2+b+c]+[6.7(d+e)/
2]
45.00
Derecha
I
0 1.0 1.3 0 10, 4.5 [10((a+c)/2+b]+[4.5(c+d)/2] 19.43
Derechas
II
0 0.8
5
1.3
5
0 10, 5.38 [10((a+c)/2+b]+[5.38(c+d)/2] 18.88
total Izq. 94.04
total
Derech.
38.31

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• Cálculo del área
At = Σ
¦
área de los triángulos + detalles a izquierda - detalles a derecha.
At = 576.053 + 94.04 - 38.31 = 631.783 m2.
• Plano.
Con la ayuda de un graduador y escogiendo una escala apropiada se deben
dibujar, en primer lugar los triángulos que constituyen la base para obtener el
plano del lote.
• Práctica de campo.
Al estudiante se le asignará un lote, el cual deberá levantar empleando
únicamente la cinta. Durante el proceso se evaluará el manejo correcto de la
cinta.
La evaluación incluye todo el proceso: trabajo de campo, cálculos y plano.
3. MEDICIONES CON BRÚJULA Y CINTA
3.1. Definiciones y conceptos
• Dirección de una recta: Es el ángulo horizontal que forma dicha recta con
otra que se toma como referencia, en topografía la recta de referencia es
la Norte, ya sea la magnética o la geográfica.

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• Ángulo horizontal: Es el ángulo entre dos rectas, medido en el plano
horizontal.
• Inclinación de una recta: Es el ángulo vertical que la recta forma, con la
horizontal
• Meridiano . Es la recta de referencia con base en la cual se toman las
direcciones, si esta recta pasa por los polos norte y sur (N y S)
geográficos, se le llama meridiano verdadero; cuando la recta de
referencia pasa por los polos N y S magnéticos de la tierra, se le llama
meridiano magnético; si por el contrario se selecciona una línea que pase
por una N y S arbitrarios, se le llama meridiano arbitrario.
• Declinación magnética: Los polos verdaderos se determinan por medio de
observaciones astronómicas, mientras que los polos magnéticos se
determinan con una brújula, los polos verdaderos y los magnéticos no
coinciden, es decir los dos meridianos no coinciden. Lo anterior hace que
se forme un ángulo entre el meridiano verdadero y el magnético a dicho
ángulo se le llama declinación magnética; cada punto obre la tierra tiene
un valor diferente y variable. Hay declinación oeste (W) cuando el
meridiano magnético esta situado al W de la norte verdadera, formando un
ángulo determinado y la declinación es al este (E), cuando el meridiano
magnético esta ubicado al E de la norte geográfica. Las líneas que unen
puntos sobre la tierra de igual declinación, se llaman líneas isogónicas.
• Rumbo y contra-rumbo: El rumbo de una recta es la dirección de ésta,
respecto a un meridiano escogido medido a partir de la N - S se indica
como un ángulo agudo que la recta forma con el meridiano e identificado

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por el cuadrante respectivo; los puntos cardinales determinan los
cuadrantes Ej.: N20ºE, S30ºE, S70ºW, N50ºW.
El valor numérico del rumbo de una recta, no puede ser mayor de 90º.
De acuerdo a lo anterior, existirá rumbo: magnético, verdadero o arbitrario
dependiendo del meridiano que se escoja. En contrarumbo de una recta es
igual al rumbo de la misma, pero ubicado en el cuadrante opuesto.
Ej.: si el rumbo de una recta es N 35º E, el contrarumbo de la misma es S 35º
W.
• Azimut y contra-azimut: El azimut es el ángulo horizontal entre un
meridiano y la recta, medido a partir de la norte y en el sentido del
movimiento de las manecillas del reloj, el azimut es un valor numérico que
esta entre 0º y 360º. El contra-azimut es igual al azimut más o menos
180º. Ej.: Si el azimut de una recta es 45º, el contra-azimut de la misma
es 225º. El azimut se puede convertir en rumbo y viceversa.
Ejercicio: Si en un punto de la tierra se presenta una declinación magnética
de 2º45´W; se tomo el rumbo magnético de N 48º20´ E. Cual es el rumbo
verdadero de dicha recta?
Rumbo verdadero(RV) = rumbo magnético(RM) - declinación N 45º35É
que valor tomará el rumbo, si la declinación fuera de 2º30É?
RV = RM +declinación=N 50º50É.
• Ángulo de deflexión: Se denomina así, al ángulo que forma un lado de la
polígona, con la prolongación del lado inmediatamente anterior, si es a
derecha el ángulo es positivo y por el contrario es a la izquierda el ángulo

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de deflexión es negativo. Para determinar si es a derecha o a izquierda, se
sigue la regla de caminar sobre la prolongación del lado, el ángulo
quedara a mano derecha o a mano izquierda de quien camina.
• Poligonal: Se le llama así, a una serie de rectas una a continuación de otra
y que pueden formar figuras geométricas cerradas o simplemente una
serie de rectas que siguen una dirección determinada. Cuando en las
rectas consecutivas, la primera de ellas inicia en un punto y la última
finaliza en el mismo punto, se llama poligonal cerrada; cuando la primera
recta inicia en un punto y la última finaliza en uno totalmente diferente, se
le llama poligonal abierta.
3.2. La brújula y sus aplicaciones
• Componentes: La brújula se compone a) de un caja con un circulo
graduado de 0º a 90º, en ambas direcciones, desde los puntos N y S,
generalmente tiene intercambiado los puntos E y W, con el objeto de leer
directamente, los rumbos; puede llevar otra escala graduada de 0º a 360º
a partir de la N, con el objeto de medir azimutes. b) Una aguja magnética
montada sobre un pivote que le permite moverse fácilmente. c) Niveles:
esférico que permite nivelar la brújula para darle horizontalidad y nivel
tubular para poder trabaja el clinómetro (medir inclinación de líneas). d)
dispositivo que permite girar las escalas con el objetode hacer
directamente en el campo la corrección por declinación magnético.
Para leer el rumbo o azimut de una recta se coloca la brújula sobre la línea,
de tal forma que el observador y la línea de vista queden perfectamente

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sobre la línea; se nivela y una vez que la aguja quede quieta, se anota el
valor registrado.
• Atracción local: Una lectura realizada con brújula puede estar totalmente
errado por el efecto del fenómeno conocido como atracción local, el cual
consiste en que las líneas de fuerza magnética se pueden alterar por la
presencia de objetos de hierro o acero, otros metales o por corrientes
eléctricas que originan campos magnéticos locales. Esta atracción local se
puede corregir; existirán ciertos lugares donde será imposible el uso de la
brújula.
La corrección de la atracción local se basa en dos principios: a) Cuando el
rumbo de una recta es igual al contra-rumbo de la misma recta pero medido
desde el otro extremo, se determina que en los extremos de dicha recta no
hay atracción local. b) Todos los rumbos tomados desde una estación, están
afectados por el mismo valor de la atracción local, es decir que los ángulos
entre rectas tomadas desde esa estación no se afectan por la atracción local.
3.3. Levantamiento de un lote con brújula y cinta.
• . Procedimiento
- Se diseña una poligonal, siguiendo los linderos del terreno, materializando
los puntos (estacando).
- Se mide la distancia entre los puntos que constituyen la poligonal.
- En cada vértice de la poligonal, se toma con la brújula tanto el rumbo
adelante (al siguiente punto), como el rumbo atrás (al punto anterior). Esto se
hace para detectar si existe atracción local.

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• Cálculos y ajustes
Para efectuar los cuadres de ángulos y la corrección de la atracción local, se
procede de la siguiente forma:
- Se sacan los ángulos internos del polígono (ángulos observados), lo cual se
hace con los rumbos leídos desde cada vértice.
- Por tratarse de una poligonal cerrada se debe cumplir que:
Σángulos internos = (n - 2) x 180º
n: número de vértices.
- Si al efectuar la sumatoria de los ángulos internos no cumple con la
ecuación anterior, ya sea por exceso o por defecto, dicho valor se debe
dividir en el número de vértices, este valor será la corrección por cada
ángulo; a cada ángulo se sumara o restará, según el caso, el valor obtenido.
- Para corregir los rumbos en caso de que haya atracción local, se verifica la
línea que no tiene atracción local, a partir de la cual se realiza dicha
corrección. Si no existe ni una sola recta que no posea atracción local, se
escoge la que presente menos atracción local. Si existen varias rectas que
no presentan atracción, se escoge una cualquiera.
- Una recta A - B, no esta afectada por atracción local cuando el rumbo A-B
es igual al rumbo B-A en el cuadrante opuesto. Ej. rumbo A-B = N70ºE y
rumbo B-A = S70ºW.
• Cartera de campo y de cálculos.
Para poder entender se presenta a continuación un ejemplo de un
levantamiento con brújula.

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ÁNGULO INTERIOR
∆
§
⊕¨
Rumbo
Observ.
Calculado Corregido Rumbo
Correg.
1 5 S 19º50É 100º10´ 100º23´
2 N 60º00É N 58º44É
2 1 S 59º25´W 109º55´ 110º08´
3 S 50º30É S 51º24É
3 2 N 51º20´W 98º25´ 98º38´
4 S 30º15´W S 29º58´W
4 3 N 29º45É 117º55´ 118º08´
5 N 88º10´W N 88º10´W
5 4 S 88º10É 112º30º 112º43´
1 N 20º40´W N20º53´W
Σ 538º55º 540º00´
∆: El símbolo indica la estación, es decir el punto desde donde se realiza la
medida.
⊕: El símbolo indica el punto observado, es decir el punto a donde se toma la
medida.
Para los calculas de una poligonal cerrada con brújula, los parámetros
básicos para efectuar los ajustes son: los ángulos internos en cada vértice y
el lado que no presente atracción local.
Para el cálculo del área es necesario tomar las diagonales, con el objeto de
construir los triángulos. El proceso de cálculo de área sigue los mismos
principios del levantamiento con cinta; igualmente si existen detalles tanto a

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derecha como izquierda, se trabajan de igual forma como se explico en el
levantamiento con cinta.
• Plano
.
Como ya se conocen los rumbos corregidos y con la ayuda de un graduador
y escogiendo una escala apropiada se dibujan los lados de la poligonal; al
trabajar con brújula existe un elemento más de ayuda para el dibujo puesto
que la referencia es la norte. Recuerde que en cada vértice se debe colocar
una línea con la dirección de la norte, a partir de la cual se miden los rumbos
o azimutes. Lo anterior quiere decir que en cada vértice existe una línea que
representa la norte y que es paralela a la norte de los demás vértices
3.5. Práctica de campo.
Al estudiante se le asignará un lote, el cual deberá levantar empleando
brújula y cinta. Durante el proceso se evaluará el manejo correcto de la
brújula.
La evaluación incluye todo el proceso: trabajo de campo, cálculos y plano.
3.4. Levantamiento de una poligonal abierta con brújula y cinta.
• . Procedimiento
- Se determina la poligonal materializando los puntos que la constituyen.
- Se toma la distancia de cada uno de los lados.
- Se toma el rumbo o azimut, tanto adelante como atrás, en cada uno de los
vértices. Tenga en cuenta que en el primer punto no existe rumbo atrás y en
el último no existe rumbo adelante, precisamente por tratarse de una
poligonal abierta.
• . Cálculos y correcciones.

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- Para hacer las correcciones por atracción local lo primero que se tiene que
determinar es el ángulo de deflexión en los vértices, el cual se calcula en
base a los rumbos tomados desde cada uno de ellos.
- Para corregir los rumbos, se procede de la misma forma como se explico
anteriormente, es decir tomando como base el alineamiento que no presente
atracción y con base en este se corrigen los demás.
• . Cartera de campo y cálculos
En la cartera siguiente se muestra el levantamiento de una poligonal abierta,
junto con las correcciones que se deben efectuar.
∇© ⊕
Rumbos
Observ.
Ang. Deflexión Atracción Local Rumbo
Corregido
1 2 N 65º E 3ºW N 62º E
2 1 S 64º W +71º 2ºW
2 3 S 45º E S 47º E
3 2 N 43º W -16º 4ºW
3 4 S 59º E S 63º E
4 3 N 63º W +78º 0º
4 5 S 15º W S 15º W
5 4 N 15º E -63º 0º
5 6 S 48º E S 48º E
6 5 N 46º W 2ºW

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• . Plano
Una vez corregidos los rumbo y además se tienen las distancias entre los
puntos, ya se puede dibujar la poligonal.
4. LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS CON TEODOLITO
4.1 El teodolito y sus partes:
El teodolito es un aparato cuyo uso principal es medir ángulos horizontales y
verticales, además se emplea para medir distancia indirectamente como es el
caso de la taquimetría lo mismo que para el trazado de alineamiento.
Se compone de un telescopio que puede girar respecto a un eje vertical y a
un eje horizontal; para poder medir dichos giros posee círculos graduados
tanto horizontal como vertical. Todo aparato tiene dispositivos especiales
para ser montado en un trípode.
El telescopio está sostenido por dos soportes que decansan sobre un plato
superior, el cual está provisto de niveles para poder nivelarlo. El plato inferior
que lleva el circulo graduado gira también sobre un cono llamado cono
exterior. El palto inferior se monta sobre un soporte fijo que lleva los tornillos
de nivelar, el cual tiene por objeto hacer perfectamente vertical el eje vertical
del mismo. El telescopio se puede fijar en cualquier posición horizontal y
vertical por medio de tornillos de fijación; existe tornillos de movimiento lento
tanto vertical como horizontal, que tienen por objeto dar pequeños
movimientos en los dos ejes.
• partes principales de un teodolito.

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1. Nivel tubular de burbuja: Es un tubo de vidrio que presenta en su parte
superior, divisiones uniformemente espaciadas llamadas reparos. El tubo
esta casi lleno de éter sulfúrico o alcohol, dejando un vacío para la
formación de la burbuja. El tubo va dentro de una caja metálica que lleva
tornillos para fijarlo al plato. Teniendo como base este nivel se logra
nivelar el aparato.
2. Mecanismo para nivelar: Como es indispensable que el eje vertical sea
verdaderamente vertical, con lo cual el circulo horizontal queda
verdaderamente horizontal, entonces es necesario nivelar el aparato. Para
esto los aparatos vienen equipados con una base nivelante la cual
consiste en una pequeña plataforma, soportada por tornillos que hacen
que la plataforma suba baje según el caso.
3. Los tornillos de nivelar aunque existen aparatos de cuatro tornillos
(Americanos), la mayoría traen tres tornillos. Para la operación de nivelar
el teodolito se sigue una regla, que más adelante se vera. La base
nivelante trae también el dispositivo de fijación del aparato al trípode.
4. El anteojo: Existen dos tipos de anteojo: el de enfoque externo
(discontinuado) y el de enfoque interno (aparatos modernos). En el
primero, el enfoque se hace moviendo el objetivo; en el segundo el
objetivo esta fijo y el enfoque se logra mediante lente llamado lente de
enfoque. Un anteojo consta de a) el objetivo: Es la parte delantera del
anteojo es un lente compuesto, produce sobre el plano del retículo una
imagen invertida del objeto. b) Hilos del retículo: Son un par de hilos, uno
horizontal y otro vertical sostenidos por un anillo metálico llamado retículo;
el retículo puede llevar también otros hilos adicionales para taquimetría.
c)Ocular: Hace las veces de un microscopio, ampliando la imagen formada
sobre el plano del retículo. Existen dos tipos de oculares, el que invierte la

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imagen formada por el objetivo presentándolo al ojo en posición normal;
los otros son las que no la invierten y lo llevan los aparatos de imagen
invertida. Un teodolito de imagen invertida da la imagen más nítida, puesto
que no lleva lentes adicionales para invertir la imagen.
El poder de aumento de un telescopio varía en los teodolitos de 20 a 40
diámetros, según sea el teodolito de tipo ordinario o de precisión.
La línea de vista queda definida por la intersección de los hilos del retículo y
el centro del objetivo. El eje óptico es la dirección según la cual un rayo de
luz no experimenta desviación alguna al atravesar un lente.
Tanto el objetivo como el ocular tienen mecanismos de enfoque, que lo que
hacen es acortar o disminuir distancias entre los lentes internos del
telescopio.
4.2. Correcciones al teodolito
Un teodolito para su buen funcionamiento, debe cumplir con ciertas
condiciones:
1. Los ejes de los niveles del plato deben estar en un plano perpendicular al
eje vertical del aparato. Esto es si no se cumple con la condición, el
aparato no esta nivelado confiablemente. La forma de comprobarlo es
nivelando el aparato, luego se gira 180º sobre su eje vertical, si en esta
nueva posición la burbuja se sale de los reparos, es por que no se cumple
la condición. La corrección se efectúa sobre dicha posición, corrigiendo la
mitad con los tornillos de ajuste del nivel y la otra mitad con los tornillos de
nivelar. Este procedimiento se repite hasta lograr cumplir con la condición.

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2. El hilo vertical del retículo debe ser verdaderamente vertical. Se
comprueba colocando una plomada a una distancia aproximada de 50 m.
del aparato. Con la plomada en reposo el hilo vertical del retículo debe
coincidir con el hilo de la plomada. Si lo anterior no sucede se debe
corregir aflojando los tornillos de la retícula y se mueve hasta que coincida
el retículo vertical con el hilo de la plomada.
3. La línea de vista debe ser perpendicular al eje horizontal del anteojo. Se
nivela el aparato en un punto, aproximadamente a 100 m. se coloca una
estaca, se transita el anteojo y se coloca otra estaca la lado opuesto y a la
misma distancia aproximadamente; se gira 180º y se mira nuevamente al
primer punto, se vuelve a transitar, la visual debe pasar por el segundo
punto, si eso no sucede debe hacer corrección.
4. El eje horizontal debe ser perpendicular al eje vertical del aparato. Se
coloca el teodolito cerca a un muro sobre el cual se pueda localizar un
punto 1, bajo un ángulo vertical a 45º, se nivela el aparato se mira al
punto 1 y luego a un punto 2, situado debajo de 1 en la misma línea
vertical; se transita el aparato se observa a 1 se realiza un movimiento
vertical para saber si el punto 2 esta sobre la misma vertical, si no sucede
lo anterior se debe corregir el aparato.
4.3 Centrado y nivelación del aparato
Al colocar el teodolito sobre un punto o estación se debe centrar, es decir el
eje vertical del aparato debe pasar por el punto y el circulo horizontal del

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aparato debe quedar completamente horizontal. Para que se cumpla lo
anterior, se sigue el procedimiento siguiente:
- Se arma el trípode sobre la estación, procurando que la mesilla del trípode
quede encima de la estaca y más o menos horizontal, jugando con la longitud
de la patas.
- Se coloca el aparato sobre el trípode, con una para anclada se mueven las
otras dos hasta que la plomada quede a menos de dos centímetros del
punto, en ese momento se las patas se anclan.
- Si la visual de la plomada óptica queda demasiado retirada del punto existe
la posibilidad de acercarla con movimiento de tornillos de nivelar movidos
independientemente.
- Posteriormente se nivela el plato del trípode por medio de las patas
extensivas del mismo.
Una vez nivelado el plato inferior, lo cual lo indica un nivel esférico (ojo de
pollo) se procede a nivelar el aparato propiamente dicho. Para esto se coloca
el eje que une a dos de los tornillos paralelo al nivel tubular del teodolito, se
mueven los tornillos ambos hacia dentro o hacia fuera, procurando la misma
cantidad de movimiento a los dos, hasta que la burbuja quede centrada,
luego se gira el aparato 90º y se mueve el tercer tornillo, hasta que la
burbuja quede dentro de los reparos. Si la operación fue bien hecha y el
aparato esta bien calibrado, al mover el aparato a cualquier posición
permanecerá nivelado.
- Se observa la visual de la plomada, es posible que se haya salido un poco
el eje vertical del punto; si el desplazamiento no es demasiado grande
bastara con soltar el aparato y moverlo sobre el plato del trípode, hasta que
nuevamente quede la visual de la plomada sobre el punto.
- Como la operación de mover el aparato sobre el trípode lo vuelve a
desnivelar en una pequeña cantidad, se vuelve a repetir la operación de

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nivelación. Este proceso se repite hasta tener perfectamente centrado y a la
vez nivelado el aparato.
- De esta forma el teodolito queda listo: es decir el eje vertical pasa por el
punto topográfico y el circulo horizontal esta verdaderamente horizontal y por
tanto se puede empezar a medir.
4.4. levantamiento de un lote por radiación.
El levantamiento más sencillo que se realiza con teodolito, es precisamente
el levantamiento por radiación.
• Condiciones de aplicación:
- Se aplica cuando el área del lote es relativamente pequeña.
- El lote debe ser casi plano
- Desde una sola posición del aparato deben observarse, todos los puntos a
levantar.
- No deben existir obstáculos que impidan la visual desde la posición del
instrumento hasta los puntos que definen los linderos.
• Procedimiento.
- Se materializan los puntos que definen los linderos del terreno (1, 2, 3, 4, 5,
6).
- Se escoge un punto “O”, aproximadamente en el centro del terreno desde
donde se observen todos los puntos ya metrializados que determinan el lote,
sobre dicho punto se centra y nivela el aparato.
- Se miden las distancias Ol, O2, O3, O4, O5 y O6; con ayuda del teodolito
para que el alineamiento sea perfecto.
- Se ubica la norte (verdadera, magnética o arbitraria), sobre esa dirección se
coloca el circulo horizontal del aparato en cero.

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- Se leen los azimutes hacia cada uno de los puntos (α1, α2, α3, α4, α5, α6).
- Se debe verificar el error de cierre en ángulo con el objeto de saber si el
aparato no se ha movido; estando el punto 6 se devuelve el aparato hasta el
punto 1 registrando α´1. De esta manera el error de cierre en ángulo es e =
α1 - α´1, si este valor es mayor a la aproximación (a) del aparato, se deben
volver a leer los ángulos hasta que el error quede por debajo o por lo menos
igual a la aproximación del aparato. (aproximación del aparato es la mínima
división de ángulo que posea el aparato).
- Los datos se anotaran en la cartera topográfica, que es una libreta
especialmente diseñada para llevar ordenados los datos obtenidos en el
campo.
• Modelo de cartera de campo.
∇ ⊕
Distancia en
m.
Azimut. Observaciones
O Nort
e
0º00´00¨
1 42.36 18º20´45¨
2 47.76 96º13´30¨
3 39.27 164º08´10¨
4 53.88 210º45´15¨
5 45.02 285º19´50¨
6 50.32 330º17´05¨
• Cálculos
- Para realizar los cálculos se debe transformar los azimutes en rumbos, para
identificar en que cuadrante esta el punto.

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- El azimut y la distancia que definen los puntos en un sistema de
coordenadas polares, se deben pasar a un sistema de coordenadas
rectangulares.
- Proyecciones: Son precisamente las componentes en los dos ejes en el
sistema rectangular, de la distancia y el ángulo del sistema polar, para el
caso de la topografía estos dos ejes son la norte y la este.
- La proyección norte (norte y sur) se obtiene multiplicando el coseno del
ángulo de rumbo por la distancia.
- La proyección este (este y oeste) se obtiene multiplicando el seno del
ángulo de rumbo por la distancia.
- Todo punto necesariamente tendrá dos proyecciones: una en la norte y otra
en la este.
- Coordenadas: Un punto ubicado en un sistema de coordenadas, debe tener
un valor para la norte y un valor para la este, con relación a un origen. Para
poder calcular las coordenadas de los puntos, se da al punto desde donde se
radió “O” un valor tanto para la norte como para la este. Para obtener las
coordenadas norte de los puntos, se suman las proyecciones al norte y se
restan las proyecciones al sur a la coordenada norte del punto O. Para
obtener las coordenadas este de cada punto se suman las proyecciones este
y se restan las proyecciones oeste a la coordenada este del punto O.
- Para saber que proyecciones tiene un punto basta con observar el rumbo
hacia dicho punto. Ej.: si el rumbo desde O al punto es N40º 20´E, esta recta
tendrá proyección norte y proyección este; si el rumbo es S45º W, tendrá
proyecciones sur y oeste.

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• Cuadro de cálculos.
PROYECCIONES COORDENADA
S
∇ ⊕
Dist. (m) Azimut. Rumbo N(+) S(-) E(+) W(-) Norte Este
O N 0º00´00¨ 100.00 100.00
1 42.36 18º20´45¨ N18º20´45Ë 40.21 13.33 140.21 113.33
2 47.76 96º13´30¨ S83º46´30Ë 5.18 47.48 94.82 147.48
3 39.27 164º08´10¨ S15º51´50Ë 37.77 10.73 62.23 110.73
4 53.88 210º45´15¨ S30º45´15¨W 46.30 27.55 53.70 72.45
5 45.02 285º19´50¨ N74º40´10¨W 11.90 43.42 111.90 56.58
6 50.32 330º17´05¨ N29º42´55¨W 43.70 24.94 143.70 75.06
• Cálculo de área.
Cuando se conocen las coordenadas de los puntos, el área se puede calcular
precisamente por medio de coordenadas, por medio de los siguientes
fórmulas:
( La demostración de estas fórmulas se encuentran en la topografía de
Alvaro Torres y Eduardo Villate, pág. 89)
- Primer método: Para entender la formula, se sigue con el ejemplo que se
trae del levantamiento por radiación. Se ordenan las coordenadas como se
indica en la tabla siguiente:
⊕
Norte Este
1 n1 e1
2 n2 e2
3 n3 e3
4 n4 e4
5 n5 e5
6 n6 e6
1 n1 e1

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Obsérvese que se repiten las coordenadas del primer punto.
Con base en el ordenamiento de la tabla, la formula es:
2A = (n1e2+n2e3+n3e4+n4e5+n5e6+n6) -
(e1n8+e2n3+e3n4+e4n5+e5n6+e6n1)
n1,n2,.....,n6: son lo valores de las coordenadas norte de los puntos desde 1
hasta 6.
e1,e2,.....,e6: son lo valores de las coordenadas este de los puntos desde 1
hasta 6.
A: área del lote.
Generalizando, dos veces el área del lote es igual a la sumatoria de los
productos de la norte por la este, en el sentido que indica la flecha , menos
la sumatoria de los productos de la norte por la este en este sentido /
2A = Σ

- Σ

/
- Segundo método: otra forma de ordenar las coordenadas es la siguiente:
⊕
Norte Este
e6
1 n1 e1
2 n2 e2
3 n3 e3
4 n4 e4
5 n5 e5
6 n6 e6
e1
En este caso se inicia con la última este y se termina con la primera este. la
formula es:
2A = n1(e2-e6)+n2(e3-e1)+n3(e4-e2)+n4(e5-e3)+n5(e6-e4)+n6(e1-e8)
Se emplea el segundo método para calcular el área del ejercicio:

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⊕
Norte Este
75.06
1 140.21 113.33
2 94.82 147.48
3 62.23 110.73
4 53.70 72.45
5 111.90 56.58
6 143.70 75.06
113.33
2A = 140.21(147.48-75.06)+94.82(110.73-113.33)+62.23(72.45-
147.48)+53.70(56.58-110.73)+111.90(75.06-72.45)+143.70(113.33-56.58).
2A = 10777.538 m2 por lo tanto A = 5388.769 m2.
NOTA: Para que el cálculo del área se pueda efectuar por este método, los
puntos de la poligonal deben ser enumerados de forma consecutiva y
siguiendo una determinada dirección. (sentido horario o contrahorario).
• Plano
Cuando se tienen coordenadas, es mucho más fácil construir el plano basta
con escoger la escala, dibujar el sistema de coordenadas y ubicar los puntos;
por ultimo se unen los puntos que conforman la poligonal.
• Práctica de campo.
Al estudiante debe efectuar un levantamiento de un lote por radiación, en
donde se evaluará: el diseño de la poligonal, centrado y nivelación del
equipo, la correcta utilización de los dispositivos del aparato, el proceso de
toma de datos, los cálculos y el dibujo del plano.

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BIBLIOGRAFIA PROPUESTA
Para el desarrollo de la temática, se propone la siguiente bibliografía:
1. Titulo: TOPOGRAFIA
Autor: ALVARO TORRES NIETO Y EDUARDO VILLATE BONILLA
Editorial: NORMA S.A. – Bogotá - Colombia - 1968
2. Titulo: TOPOGRAFÍA
Autor: NABOR BALLESTEROS TENA
Editorial: LIMUSA – México - 1984
3. Titulo: TOPOGRAFIA
Autor: DANTE ALCANTARA GARCIA
Editorial: McGRAW-HILL – México – 1990
4. Titulo: TOPOGRAFÍA MODERNA
Autor: RUSSELL C. BRINKER Y PAUL R. WOLF.
Editorial: HARLA – México – 1982.
5. Titulo: INTRODUCCION A LA TOPOGRAFIA
Autor: JAMES M. ANDERSON Y EDWARD M. MIKHAIL
Editorial: McGRAW-HILL – México 1988.
6. Titulo: TRATADO DE TOPOGRAFÍA
Autor: CLAUDIO PASINI
Editorial: Gustavo Gill, S.A. – 1969.
7. Titulo: TOPOGRAFÍA APLICADA A LA CONSTRUCCIÓN
Autor: AUSTIN BAIRY
Editorial: LIMUSA – México, D.F. – 1976
8. Titulo: PRACTICAS DE TOPOGRAFIA, CARTOGRAFÍA Y
FOTOGRAMETRIA.
Autor: FRANCISCO VALDES DOMENECH
Editorial: EDICIONES CEAC, S.A. – 1989.
9. Titulo: APARATOS TOPOGRAFICOS

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Autor: FRANCISCO VALDES DOMENECH
Editorial: EDICIONES CEAC, S.A. – 1982.
10. Titulo: TEXTOS DE CALCULO Y TRIGONOMETRIA.
11. Titulo: TEXTOS DE MATEMATICAS (Conversión de unidades)
12. Titulo: TEXTOS DE GEOMETRIA PLANA Y DEL ESPACIO.
13. Titulo: TEXTOS DE FISICA GENERAL Y QUIMICA GENERAL.
14. Titulo: TEXTOS SOBRE TECNICAS DE DIBUJO
Titulo: TEXTOS DE GEOMETRIA ANALITICA.

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