Topografia basica I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
DPTO. TOPOGRAFÍA Y VÍAS DE TRANSPORTE
Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA
PROFESOR: Ing. Luis F. Manco Céspedes 1
1.0 INTRODUCCIÓN.-
Si pensamos en las obras de Ingeniería hechas por las civilizaciones antiguas como: Sus Caminos, Viviendas, Obras Hidráulicas, etc.
Las pirámides en Egipto: (Keops, Kefren y Micerino)
Las pirámides en México: (Teotihuacán)
La ciudadela de Machu - Picchu, el Templo al Sol de Koricancha o la Fortaleza de Sacsayhuamán en el Perú.
Podemos inferir que estas civilizaciones usaron equipos y métodos para medir y lograr perfectas y maravillosas obras.
En realidad se desconoce el origen de la topografía, se presume que los egipcios fueron los primeros que realizaron trabajos topográficos de acuerdo con referencias por las escenas representadas en muros, tablillas y papiros, de hombres realizando mediciones del terreno. A causa también de los desbordes periódicos del río Nilo, se vieron en la necesidad de restituir en su lugar de origen, los límites de la propiedad pública y privada que fueron dañadas por las crecidas.
Estos conocimientos se difundieron por el resto del mundo, enriquecidos con los avances de la técnica hasta llegar a modernos equipos y métodos con los que contamos hoy día.
1.1 GENERALIDADES.- Definiciones Importantes:
Astronomía.- Ciencia que estudia los astros que gravitan en el universo (Ejm.: Los planetas, el sol, los cometas). Principalmente las leyes que rigen sus movimientos.
Geodesia.- Es la ciencia que tiene por objeto el estudio de la forma y dimensiones de la tierra, o sea, conocer la posición relativa de los puntos que nos convengan, cualquiera que ellos sean, pero teniendo en cuenta la curvatura terrestre.
Topografía.- Es la ciencia que estudia el conjunto de procedimientos para determinar las posiciones de puntos sobre la superficie de la tierra, por medio de medidas según los tres elementos del espacio y despreciando para ello la curvatura terrestre.
Levantamiento Topográfico.- Tiene como objetivo el estudio de los métodos necesarios para llegar a representar un terreno con todos sus detalles naturales o creados por la mano del hombre, para lo cual se basa esencialmente en la geometría plana, geometría del espacio, trigonometría y matemáticas en general. Además del conocimiento de estas materias, se hacen necesarios algunas cualidades personales, como por ejemplo: Iniciativa, habilidad para manejar los aparatos topográficos, habilidades para tratar a las personas, confianza en sí mismo y buen criterio general.
Fotogrametría.- Ciencia que se propone determinar la posición relativa de un punto sobre la superficie terrestre, mediante la observación de modelos fotográficos tridimensionales, formados por pires estereográficos, relacionados topográficamente.

1.2 FORMAS Y DIMENSIONES DE LA TIERRA.-
El Geoide y Elipsoide de Revolución.- Si prolongamos el nivel medio del mar (NMM) por debajo de los continentes, obtendremos una superficie de referencia con el mismo potencial en todos sus puntos, que se denomina Geoide, de forma irregular e imposible de representar matemáticamente.
Este geoide de forma irregular y desconocida se adapta aproximadamente a un elipsoide de revolución achatada por los polos o esferoide.
Como el geoide· es desconocido, no podemos aceptarla como superficie de referencia, y por eso que lo que se ha hecho es adoptar el esferoide de revolución como superficie de referencia.
Por tal motivo, nunca debemos confundir geoide con esferoide, el primero es una superficie física real, imposible de representar matemáticamente, mientras que la segunda es una superficie matemática que nos sirve para referir a ella los puntos de control geodésicos.
Es necesario precisar la .ubicación de los puntos en que coincide el Geoide con el Elipsoide. Estos puntos se conocen con el nombre de DATUMS LOCALES y son escogidos de tal manera que ellos sean los más tangentes posibles a una determinada región o continente. De cada punto denominado DATUM es el origen de un elipsoide local.
En el Perú se trabaja con el Datum PSAD-56 ELIPSOIDE INTERNACIONAL (Provisional South América Datum of 1956), cuyo origen se encuentra en el lugar llamado La Canoa en Venezuela, Latitud 08°34'17.17" y Longitud 63°51t34.88"W, o 296°08'25.12"E y cuyas dimensiones son:
a = Semi eje Mayor = 6'378,388.000 mt.
b = Semi eje Menor = 6'356.911.946 mt.
= (a – b) / a = 1/ 297
es el aplanamiento, es un valor tan pequeño que significa que la tierra se diferencia muy poco de la esfera.

Sus Límites.- Si se supone que la tierra tiene forma esférica; entonces tenemos que decir, que las normales o plomadas, convergerían en un punto que sería el centro de la tierra.
Si la consideramos como un esferoide las normales estarían contenidas sobre el eje menor del esferoide.
Como las superficies de terreno sobre las cuales se realizarán las construcciones son de poca extensión, aún en los casos de carreteras, ferrocarriles, etc. No es necesario tener en cuenta la curvatura terrestre, ya que serían despreciables los errores que se cometerían por esta limitación.
Por tanto nosotros en el presenta curso de Topografía, consideremos que la tierra es plana, o sea que las normales en los diferentes puntos son paralelas.
Para tener una idea de la poca influencia que tiene considerar la tierra como una superficie plana, basta decir que la suma de los ángulos de un triángulo esférico difiere del triángulo plano en solo 1" por cada 200 Km2 de superficie.
También podemos comparar de:
a) Sin considerar la Curvatura Terrestre.
Tg 30' = (1/2) * d/R d= 2*R*Tg 30'
Si tomamos el R= 6,731 Km.
d= 2*6,371*0.0087268677
d= 111.19775 Km.
b) Si consideramos la Curvatura Terrestre.
arco AB= 2*PI*R*1º / 360º = 2*3.141592654*6,371*1º/360º
arco AB= 111.19493 Km.

c) Comparando finalmente tenemos: d – arco AB= 2.82 mt.
Er = (d – AB) / ( d + AB) /2) = 2.82/111,196.34 = 1/39,431
Er = 1/40,000
Esto significa que se comete el error de un metro, cada 40,000 metros medidos.
1.3 PUNTOS TOPOGRÁFICOS.-
Son puntos de posición relativa, ubicado sobre la superficie terrestre.
Punto Permanente.- Punto topográfico fijado que evita, se altere la información topográfica, durante la planificación, diseño y construcción de un proyecto determinado.
Punto Temporal.- Punto topográfico fijado provisionalmente o de corto periodo referencial, generalmente son ubicados dentro área de trabajo.
Señalización.- La forma de señalizar los puntos temporales es con estacas de madera o marcas de pinturas. En el caso de los puntos permanentes se confeccionan hitos de concreto con un fierro de construcción de 1/2" en el centro.
Métodos de ubicación del punto topográfico en el terreno.- (trabajando en un plano).
a) Dirección y distancia desde un punto ya conocido.
b) La Dirección desde dos puntos conocidos.

Nota: Si se agrega la elevación el punto quedara totalmente definido.
c) La dirección desde un punto y su distancia desde otro, ambos ya conocidos.
Etapas de un Proceso Topográfico:
a) Plan de Trabajo.- En la planificación del trabajo topográfico, primero hay que preguntarse cuál es el objetivo y alcances, para luego seleccionar el método a emplear, así como el equipo y personal. En esta etapa se estima el tiempo o período probable que demorará el trabajo y su respectivo costo.
b) Trabajos de Campo.- Es la etapa en que se toman o se realizan las mediciones y registros de datos de campo.
Trabajos de Gabinete:
c) Procesamiento de datos.- Con la información obtenida en campo, se procede al cálculo y ajustes, para luego poder determinar ubicaciones, así como áreas, volúmenes, etc.
d) Dibujo de planos.- Una vez obtenido los ajustes de la información traída de campo, se procederá a platear los puntos sobre una cartulina o papel, de la unión de estos puntos se obtendrá los gráficos que determinara el plano correspondiente.
1.4 ESCALAS.-
Después de tener todos los datos de campo procesados se requiere graficar, para lo cual buscaremos una figura semejante a la real (campo), por lo que adoptaremos una relación de semejanza (en el papel).
Numéricas.- La escala numérica se define como una relación en forma de quebrado, en la que se tiene como numerador la unidad que representa al papel y en el denominador un número mayor que representa al terreno, Ejm.: 1/100, 1/200, 1/250, 1/500, etc.
Gráfica.- La escala Gráfica son las que van construidas al borde de los planos y se representa por una recta dividida en partes iguales, anotando en cada uno a partir de cero la magnitud equivalente al terreno. Ejm.:

2.0. PLANIMETRÍA.-
Estudia los procedimientos para fijar las posiciones de los puntos del terreno, proyectándolos sobre un
plano horizontal, sin tener en cuenta sus elevaciones.
2.1. MEDIDAS DE DISTANCIAS.-
Se pueden realizar en forma directa o en forma indirecta.
2.2. UNIDADES DE MEDIDAS.-
Cuando hablemos de longitudes. La unidad patrón es el metro (m.)
2.3. PRECISIÓN DE LAS MEDIDAS.-
La precisión es la relación que existe entre el error v la distancia en la cual comeremos el error.
P = error / distancia = 1 / (d/e)
Un error no expresa nada, si no viene acompañado de la magnitud a la cual pertenece ese error.
Ejemplo 1: Se ha medido una distancia en dos oportunidades y nos da los siguientes resultados:
125.15 111. Y 125.07 m. ¿Cuál es el valor representativo, el error y la precisión de la medición?
Sol.:
Valor promedio = (125.15+125.07)/2 = 125.11
125.11 = es el valor representativo de ambos.
El error con que queda esta cantidad es: 125. 15. 25.07 = 0.08 m.
La precisión de la longitud medida será: P= 1/(125.11/0.08) = 1/1,563.88
P= 1/1.600
Ejemplo 2: Se ha medido una distancia en dos oportunidades y nos da los siguientes resultados:
3138.12 m y 388.24 m. ¿Cuál es el valor representativo el error y la precisión de la medición?
Sol.:
Valor promedio = (388.12 + 388.24)/2 = 388.18
388. 18= es el valor representativo de ambos.
El error con que queda es la cantidad es: 388.12 - 388.24 = 0.12 m.
La precisión de la longitud medida será: P = 1 / (388.18/0.l2) = 1 / 3,234.83
P = 1 / 3.200
Del ejemplo 1 y 2:
Si comparamos los errores: 0.08 y 0.12, NO podemos concluir cuál de las mediciones tiene mejor
calidad; pero si:
1.700
1
3,200
1

Numéricamente no se cumple la desigualdad, pero en cuanto al concepto que representa sí.

Nota: Las distancias que necesitamos para confeccionar los planos topográficos son las
horizontales.
2.4. MEDICIÓN DIRECTA DE DISTANCIAS.-
Son aquellas mediciones que se realizan directamente sobre el terreno, Ejm.:
a) A Pasos.- Aplicando la antropometría podemos determinar la medida de nuestro "paso normal".
Esta forma de medir longitudes se usa para reconocimientos por ser de baja precisión.
Existe un instrumento que tiene la forma de un reloj de bolsillo, llamado podómetro que sirve para
contar los pasos de una persona.
b) Con Cintas Graduadas.- Estas cimas están hechas de diferentes materiales longitudes y pesos.
Las más usadas son las de lona, fibra de vidrio y acero. En el mercado las encontramos de la,
20,30, 50 y 100 metros de longitud.
 Las cimas de lona y fibra de vidrio son usadas para trabajos de cierra precisión o de alineamientos
cortos.
 Las cintas de acero se usan para trabajos que requieren precisiones mayores a 1/5.000.
c) Con Equipo Electrónico.- En la actualidad con el desarrollo tecnológico se logra medir distancias
de altas precisiones, por encima de 1/10.000, algunos de estos equipos son:
 Distanciómetro: Instrumento que permite medir grandes distancias con rapidez y mayor exactitud
que se basa en principios físicos matemáticos.
V  e / t…… e  v* t
Cuando la pendiente del terreno es constante también se puede medir con la cinta paralela al
terreno (distancia inclinada), pero se deberá medir el ángulo vertical o pendiente para después
calcular la proyección horizontal.
dAB a  b c cos

2.5. TRABAJOS ELEMENTALES CON JALONES Y CINTAS GRADUADAS.-
Alineamientos.- Desde el punto de vista planimétrico se considera como alineamiento de AB, a la recta que resulta de proyectar dichos puntos .4. A y B. sobre un plano horizontal.
Perfil.- Desde el punto de vista altimétrico se considera como perfil de AB, a la línea ondulada formada por la superficie del terreno.
3.0. TRAZADO DE PERPENDICULARES Y PARALELAS.-
Levantar una perpendicular a una línea en un punto dado:
Se forma un triángulo rectángulo con una sola cinta, para ello empleamos lados de 3,4 y 5 m. o múltiplos de ellos. Tres personas sostienen las marcas en la cinta: Una en la marca de 3m., otra en la de 7 m. y otra juntando el 0 y 12 m.
Midiendo distancias iguales cualesquiera sobre el mismo alineamiento a ambos lados del punto.
a)
b)

Trazar desde un punto “C”, una perpendicular a una línea AB:
Se marcarán sobre la línea AB dos puntos a igual distancia del punto “C”, y a la mitad de su separación queda la normal que viene de
Cuando el punto “C”, es inaccesible pero visible. Se forma un triángulo con los puntos auxiliares 1 y 2 sobre la línea AB y se bajan de ellas normales a los lados opuestos, es decir al turas del triángulo. Por: la intersecci6n de ambos alturas pasará la normal. (Altura que baja de “C”).
Trazar una paralela a la Línea AB, por un punto “C”:
Midiendo la distancia normal desde el punto “C” a la línea AB y repitiendo la operación más adelante en otro punto cualquiera.
Trazando una línea inclinada desde el punto “C” a la línea AB, luego por el punto medio de esta línea inclinada, hacer pasar el punto medio de otra línea inclinada que parte desde la línea AB y termina en 1, luego al unir C1, se logrará la paralela a AB.
3.1. MEDICIONES ENTRE PUNTOS ACCESIBLES E INACCESIBLES.-
Se toma un triángulo en un punto auxiliar P y de A, se traza una normal al lado BP, que cae en Q. Luego los triángulos ABP y QAP, son semejantes.
Del gráfico:
(AB / QA) = (AP / QP)
AB = (QA x AP) / QP
Todas las longitudes se pueden medir en la zona accesible, para determinar la longitud de AB.
a)
b)
a)
b)

Medidas de ángulos con cinta.- El ángulo formado por la intersección de dos alineamientos se puede
determinar usando cintas de la siguiente manera:
- Se mide una longitud
X en ambos
alineamientos AB y
AC, determinando
los puntos b y c.
- Se une los puntos b
y c.
- Se determina el
punto medio entre b
y c.
Luego: Sen º / 2 bc / 2/  bc/2*
arcsen bc/2* º / 2  º  2 arcsenbc /2*
3.2. CÓDIGO DE SEÑALES.-
Si no contamos con equipos de comunicación como radios portátiles se pueden usar código de señales
tales como:
a) Para Aplomar.- Con el brazo izquierdo o derecho levantado
y dejando caer ligeramente, indica que el jalón debe ser
aplomado en ese sentido.
Cuando se hace oscilar el brazo amplio y rápido, se indica un
movimiento grande; Un movimiento corto y lento indica un
movimiento pequeño.
b) Establecer un Punto de Paso.- Con el brazo alzado se describe un círculo sobre
la cabeza, esto indica la solicitud de colocar un punto de cambio.
c) Colocar el Jalón o Mira.- Con el jalón en posición correcta,
indica que el jalonero está en condición de trabajo.
Con el jalón suspendido horizontalmente con los dos brazos
alzados sobre la cabeza, indica comprobación del punto.

d) Operación Final.- Con los dos brazos levantados y agitándolos
sobre la cabeza, indica que el jalón está correcta.
Cuando se quiere recoger y dar por terminado el trabajo en ese
punto, se extiende los brazos hacia arriba y se lleva hacia el
hombro.
e) Los Números.- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0.
Levantamiento con Cinta.- Si se desea efectuar el levantamiento de un terreno usando cinta y jalones
para determinar su área, se puede emplear métodos, uno de ellos es el siguiente:
Semiperímetro:
p = (a + b + c ) / 2
Luego se determina:
S pp a p b p c 2    
También: S B*h / 2 2 
@ Áreas adicionales.
Nota: El buen conocimiento de estas señales, trae como consecuencia un considerable ahorro
de tiempo en los trabajos de campo.

Área del Trapecio:
A Y Y *h / 2 1 2  
A Ad. h Y Y / 2 Y Y / 2 ...... Y Y / 2) 1 2 2 3 n 1 n        
A Ad. h Y Y  ...... Y Y Y / 2) 2 3 n 1 1 n       
h: La equidistancia está en función de las sinuosidades del terreno. (Normalmente se usa h = 20 m.)
y: Son alturas, medidas normales al lado del polígono.
3.3. MEDIDAS INDIRECTAS DE DISTANCIAS.-
Son aquellas medidas que se determinan con la ayuda de fórmulas matemáticas o físicas y no
necesariamente son recorriendo el tramo en su totalidad.
a) Con Estadía.- Llamada distancia estadimétrica, se realiza con la ayuda de un teodolito y una mira;
Es una distancia que tiene poca precisión y se usa en rellenos topográficos o levantamiento de
detalles y cuando las características del terreno hacen difícil el empleo de cintas.

b) Con Miras Invar en Posición Horizontal.-Con este equipo se logra calcular longitudes de cierta precisión, dependiendo para ello del teodolito que se use. Es muy importante s í se requiere precisiones buenas se use teodolito al segundo (1").
La medición se ilustra en el gráfico siguiente:
La barra o mira invar mide 2.00 m.
4.0. MEDIDAS DE ÁNGULOS Y DIRECCIONES.-
Como la finalidad de la topografía es la localización de puntos y uno de los elementos para fijar un punto es la medición de ángulos y direcciones, entonces nos ocuparemos de estudiar ello.
Definiciones: Meridiano Geométrico y Magnético.-
El movimiento de rotación de la tierra, se realiza al rededor del eje polar, y se llama polar porque este eje se intersecta con la superficie de la tierra en los polos.
Se llama meridiano a la curva de la superficie terrestre que resulta de la intersección de la tierra con cualquier plano que contenga al eje polar.
Cuando los polos son magnéticos, entonces los meridianos serán magnéticos.
El meridiano geométrico no es paralelo al meridiano magnético, porque los polos magnéticos están separados de los geográficos y cambian constantemente de posición.
Declinación Magnética.- Es el ángulo horizontal medido desde el Norte Verdadero o Geográfico hacia el Norte Magnético, que es la dirección definida por la aguja de una brújula.

La declinación puede ser Este ( E  ) o Oeste ( w  ), si el
norte magnético se encuentra al este u oeste del norte
verdadero.
Si unimos los puntos· de igual declinación magnética que
existen sobre la superficie de terrestre determinaremos
unas curvas llamadas ISOGÓNICAS.
La declinación sufre variaciones que se clasifican en
Seculares, Anuales, Diurnas e Irregulares; Los tres
primeros son variaciones que sufren con el tiempo, es por
eso que hay que anotar la fecha y hora cuando se trabaja
con orientación magnética.
La variación diurna de la declinaci6n en cuanto a su amplitud es distinta en localidades diferentes y es
mayor en verano que en invierno. En general se tiene que:
TIEMPO MOVIMIENTO
09 a 15 hrs.
15 a 21 hrs.
21 a 02 hrs.
02 a 09 hrs.
Reposo en posición media.
Hasta un máximo de 2a 5' Este como promedio.
Hasta un máximo de 2 a 5' Oeste como promedio.
A la posición media.
La variación anual de la declinación en cuanto a su amplitud es aproximadamente de 1', esto varía
según las localidades.
La variación secular de la declinación es un movimiento progresivo constante hacia el este o hacia el
oeste, la amplitud puede variar anualmente de 5 a 10'. Es la variación más importante.
Según la localidad (Latitud) la máxima declinación, puede llegar hasta 30° al este o al oeste.
La variación irregular no se pueden determinar, ya que se deben a tormentas magnéticas y pueden ser
variaciones muy grandes.
4.1. CONVERGENCIA DE MERIDIANOS.-
Las líneas que se trazan sobre la superficie de la tierra, conocidas como
meridianos “convergen” en el eje polar, por lo que podemos indicar que
las direcciones que siguen no son paralelas entre sí, con excepción de
los puntos sobre el Ecuador.
Considerando A Y B dos puntos de la superficie de la tierra de igual
Latitud y de Longitud A  y B  respectivamente. Se tiene que para
un grado (1") de Longitud de arco es: r1º /180º , entonces
longitud de arco AB es:

 
r OB OA
r /180º.......1 A B
 
   
Si consideramos de la figura una circunferencia con centro en T y de radio TA = TB.
Entonces longitud del arco AB=  TBATB/180º.......2
Luego igualando 1 = 2, tenemos:
OB /180º TB(ATB) /180º y como OB TBSen º A B       
TBSen º  /180º TB(ATB) /180º A B      
ATB  Sen º Ángulo convergencia. A B     
 Latitud.- Es el ángulo formado entre el plano del Ecuador y la normal a la superficie en el punto en
cuestión. Se mide de 0° a 90° y es (+) Norte o (-)Sur.
 Longitud.- Es el ángulo medido sobre el plano del Ecuador, entre un meridiano fijo de referencia
llamado primer meridiano que pasa por GREENWICH y el meridiano en cuesti6n. Se mide de 00 a
1800 al Este o Oeste del meridiano de Greenwich.  ,  Coordenadas Geográficas.
En el caso general, cuando las latitudes son diferentes, entonces se emplea la misma fórmula, pero
con el promedio de ellas.
Ángulo de convergencia=  Sen  º º/ 2 A B A B      de los meridianos de A y B.
Direcciones y Ángulos.- Se llama dirección de una línea de proyección h6rizontal al ángulo horizontal
formado por esta línea y otra que se toma como referencia.
4.2. AZlMUT y RUMBOS
Rumbos.- Se llama rumbo al ángulo formado entre un
meridiano dado y la dirección de una línea. El ángulo formado
varía de 0° a 90º en dirección este o oeste. El rumbo puede
ser Magnético, Verdadero (Geográfico) o Arbitrario según sea
el meridiano que se tome. Para calcular el rumbo inverso, solo
se toma el cuadrante opuesto, manteniendo el ángulo.
Azimut.- Se llanta azimut al ángulo formado entre un
meridiano dado y la dirección de una línea medido
ascendentemente a la derecha. El ángulo formado varía de 0°
a 360°. El azimut puede ser Magnético, Verdadero o Arbitrario,
según sea el meridiano que se tome. Para calcular el azimut
inverso se le suma o se le resta 180° al Azimut directo.
Sus Relaciones.- Si se conoce el rumbo de una línea entonces podemos relacionarlo con su azimut y
viceversa.

   
 
Az 180
R S E
OB
OB
R S 180 W
Az
OC
OC
    
 
Azimut y Rumbos Observados y Calculados.- La observación de los AZIMUT y rumbos cuando se
tratan de magnéticos se hacen con la brújula. También se puede observar los AZlMUT magnéticos con
los teodolitos que tienen el dispositivo llamado declinatoria, que es una aguja magnética que se
incorpora al teodolito y que tiene un rango de movimiento muy pequeño.
Los azimut verdaderos se pueden calcular mediante observaciones astronómicas, para ello se
determina primero los meridianos verdaderos.
Hoy en día existen equipos de alta tecnología que resuelven el problema con ayuda de los satélites.
Uno estos equipos es el GPS.
4.3. CLASES DE ÁNGULOS.-
Posición Azimutal.- Los ángulos tienen una posición azimutal, cuando parten de un meridiano dado
hacia un alineamiento o dirección, proyectando sobre un plano horizontal de referencia.
Posición Vertical.- El ángulo vertical se forma a, partir del plano
horizontal de referencia y puede ser de elevación o depresión. Se
llama de elevación cuando parten del plano horizontal hacia el
Zenit y se llama de depresión cuando parten del plano horizontal
hacia el Nadir.
4.4. LA BRÚJULA.-
Es un equipo que determina orientaciones basadas en el
magnetismo terrestre, es decir determina el ángulo que forma una
línea en relaci6n con "el meridiano magnético.
La brújula ha servido al hombre desde la antigüedad, mucho antes de la aparición del teodolito y de los
otros equipos topográficos, era ya utilizado para la realización de mediciones angulares y para la
orientación en los levantamientos de los terrenos. Si bien es cierto que su origen y uso fue para la
navegación, hoy en día sigue representando un magnifico auxiliar en levantamientos complementarios,
en estudios de arqueología, geología, forestales etc.

Su Estructura y Partes Principales.- La principal pieza de la brújula la constituye una aguja magnética que puede girar libremente alrededor de su centro de gravedad y dado que los polos magnéticos de la tierra actúan corno grandes imanes, la aguja tenderá siempre a estar alineada en esa direcci6n, siguiendo las leyes del magnetismo para definir la línea Norte - Sur o meridiano magnético.
Sus Partes.- Caja de la brújula, tapa de la brújula, aguja magnética, contrapeso en la parte que apunta al sur en la aguja, nivel o burbuja circular, nivel tubular, pivoteo y eje de giro o eje acimutal, circulo graduado de 0° a 3600 (para medir acimut) o dividido en 4 partes de 0° a 360º (para medir directamente rumbos), semi-circulo graduado para medir ángulos de inclinaci6n con respecto a la horizontal definida por el nivel tubular, mirilla, botón que sujeta o bloquea la aguja magnética al cerrar la tapa de la caja, tornillo para ajuste de la brújula y para la corrección de la declinación magnética, línea que divide el circulo descrito por el espejo de la tapa de la caja.
Atracción Local.- Se dice que existe atracción local cuando la dirección de la línea señalada por la brújula se altera; Esta variación es originada por la presencia de metales u objetos de hierro, acero y/o por corriente eléctrica.
Cuando el rumbo de una línea tomada desde inicial no es contrarumbo +180°, que en los puntos de esa línea atracción local.
Levantamiento con Brújula.- El caso más utilizado es calcular un polígono, para lo cual se toman las medidas de los lados del polígono y se toma en cada estación o vértice de la poligonal el rumbo atrás y el rumbo adelante a fin de chequear la atracción local.

Ejemplo.- Datos de campo:
ESTACIÓN PUNTO OBSERV. DISTANCIA RUMBO OBSERV.
A
D
B
d1
S60º48'E
N52º00'E
B
A
C
d2
S52º40'W
S29º44'E
C
B
D
d3
N 29º44'W
S31º40'W
D
C
A
d4
N 32º 02'E
N 61º 02'W
Cálculos.- Ángulos interiores:
 A 180º52º00'60º48'  67º12'  B  52º40'29º44' 82º24'
 C 180º29º44'31º40 118º36'  D  32º02'61º02' 93º04'
Sumando los ángulos internos calculados del polígono tenemos:
 iOBS.  67º12'82º24'118º36'93º04'
 iOBS.  361º16'
Por condición geométrica para el polígono tenemos:
 i 180º n 2180º 42 360º00' TEORÍA

Luego entonces el error angular en el cálculo de los ángulos internos es = 1°16' en exceso, por lo tanto
la corrección que corresponde a cada ángulo es = - 19'
Ángulos corregidos:
 A  66º53' ;  B 82º05'
C 118º17' ;  D 92º45' , siendo la  iCORREG.  360º00'
Rumbos corregidos:
Analizando los datos de campo podemos observar que el lado Be, no tiene atracci6n local, por lo tanto
podemos decir que no tiene error: RBC= S29°44'E.
 
R S52 21'W
R S 82 05' 29 44' W
BA
BA
 
   
 
R S31 59'W
R S 180 180 17' 29 44' W
BA
CD
 
     
 
R S60 46'E
R S 180 66 53' 52 21' E
AD
AD
 
     
ESTACIÓN PUNTO OBSERV. DISTANCIA RUMBO OBSERV.
A
D
B
d1
S60º46'E
N52º21'E
B
A
C
d2
S52º21'W
S29º44'E
C
B
D
d3
N 29º44'W
S31º59'W
D
C
A
d4
N 31º 59'E
N 60º 46'W

5.0. EL TEODOLITO.-
Es un instrumento de orecisi6n diseñado para pedir ángulos horizontales y verticales desde un punto. Además se pueden medir distancias por taquimetría o por estadía y se usa también para alineamientos rectos.
Su Estructura y Partes Principales.- El teodolito está provisto de limbos, uno horizontal y otro vertical que nos permiten medir ángulos horizontales y verticales respectivamente. Esto debido a que el anteojo astronómico o telescopio puede girar respecto a un eje vertical y a un eje horizontal.
Dentro de sus principales partes tenemos:
a) Parte Fija.- Llamado también Base del teodolito en la cual encontramos:
 Soporte que se ajusta al trípode.
 Los tornillos de nivelación (tres).
 Base nivelante.
 Nivel circular de la Base nivelante.
 Tornillo de sujeción del limbo hrz.
 Tornillo de movimiento fino del limbo hrz.

b) Parte Móvil.- Llamado también Alidada, y tiene un movimiento de rotación horizontal. En ella encontramos:
 Plomada óptica.
 Nivel tubular del limbo horizontal.
 Nivel tubular del limbo vertical (cuando éste no es automático).
 Tornillo de sujeción horizontal.
 Tornillo de movimientos fino de la Alidada.
 Botón de micrómetro óptico.
 Espejo de iluminación.
c) En la Parte Superior de la Alidada.- Se encuentra el anteojo astronómico que tiene un movimiento vertical independiente de la Alidada, éste movimiento es controlado con un tornillo de sujeción vertical y un tornillo de movimiento fino vertical.
Este anteojo cuenta con dos oculares, uno para localizar el objetivo y otro pequeño para la lectura de los ángulos en los limbos, este ocular es reemplazado por una pantalla digital en los teodolitos electrónicos.
Ejes.- Como ya se dijo se cuenta con un eje vertical que permite la puesta en estación del equipo con ayuda de la plomada de hilo o la plomada óptica en los equipos modernos.
En cuanto al eje horizontal, cuando se hablar de teodolitos repetidores, éstos tienen doble eje, uno que sirve para el movimiento de la Alidada y otro para el movimiento del limbo horizontal en forma independiente de la Base y de la Alidada. En el caso de los teodolitos llamados reiteradores, se dice que tienen un solo eje horizontal ya que el limbo horizontal no tiene un movimiento independiente, éste se encuentra siempre en la base.
Anteojos.- Las partes principales del anteojo son el objetivo, la Retícula y el Ocular.
1. Ocular.
2. Hilos de Retículo.
3. Objetivo.
4. Lente de enfoque.
5. Tornillo de enfoque.
6. Línea de colimación.

Existen dos tipos de anteojos:
Los de enfoque externa en donde el enfoque se realizan moviendo el objetivo y los de enfoque interno en donde el enfoque se logran mediante un lente de enfoque. Estos son los que se usan actualmente por las ventajas que presentan:
1. El anteojo es más corto.
2. Ambos extremos del anteojo permanecer herméticamente sellados.
3. Elimina la constante de adicción en taquimetría.
De los hilos de retículo:
El hilo superior e inferior se encuentran equidistante (a), del hilo horizontal medio. Estos hilos superior e inferior sirven para la taquimetría. Sobre el plano de los hilos del retículo debe caer la imagen formada por el objetivo.
Los telescopios actuales vienen provistos de lentes que corrigen e invierten la imagen, por lo que el operador observa la imagen en forma directa, en los teodolitos que se observa la imagen invertida no representa ningún problema, salvo un poco de incomodidad al principio, que luego de algún tiempo pasa a segundo término.
Limbos.- Son círculos graduados sobre un disco que pueden ser de bronce, acero u otro metales con un borde plateado donde van gravados las divisiones que pueden corresponder a espacios de 30", 20", 10", 5", 1".

En cuanto a los limbos verticales se puede indicar que se encuentran al lado izquierdo del anteojo
cuando este está en posición directa; Este limbo es fijo y puede tener el cero en el Zenit o en el Nadir.
5.1. CLASIFICACIÓN DE TEODOLITOS.-
Se pueden clasificar por:
a) Precisión en sus Lecturas:
Teodolitos al segundo.- Permiten la lectura de grados, minutos y segundos, en algunos casos se
puede leer hasta las fracciones de segundo Ejm: Wild T2, Kern DKH2, Wild T3, Kern DKM3, etc.
Teodolitos al minuto.- Permiten la lectura de grados y minutos. En muchos de sus casos
fracciones de minutos: 30", 20", 10" y 6" Ejm: Wild T1A, Kern DKM1, Theo 020B, Wild ", T16, etc.
b) Por la Disposición de los Ejes Horizontales:
Teodolitos Reiteradores.- Son teodolitos que cuentan tan solo de un sistema de ejes para el
limbo horizontal (No se puede fijar el limbo a la Alidada); Generalmente son teodolitos al segundo.
Teodolitos Repetidores.-Son teodolitos que cuentan con doble sistema de ejes para el limbo
horizontal; Se puede fijar el limbo a la Alidada, entonces se puede decir que se está llevando el
ángulo.
5.2. MEDICIÓN DE ÁNGULO POR EL MÉTODO DE REPETICIÓN.-
Necesariamente para aplicar éste método, se debe contar con un teodolito repetidor. Procedimiento:
a) Soltar los bloqueos de la Base y la Alidada.
b) Fijar el limbo Hrz. a la Alidada en posición 0°00'00".
c) Apuntar al punto de partida, sujetando y afinando con los tornillos del limbo Hrz. de la base. La
posición de la lectura 0°0'00", no debe variar.
d) Soltar el tornillo de sujeción de la Alidada y girar el anteojo hasta la posición final. Fijar y afinar la
posición, con los tornillos de la Alidada.
e) Anotar la lectura del ángulo: º , ´, "
f) Soltar el tornillo de sujeción de la Base y girar el anteojo a la posición inicial, luego fijar y afinar en
ésta posición nuevamente el anteojo con los tornillos de la Base; la lectura seguirá siendo:
º , ´, "
g) Repetir la operación de d y e. Solo que la lectura ahora será de aproximadamente de dos veces la
primera: 2º , 2´, 2"  "
h) Lo anterior se repite cuatro veces y luego el resultado final será dividido entre cuatro para obtener
el valor del ángulo promedio.

Ángulo promedio: º 4ºº/ 4
6.0. POLlGONACIÓN.-
Generalidades.- Las poligonales son los elementos de apoyo para realizar un levantamiento
topográfico, en mucho de 103 casos se forma el polígono alrededor de los linderos del terreno,
constituyendo el perímetro de éste.
Nota: Se debe tener en cuenta que en muchos de los casos las últimas lecturas solo aparecen los
excesos de 360°, 720°, etc.
Para un mejor promedio, se hará igual número de mediciones en anteojo directo e invertido.

Si vamos a trabajar con equipos ópticos mecánicos se recomienda que los lados del polígono no excedan a 150 mts., por el alcance de sus lentes.
Brigadas y Equipo Necesario.- La brigada topográfica debe estar conformada por un mínimo de cuatro personas. El equipo necesario es: Un teodolito o una estación total, un nivel de ingeniero, una brújula, jalones, miras o prismas y winchas.
6.1. LEVANTAMIENTO POR EL MÉTODO DE RADIACIÓN.-
Se usa éste método cuando el área del terreno es relativamente pequeña y cumple con las siguientes condiciones:
- Desde un punto central lograr observar todos los linderos del terreno. Se debe formar un polígono, estableciendo vértices que contengan al perímetro del terreno.
- Los alineamientos desde el punto central a los vértices del polígono deben ser accesibles.
Debemos tener en cuenta que se debe usar éste método, cuando existe un dominio en el uso de los equipos topográficos, ya que la única medición que se puede verificar es volver a leer el AZIMUT hacia el punto inicial, éste solo probaría que el equipo no se ha movido o que se está manipulando bien. Pero no dice nada de la precisión de los demás datos tomados.
Procedimiento.- Tomar los siguientes datos de campo:
a) Medir desde el punto central las distancias horizontales a los vértices del polígono.
b) Medir los AZIMUT desde el punto central a los vértices del polígono.
Como dato adicional se debe tener las coordenadas del punto central o punto de partida.
Ejemplo: Datos de campo:
 Coordenada del punto de partida: G= (1000, 500)
 Distancias desde el punto de partida o central a los vértices del polígono:
Dist.
GA
=
85.225
mts.
Dist.
GB
=
70.882
mts.
Dist.
GC
=
92.670
mts.
Dist.
GD
=
102.205
mts. y
Dist.
GE
=
80.540
mts.
 Azimut, desde el punto de partida o central a los vértices del polígono.
Az
GA
=
44º36'20''
Az
GB
=
98º36'50''
Az
GC
=
168º12'10''
Az
GD
=
240º28'05''
Az
GE
=
330º39'25'' y
Az
GA
=
44º36'35''

6.2. LEVANTAMIENTO DE UN POLÍGONO POR EL MÉTODO PERIMETRAL.-
Este método se usa cuando los terrenos son bastantes grandes o existen obstáculos que impiden la
visibilidad necesaria en los métodos anteriores.
Al igual que en los métodos anteriores, el polígono se traza aproximadamente en los linderos del
terreno y desde los vértices se tomaran los detalles complementarios para el levantamiento a detalle
del área que se desea conocer.
Condiciones que Debe Cumplir el Polígono:
a) Que los vértices estén sobre puntos topográficos fijos y que permita la puesta en estación de un
teodolito.
b) Que exista visibilidad entre los vértices adyacentes.
c) Que se domine desde los vértices todo el área a levantar
Datos de Campo:
a) Los ángulos interiores o exteriores según el sentido en que se enumere los vértices del polígono.
Estos ángulos deben realizarse por el método de repetición.
b) Las distancias horizontales de los lados del polígono, debe tomarse con wincha y con la mayor
cuidado posible.
c) El Azimut de un lado del polígono, de preferencia del lado 12 o AB, para seguir un orden en el
cálculo.
Cálculos y Ajustes:
a) Calcular el error angular en el cierre del polígono:
eº  int . (observados)  int . (Teórico) o ext .
b) Compensar el e , si éste se encuentra dentro del error máximo de tolerancia:
e , max. T. =  Precisión del equipo.
b1) Si e  e max. T. (Se compensa).
b2) Si e  e max. T. (Se regresa al campo para volver tomar los datos).
Si el resultado es (b1) entonces se compensa, sumando o restando proporcionalmente el exceso o
faltante. En consecuencia la suma de los ángulos compensados debe ser igual a lo teórico.

c) Con los ángulos compensados y partiendo del Azimut observado se calcular los Azimutes de los
demás lados del polígono.
Ejemplo:
Calcular el AZ23, teniendo como Azimut de
partida el AZ12.
1. Sentido Horario:
AZ23 = AZ12 – 180º +  2
2. Sentido Antihorario:
AZ23 = AZ12 – 180º +  2
d) Calculado los Azimutes de todos los lados del polígono se procede a calcular sus proyecciones
correspondientes:
Ejemplo:
1)  N  d12 Cos AZ12
    E  d12 Cos AZ12
NN
2)     N  d23 Cos AZ23
    E  d23 Cos AZ23
JJ
3)     N  d34 Cos AZ34
    E  d34 Cos AZ34
J
Nota: No olvidarse de chequear el Azimut
12, al dar la vuelta completa en los
cálculos debe ser el mismo.

4)     N  d41 Cos AZ41
    E  d41 Cos AZ41
e) Una vez calcular o todas las proyecciones se suman independientemente,
N,S,E,Wy calcula el error en las proyecciones:
NS  N - S EW  E - W
W
f) Los errores en las
proyecciones NS y EW,
hacen que al reconstruir la
poligonal a partir de la
estación 1, al final no se
llegue a 1, si no a un punto
1´, que difiere de 1 en las
abscisas una cantidad igual
a EWy en las ordenadas
una cantidad igual a NS.
   2
EW
2
T  NS  
g) Con el error total y el perímetro, se calcula la precisión del polígono o Error Relativo.
ER 1/Perímetro /T
6.3. PRECISIONES, LÍMITES PARA LOS DIFERENTES TIPOS DE LEVANTAMIENTOS.-
LÍMITES MÍNIMOS TIPO DE LEVANTAMIENTO
1/10,000 Levantamientos Geodésicos.
1/5,000 Levantamientos en ciudades y terrenos de mucho valor.
1/2,500 Levantamientos en terrenos agrícolas.
1/2,000 Levantamientos en terrenos quebrados.
1/1,000 Levantamientos en terrenos de muy poco reconocimiento.
1/500 Levantamientos de terrenos de muy poco reconocimiento.
* Generalmente las distancias son tomados con teodolito y mira.
Nota: El valor de  Nes igual a  S y  E es igual a  W

a) Si la precisión es aceptada, entonces se procederá a distribuir los errores de las proyecciones,
según el escogido; Luego entonces el polígono quedara cerrado o compensado y el punto 1´
cerrara en el punto 1.
Existen dos métodos para repartir el error de cierre y hacer que las proyecciones N, S Y E, W den
sumas iguales y por lo tanto el polígono cierre perfectamente.
Método A: Usando las mismas proyecciones.
Para la corrección de las proyecciones N y S se aplicará:
C  NS*Proyección a corregir / pN pS
Para la corrección de las proyecciones E y W se aplicará:
C  EW*Proyección a corregir / pEpW
Método B: Usando los lados del polígono.
Para la corrección de las proyecciones N y S se aplicará:
*
Perímetro
NS
C

 Lado cuya Proyección se corregirá
Para la corrección de las proyecciones E y W se aplicará:
*
Perímetro
EW
C

 Lado cuya Proyección se corregirá
b) Una vez corregido las proyecciones se procederá a calcular las coordenadas de los vértices del
polígono, partiendo siempre de una coordenada conocida o relativa.
Nota: Para las proyecciones cuya suma ha dado mayor, la corrección es negativa y para la
que dado menor la corrección será positiva.
Nota: Para las proyecciones cuya suma ha dado mayor, la corrección es negativa y para la
que dado menor la corrección será positiva.

6.4. CALCULO DEL ÁREA DE UN POLÍGONO.-
Teniendo las coordenadas de un polígono, éste ya puede ser graficado y luego se puede calcular su
área por el método de los trapecios.
    A1  NA  NB  EB  EA
    A1  NB  NC  EC  EB
    A1  NC  ND  EC  ED
    A1  ND  NA  ED  EA
AT  A1  A2 A3 A4.........I
Se puede demostrar partiendo del I que el área del polígono es el resultante de calcular la determinante
de los vértices del polígono dividido entre dos.
Redes de Apoyo.- Las redes de apoyo como ya se
ha manifestado, son las poligonales y éstas pueden
ser carradas o abiertas.
Ángulo de Deflexión.- Es el ángulo
formado por la prolongación del lado
anterior y el lado siguiente y puede ser a la
izquierda (-) y a la derecha (+).
7.0. NIVELACIÓN.-
AT = (1/2)
NA EA
   
2
1
NB EB
NC EC
ND ED
NA EA

Generalidades.- La altimetría considera la diferencia de nivel existente entre puntos sobre la superficie de la tierra. Para conocer estas diferencias de nivel, necesitamos medir distancias verticales directa o indirectamente, a esta operación se denomina nivelación.
Superficie de Nivel.- Es la superficie imaginaria esferoidal que supone eliminar todas las irregularidades de la superficie terrestre.
Línea Horizontal.- Es una línea recta tangente a la superficie de nivel.
Nivel Medio del Mar.- Es la superficie de nivel de referencia o cota cero; todas las elevaciones tomadas desde el nivel medio del mar se denominan altitud.
Cotas.- Se define como cota de un punto situado sobre la superficie de la tierra, a la elevación del mismo con respecto a una superficie de nivel definido como referencia.
Marcas Fijas de Nivel (BM 6 BN...).- Las marcas fijas 6 BMs, son establecidas por instituciones especializadas; En el Perú el Instituto Geográfico Nacional (IGN), es el que se encarga de ello, tomando como referencia o cota cero "O" el nivel medio del mar; Estas cotas se establecen mediante nivelaciones de alta precisión y se sitúan en puntos o lugares donde puede garantizarse que no habrá asentamientos o desplazamiento y donde además pueda asegurarse la permanencia por un periodo considerable de años. Los lugares donde se sitúan más frecuentemente los BMs. son:
- Placas empotradas en estribos de puentes y alcantarillas.
- Placas empotradas en veredas importantes: Municipalidades, Colegios, Iglesias, etc.
- Como monumento de concreto, en los cerros más elevados. Ejm: Cerro San Cristóbal en Lima.
7.1. CURVATURA TERRESTRE Y REFRACCIÓN ATMOSFÉRICA.-
Existen dos factores que afectan las nivelaciones:
1. Curvatura Terrestre.
2. Refracción Atmosférica.
Del gráfico:

p"p = h' = Error por Curvatura Terrestre.
p'p" = r = Error por Refracción Atmosférica
p'p" = h = Error resultante o combinado.
K = Distancia en Kms entre los dos puntos.
h' = 0.078 k2mts.
h'= Se estima que es directamente proporcional al cuadrado de la:
r = - 0.010k2 mts.
r = Se puede eliminar tomando observaciones recíprocas. Esto varía con las temperaturas, la presión
Atmosférica y el lugar.
h = 0.068 k2 mts.
En nivelaciones de alta precisión -Nivelaciones Geodésicas- se debe tener en cuenta estos dos
fenómenos, por lo que se procederá a realizar las correcciones respectivas.
7.2. NIVELACIÓN DIFERENCIAL.-
Es el procedimiento por el cual se determina la diferencia de nivel entre dos puntos (A y B); Esto se
realiza colocando equidistante el instrumento - NIVEL - entre los puntos A Y B totalmente o
perfectamente nivelado, el que nos determina una superficie horizontal paralela a la superficie de
referencia.
El aparato se coloca al centro entre los dos estadales con el objeto de compensar de alguna manera,
los errores que pueden producirse debidos a la refracción atmosférica y a la curvatura terrestre.
Se determina el dhAB (desnivel
entre A y B):
H L L a b
b L h'b
a L h'a
dh L L
A B
B
A
AB A B
   
 
 
 
Niveles de Ingeniero:
 Se desarrollara en la práctica de campo: tipos y clases de niveles y miras.
7.3. NIVELACIÓN DIFERENCIAL SIMPLE.-
Cuando los puntos cuyo desnivel se pretende hallar,
están lo suficientemente cerca, uno de otro, de tal forma
que con una sola estación del instrumento se pueda
visar sobre ambos puntos y calcular el desnivel,
entonces se dice la nivelación es diferencial simple.
dh 1.021 m.
dh 1.788 0.767
dh L L
AB
AB
AB A B

 
 
Si la cota de A, es 100.205 msnm, entonces la cota de B será: 100.205 + 1.021 = 101.226 msnm.

Podemos afirmar entonces:
Si:
LA = LB = El desnivel entre A y B es cero dhAB =0
LA> LB = El punto B está por encima del punto A.
LA < LB == El punto B está por debajo del punto A.
7.4. NIVELACIÓN COMPUESTA.-
Cuando los puntos cuyo desnivel se pretende hallar, se encuentran muy distantes y por lo tanto con
una sola puesta del instrumento no se puede resolver el problema, entonces se procede a realizar
varias nivelaciones diferenciales simples enlazadas una a una, a esta operación se le conoce como la
nivelación compuesta.
Los puntos que tiene vistas 6 lecturas (+) y (-) a la vez, se les conoce como puntos de cambio y son el
punto de uni6n de las nivelaciones simples.
Ejemplo:
Registro en Libreta de campo.
Desnivel entre los puntos A y D.
PTO. OBSV. L (+) NR L (-) COTA
A 1.501 111.501 110.000
B 0.010 111.111 0.400 111.101
C 1.749 111.047 1.813 109.298
D 0.636 110.411
Comprobación:
dh 0.411
3.260 2.849
AD 
  
Podemos ver que si restamos: L() L() nos da el mismo resultado si restamos: Cota A - Cota D.

7.5. NIVELACIÓN CIRCUITO CERRADO.-
Son nivelaciones que parten de un punto de cota conocida -Ejemplo: BM1- y después de recorrer un
cierto tramo regresan o cierran la nivelación en el mismo punto de partida - BM1-, con el propósito de
obtener un error de cierre de la nivelación.
Ejemplo:
Registro en Libreta de Campo:
NIVELACIÓN CIRCUITO CERRADO
PTO. L(+) NR L(-) COTA
A
B
C
D
E
A
LA
LB
LC
LD
LE
L'B
L'C
L'D
L'E
L'A
a
a'
Comprobación:  L L
Error de cierre: Ec = a – a'
Ec= L L
Comprobación
7.6. NIVELACIÓN CIRCUITO ABIERTO.-
Son nivelaciones que parten de un punto de cota conocida -Ejemplo Bt11- y después de recorrer un
cierto tramo cierran la ni velación en ot.ro punto de cota conocida -Ejemplo BM2-
Ejemplo:

Registro en Libreta de Campo.
NIVELACIÓN CIRCUITO CERRADO
PTO. L(+) NR L(-) COTA
A
B
C
D
E
F
LA
LB
LC
LD
LE
L'B
L'C
L'D
L'E
L'F
BM1
BM2
Comprobación:  L L
Error de cierre: Ec = b – b'
Desnivel observado entre los BM1 y BM2:
dh'12  L L
Desnivel real entre los BM1 y BM2.
Dh12= a – b
Dónde: a = Cota de BM1
b= Cota de BM2
c= Cota observada de BM2
7.7. COMPENSACIÓN DE LAS NIVELACIONES.-
Para que se realice la compensación de la nivelación, ella debe encontrarse dentro de los rangos de
los errores permitidos según el tipo o clase de nivelación que se esté efectuando:
Ec  Ecm Es Buena!
Ecm   c K
Dónde:
Ec…….Error de cierre de la nivelación.
Ecm…..Error de cierre máximo de la nivelación.
c………Coeficiente de precisión.
k………Distancia recorrida en Kilómetros.

CLASE DE LA NIVELACIÓN LONGITUD DE LA VISUAL MÁX. APROXIMACIÓN EN LA LECTURA DE LA MIRA ERROR MÁXIMO EN METROS
Baja Precs.
300 mts.
2.50 cent.
0.050/K
Ordinaria
150 mts.
0.50 cent.
0.020/K
Precisión
80 mts.
0.10 cent.
0.010/K
Geodés. 2do.
80 mts.
0.10 cent.
0.008/K
Geodés. 1er.
80 mts.
0.05 cent.
0.005/K
Luego la compensación se realiza, asumiendo un error lineal en todo el recorrido de la nivelación, es decir:
Ec
d1 d2 d3 d4 d5
BM-1 A B C D BM-1
dT
Del gráfico se puede apreciar que existe una relación lineal entre los errores cometidos asumidos en cada punto nivelado y el error de cierre. Luego las correcciones en cada punto se pueden calcular mediante la semejanza de triángulos:
 Cálculo de la corrección en el Pto. A:
Ca = (Ec * d1) / dT
 Cálculo de la corrección en el Pto. A:
Cb = (Ec * d1+d2) / dT
 Análogamente se procede con los puntos C, D y BM – 1.
C bm – 1 = [Ec * (d1+d2+d3+d4+d5)] /dT
C bm – 1 = [Ec * (dT)] /dT
C bm – 1 = Ec
7.8. NIVELACIONES CON PUNTOS INTERMEDIOS.-
Son nivelaciones simples o compuestas que permiten dar cotas a puntos llamados intermedios; Estos puntos no afectan ni intervienen en el cálculo del error de cierre de la nivelación, pero tienen una gran aplicación dentro de los trabajos de topografía. Una de las aplicaciones es en perfiles longitudinales y secciones transversales, que se requieren en los proyectos de carreteras, aeropuertos, canales etc.

Ejm:
PTO. L(+) NR L(-) COTA OBSERV.
BM-1
1
2
A
3
B
4
5
C
6
BM-1
Lbm
La
Lb
Lc
L'1
L'2
L'a
L'3
L'b
L'4
L'5
L'c
L'6
L'bm
a
a'
Comentarios:
 En el ejemplo los puntos intermedios son: 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
 Los puntos intermedios no tienen lecturas positivas.
Determinación del Perfil, Longitudinal y Secciones Transversales:
Cualquier sección, recta o curva, determinada por la intersección de un plano vertical con el terreno, puede ser representada sobre un plano. Si tenemos de la sección, las cotas de la variación del terreno en una determinada longitud; Se puede graficar una ordenada que represente las elevaciones de cada punto. Uniendo por una línea continua, trazada a mano alzada los puntos representados, tendremos el perfil del terreno que corresponde a dicha sección. Las escalas que se recomiendan están en función a los planos de la planimetría. Es frecuente escoger la escala vertical un décimo de la escala horizontal; Si esto no satisface la representación del terreno, entonces se puede variar, hasta conseguirlo.
8.0. CURVAS DE NIVEL.-
En este capítulo estudiaremos el método de curvas de nivel, que se utiliza para representar el relieve del terreno. Veremos características, métodos para su obtención y formas más generalizadas de interpolación de las curvas de nivel sobre el plano topográfico.
8.1. MÉTODOS PARA REPRESENTAR EL RELIEVE.-
Las características que se muestran en los planos topográficos tales como: quebradas, ríos, carreteras, áreas de cultivo, edificaciones, etc. en su posición planimétrica correcta, requieren para ello medición de ángulos y distancias horizontales.
Cuando se requiera obtener en un plano, elementos verticales o relieve del terreno, es necesario utilizar algún artificio que permita conseguir el objetivo propuesto.
El sistema que se utilice para mostrar el relieve, debe construir un modelo del terreno fácil de interpretar y debe suministrar información necesaria para conocer la altura o elevación de cualquier punto que aparezca en el plano.
 Por medio de sombras y colores de las regiones con distinta elevación, nos da la impresión de ver la configuración del terreno. En este caso no nos ofrece información referente a la altura de punto

 El método de cotas, que consiste en situar al lado de cada punto la altura del mismo. En este caso es muy difícil imaginar la configuración del terreno.
 El método de curvas de nivel nos ofrece en forma clara y precisa no solo el relieve del terreno, sino también la elevación de cualquier punto perteneciente al mismo. El profesional especialista en obras viales, debe conocerlo, ya que todos los planos topográficos están efectuados siguiendo estos principios y es precisamente, sobre ellos donde nos basamos para proyectar los emplazamientos de nuestras obras.
Importancia del relieve:
El profesional especialista en obras viales necesita conocer el relieve del terreno para determinar el lugar adecuado para la construcción de una carretera, mediante el conocimiento del relieve del terreno se puede proyectar de tal forma que la cantidad de corte (excavación) y relleno (terraplén) necesarios para llegar a una rasante determinada, sea el mínimo.
8.2. CONCEPTO DE CURVA DE NIVEL.-
Se denomina CURVA DE NIVEL a la línea imaginaria, situada sobre la superficie de la tierra, que une puntos que tienen igual altura (cota) con respecto a una superficie de referencia.
En el Perú, esta superficie de referencia es el Nivel Medio del Mar cuya elevación se le denomina altitud.

La figura sinuosa que forma en el terreno la orilla de un lago, por ejemplo constituye una curva de nivel. Frecuentemente en los planos además de la representación planimétrica, se exige altimetría; planos con curvas de nivel a una distancia prefijada, mayor o menor según la índole del plano.
Interesa ahora tener una idea clara de las formas elementales del terreno y de su presentación en el piano y a la inversa, deducir del examen de las curvas de un plano, la forma del relieve que representan.
En la figura se representa la elevación de una isla. La línea de costa es una curva de nivel ya que todos sus puntos tienen la misma elevación cero y se denomina Curva de Nivel Medio del Mar.
En este mismo gráfico de curvas de nivel, se muestra en su parte superior las elevaciones interceptadas por planos horizontales uniformemente espaciados. En la parte media de los gráficos se muestra las áreas interceptadas por cada uno de dichos planos, donde su contorno representa,
precisamente, las curvas de nivel y por último el plano representando las curvas de nivel.

8.3. CARACTERÍSTICAS DE LAS CURVAS DE NIVEL.-
Entre las principales propiedades de las curvas de nivel tenemos:
- Todos los puntos de una curva de nivel tienen la misma elevación con respecto a una superficie de referencia.
- Las curvas de nivel son cerradas, ya sea en los límites del plano, donde muchas veces no se aprecia.
- Las elevaciones se distinguen por una serie de curvas cerradas, esto sucede cuando las curvas de nivel aumentan sus elevaciones hacia el centro. Las depresiones también son curvas cerradas, pero en este caso las curvas de nivel disminuyen su elevación hacia el centro.

- Las curvas de nivel jamás se cortan entre sí, excepto en el caso de risco colgante.
- Las curvas de nivel nunca se dividen o ramifican. En el caso de barrancos da la impresión que se bifurcan a ambos lados y no es así dado que se trata de distintas curvas de nivel separadas verticalmente una de otra, es decir, no es una misma curva que se ramifica.
- En una superficie plano no horizontal, las curvas de nivel. son líneas rectas y paralelas.

- En terrenos de pendiente uniforme las curvas de nivel aparecen igualmente espaciadas; a una menor separación entre curvas de nivel se tendrán pendientes más fuertes y a una mayor separación entre curvas de nivel se tendrán pendientes más suaves.
- Las depresiones situadas entre elevaciones se denominan sillas o pasos.
Aunque el terreno presenta formas variadísimas hay tres elementos fundamentales que nos ayudarán en la lectura e interpretación de planos: la vertiente, o ladera, la divisoria y el valle, o vaguada.
La vertiente o ladera, es una superficie de terreno inclinada bastante lisa, y queda representada por curvas casi rectilíneas.
La divisoria, es el encuentro de dos vertientes que se unen originando una superficie convexa. Sus curvas suelen ser más redondeadas y se caracteriza porque las curvas de cota envuelven a las de mayor cota. Si desde el punto C (en la figura) de la divisoria AB, trazamos las líneas de máxima pendiente (*) a una y otra vertientes, y una teórica gota de agua que cae en C, cada una de sus mitades se deslizará de acuerdo con cada una de las líneas; de ahí el nombre de divisoria de aguas.
El valle o vaguada, está formado por dos vertientes que se unen según una superficie cóncava y su representación se caracteriza porque las curvas de mayor cota envuelven a las de menor cota. Si desde los puntos M y N (en la figura) de cada una de las vertientes trazamos las líneas de máxima pendiente respectivas, estas seguirán una trayectoria bastante rectilínea hasta llegar a AB para descender luego a lo largo de ella, lo cual quiere decir que las aguas que caigan en estas laderas irán a parar a la mencionada línea AB para encauzarse a lo largo de ella.

El collado, en una forma más compleja, pero muy interesante ya que suele ser el paso más cómodo para cruzar una sierra. Está constituido por dos divisorias (MN en la figura) enfrentadas y dos vaguadas opuestas (AB en la figura). El collado (C en la figura) es el punto más bajo de las dos divisorias y el más alto de las dos vaguadas.
(*) Línea de máxima pendiente entre dos curvas de nivel, es la determinada por el segmento de menor longitud que las une (al tener todos los segmentos que las unen la misma diferencia de cota entre sus extremos, la máxima pendiente corresponde al de menor longitud).
8.4. CONCEPTOS DE EQUIDISTANCIA.-
La equidistancia es la separación vertical que existe entre curvas de nivel. La equidistancia se establece en función a varios factores, tales como: escala del plano, pendientes del terreno, etc.
Confección de un plano con curvas de nivel:
Para la confección de un plano a curvas de nivel, deben seguir los siguientes pasos:
a. Ubicación de los vértices de la red de apoyo (Polígono), respecto a la cual se tomaran los detalles que constituyen el relleno topográfico.
b. Representación de los detalles y ubicación de los puntos con su respectiva cota conocida que servirán para obtener el relieve.
c. Trazar las curvas de nivel a la equidistancia requerida, apoyándose en los puntos de cota conocida.
8.5. TIPOS DE CURVAS DE NIVEL.-
Existen dos tipos de curvas de nivel:
a) Curvas Maestras.- Son curvas de nivel que aparecen representadas en los mapas con un trazo de mayor grosor entre otras curvas dibujadas con un trazo más fino. Generalmente, cada cinco curvas de nivel. Estas curvas nos permiten visualizar la información topográfica rápidamente; ya que, al resaltar sobre el resto de las curvas de nivel nos permiten filtrar la información, sobre todo en zonas en las que aparecen pendientes muy altas y las curvas de nivel están muy próximas entre sí.

b) Curvas Intercaladas.- Son las curvas de nivel que aparecen entre las curvas de nivel maestras, se representan con un trazo de menor grosor.
La cota de curvas de nivel se indica con números colocados a intervalos convenientes, lo más usual es de cinco en cinco.
Entre los métodos para determinar las curvas de nivel podemos decir que existen los directos e indirectos:
Los métodos directos:
Consiste en determinar directamente en el terreno la curva de nivel, en cuanto a su posición Planimétrica y Altimétrica, son más precisos, pero, sin embargo, tienen la desventaja de su lentitud.
Los métodos indirectos:
Consiste en tomar puntos espaciados convenientemente dentro del área a levantar, luego las curvas de nivel se determinan por interpelación en gabinete. Este método es menos preciso que los directos, pero son los que más se usa por su rapidez.
Dentro de estos métodos podemos mencionar, por ejemplo:
- Secciones transversales y/o perfil longitudinal.
- Cuadrícula - Elevaciones aisladas
8.6. INTERPOLACIÓN DE CURVAS DE NIVEL.-
En la práctica existen tres métodos de interpolación de curvas de nivel: Aritmético o Analítico, Estima Y Gráfico.

a. Método Analítico.-La interpolación se realiza por proporciones aritméticas, obteniéndose una
interpolación matemáticamente exacta. En la actualidad, con las calculadoras programables, estas
operaciones son muy rápidas.
Ejemplo: Se desea determinar la curva 65.00
msnm., que pasa entre los puntos señalados en
et gráfico:
Por la proporción:
x
65.00 63.50
5cm
69.70 63.50 


X = (1.50 * 5)/ 6.20
X = 1.20 cm
Por lo tanto la curva 65.00, estará a 1.20 cm del punto A.
b. Método de Estima.-
Para obtener resultados satisfactorios
en este método es necesario que la
interpolación sea hecha por personas
de gran habilidad y experiencia. La
interpolación se realiza al ojo,
distribuyendo mentalmente el intervalo
que existe entre dos puntos de cota
conocida.
c. Método Gráfico.-
Podemos ayudamos mediante el empleo de tres procedimientos:
 Patrones transparentes, escalas y banda elástica.
8.7. PATRONES TRANSPARENTES.-
Se construyen sobre un papel
transparente una serie de líneas
radiales formando dichas líneas,
entre sí, un ángulo constante a
ambos lados de una línea central,
sobre la que se trazan
perpendiculares a intervalos
convenientes. A este método se
le conoce también como el
método de la guitarra.

Nota: En los métodos anteriormente mencionados, se ha supuesto, una pendiente constante entre los dos puntos.
8.8. ESCALAS
Con la ayuda de un escalímetro se determina una línea a cualquier escala, que pasa por A y en proporción a su cota.
Ejemplo:
En el gráfico se quiere determinar la interpolación con una equidistancia a 1.00 m, entre los puntos de cota: 30.52 y 35.63 metros respectivamente.
Entre ambos puntos pasaran cinco curvas de nivel: 31, 32, 33, 34 y 35 m.
Banda Elástica
Sobre una banda elástica se marcan, un número de pequeñas divisiones iguales. Esta banda puede ser estirada entre los dos puntos extremos de manera que existan, entre los mismos, el número de divisiones requeridas.
El inconveniente, es que se requiere de dos personas para realizar el trabajo.
Escalímetro o regla a cualquier escala.

Topografia basica I

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