Este documento presenta un índice y resumen de varios capítulos sobre topografía. En el Capítulo I, introduce la topografía, su definición, objetivo y aspectos históricos. Explica cómo se divide la topografía para su estudio y los equipos empleados. Los Capítulos II y III cubren fundamentos teóricos como medición de ángulos, nivelación y ejemplos de cálculos. El Capítulo IV presenta conclusiones.

1. INDICE
Página
Capitulo I : GENERALIDADES. : 4
− Introducción : 4
− Definición y objetivo de la topografía : 6
− Aspecto histórico : 7
− Actividades y divisiones para su estudio : 11
− Concepto de la Topografía : 12
− Objetivo: : 15
− Descripción del terreno: : 16
− Equipos utilizados: : 17
− Distribución del trabajo: : 17
− Procedimientos generales: : 18
Capitulo II : FUNDAMENTOS TEORICOS. : 22
− Elementos de los instrumentos topográficos : 22
− Levantamiento Topográfico : 35
− Levantamiento por poligonal : 35
− Levantamiento por radiación : 36
− Medición de un ángulo horizontal : 37
− Replanteo de un ángulo por repetición : 40
− Medición de un ángulo vertical : 40
− Métodos para la medición de ángulos : 41
− Taquimetría : 45
− El teodolito : 46
− Manejo y aplicación del Teodolito : 49
1

2. − Formula general de la Taquimetría : 52
− Errores y tolerancias : 53
− Tolerancias : 55
− Precisión : 58
− Curvas de nivel : 60
− Características : 61
− Planos con curvas de nivel : 61
− Pendientes : 63
− Nivelación : 64
− Errores y compensaciones de la nivelación : 64
− Fuentes de error : 65
− Nivelación directa : 65
− Comprobación de una nivelación : 67
− Compensación de una nivelación : 68
Capitulo III : METODOS Y EJEMPLOS DE CÁLCULOS.
: 71
− Métodos topográficos, redes : 71
− elementos de los instrumentos topográficos : 71
− Levantamiento por poligonal : 72
− Ejemplos de cálculos : 73
− Poligonal 2 : 76
− Poligonal 1 : 78
− Nivelación : 81
Capitulo IV : CONCLUSIONES.
− Conclusiones y comentarios : 82
− Bibliografía : 83
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3. − Radiaciones : 84
Anexos:
1.−
− Ángulos Interiores.
− Distancia entre estaciones.
− Coordenadas de Estaciones.
2.−
− Plano borrador
− Copia plano poligonales
− Copia plano levantamiento
Capitulo I : GENERALIDADES
INTRODUCCIÓN
La topografía es una ciencia aplicada que se encarga de determinar las posiciones relativas o absolutas de los
puntos sobre la tierra, así como la representación en un plano de una porción (limitada) de la superficie
terrestre. En otras palabras, la topografía estudia los métodos y procedimientos para hacer mediciones sobre el
terreno y su representación gráfica o analítica a una escala determinada. Ejecuta también replantees sobre el
terreno (trazos sobre el terreno) para la realización de diversas obras de ingeniería, a partir de las condiciones
del proyecto establecidas sobre un plano. Realiza también trabajos de deslinde, división de tierras (agrodesia),
catastro natural y urbano, así como levantamientos y replanteos o trazos en trabajos subterráneos.
Para practicar la topografía es necesario tener conocimientos de matemáticas en general, así como un
adiestramiento adecuado sobre el manejo de instrumentos para hacer mediciones. Para comprender mejor esta
ciencia y para profundizar en ella, es necesario poseer también conocimientos de física, cosmografía
astronomía, geología, y otras ciencias.
La diferencia entre la topografía y la geodesia está en los métodos y procedimientos de medición y cálculo
que emplean cada una de estas ciencias, pues la topografía realiza sus trabajos en porciones relativamente
pequeñas de la superficie terrestre, considerándola como plana, mientras la geodesia toma en cuenta la
curvatura terrestre, pues sus mediciones son sobre extensiones más grandes: Poblados, estados, países,
continentes o la tierra misma.
La topografía realiza sus actividades principales en el campo y el gabinete. En el campo se efectúan las
mediciones y recopilaciones de datos suficientes para dibujar en el plano una figura semejante al terreno que
se desea representar. A estas operaciones se les denomina levantamientos topográficos.
Sobre los planos, se hacen proyectos cuyos datos y especificaciones deben replantearse sobre el terreno. A
esta operación se le conoce como trazo.
Dentro de las actividades de gabinete se encuentran los métodos y procedimientos para el cálculo y el dibujo
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4. Para su estudio la topografía se divide en: planimetría y altimetría simultaneas, triangulación, trilateración y
fotogrametría.
El aprendizaje de la topografía es de suma importancia, no solo por los conocimientos y habilidades que
pueden adquirir, sino por la influencia didáctica de su estudio. Se destaca lo necesario y conveniente, desde el
punto de vista pedagógico, de esta disciplina: suministra el método y los procedimientos adecuados parta
realizar una gran parte de la educación científica por medio de esta asignatura.
El aprendizaje de la topografía es de suma importancia para todos aquellos que desean realizar estudios de
ingeniería en cualesquiera de sus ramas, así como para los estudiantes de arquitectura, no sólo por los
conocimientos y habilidades que puedan adquirir, sino por la influencia didáctica de su estudio. En el pasado,
en México se impartían conocimientos básicos de topografía en la enseñanza primaria. En este curso, se
empleaba como libro de texto, Curso Elemental de Topografía Práctica. Para uso de las Escuelas Primarias
Superiores de Manuel M. Zayas, ed. Herrero H. Suc., México (1906). En la introducción de este libro se
destaca lo necesario y conveniente, desde el punto de vista pedagógico, del estudio de esta disciplina y se
menciona: "suministra el método y los procedimientos adecuados para realizar una gran parte de la educación
científica de los niños por medio de esta asignatura". La intención y el contenido del libro, así como el curso
mismo, no pretendían que los estudiantes llegaran a ser expertos en la materia, como pudiera serlo un
ingeniero topógrafo, un ingeniero de cualesquier otra disciplina que hubiese llevado cursos de este tipo o un
técnico topógrafo, pero si resultaba un puente muy importante entre los conocimientos teóricos, de aritmética
y geometría y la práctica. También resultaba de particular importancia para otros cursos, como el de
geografía, por la posibilidad de entender e interpretar mapas. En fin, abría un horizonte más amplio para la
asimilación de otros conocimientos y quitaba la aridez y lo sin sentido que a veces se les considera a ciertas
materias, Hoy en día no se imparten cursos de este tipo a los niños, por la diversidad de temas que se cubren
en los actuales programas de estudio. Los libros de texto gratuito incluyen algunos temas teóricos de la
topografía; pero, de ser posible, sería provechoso que se dieran nociones y prácticas de esta ciencia.
DEFINICIÓN Y OBJETO
DE LA TOPOGRAFÍA
La topografía es una ciencia aplicada que se encarga de determinar las posiciones relativas o absolutas de los
puntos sobre la Tierra, así como la representación en un plano de una porción (limitada) de la superficie
terrestre. En otras palabras, la topografía estudia los métodos y procedimientos para hacer mediciones sobre el
terreno y su representación gráfica o analítica a una escala determinada. Ejecuta también replanteos sobre el
terreno (trazos sobre el terreno) para la realización de diversas obras de ingeniería, a partir de las condiciones
del proyecto establecidas sobre un plano. Realiza también trabajos de deslinde, división de tierras (agrodesia),
catastro rural y urbano, así como levantamientos y replanteos o trazos en trabajos subterráneos.
Para practicar la topografía es necesario tener conocimientos de matemáticas en general, así como un
adiestramiento adecuado sobre el manejo de instrumentos para hacer mediciones. Para comprender mejor esta
ciencia y para profundizar en ella, es necesario poseer también conocimientos de física, cosmografía,
astronomía, geología y otras ciencias.
La topografía está en estrecha relación con dos ciencias en especial: la geodesia y la cartografía. La primera se
encarga de determinar la forma y dimensiones de la Tierra y la segunda se encarga de la representación
gráfica, sobre una carta o mapa, de una parte de la Tierra o de toda ella.
La diferencia entre la topografía y la geodesia está en los métodos y procedimientos de medición y cálculo
que emplean cada una de estas ciencias, pues la topografía realiza sus trabajos en porciones relativamente
pequeñas de la superficie terrestre, considerándola como plana, mientras que la geodesia toma en cuenta la
curvatura terrestre, pues sus mediciones son sobre extensiones más grandes: poblados, estados, países,
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5. continentes o la Tierra misma.
ASPECTO HISTÓRICO
En realidad se desconoce el origen de la topografía. Se cree que fue en Egipto donde se hicieron los primeros
trabajos topográficos de acuerdo con referencias por las escenas representadas en muros, tablillas
Los egipcios conocían como ciencia pura lo que después los griegos bautizaron con el nombre de geometría
(medida de la tierra) y su aplicación en lo que pudiera considerarse como topografía o quizá, mejor dicho
etimológicamente, "topometría". Hace más de 5000 años existía la división de parcelas con fines fiscales, así
como para la reinstalación de linderos ante las avenidas del Nilo.
Posiblemente, a partir de que el hombre se hizo sedentario y comenzó a cultivar la tierra nació la necesidad de
hacer mediciones o, como señala el ingeniero geógrafo francés P. Merlin, la topografía "nace al mismo tiempo
que la propiedad privada".
Las pruebas fehacientes que ubiquen la realidad histórica de la topografía se han encontrado en forma aislada
como lo muestra una tablilla de barro encontrada en Ur, en Mesopotamia, que data de tres siglos antes de
nuestra era y los testimonios encontrados en otros territorios, en diversas partes del mundo ' pero es de Egipto
de donde se han obtenido mayores y mejores referencia
Las mediciones hechas en Egipto por los primeros cadeneros o estira cables, como al parecer los llamaban,
eran realizadas con cuerdas anudadas, o con marcas, que correspondían a unidades de longitud
convencionales, como el denominado "codo". Cada nudo o marca estaba separada, en la cuerda, por el
equivalente de 5 codos y esto daba una longitud aproximada de 2.5 m.
La necesidad de medir regiones más o menos extensas gestó conocimientos empíricos, desconectados y
rudimentarios que después evolucionaron. Quizá en un principio el hombre usó como patrones de medida las
cosas que le eran familiares, particularmente su propio cuerpo; por ejemplo, la alzada de un caballo era
medida en palmos, es decir, tantas veces la anchura de la mano. La distancia entre la punta del dedo meñique
y la punta del dedo pulgar, con la mano totalmente extendida, era considerada como medio codo y ésta era la
distancia entre el codo y la punta de los dedos. El pie fue otra medida y se la consideraba como las tres cuartas
partes del codo
La braza o altura del hombre era considerada de cuatro codos, pero todas estas unidades de medida
presentaban dificultades, debido a las distintas tallas entre los individuos. Ello hizo en Egipto que se
estableciera, hacia el año 3000 antes de nuestra era, el codo real como patrón de medida convencional.
Posiblemente basado en la medida del "codo" de algún faraón, su dimensión era de 52.3 centímetros.
Los sumerios, persas y griegos dieron después otras diferentes longitudes a la unidad de medida llamada codo;
otros pueblos también la usaban y así en la Biblia aparecen referencias a esta unidad de medida y otras
unidades, mediciones de objetos y de terrenos, edificios, etc. También hay datos relativos a elementos
utilizados en topografía. A continuación se transcriben algunos versículos que ilustran lo antes dicho.
Génesis 6:15
"Y de esta manera lo harás: trescientos codos de longitud del arca, cincuenta de anchura y treinta y dos de
altura."
1 Reyes 6:2
"Y la casa que el Rey Salomón le edificó al Señor, tenía sesenta codos de longitud y veinte de anchura y
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6. treinta de altura".
1 Reyes 6:3
"Y el pórtico enfrente del templo tenía veinte codos de longitud enfrente de lo ancho de la casa. Tenía diez
codos de fondo enfrente de la casa."
Amós 7.−7
"Esto es lo que me hizo ver, y miré ¡el Señor estaba apostado en un muro hecho con plomada, y tenía una
plomada en la mano!"
Ezequiel 40.−47
"Y se puso a medir el patio (interior). La longitud era de cien codos y la anchura de cien codos.".,
Proverbios 22:28
"No muevas atrás un hito de antaño que tus antepasados han hecho."
Josué 18:14
"Consíganse tres hombres de cada tribu y déjenme enviarlos para que levanten y recorran la tierra y delineen
mapa de acuerdo con su herencia y que vengan a mí."
Existen desde luego más referencias en la Biblia que podrían citarse para mayor abundancia de detalles
respecto a las unidades. Algunas medidas hebreas son: un dedo = 0.023 m, una palma
0.0927 m = 4 dedos; un palmo = 0.278 m = 3 palmas; un codo = 0.347 m; una jornada de sabat = 1281 m, etc.
Los griegos, herederos de varias culturas (Mesopotamia, Asiría, India y especialmente Egipto) buscaron
explicaciones racionales del "porqué", y la lógica de las cosas y dieron forma a lo que designaron como
geometría (medida de la Tierra) unos 500 años a.C., aportando más y mayores conocimientos al patrimonio de
la humanidad. Son notables las aportaciones hechas entre otras ciencias, a la geometría por parte de Tales de
Mileto, Pitágoras, y Euclides, el más notable quizá. Todos ellos y posteriormente Arquímedes y Apolonio de
Pérgamo continuaron con el desarrollo de esta ciencia; se convirtieron en los legisladores de la geometría.
Varios siglos permaneció un tanto estancado el avance de la geometría pues ni griegos, romanos, árabes o
persas hicieron grandes aportaciones. Herón, Tolomeo y Papo aportan nueva savia ya en los albores de nuestra
era. Herón, de quien es suficiente citar que encontró la fórmula para la determinación del área de un triángulo,
en función de sus lados: A = " P (P−a) (P−b) (P−c) en la que P es el semiperimetro y es igual a (a + b + c)/2,
siendo a, b y c los lados de un triángulo. Herón además fue una figura destacada y una autoridad entre los
topógrafos de su época. Escribió varias obras dedicadas a procedimientos y métodos de medición que fueron
utilizados por ingenieros de esa época, así de servir de base a otros tratados de topografía.
Para citar también un solo ejemplo, Tolomeo demostró la inscripción de cuadriláteros a la circunferencia en
donde el producto de sus diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos. Este teorema lo
utilizó para el cálculo de sus cuerdas. Papo es célebre por el cálculo de superficies generadas por una línea que
gira sobre un eje situado en su plano, así como de volúmenes producidos por rotación de superficies alrededor
de un eje.
Los romanos, con un sentido más práctico, desarrollaron notablemente la arquitectura y la ingeniería..
haciendo una mayor aplicación de los conocimientos heredados de los egipcios y griegos. Trazaron mapas con
6

7. fines bélicos y catastrales, construyeron caminos, ciudades, presas, puentes, canales, etc., debido a la
expansión de su imperio; para ello era indispensable el desarrollo de métodos e instrumental topográfico.
Fueron escritos varios libros que describían estos métodos, así como la explicación del uso y construcción de
diversos e ingeniosos instrumentos.
Durante la Edad Media los árabes, portadores de toda cultura acumulada hasta entonces, lograron avances
sobre todo en la astronomía y la geografía.
Debido a los grandes descubrimientos, se avanzó en la elaboración de mapas y cartas, con lo cual los trabajos
de topografía y los geodésicos avanzaron en su técnica e instrumental.
Con la aparición del telescopio a fines del siglo XVI y principios del XVII, estas dos disciplinas tuvieron un
gran avance, realizándose trabajos espectaculares en lo relativo a la determinación de la forma y tamaño de la
Tierra. Nombres como los del abate Picard, Snellius y Casini fueron importantísimos para el conocimiento y
desarrollo de la topografía y el establecimiento de los fundamentos de la geodesia y de la cartografía
modernas.
El incremento de la población mundial, las necesidades de comunicación, de vivienda, de desarrollo de la
producción agrícola, la expansión territorial y otros factores hicieron que esta disciplina superara la época de
sus métodos primitivos hasta ser considerada como un arte.
El aumento del costo de los terrenos y el progreso de la última parte del siglo XIX y sobre todo del siglo XX
hizo que se inventaran instrumentos y métodos en forma vertiginosa. En efecto, es bien sabido que, sobre todo
en las últimas décadas, se han conseguido más avances que en todos los siglos anteriores en lo relativo a las
ciencias y a la tecnología. Así, hoy en día contamos para los trabajos topográficos con teodolitos de alta
precisión, tanto los ópticos como los electrónicos, distanciómetros electrónicos de fuente luminosa y de fuente
electromagnética, colimadores láser, la percepción remota por medio de fotografías aéreas, de satélites
artificiales, el radar y lo que aún falta por ver.
ACTIVIDADES Y DIVISIONES PARA SU ESTUDIO
La topografía realiza sus actividades principales en el campo y el gabinete. En el campo se efectúan las
mediciones y recopilaciones de datos suficientes para dibujar en un plano una figura semejante al terreno que
se desea representar. A estas operaciones se les denomina levantamientos topográficos.
Sobre los planos, se hacen proyectos cuyos datos y especificaciones deben replantearse sobre el terreno. A
esta operación se le conoce como trazo.
Dentro de las actividades de gabinete se encuentran los métodos y procedimientos para el cálculo y el dibujo.
Para su estudio la topografía se divide en: planimetría o planometría, altimetría, planimetría y altimetría
simultáneas, triangulación, trilateración y fotogrametría.
CONCEPTO DE TOPOGRAFIA
Necesidad y objeto de la Topografía.− En gran número de ocasiones, en las actividades humanas, se precisa
disponer de una representación del terreno con la mayor minuciosidad y detalle posible, aunque en
extensiones y grados de la máxima diversidad, desde una simple parcela hasta todo un territorio.
En muchos aspectos constituye la Topografía una necesidad nacional que compete afrontar al Estado, y en
todos los países existen importantes centros dedicados exclusivamente a esta finalidad, como es en España el
centenario Instituto Geográfico, una de cuyas principales misiones fue la de obtener el gran Mapa Nacional,
7

8. ya terminado, dividido en 1.130 hojas, en las que se incluyen las Baleares y Canarias, abarcando cada hoja la
representación topográfico de una zona de terreno comprendida entre dos meridianos que difieren 20' en
longitud y dos paralelos de 10' de diferencia en su latitud.
La defensa militar de un país exige igualmente una detallada representación del territorio, lo que motiva la
existencia en España del Servicio Geográfico del Ejército, sucesor del antiguo Depósito de la Guerra, en
donde se ejecutan importantes trabajos topográficos y se adaptan, a sus propios fines, otros del Instituto
Geográfico, utilizándose en la actualidad el antiguo Mapa Militar Itinerario, el Mapa de Mando, el Mapa
Nacional Militar, el Plano Director, etc., citados en orden creciente de importancia.
El Mapa Nacional sirve, a su vez, de base para otros trabajos cartográficos, aplicados a determinadas
actividades, como es la ejecución del Mapa Agronómico dividido en igual número de hojas que el del Instituto
Geográfico, el Mapa Geológico, etc.
De igual modo los ferrocarriles y carreteras y las necesidades crecientes de la aviación o los trabajos de
catastro parcelario exigen representaciones gráficas, cada vez con mayores exigencias desde el punto de vista
topográfico.
Estos Mapas Nacionales, sin embargo, aunque utilísimos para multitud de operaciones, son del todo
insuficientes en muchos aspectos, obligando a ejecutar otros trabajos topográficos más detallados,
circunscritos a una porción de terreno más o menos grande. Los métodos, en este caso, apoyados o no en la
geodesia, han de ser, en general, mucho más precisos y de mayor rigidez que los empleados por la topografía
del mapa, aun cuando obedezcan a los mismos fundamentos.
La Topografía, desde este punto de vista, abarca los más variados aspectos. Todo estudio de ingeniería puede
decirse que fundamentalmente es un trabajo topográfico: el trazado de una carretera, el replanteo de un
ferrocarril, la apertura de un túnel, etc., aparte de otras consideraciones, no constituyen esencialmente sino un
problema de topografía práctica, como también lo es la implantación de un regadío con el trazado de sus
acequias y desagües, el abancalado del terreno, las parcelaciones de fincas colonizadas, expropiación de
terreno ocupado por las obras públicas, trabajos de concentración parcelaria, planos de urbanismo en las
capitales importantes o estudio de las grandes zonas regables con miras a su colonización.
Aún en el terreno puramente privado hay que recurrir a la Topografía en multitud de ocasiones; en toda
explotación agrícola bien llevada es siempre útil disponer de una representación del terreno, y es
indispensable resolver problemas de topografía cuando se pretende dividir equitativamente un predio entre
varios copartícipes, rectificar alguno de sus linderos, o simplemente medirlo para averiguar su superficie.
Dentro de límites tan variables como los que pertenecen al campo de la Topografía pretendemos, en esta obra,
estudiar los métodos en su mayor amplitud, aunque de un modo práctico, de acuerdo con nuestra experiencia
personal, que permita resolver los grandes problemas topográficos como son los levantamientos parcelarios de
grandes zonas con todos sus detalles y accidentes, con lo cual, simplificando los métodos, estaremos en
condiciones de resolver cualquier otro problema.
De todo lo dicho se deduce que el objeto de la Topografía es el estudio de los métodos necesarios para llegar a
representar un terreno con todos sus detalles naturales o creados por la mano del hombre, así como el
conocimiento y manejo de los instrumentos que se precisan para tal fin.
Cartas, mapas y planos, entre las distintas representaciones del terreno haremos mención, en primer término,
de los globos, que representan sobre una esfera todos los mares y continentes, y de los relieves, figuras
semejantes a las que se trate de representar con sus elevaciones y depresiones. Ambos sistemas serían los más
perfectos si la imposibilidad de reflejar en ellos los detalles precisos y la dificultad de su manejo no los hiciese
inaplicables para la mayor parte de las necesidades, siendo indispensable recurrir a representaciones sobre un
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9. papel, de más cómodo uso.
Se denomina mapa a toda representación plana de una parte de la superficie terrestre que, por su extensión y
debido a la curvatura de la superficie del planeta, requiera hacer uso de sistemas especiales de transformación
propios de la Cartografía. Cuando el mapa abarca a la totalidad del Globo, se le llama planisferio, y si la
representación del mundo se consigue mediante dos hemisferios se le denomina mapamundi.
Mapa:
Se denomina mapa a toda representación plana de una parte de la superficie terrestre, que por su extensión y
debido a la curvatura de la superficie del planeta, requiere hacer uso de sistemas especiales de transformación
propios de la cartografía.
Los mapas topográficos dan a conocer el terreno que representan con todos sus detalles, naturales o debidos a
la mano del hombre, y son, por lo tanto, las representaciones más perfectas de una superficie de la tierra.
Se das propiamente el nombre de plano a la representación gráfica que por la escasa extensión de superficie a
que se refiere no exige hacer uso de los sistemas cartográficos, se apoyen o no a los trabajos en la geodesia.
Escalas:
Todo mapa o plano, al tener que ser de dimensiones considerablemente menores a las de la superficie que
representa, habrá que dibujarse de modo que constituya una figura semejante. Y así, cualquier magnitud
medida en el plano y la homóloga del terreno estarán en la relación de semejanza, variable de un plano a otro,
pero constante, cualquiera que sea la dirección que se tome, en un mismo plano.
Esta razón de semejanza recibe el nombre de escala y puede ser cualquiera, si bien, para mayor comodidad, se
utilizan siempre escalas cuyo numerador sea la unidad y el denominador número sencillo terminados en cero,
como 1.000, 2.000, 25.000, etc. Una escala de 1: 5.000 nos indican que cada centímetro del plano representa
50 metros del terreno.
OBJETIVOS
El motivo de hacer una práctica e terreno tiene muchos objetivos, entre los cuales nombraremos los
siguientes:
• Aprender la correcta utilización de los instrumentos con los que se trabaja para hacer un
levantamiento, estos son el Taquímetro y Nivel.
• Llevar a la practica el funcionamiento de cada uno de los instrumentos que se utilizan en terreno.
• Poner en práctica todos los conocimientos que se han obtenido durante el semestre en nuestras clases.
• Ejercitar los cálculos con los que se debe completar las tablas de las poligonales y las de altimetría y
planimetría.
• Verificar por formulas que los errores de terreno sean menores que los error admisible para así
comprobar que la poligonal este correcta para seguir con el trabajo.
• Aprender a trabajar con la con la meticulosidad necesaria para llevar una toma de datos ordenada y no
caer en errores inecesarios los que pueden retrasar todo el proyecto.
• Lograr una correcta y rápida nivelación de los instrumentos en el terreno para no perder tiempo y a la
vez no caer en errores, esto nos dará la seguridad de que los datos sean precisos.
• Ser capaz de superar cualquier tipo de problema que se nos presente en terreno ya sea por errores
sistemáticos o accidentales.
• Organizar al grupo como un verdadero equipo en el cual se repartirán las taras de forma equitativa y
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10. rotativa para poder practicar con todos los instrumentos que se utilizan, asumir una responsabilidad
con los horarios de llegada y hacer un buen trabajo individual de cada persona.
• Una vez terminada la etapa de tomar los datos en terreno, cada persona deberá asumir su
responsabilidad en el trabajo de gabinete.
• Saber reconocer cuando un instrumento se encuentra en buenas condiciones como para ser utilizado
en el terreno sin tener problemas con posterioridad.
• Poder ser capaces de llevar todos los cálculos tomados en terreno a un plano debidamente presentado
con sus curvas de nivel sobrepuestas en la planimetría del terreno estudiado.
DESCRIPCIÓN DEL TERRENO
El terreno que se eligió para realizar la Práctica Topográfica fue una parte del Parque Ecuador que comprende
de la calle Del Hospicio hasta la prolongación hacia el cerro de la calle Aníbal Pinto, y de la calle Víctor
Lamas hasta la cascada que queda en un sector hacia adentro del cerro.
Las características del terreno son las siguientes: La zona que comprende entre las calles Víctor Lamas y
Veteranos del 79, es una zona relativamente plana, es decir con muy pocos desniveles como se representa en
el plano de altimetría (curvas de nivel).
Entre la calle Veteranos de 79 y la zona de la Cascada nos encontramos con un terreno muy disparejo y
accidentado en la cascada misma, esto de debe a la cercanía y a la vez la entrada que tiene la Cascada en el
cerro, es por eso que en la Altimetría del plano se podrá notar una gran cantidad de curvas de nivel en la zona
nombrada.
EQUIPOS UTILIZADOS
• Mira Nedo de 4Mts. (Alemana)
• Trípode Trident Tsd − 620 (Brasil)
• Taquímetro Topcon DT − 104 (digital Teodolite)
• Nivel Geocom
• Huincha Feemans (Fibroglass) 30 Mts.
DISTRIBUCIÓN DEL TRABAJO
En la distribución de la práctica topográfica se trató de lograr una máxima participación de todos los
integrantes del grupo, esta se realizó de la siguiente manera:
En el trabajo de campo participaron durante los cuatro días que estuvimos en terreno los seis integrantes del
grupo a diario, no se quiso compartir el trabajo por grupos ya que preferimos estar todos viviendo las
experiencias que se lograban en terreno llegando cada uno en la mañana y retirándose en la tarde a última hora
el grupo entero, en ocasiones alguno de los integrantes se retiraba por cortos momento para realizar algún tipo
de tramites personales pero procurábamos de estar en todo momento en terreno.
Cada integrante trabajó con los instrumentos que se requerían en cada momento para practicar y tener alguna
experiencia con los mismos, así podemos decir que todos tuvieron la posibilidad de saber como funcionan y
de obtener una familiarización con los mismos.
El trabajo de campo aunque fue mucho más corto que el de gabinete cumplio con la función de trabajar en
equipo y de responsabilizar a cada uno de los integrantes con las tareas encomendadas realizando un
coordinado trabajo y muy confortable.
Para el trabajo de gabinete el grupo se separó en dos de tres integrantes cada uno para trabajar en un 100% y
10

11. no descansar en los compañeros, esta fue una muy buena medida ya que al tener menos integrantes uno tiene
que responsabilizarse más del proyecto y estar más concentrado en él. En esta oportunidad el grupo también
trabajo parejamente en las dos partes del proyecto, ya sea la confección de los planos como en la elaboración
de un informe. Durante el transcurso del semestre nos juntamos reiteradas veces en el Instituto para conversar
de los temas importantes para elaborar un informe y para comenzar con la confección de los planos que nos
llevarían a presentar un Levantamiento Topográfico completo.
PROCEDIMIENTOS GENERALES
Teniendo en cuenta la complejidad de este proyecto, se comenzó a trabajar en terreno con anticipación a la
fecha en la que se entregaron los Instrumentos de Taquimetría y Nivelación, esto fue de manera práctica en la
que dibujamos un croquis del terreno en que se deberá trabajar para saber los límites del terreno, la forma de
este y con qué nos encontraremos en este lugar.
Los métodos en los de instalación los instrumentos, que es un procedimiento básico el que determinará que no
se caiga en errores de terreno y que se tiene que hacer con sumo cuidado para obtener resultados no serán
descritos en este punto ya que son explicadas muy bien y detalladamente en Instalación del teodolito y
taquimetro, en el capitulo II de fundamentos teóricos.
Una vez en terreno se comienza con la ubicación de los puntos de referencia para iniciar la confección de una
poligonal, por la extensión del terreno, hemos solucionado hacer dos poligonales a manera de reducir la
posibilidad de errores ya que si cometemos alguna equivocación no tendremos que repetir la poligonación
entera, y ahorraremos tiempo, además que es más practico por la extensión del terreno.
Una primera poligonal se compone de cuatro puntos los que se ubican en la parte baja del terreno que en que
se realizará el levantamiento, esta va de la calle Del Hospicio hasta Rengo, y de Veteranos del 79 Hasta Víctor
Lamas.
La segunda poligonal que se realiza tiene siete puntos de los cuales dos son compartidos con la primera, esta
poligonal el más extensa y comprende la parte alta del terreno que va de las calles Rengo (prolongación)
tomando parte baja del terreno y alta del mismo hasta la calle Aníbal Pinto.
Una vez realizada la poligonal con nueve vértices en total (tomando las dos poligonales juntas), igual que en
las prácticas del semestre recién pasado se midieron las distancias y ángulos interiores entre cada vértice, (este
paso se hace recolectando los datos tomados y llevándolos a tablas de cálculos las que se mostrarán más
adelante en ejemplos de cálculos) se obtuvieron como datos adicionales el acimut de una de las líneas del
polígono, con el cual hallamos el resto de azimutes, distancias horizontales y cotas de la poligonal
La taquimetría nos permite determinar simultáneamente la proyección horizontal de un terreno y las altitudes
de sus diversos puntos, permite determina la posición de un punto en el espacio mediante tres números que
miden la altitud del punto, la distancia del punto al observador reducida al horizonte y el rumbo con relación a
la meridiana magnética medido por indicaciones de una brújula.
Con la medición de los ángulos verticales podemos realizar la corrección de la distancia vertical entre el punto
que se esta mirando y el observador. La mira nos sirve para medir la diferencia de niveles (distancias
verticales), entre un punto y otro, y la medición de la distancia horizontal entre un punto y otro por medio de
la diferencia entre un punto y otro de la mira, multiplicándolo por cien.
La mira la utilizamos para medir la distancia horizontal de un punto a otro, mediante la relación lectura del
hilo superior del teodolito menos la lectura del hilo inferior del teodolito, todo esto multiplicado por cien y a
la vez para determinar el desnivel que hay entre los puntos.
11

12. Las distancias horizontales se miden con el taquímetro de forma muy sencilla ya que por simple observación
sabemos que entre mas lejos este un elemento, más pequeño se va a ver, por lo tanto sus medidas parecerán
mas pequeñas, con base a esto, la taquimetria hizo una relación entre los hilos superior e inferior de el visor
del teodolito, la cual al medir una distancia entre hilos de un metro, la mira estará a cien metros de distancia
del observador. Entonces la relación para hallar la distancia entre el observador y la mira es de: (hilo superior
− hilo inferior) x 100. De esta manera podemos determinar la distancia entre dos puntos cualesquiera. La
medición de los ángulos derechos entre los lados del polígono, se realizaron por medio de el dispositivo que
tiene el teodolito para medir ángulos derechos. Los azimutes que se midieron, se realizaron por medio de un
Norte Supuesto. Con base a este Norte Supuesto, se hizo la medición de un acimut y por medio de los ángulos
derechos medidos con el teodolito, se realizo el calculo de los otros azimutes. Los azimutes se calcularon,
sabiendo que el acimut de 1 a 2 es el acimut de 2 a 1 mas 200g. Además sabemos adicionalmente que si
tenemos el acimut de dos a uno y tenemos el ángulo derecho de uno a tres, estando en dos, podemos hallar el
acimut de dos a tres sumándole el ángulo derecho al acimut de dos a uno. La corrección de la poligonal la
realizamos estrictamente por tablas y sometiéndonos a la exigencia del error admisible.
La corrección de ángulos se hace por medio de la diferencia entre la suma real de los ángulos externos del
polígono, y la suma de los ángulos hallados en la practica. Esta diferencia nos da el error que se cometió al
medir los ángulos, por el número de ángulos, así que si queremos saber cual es el error que hay para cada
ángulo, dividimos la diferencia hallada anteriormente, entre el número de ángulos. Es importante recordar que
la suma de los ángulos externos de un polígono es (n+2) x 200, donde n es el número de vértices que tiene el
polígono. Esto se revisó en cada poligonal dando errores de terreno menores que los admisibles y luego se
aplicó a la poligonal entera por lo tanto la suma de ángulos externos de esta practica en particular nos debe dar
(9 + 2 ) x 200 = 2200g, debido a que hay nueve vértices en el polígono medido. Teniendo los ángulos
corregidos, hicimos la corrección de las distancias del polígono. Esta corrección se hace por medio de las
proyecciones N−S y E−W de cada lado del polígono. Partimos sabiendo que la proyección N−S de un lado del
polígono es: Distancia multiplicada por el coseno del acimut. Y que la proyección E−W de un lado del
polígono es Distancia multiplicada por el seno del acimut. De esta manera hallamos las proyecciones de todos
los lados del polígono sobre la Norte Sur, y sobre la Este Oeste. Al sumar las proyecciones N−S, con su signo,
nos da una diferencia, que es el error que se cometió al medir la distancia de los nueve lados del polígono, así
que se divide este resultado de la suma de las proyecciones sobre el número de lados del polígono, que en este
caso fueron nueve. Igualmente se hace para las proyecciones E−W. Teniendo el error para cada proyección, se
procede a restar este error a cada proyección de los lados. Después al tener ya las proyecciones corregidas al
restarle el error, se pueden calcular nuevamente la distancia entre los puntos sabiendo que esta distancia es
igual a la raíz cuadrada de la suma de las proyecciones N−S y E−W al cuadrado (por pitagoras). Ahora,
teniendo ya corregidos los ángulos y las distancias del polígono, el polígono nos cierra exactamente. Al
obtener ya el cierre de la poligonal, podemos comenzar con las radiaciones.
Las radiaciones son de forma más sencilla y rápida, ya que al estar en un punto (eje) de la poligonal se cala el
instrumento con uno de los ejes, ya sea el de atrás o de adelante y se toma este punto como punto de
referencia para comenzar a medir los ángulos a los puntos que se deben radiar. La radiación consiste al igual
que la poligonación ubicar un punto y determinar su cota y la ubicación de este, todos los cálculos de las
radiaciones se muestran en los anexos del informe y los ejemplos de estos están en los ejemplos de cálculos.
También se realizó una nivelación en la cuál solo se tomaron una parte de los ejes de la poligonal, con la
nivelación obtenemos con más exactitud los datos de la nivelación ya que el taquimetro, aunque igual mide
niveles no es el instrumento más indicado por trabajar con ángulos, recordemos que el nivel trabaja en un
100% con las cotas.
Los datos de los cálculos de la nivelación se encuentran en el desarrollo del informe.
Ya terminado el trabajo de campo se comienza con el trabajo de gabinete que es la elaboración de los planos
de planimetría junto con un plano de altimetría el que nos dará una verdadera impresión del terreno en que se
12

13. ha realizado este proyecto.
Capitulo II : FUNDAMENTOS TEORICOS
ELEMENTOS DE LOS INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS
Aunque existe una gran diversidad de instrumentos topográficos, la mayoría de ellos pueden referirse al
esquema a que nos hemos referido con mayor o menor complicación, y antes de entrar en un estudio detallado
necesitamos conocer los órganos de que se componen y los que les complementan. Son los siguientes, que
constituirá, el estudio de este capítulo: A, elementos accesorios; B, elementos de unión, sustentación y
maniobra; C, niveles; D, anteojo; E, círculos graduados o limbos; F, medida indirecta de distancias por
métodos estadimétricos; G, medida indirecta de distancias por medio de ondas y H, medida directa de
distancias.
A− Elementos accesorios
Estos elementos son independientes del instrumento propiamente dicho, pero indispensables para su
utilización; consideramos entre ellos las señales, trípodes, en que se coloca el aparato y las plomadas en caso
que se utilicen (para el trabajo echo por nosotros no se utilizan plomadas), para conseguir la exacta
correspondencia entre el eje vertical del aparato en estación y el centro de la señal.
Señales: Las señales, según la finalidad que se persiga, pueden ser permanentes, semipermanentes o
accidentales; las primeras han de permanecer indefinidamente en el terreno y han de servir de apoyo a
posibles trabajos posteriores, tales como replanteos, deslindes, parcelaciones, cotas sobre el nivel del mar,
etc.; las semipermanentes basta permanezcan en el terreno durante el tiempo que se invierta en los trabajos de
la observación para hacer visible el punto a distancia.
Como señales semipermanentes se usan estacas de madera, de 20 o 30 cm de longitud, que se clavan en el
suelo a golpe de mazo, o bien se pintan sobre losas o rocas cuando el terreno lo permite.
Cuando la distancia a que hayan de observarse los puntos sea grande, para hacerlos fácilmente visibles, se
utilizan señales accidentales, generalmente jalones, miras o banderolas, constituidas éstas por un listón de
madera de dos o tres metros de longitud, en cuyo extremo se coloca un trozo de tela blanca y roja que facilite
la visibilidad
Los jalones, también de madera, tienen forma cilíndrica, de unos 3 cm de diámetro y de 1,5 a 2,5 m. de altura,
por un extremo terminan en un regatón de hierro para poderles clavar en el suelo y van pintados en decímetros
o dobles decímetros alternativamente en blanco y rojo.
Las miras se utilizan para la medida indirecta de distancias y sus tipos serán estudiados en el apartado F de
este capítulo.
Trípodes.− Para manejar cómodamente un instrumento, ha de situarse de modo que la altura del anteojo sobre
el suelo sea, poco más o menos, de 1,40 metros, según la estatura del operador y para ello se utilizan los
trípodes, formados, como su nombre indica, por tres pies de madera o de metales ligeros que sostienen el
soporte en el que apoya el aparato.
Los trípodes usuales son los denominados de meseta, en éstos cada pata está formada por dos largueros unidos
por travesaños, lo que les da una gran estabilidad compatible con un peso reducido; pueden ser rígidas o
extensibles en estas últimas la mitad inferior de la pata se desliza en el interior de la otra mitad, a modo de
corredera, facilitando el transporte al quedar el trípode de escasas dimensiones; para su uso se extienden las
patas, sujetándose fuertemente en esta posición por medio de tornillos de presión. Las patas de madera
13

14. terminan en fuertes a regatones de hierro con un estribo que permite apoyar el pie para clavarla en el terreno,
consiguiéndose con ello mayor estabilidad.
La cabeza del trípode puede ser de madera o metálica, en forma de plataforma o meseta circular o triangular,
sobre la que se coloca el instrumento. En algunos tipos pueden darse a la meseta ligeros desplazamientos
laterales para facilitar, que, una vez colocado el aparato, coincida su eje con la vertical que pasa por el punto
señalado en el suelo; en otros, por tener la meseta un gran orificio en el centro por el que pasa el elemento de
unión, es éste último el que se desplaza, permitiendo ocupar al instrumento, sobre la meseta, diversas
posiciones.
No hace muchos años construía la casa Kern de Aarau (Suiza) trípodes de meseta basculante, en éstos en vez
de ir la meseta rígidamente sujeta a la cabeza del trípode, queda unida mediante una rótula que la permite
bascular hasta centrar la burbuja de dos minúsculos niveles colocados sobre ella, marcando la horizontalidad
en dos sentidos perpendiculares, sujetándose después la meseta, en esta posición, por unas palancas que la
aprisionan.
Actualmente la misma casa Kem ha modificado sus trípodes de meseta basculante y construye lo que
denomina trípodes centradores, que permiten estacionar el aparato con gran rapidez y bien centrado, sobre la
vertical que pasa por el punto señalado en el suelo.
La meseta basculante, en este caso, tiene gran amplitud de movimientos sobre un casquete esférico en que
termina el trípode; el aparato se coloca sobre la meseta y se une por medio de un bastón centrador provisto de
un nivel esférico; el extremo inferior del bastón se sitúa exactamente sobre el centro de la estaca clavada en el
terreno, y por movimientos de la meseta con el aparato, se consigue calar la burbuja del nivel esférico,
bastando entonces apretar la rosca del bastón para que quede estacionado.
Plomadas: Para estacionar en un punto se hace uso de otro instrumento muy conocido, y acaso el mas antiguo
de todos, que es la plomada, la cual pende del centro de los aparatos topográficos entre las patas del trípode y
deberá situarse de modo que la vertical del hilo de la plomada pase por el punto señalado en el suelo.
Muchos de los instrumentos modernos sustituyen la plomada clásica por una plomada óptica, constituida por
un anteojo, que por intermedio de un prisma de reflexión total dirige la visual coincidiendo con el eje vertical
del aparato y cuando éste quede estacionado deberá verse el centro de la señal en coincidencia con el centro
del anteojo.
Los trípodes provistos de bastón centrador no necesitan plomadas, ya que el propio bastón hace sus veces, lo
que imprime gran rapidez al estacionamiento del aparato.
B− Elementos de unión, sustentación y maniobra
Elementos de unión: Los trípodes de meseta modernos llevan, como órganos para sujetar el instrumento, una
guía metálica T que sujeta a la parte inferior de la meseta por uno de sus extremos A, alrededor del cual Puede
girar, de modo que pase a través Del amplio orificio circular de la meseta, u tornillo de unión V que puede
deslizarse en la guía a modo de carril, ambos movimientos, el giratorio del carril y el deslizamiento del
tomillo de unión permiten a éste ocupar cualquier posición en la abertura circular, del aparato.
Para la unión el tornillo enrosca en una placa de acero que hace muelle, y va unidad a las patas del
instrumento, consiguiéndose la sujeción al comprimirlas contra la meseta por la presión del tornillo.
C. Niveles
Nivel de aire.− Los elementos que llevamos estudiados pueden considerarse como accesorios en los
14

15. instrumentos topográficos, de construcción relativamente sencilla, mientras que los niveles, anteojos, limbos
con sus nonios o micrómetros, y dispositivos para la medida indirecta de distancias, constituyen órganos
fundamentales que han de estar constituidos con notable precisión y ajuste para que el aparato sea aceptable,
lo que sólo puede conseguirse, en los muy perfectos, por contadas fábricas de renombre universal. Estos
elementos son los que en definitiva caracterizan a cualquier instrumento.
El nivel de aire está constituido por un tubo de vidrio de forma tórica, de muy escasa curvatura (*), cerrado a
la lámpara por sus extremos. El tubo va casi lleno de un líquido de escasa viscosidad (alcohol o éter), dejando
una burbuja de aire mezclada con los vapores del líquido, que ocupará siempre la parte más alta del tubo.
(*) Se denomina toro o superficie anular a la figura de revolución engendrada por una circunferencia que gira
alrededor de un eje contenido en su plano. Cada uno de los, puntos de la circunferencia generatriz engendrará
una circunferencia perpendicular al eje de revolución, en el que se encontrará su centro; la mayor de estas
circunferencias denominadas paralelos, constituye el ecuador de la superficie tórica.
Para comprobar la posición de la burbuja va dividido el nivel por trazos transversales situados a la
equidistancia de 2 milímetros. Cuando el centro de la burbuja coincide con el centro del tubo de vidrio se dice
que el nivel está calado y se llama calar la burbuja, llevarla por movimientos de aquél a la posición central, lo
que comprobaremos por la disposición equidistante de sus extremos con relación a las divisiones.
La tangente al ecuador del nivel, trazada en el punto central, se denomina eje del nivel, y es evidente que este
eje ocupará la posición horizontal cuando la burbuja quede calada. Radio de curvatura del nivel es el radio O
A del ecuador de la superficie tórica.
El tubo de vidrio va montado en un cilindro de latón, abierto por la parte superior, y en los niveles que no
forman parte de un instrumento topográfico se unen a una reglilla del mismo metal por medio de una charnela
en un extremo y de un tornillo en el otro, llamado tornillo de corrección; la base del nivel ha de ser paralela al
eje y, por tanto, colocándola sobre una superficie plana, estará ésta horizontal cuando la burbuja quede calada.
Sensibilidad del nivel.− Interesa mucho, en todos los niveles, conocer el ángulo de giro correspondiente al
desplazamiento de la burbuja en una división; a este ángulo, expresado en segundos, se le denomina
sensibilidad del nivel y será igual al que formen al cortarse en el centro de la superficie tórica, dos radios
consecutivos.
La sensibilidad y el radio de curvatura guardan entre sí una relación sencilla; teniendo en cuenta que la
longitud de una división es siempre de 2 mm. dividiendo esta magnitud por el radio nos dará el ángulo que
buscamos expresado en radianes, y multiplicado por los segundos del radian obtendremos la sensibilidad.
Llamando a ésta s" y r al radio expresado en milímetros podremos escribir:
S = 2 206265
R
Tanto nos da, por consiguiente, conocer la sensibilidad como el radio de curvatura del nivel, Pero es más
cómodo el uso de la primera Y rara vez se hace referencia al segundo.
Los radios de los niveles lo deben ser ni muy pequeños, porque determinarían una sensibilidad insuficiente, ni
muy grandes, pues imposibilitarían su uso, por no ser posible mantener calada la burbuja. Las sensibilidades
usuales en los instrumentos topográficos no suelen ser inferiores un minuto en los menos precisos, ni superar a
cinco segundos en los más perfeccionados.
D− Anteojo
15

16. Se atribuye a Galileo la construcción del primer anteojo, si bien ya había sido descubierto con anterioridad,
noticia que llegó a Galileo en forma vaga, pero que bastó a su ingenio para construir uno con dos lentes
pegadas con cera a un tubo de cartón, consiguiendo, por su propio razonamiento, resolver el problema de ver
los objetos lejanos como si estuviesen cerca. El anteojo de Galileo se extendió rápidamente y contribuyó a un
considerable avance de las ciencias astronómicas.
No es, sin embargo, el anteojo de Galileo el que se usa en los instrumentos topográficos, sino otro sistema
óptico descubierto por Kepler en 1611, que se conoce con el nombre de anteojo astronómico que invierte las
imágenes; el anteojo de Galileo es el que hoy se utiliza en los gemelos de teatro, mediante el acoplamiento de
dos de ellos. El fundamento de todos los anteojos es la formación de imágenes a través de las lentes que
suponemos conocidas del lector.
Fundamento óptico del anteojo astronómico.− Consta el anteojo astronómico de dos lentes, o sistemas
convergentes, montadas en un tubo, formando un sistema dióptrico centrado, con la facultad de poder variar la
distancia entre las dos lentes. Una de éstas se dirige hacia el objeto que ha de visarse y por esta razón se
denomina objetivo del anteojo, mientras el ojo del observador se aplica a la otra lente llamada por tal motivo
ocular.
Si suponemos un objeto A B situado a gran distancia del objetivo 0, según la teoría de las lentes, se formará
una imagen a b real e invertida. La distancia D del objeto a la lente y la d de la lente a la imagen se relacionan
con la distancia focal f por la fórmula de las lentes convergentes:
1+1=1
Ddf
De este modo, cuando el objeto está muy distante, la imagen se forma en el foco y al acercarse el objeto a la
lente sin llegar a la distancia focal, la imagen se aleja del objetivo.
Para obtener la imagen a de un punto cualquier A del objeto, trazaremos por este punto el eje secundario A O
que pasa por el centro óptico sin experimentar refracción y el rayo A paralelo al eje principal que se
refractará pasando por el foco f; la intersección de los dos rayos en a dará la imagen a del punto A. Todos los
rayos luminosos que partan de A, e incidan en el objetivo, se retractan al pasar a través de éste y se concentran
en a, imagen del punto. Del mismo modo el punto B tendrán su imagen en b y el objeto A B formará su
imagen a b en el interior del anteojo.
Si ahora la lente ocular la colocamos de modo que la imagen a b, antes obtenida, quede situada entre la lente y
su foco anterior y miramos al través, los rayos que parten de a b penetrarán en el ojo como si procediesen de
su imagen a' b', virtual y amplificada. Esta segunda imagen a' b' la obtendremos igual que la primera trazando
el eje secundario o a de uno de sus puntos y el rayo a ' paralelo al eje principal, uniendo el punto ' con el
foco f2 y prolongando hasta que corte al rayo o a, quedará terminada la imagen a' del punto a; del mismo
modo se hallará la b' del b.
El resultado final es que el objeto lejano A B lo podemos ver invertido y amplificado a la distancia de la
visión distinta. Se denomina distancia de la visión distinta a la menor separación del ojo a la que se ven los
objetos con la máxima nitidez, generalmente 25 centímetros en una vista normal.
Montura del anteojo. Retículo.− Consta el anteojo astronómico de un tubo de latón A ensanchado en su
extremo donde va montado el objetivo, generalmente formado por varias lentes que constituyen un sistema
convergente. En el otro extremo enchufa un segundo tubo, O, que lleva una cremallera en la que engrana un
piñón, y al hacerle girar le obliga al tubo O a salir más o menos del A. A su vez, en el tubo O enchufa, a
frotamiento suave, un tercer tubo, P, mucho más corto que los anteriores, en el que va montado el ocular; el
16

17. movimiento de este tubo se hace a mano. Al tubo intermedio O se le llama tubo ocular, no obstante ir esta
lente montada en el tubo P, al que se le conoce con el nombre de tubo porta−ocular.
La primera imagen, dada por el objetivo, cualquiera que sea el alejamiento del objeto, ha de formarse siempre
en el mismo sitio a b del tubo O para que la segunda imagen dada por el ocular quede a la distancia de la
visión distinta. En dicho emplazamiento llevan los anteojos un anillo, sostenido por cuatro tornillos, que
constituye un diafragma, que limita la imagen, en el que va empotrado un disco de vidrio denominado retículo
con dos líneas grabadas, llamadas hilos, uno vertical y otro horizontal, formando lo que se denomina la cruz
filar, el punto de intersección de ambos hilos constituye el centro del retículo.
Por medio del piñón y cremallera se hará avanzar más o menos el tubo O hasta que el retículo coincida
exactamente con la imagen dada por el objetivo, operación que se llama enfocar el objeto, y esta primera
imagen y la cruz filar a ella superpuesta, vienen a constituir el objeto para la lente ocular, que nos dará la
imagen definitiva atravesada por la que se obtiene de los dos hilos del retículo. Generalmente lleva éste otros
dos hilos horizontales que se utilizan, según diremos, para la medida indirecta de distancia.
Se llama colimar un punto hacer que su imagen se forme en el centro del retículo.
Ejes.− En el anteojo astronómico hemos de considerar tres ejes: el eje óptico, que es la recta que une el centro
óptico del objetivo y el centro óptico del ocular; el eje mecánico o recta que pasa por el centro óptico del
objetivo y es paralela a la que describe, en el movimiento de enfoque, cualquier punto del tubo ocular, y eje de
colimación, recta que une el centro óptico del objetivo con el centro del retículo.
El eje de colimación puede considerarse como la intersección de dos planos, determinados, respectivamente,
por el centro óptico del objetivo y las líneas horizontal y vertical del retículo; al primero se le denomina plano
horizontal de colimación y, al segundo, plano vertical de colimación.
Los tres ejes, óptico, mecánico y de colimación en los aparatos en buen uso y bien corregidos, han de
coincidir formando una sola recta cualquiera que sea la posición del tubo ocular.
E− Limbos
Limbos. Son los limbos los instrumentos de medida de los ángulos y están constituidos por círculos graduados
dispuestos, según vimos, uno horizontalmente, para la medida de ángulos acimutales, llamado por ello limbo
acimutal, y otro vertical, o limbo cenital, para la medida de estos ángulos.
Los limbos frecuentemente son metálicos, con una cinta de plata embutida en la parte perimetral en la que va
marcada la graduación y pueden ir al descubierto o protegidos en el interior de cajas cilíndricas.
Algunas casas constructoras han sustituido hoy los limbos metálicos por otros de vidrio, tienen éstos la
ventaja de que los trazos de la graduación pueden hacerse con una precisión extraordinaria, quedando
grabados con absoluta nitidez; la lectura de estos limbos, generalmente por transparencia, es
incomparablemente más clara que en los limbos metálicos y su rotura es difícil, dada la forma como van
montados, incluso por caída del instrumento.
Los limbos de vidrio son de un espesor de varios milímetros y tienen la forma de anillo, con una montura de
acero de análogo coeficiente de dilatación.
Cualquiera que sea la naturaleza del limbo ha de ir rigurosamente dividido. La perfección que hoy se alcanza
con las máquinas de dividir hace que no sea éste un motivo de preocupación para los instrumentos de marcas
acreditadas en los que la uniformidad y finura de sus trazos supera todo lo imaginable.
17

18. Esto es causa, en los buenos instrumentos modernos, de conseguir grandes precisiones con limbos de muy
pequeño diámetro; así, por ejemplo, el limbo cenital de vidrio del teodolito T.2 de Wild, de tan sólo 70 mm de
diámetro, va dividido en 2.000 partes, y es tal la uniformidad de tan insignificantes divisiones que aun, por
medio de un micrómetro, puede apreciarse la milésima de división equivalente a 2s.
Tan maravillosas máquinas de dividir, utilizando limbos de vidrio, han simplificado considerablemente los
antiguos instrumentos, obteniéndose las mismas precisiones con los actuales, no obstante ser de mucho menor
peso, más manuables y rápidos, de gran seguridad en su manejo. Sin embargo, la precisión que se consiguió
obtener con los más perfectos aparatos antiguos, como los viejos teodolitos Repsol y Pistor, o con los círculos
Brunner, que sirvieron para la triangulación geodésica de primer orden en España, solo es superada por
contados aparatos.
Los diámetros de los limbos de vidrio, en los buenos instrumentos modernos, no suele pasar de los 90 mm,
mientras los limbos metálicos de teodolitos de análoga precisión llegan a los 250 milímetros.
Sistemas de graduación en los limbos acimutales y cenitales.− La graduación de los limbos puede ser
indistintamente sexagesimal o centesimal: los acimutalos suelen ser de graduación normal, es decir, creciendo
aquélla de izquierda a derecha. Algunos, sin embargo, o de graduación anormal, van didividos en sentido
contrario. En los dos casos los limbos acimutales se dividen siempre de 0 a 400g o de 0 a 360º, pudiendo
subdividirse los grados en fracciones más pequeñas.
Los limbos cenitales tienen a veces menor diámetro que los acimutales, pero aun en este caso, suelen ir
divididos en igual número de divisiones, aunque no siempre la graduación crece hasta los 400g ó 360º
adoptando diversas disposiciones.
Con el primer tipo se mide el ángulo a que una visual forma con la horizontal, ángulo que hemos llamado
altura de horizonte.
El anteojo al bascular arrastra dos índices I y II en los extremos de un diámetro y ambos, en este tipo de
graduación, darán la misma lectura; debe tenerse cuidado en anotar si la visual es ascendente o descendente,
ya que esto no puede deducirse de sólo las lecturas del limbo.
Los otros dos tipos de graduación dan el ángulo que la visual forma con la vertical, ángulo que hemos
designado con el nombre de distancia cenital, complementaria de la altura de horizonte.
En la graduación segunda de la figura, los dos índices dan la misma lectura, mientras que en la tercera difieren
en 180' o 200g. En los dos últimos tipos no se precisa anotar si la visual se eleva o desciende, porque ocurrirá
esto último siempre que la distancia cenital sea mayor de un cuadrante.
F− Medida indirecta de distancias por métodos estadimétricos
Fundamento de la estadía.− Gran parte de los anteojos utilizados en los instrumentos topográficos permiten
medir distancias indirectamente con incomparable rapidez y ventaja sobre los métodos de medida directa.
Estos anteojos reciben el nombre de diastimométricos o estadimétricos y tienen por fundamento lo siguiente:
Supóngase que miramos una regla vertical a través de la rendija que queda entre dos listones de una persiana,
representados por dos hilos horizontales en los anteojos estadimétricos. Los bordes de la rendija limitarán la
visualidad y sólo percibiremos una cierta longitud de regla; designemos por d la distancia del ojo a la regla,
por la separación entre el ojo y la persiana, por l la longitud del segmento de regla que abarca la vista, y por
h la separación de los listones o hilos. Podremos establecer, evidentemente, la siguiente relación:
d=
18

19. lh
de donde podremos deducir el valor de d siempre que se conozcan las otras tres magnitudes.
La distinta manera de operar con éstas da origen a tres categorías de estadímetros que responden a las
fórmulas siguientes:
(1) d = l ; (2) d = * l 1. ; (3) d = l *
hhh
Las estadías de la primera categoría son las más frecuentemente empleadas: en éstas se mantiene constante
y h, siendo l variable en cada caso, apreciándose su magnitud por ir la regla graduada. Haciendo /h = K en la
fórmula 1 podremos escribir:
d=Kl
Que nos dice que la distancia desde el ojo a la regla es igual a la longitud de ésta, limitada por las visuales
extremas, multiplicada por una constante K llamada constante diastimométrica o relación diastimométrica.
A este tipo de estadímetros se les denomina de mira variable e hilos fijos.
Para graduar la regla supóngase que en un terreno llano y horizontal se miden 100 metros a partir de la
posición del ojo y que el segmento limitado por las visuales extremas tangentes a los hilos o listones le
dividimos en 100 partes iguales; si llamamos p la medida de cada una de estas partes se verificará:
= 100 , o sea p = 1
h 100 p K
En cualquier otra posición de la regla, suponiendo se cuenten n divisiones, deduciremos de la fórmula (1)
teniendo en cuenta la relación anterior:
D =K n p = n
Es decir, que la distancia en metros viene determinada por el número n de divisiones comprendidas entre las
visuales límites.
La regla así dividida recibe el nombre de estadía y sólo podrá utilizarse para los valores de y h que se
utilizaron para dividir la regla. Si ésta va dividida en metros y fracciones de metros se la denomina mira;
generalmente se utilizan miras, y por emplearse casi siempre constantes diastimométricas expresadas por
números sencillos las miras suelen utilizarse a su vez como estadías.
En los estadímetros del segundo tipo ha de verse siempre la misma magnitud de mira, pudiendo en este caso
separarse al efecto de los listones de la persiana hasta que las visuales enrasen. La fórmula (2) podemos
establecerla bajo la siguiente forma:
D = K * 1/h
Que nos dice que la separación de los listones o hilos es inversamente proporcional a la distancia en terreno, y
como siempre han de utilizarse estadías e la misma longitud, puede emplearse una escala en la cual la
posición de los hilos permita leer directamente la distancia.
19

20. Los estadímentros de segunda categoría se llaman de mira constante e hilos variables.
En el tercer tipo se conservanrestando la segunda de la primera:
d =K (l'− 1)
de donde:
K=−.i, i
Fórmula que al eliminar la constante aditiva nos da la relación diastimométrica en función de la distancia
medida y las lecturas de las miras.
La constante aditiva K' la obtendremos observando en la figura 89, que se compone de dos segmentos, uno la
distancia focal del objetivo y otro la que existe desde éste al eje vertical del instrumento. Esta última la
mediremos directamente por medio de un doble decímetro, y para averiguar cuál es la distancia focal
colocaremos el anteojo en posición telescópica; enfocando a un punto lejano, según sabemos, el retículo
coincidirá con el foco interior al anteojo y bastará medir la distancia que le separa del objetivo; la suma de las
dos medidas será la constante K'.
LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO
Levantamiento topográfico:
Se denomina levantamiento al conjunto de operaciones necesarias para representar topográficamente un
terreno. Aunque en general todo levantamiento ha de hacerse con precisiones ya establecidas, hay ocasiones
en que, por la índole del trabajo, puede aligerarse éste aún cuando lleguen a cometerse errores sensibles en el
plano, e incluso, a veces, basta un ligero bosquejo, con rápidas medidas, constituyendo un croquis.
De aquí la clasificación de levantamientos regulares e irregulares; en los primeros se utilizan instrumentos,
más o menos precisos, que con fundamento científico permiten obtener una representación del terreno de
exactitud variable, pero, de tal naturaleza, que se compute siempre como de igual precisión en cualquier punto
de la zona levantada. La exactitud de los levantamientos regulares depende, desde luego, de la habilidad del
operador, pero es debida, principalmente, a la precisión de los instrumentos empleados
Levantamientos por poligonal:
Para representar gráficamente los terrenos que levantamos es necesario el apoyo de figuras geométricas,
puntos, líneas rectas, curvas, coordenadas, etc. En esas condiciones podemos apoyarnos en poligonales
abiertas o cerradas, desde las cuales recopilar las mediciones lineales o angulares que nos permiten representar
gráficamente la porción de terreno con todos sus detalles
Nivelación Cerrada:
Se llama nivelación cerrada a la que, habiendo partido de un punto dado, termina en el mismo punto, después
de recorrer todos los puntos que se quería nivelar. Por consiguiente, es también nivelación cerrada la que
resulta al nivelar desde A a B y enseguida desde B hasta A, por vía de comprobación. Cuando se hace esto,
conviene hacer el cierre del circuito por otro camino. La comprobación global de la nivelación cerrada, se
obtiene verificando si la suma de todas las lecturas de atrás es igual a la suma de todas las lecturas de adelante.
Ejemplos de poligonales cerradas:
20

21. Poligonal envolvente, cuando los obstáculos o la forma del terreno es tal que no podemos medir sobre el
lindero del mismo, ni desde punto alguno del interior.
Poligonal interior o inscrita, cuando no es posible medir los linderos directamente y podemos formar un
polígono desde cuyos vértices definir el contorno del terreno que nos interesa representar.
Poligonales mixtas, cuando por necesidades específicas se recurre a poligonales que cruzan de afuera hacia
adentro y viceversa
Poligonales coincidentes con el terreno, cuando desde las propias esquinas del terreno podemos medir una
poligonal. Esto significa que tenemos visibilidad desde todos los vértices con los lados anterior y siguiente,
además de no haber obstáculos para realizar las medidas lineales. Esto es muy ventajoso pues no tiene menos
trabajo de campo, de gabinete, de cálculo y de dibujo, además de que hay menos probabilidad de errores.
Levantamiento por radiación:
Cuando desde un punto, uno o varios lados base en poligonales hacemos radiaciones en las que sólo
necesitamos conocer los ángulos o las direcciones y las distancias horizontales.
Levantamiento polar, 1,2,3,4, 1, puntos por dibujar, pueden ser o no esquinas de terreno. 01, 02, 03, 04, 0r, 0s,
etc., radiaciones cuyas distancias y ángulos o direcciones conocemos r = Árbol s = pozo.
Radiaciones desde un lado base o desde vértices de poligonales tanto cerradas como abiertas.
1,2,3,4,5,1 son las esquinas del terreno.
3,4,5,A,3 son los vértices de poligonal. A2 y A1 son radiaciones a puntos del terreno.
Partes de las que consta un levantamiento.
En proyección acotada, los puntos vienen determinados, según se ha dicho, por su proyección horizontal y su
cota; de aquí que todo levantamiento conste de dos partes: la primera consiste en un conjunto de operaciones
necesarias para llegar a obtener la proyección horizontal, operación que constituye la planimetría del trabajo o
levantamiento planimétrico, y la segunda en determinar la cota de los puntos necesarios o las curvas de nivel,
lo que constituye la altimetría, nivelación o levantamiento altimétrico.
Frecuentemente ambos trabajos se hacen por separado, utilizando, a veces, instrumentos del todo diferentes,
pero también suelen hacerse simultáneamente, empleando un mismo instrumento, valiéndose de métodos
abreviados llamados de taquimetría; al trabajo así efectuado se le conoce como con el nombre de
levantamiento taquimétrico.
La planimetría y altimetría, o la taquimetría en su caso, se realizan también en dos etapas. En la primera se
toman sobre el terreno los datos necesarios, constituyendo los trabajos de campo; en ellos se sitúan los
instrumentos en los puntos elegidos, lo que se denomina hacer estación, y se anotan las observaciones en
impresos especiales llamados registros o libretas.
En la segunda etapa, o trabajos de gabinete, se calculan en las libretas las reducidas y desniveles y se efectúan
todas las operaciones precisas hasta dejar dibujado el plano.
Los trabajos de campo y de gabinete son operaciones tan diferentes que es recomendable, en ciertos casos,
que las realice personal diferente especializado en cada uno de ellos.
21

22. MEDICION DE UN ÁNGULO HORIZONTAL
Si se trata de medir un ángulo AOB se estaciona el teodolito sobre el punto 0. Se aprieta el tornillo de fijación
superior, con uno de los nonios horizontales casi en cero, y por media del tornillo superior de coincidencia se
lleva exactamente al 0º. Se mira con el anteojo hacia el punto A, se apriete el tornillo inferior de fijación, y
actuando sobre su tornillo de llamada, se hace que la visual pase exactamente por la banda rola o señal que
indique la situación de dicho punto. Se afloja entonces el tornillo superior y se hace girar el anteojo hasta que
se vise el punto B; se aprieta el tornillo superior y se centra sobre el punto B la visual por medio del tornillo
superior de coincidencia. Con el nonio que al principio se puso a cero, se lee el ángulo descrito por el anteojo,
igual el propuesta A0B. Conviene considerar el movimiento inferior del teodolito como un transportador, y el
superior como una regla.
A continuación damos una serie de consejos muy útiles referentes a la medición de ángulos horizontales con
teodolito:
1.− se dé al tornillo de coincidencia debe ser en sentido positivo (hacia adentro) para que quede apretado que
dar más de una a dos vueltas.
2.− El último movimiento que una y otro lado de las coincidencias distan la misma cantidad de sus inmediatas
en la graduación del círculo. al muelle antagonista.
3.− Al leer el nonio colóquese el ojo directamente por encima de las divisiones coincidentes para evitar el
error de paralaje. También conviene tomar la precaución de comprobar que las divisiones del nonio a El
teodolito debe centrarse con cuidado, a mano, de modo que los tornillos de coincidencia no tengan
4.− Para comprobar la lectura hecha con uno de los nonios se lee también con el opuesto, o bien se hacen
lecturas con los dos extremos del nonio; estas lecturas deben diferir de la primera en un valor constante para
cada nonio.
5.− Los niveles de plataforma deben calarse antes de medir un ángulo, pero no deben tocarse los tornillos
nivelantes entre la primera y la segunda enfilación. Cuando se mide un ángulo por repetición hay que nivelar
la plataforma después de la segunda lectura entes de volver a mirar al primer punto observado.
6.− El portamira debe colocarse por detrás del jalón con banderola, sujetando éste con las manos y haciéndolo
oscilar lentamente sobre el clavo a la señal que marque el punto en el terreno.
Teniendo en cuenta la posibilidad de algún movimiento del trípode (por hundimiento de alguna de sus patas) y
la desigual expansión o dilatación de las distintas partes del instrumento conviene hacer las observaciones
todo lo rápidamente que permita el cuidado y la atención con que hay que proceder. A ser posible debe
resguardarse el teodolito del sol y del viento.
Angulos horizontales.− La lectura del limbo horizontal, al dirigir la visual a un punto, nos da el ángulo a partir
del cero de la graduación. Si este ocupa la graduación arbitraria, las lecturas constituyen simplemente
direcciones, que variarán de 0 a 360º en el sentido en que se mueven las agujas de un reloj o en sentido
inverso; en el primer caso se dice que la graduación del limbo es normal, y en el segundo anormal.
En general interesa medir los ángulos a partir de una posición fija, frecuentemente la de la meridiana
astronómico del punto de estación. La lectura que se obtenga colocando el cero en la dirección Sur y medida
hacia el Oeste, se llama acimut, y es la que se toma siempre en las operaciones geodésicas; en las topográficas
también se toma el acimut, pero a veces, en lugar de encontrar los ángulos desde el Sur, se encuentran desde
el Norte y en el mismo sentido y se refieren siempre a un solo meridiano; denominaremos a éste ángulo, para
distinguirlo del anterior, acimut topográfico.
22

23. Angulos verticales.− Los limbos cenitales pueden estar graduados, en unos casos, de modo que la lectura nos
dé el ángulo que la visual forma con la horizontal, al que se llama altura de horizonte; ésta es positiva si la
visual es ascendente o negativa si desciende.
Frecuentemente los ángulos se miden desde el cenit, lo que tiene la la ventaja de que no se comete
equivocación con el signo; este ángulo se llama distancia cenital. La visual será ascendente siempre que la
distancia cenital sea menor de 90º y descendente si es mayor. La altura de horizonte será siempre el
complemento de la distancia cenital.
REPLANTEO DE UN ÁNGULO POR REPETICIÓN.
Cuando se quiere replantear o tomar en campo un ángulo dado con más precisión que por una sola medida, es
posible hacer uso del método anterior de la manera siguiente: sea OA, en la figura 4 una alineación dada, y sea
AOB el ángulo que hay que tomar para determinar le alineación OB. Se estaciona el teodolito en 0, se pone el
nonio en 0º y se mira hacia el punto A. Se dispone el nonio la más exactamente posible en la lectura
correspondiente al ángulo dado y se toma un punto B, que esté en la línea de mira en la nueva posición del
anteojo; se mide el ángulo AOB' por repetición y se mide también la distancia OB'. Se corrige el ángulo AOB
en la cantidad angular BOB, para tener el verdadera ángulo AOB. Pero esta corrección es muy pequeña para
poderla aplicar con exactitud por una observación angular, por lo cual es mejor calcular la distancia B'B = 0B'
tg B'OB (o BB' = OB' sen B'OB), tomándose así el punto B en vez del B·.
Conviene recordar que la tangente o el seno de 1' es con mucha aproximación igual a 0,0003. Como
comprobación del replanteo, se mide por repetición el ángulo AOB.
Ejemplo: Supongamos que hay que replantear un ángulo de 30º 00' medido con precisión de 5" y que el
teodolito empleado aprecia el minuto. El valor total de AOB', después de seis repeticiones, ha sido de 180º
02', con precisión de 30". El valor observado de AOB' será, pues de 180º 02' : 6 − 30º 00'20'', aproximación de
5'' y la corrección que hay que aplicar a AOB' será 20''. Si suponemos que la longitud de OB' es de 120 m, la
distancia BB' será igual a 120 x tg 20'' = 120 x 0,0001 = 12 mm.
MEDICIÓN DE UN ÁNGULO VERTICAL.
El ángulo vertical de un punto puede ser de elevación (+) o de depresión (−) respecto a la horizontal. Para
medir ángulos verticales se estaciona el teodolito y se nivela como para la observación de acimutes.
En los teodolitos que poseen nonio vertical fijo se centran exactamente las burbujas de los niveles de
plataforma; se enfila el anteojo hacia el punto de que se trate y se amordaza el eje horizontal. Se lleva el hilo
horizontal del retículo sobre el punto observado por medio del tornillo de coincidencia del anteojo y se lee con
el nonio vertical.
En los teodolitos que tienen un nonio vertical móvil con nivel propio se enfila el anteojo hacia el punto, se
nivela el nonio y se lee el ángulo.
En las nivelaciones por pendiente (trigonométricas) se toman los ángulos verticales visando como de ordinario
una mira de nivelación, pero de modo que la visual caiga sobre una lectura igual a la altura del eje horizontal
del anteojo sobre el punto en que se ha estacionado el teodolito. Si la nivelación por pendientes ha de hacerse
con una mayor precisión, como las distancias entre las estaciones suelen ser más bien grandes, se miden los
ángulos verticales dirigiendo visuales con el teodolito a señales colocadas sobra tales estaciones.
MÉTODOS PARA LA MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Método simple, por repetición, por reiteración, por vuelta de horizonte y por direcciones
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24. En topografía el uso de cualquier goniómetro o instrumento para la medida de ángulos, por ejemplo el
teodolito, tiene como fundamento lo siguiente.
Recordemos primero cómo se hace la medida de un ángulo mediante el uso de un transportador, del arco de
círculo descrito por dos líneas rectas: apoyamos primero sobre la hoja de papel (contenida en el plano descrito
por la mesa de trabajo) el transportador, de manera que describa tres planos paralelos, que finalmente
consideramos como uno en su proyección.
Se pone el centro del círculo en coincidencia con el vértice definido por las dos rectas; el cero de la
graduación del círculo en coincidencia con una de las líneas y la intersección de la otra línea con el círculo
descrito por el transportador, nos da el valor correspondiente al ángulo deseado.
Por lo que se refiere a los trabajos topográficos, las mediciones se realizan sobre el terreno pero tienen la
misma concepción geométrica, como puede verse en la figura
El eje de giro 1 debe ser perpendicular al plano del horizonte y pasar precisamente por el vértice del ángulo
por medir; por lo tanto, el círculo graduado deberá estar contenido en un plano perpendicular a dicho eje, es
decir, paralelo al plano del horizonte. El eje 2 es perpendicular al eje 1, así como a la línea de colimación o
línea de la visual (recuérdese que colimación es el fenómeno físico que consiste en dirigir la vista en una
dirección y a un punto determinado). Todo lo anterior tiene por objeto reunir las condiciones geométricas
necesarias y suficientes para realizar la medición del ángulo BAC, tal y como lo hacemos con el transportador.
Los instrumentos topográficos poseen dispositivos ópticos y mecánicos que nos permiten hacer las
mediciones con la garantía de que reúnen, teniendo todos los cuidados correspondientes, estas condiciones
geométricas. Al describir más adelante la brújula y el teodolito, veremos con mayor precisión y claridad lo
antes dicho. Mencionaremos primero los métodos que se utilizan en las mediciones angulares:
Método simple. Consiste en colocar como origen de medición cero grados sobre la línea que une al vértice con
cualquier punto de referencia, que se tome como origen. A partir de allí podemos medir el ángulo interno,
externo o de deflexión en sentido positivo (sentido de las manecillas del reloj o sentido a la derecha) o bien en
sentido negativo (contrario a las manecillas del reloj o sentido a la izquierda), hasta el siguiente punto de
referencia que nos defina el ángulo. Y se lee en el círculo graduado el valor correspondiente al arco descrito
entre las dos líneas
Método de reiteración. A diferencia del método anterior, el origen se toma arbitrariamente en una lectura
cualesquiera definida de antemano, a fin de ratificar los valores encontrados compararlos y de ser necesario,
promediarlos para lograr mejores valores.
El procedimiento consiste en fijar primero el número de reiteraciones que desean hacerse; en seguida se divide
la circunferencia (360) entre las reiteraciones y el cociente dará la diferencia de origen que deberá tener cada
ángulo.
Ejemplo
Se requieren hacer reiteraciones y, por tanto, se divide 360/4 = 90. En consecuencia, los orígenes serán: 0º,
90º, 180º y 270º.
Ángulo
Orígenes Lectura final correspondiente
0º00' 26º02' 26º02'
24

25. 90º00' 16º03' 26º03'
180º00' 206º03' 26º04'
270º00' 296º04' 26º04'
Promedio 26º03'
Método de vuelta de horizonte. Se utiliza especialmente en ciertos trabajos topográficos, en los que desde un
vértice se tienen que tomar lecturas o hacer visuales n puntos. Así, se toma un lado como origen cero grados y
se va girando hasta cada punto deseado; se hacen las correspondientes lecturas, girando 360º y luego en
sentido contrario para comprobar valores, la operación se repite cuantas veces sea necesario.
Método de direcciones. En este método, el origen arbitrario, pero no definido de antemano. A diferencia del
método de reiteración y el valor angular, se determina restando a la lectura final la lectura inicial. Es un
método muy seguro, sobre todo cuando se hace un buen número de series.
Ángulo
Lectura inicial Lectura final correspondiente
130º 42' 10" 159º 58' 13" 29º 16' 03"
293 16 15 322 32 19 29º 16' 04"
389 35 06 58 51 11 29º 16' 05"
Promedio 29º 16' 04'
También recibe el nombre de ángulo de dirección el formado por la línea norte−sur o meridiana y una línea
cualesquiera que la intersecte. Cuando la medición se realiza considerando un círculo de 360º, girando en
sentido positivo, se denomina acimut y cuando dicho círculo es dividido en cuatro cuadrantes de 90º cada uno,
haciendo esto que los ángulos descritos no sean mayores que 90º, se les denomina rumbos y se miden del
norte hacia el este, del norte hacia el oeste, del sur hacia el este y del sur hacia el oeste.
Debe procurarse que el origen de las lecturas en este método de direcciones inicie en cero grados; pero esto no
es estrictamente necesario, sobre todo cuando se usa un teodolito provisto de círculo de cristal y micrómetro
óptico. Incluso lo normal es hacer las lecturas iniciales que tenga el instrumento al momento de comenzar las
observaciones; a lo máximo se puede buscar, en forma expedita, que la lectura inicial tenga un valor pequeño,
por comodidad de lecturas. Esta operación no requiere más tiempo que el rigurosamente necesario, pues hay
que tomar en cuenta que, como en todas las cosas, la rapidez es importante en tanto se logren todos los
objetivos previstos.
Cuando se dispone de un teodolito electrónico, basta con oprimir un botón, que por impulso magnético coloca
automáticamente el círculo en cero grados. Una vez que definimos la línea de origen para la medición angular
y luego de realizar el giro correspondiente, en una pantalla de cristal de cuarzo líquido podemos leer el valor
del ángulo en forma digital.
Desde luego, el método simple puede repetirse tantas veces como sea necesario, a fin de tener mayor
seguridad en la lectura o para lograr un promedio de todos los valores observados.
Método de repetición. Se toma como origen en cero grados cualesquier línea, como en el método simple, se
25

26. gira hasta el lado con el cual se define el ángulo por medir y se regresa a la línea de origen. Pero no se coloca
en cero grados, sino en la lectura que se haya tenido al medir. Se repite dos, tres o más veces esta operación y,
como los valores se han ido acumulando (en la segunda ocasión aproximadamente el doble, en la tercera cerca
del triple, etc.), el valor angular de la última observación se divide entre el número de veces que se hizo la
repetición y el resultado o cociente será el valor angular correspondiente (regularmente se hacen tres
repeticiones y como máximo en cuatro ya que la fricción del limbo puede arrastrar su graduación y con ello
perdería precisión nuestra lectura).
Repetición Valor acumulado
1 377º 20'
2 74 42
3 112 03
112º 03'/3 = 37º 21' valor promedio
Este método es muy confiable ya que ofrece la ventaja de poder detectar errores, equivocaciones y los errores
acumulados por la apreciación de los valores.
El acimut y el rumbo, retornando a este tema, pueden ser magnéticos o astronómicos según que la meridiana
de referencia sea determinada por medios magnéticos (brújula) o por métodos astronómicos.
TAQUIMETRÍA
La taquimetría es el sistema de levantamiento que resulta de determinar la posición de los puntos,
principalmente por radiación y en que las medidas elementales se hacen como sigue:
a.− Los ángulos horizontales por un limbo horizontal.
b.− Los ángulos verticales por un limbo vertical.
c.− Las distancias horizontales y verticales, por medio de la estadía, con utilización de las medidas angulares.
El instrumento que más se acomoda a este trabajo es el taquimetro que no es sino un teodolito provisto de una
estadía en el anteojo.
EL TEODOLITO
Generalidades.
El Teodolito constituye el más evolucionado de los goniometros. Con el es posible realizar de las más simples
operaciones hasta levantamientos y replanteos muy precisos.
Una variante el Teodolito es el Taquímetro autorreductor creado por el Italiano Ignacio Porro (1801 − 1875).
El taquímetro posee además los elementos del teodolito común
Un aspecto muy importante que se debe cuidar es que el aparato esté bien centrado, pues cualquier
desplazamiento se reflejará en errores angulares
El teodolito recibe también el nombre de instrumento universal por la gran variedad de aplicaciones que de su
26

27. uso se pueden obtener. Cabe emplearla para medir y tomar ángulos horizontales, acimutes, ángulos verticales,
desniveles y distancias, así como para prolongar alineaciones. Aunque los teodolitos difieren mucho entre sí
en detalles de construcción, sus partes esenciales son análogas en todos. Los de modelo anticuado, pero muy
en usa, por no estar blindado, como los modernos, se presta muy bien a la descripción y localización de sus
piezas principales; la sección vertical del mismo aparato que consiste, fundamentalmente en una plataforma
superior o alidada, que lleva unidos dos soportes en forma de A para el anteojo, y en otra plataforma inferior a
círculo acimutal a la que va fijado un circula graduado. La plataforma superior y la inferior son solidarias,
respectivamente, de un gorrón interior y de un eje exterior, ambas verticales, cuyos ejes geométricos
coinciden y pasan por el centro del circulo graduado.
El eje exterior va alojado dentro del pie nivelante del teodolito. Cerca del fondo de este pie va una articulación
de rótula que une el instrumento con su base pero permitiendo que este se pueda mover a su alrededor.
Al hacer girar la plataforma inferior gira también el eje exterior en su alojamiento del pie nivelante; este eje
con la plataforma inferior unida al mismo, se puede fijar en una posición cualquiera por media del tornillo
inferior de sujeción. Del mismo modo el eje interior, o gorrón, unido a la plataforma superior, se puede hacer
solidario con el eje exterior apretando el tornillo superior de sujeción. Después de apretados ambas tornillos
de sujeción, se pueden dar pequeños movimientos al eje interior mediante el tornillo de llamada o
coincidencia correspondiente. El eje alrededor del cual gira el gorrón o espiga interior se llame eje vertical del
instrumento.
Los niveles tubulares y llamados niveles de plataforma, van montados, en ángulo recto, sobre la plataforma
superior y sirven para nivelar el teodolito, de modo que el eje vertical tome realmente esta posición al hacer
las observaciones. El pie del aparato lleva tres a cuatro tornillos nivelantes, que tienen sus puntas apoyadas
sobre la placa base del instrumento; cuando giran estos tornillos, el teodolito se inclina, moviéndose alrededor
de la articulación de rótula. Cuando se aflojan todos los tornillos nivelantes, cesa la presión entre la base y la
placa de sujeción, y el teodolito puede moverse lateralmente sobre su base. Del extremo de la espiga o eje
interior, y en el centro de curvatura de la rótula va suspenda una cadenilla con un gancho para la plomada
(esto no es en el caso de los utilizados para el proyecto realizado por el grupo). El teodolito se monta sobre un
trípode, al que se sujeta atornillando la base sobre la cabeza de este último.
El anteojo va fijado a un eje horizontal que se aloja en cojinetes dispuestos sobre los soportes en A. El anteojo
puede girar alrededor de este eje horizontal y puede fijarse en la posición que se quiera, dentro de un plano
vertical, apretando el tornillo de fijación correspondiente; se le pueden dar movimientos reducidos alrededor
de su eje horizontal, por medio de su tornillo de llamada. El eje horizontal lleva unido el circulo vertical,
mientras que en uno de los soportes está dispuesto el nonio vertical. Debajo del anteojo, y unido al mismos va
el nivel de anteojo.
Sobre la plataforma superior se encuentra la declinatoria, cuyos detalles son los mismos que los de la brújula
de agrimensor; una vez fijado el círculo graduado de las brújulas su línea NS está en el mismo plano vertical
que el eje visual del anteojo. La brújula de algunos teodolitos está dispuesta de tal modo que su circulo
graduado puede girar sobre la plataforma superior, de modo que puede tomarse la declinación para leer
directamente rumbos verdaderos. Junto a la declinatoria hay un tornillo que sirve para soltar a sujetar la aguja
en su pivote.
Características principales de los teodolitos:
1.− El centro del instrumento puede colocarse exactamente sobre un punto del terreno aflojando los tornillos
nivelantes y corrientes lateralmente el teodolito en la dirección necesaria;
2.− El aparato puede nivelarse por media de los tornillos nivelantes;
27

28. 3.− El anteojo puede girar alrededor de un eje horizontal y uno vertical;
4. − Cuando se afloja el tornillo de sujeción superior y se gira el anteojo alrededor del eje vertical no se
produce movimiento relativo alguno entre los nonios y el círculo acimutal;
5. − Cuando se aprieta el tornillo de sujeción inferior, y se afloja el superior, toda rotación del anteojo
alrededor del eje vertical hace que gire también el círculo portanonios, pero el círculo acimutal no cambia de
posición;
6. − Cuando se aprieten ambos tornillos de sujeción, el anteojo no puede girar alrededor del eje vertical;
7..− El anteojo puede girar alrededor del eje horizontal, y puede fijarse en cualquier dirección dentro de un
plano vertical, por medio de sus tornillos de sujeción y de coincidencia;
8..− Se puede nivelar el anteojo mediante el nivel tubular unido al mismos, por lo cual puede emplearse como
equialtimetro (nivelación geométrica)
9.− Por medio del circulo vertical y del nonio se pueden medir, ángulos verticales, y de aquí que el teodolito
pueda emplearse para hacer nivelaciones trigonométricas;
10.− Valiéndose de la declinatoria, pueden determinarse rumbos magnéticos.
11.− Por medio del circulo acimutal y su nonio se pueden medir ángulos horizontales.
MANEJO Y APLICACIONES DEL TEODOLITO.
Generalidades:
En las secciones siguientes vamos a describir los métodos empleados en los levantamientos con teodolito, de
itinerarios y medición de ángulos, tanto horizontales como verticales.
El modo de tomar rumbos magnéticos con el teodolito es el mismo que con la brújula de agrimensor. El
teodolito puede servir para hacer nivelaciones geométricas (por alturas), de igual manera que con un
equialtímetro, calando la burbuja del nivel del anteojo cada vez que se hace una lectura de mira.
El anteojo puede dar la vuelta complete alrededor de su eje horizontal; este gira es llamado vuelta de
campana. Cuando el nivel del anteojo está abajo, se dice que este último está en posición normal o directa, y
cuando el nivel está arriba, se dice que el anteojo está in vertido.
Instalación del teodolito o taquimetro:
Para centrar el aparato se posee una plomada colgante o en el caso de los instrumentos usados por el Instituto
Profesional Dr. Virginio Gómez, estos poseen una plomada óptica en el que la operación de centrado es más
sencilla, en lugar de dirigir la mirada a una plomada pendiente de un hilo, miraremos a través de un anteojo
que con una cruz filar y lente de enfoque nos permite localizar el punto de estación sobre el cuál queremos
centrar el aparato
− Primer paso: Se coloca el trípode sobre el punto de estación con la mayor aproximación posible, se monta
el Taquímetro sobre el trípode y se clava una de las patas del trípode fuertemente en el terreno.
− Segundo paso: Girando sobre a pata fija con las otras dos visando que la cruz filar de la plomada óptica
quede lo más cercano al punto sobre la estaca, se fijan al terreno las otras dos patas, cuidando que la base
28

29. nivelante del aparato esté en una posición cercana a la horizontal.
− Tercer paso: aflojando el tornillo de sujeción del Taquímetro, desplazamos sobre la cabeza del trípode el
aparato hasta que quede perfectamente centrado y apretamos de nuevo el tornillo de sujeción.
− Cuarto paso: Utilizando las correderas de las patas en el sentido que sea necesario, llevamos al centro la
burbuja del nivel circular de la base del aparato. Revisamos en estos momentos si no se descentró el aparato.
Si así fuese, la cantidad será casi nula en la medida que hayamos dejado horizontal el aparato en el segundo
paso. Repetimos entonces el tercer paso y una vez centrado el aparato procedemos al siguiente paso.
− Quinto paso: Por medio de los tornillos noveladores llevamos al centro la burbuja del nivel tubular del
limbo horizontal y revisamos de nueva cuenta el centrad, repitiendo si fuera necesario los pasos tercero y
quinto hasta lograr tener centrado y nivelado el aparato.
En otras palabras el teodolito se estaciona sobre un punto dado, como por ejemplo, un clavo o sobre la cabeza
de una estaca. Para centrar el instrumento se suspende una plomada de la horquilla que pasa a través de la
plataforma del trípode (Los taquímetros del Instituto tienen plomada óptica, con esta plomada solo se debe
mirar hasta el centro del clavo o estaca y los siguientes pasos son los mismos). Se empieza por colocar el
teodolito aproximadamente sobre el punto; se mueven las patas del trípode hasta que la plomada quede a 1
cm. o poca más sobre el clavo de la estaca, con la base casi nivelada y con las patas bien afirmadas en el
suelo. Se nivela por aproximación el teodolito con los tornillos nivelantes; se aflojan a continuación dos de
estos tornillos (dos cualesquiera en los de tres tornillos, y dos consecutivos en los de cuatro), y se corre el
teodolito a una u otro lado hasta que la plomada quede exactamente sobre el clavo. Si es precisa se varía la
longitud de la plomada para que quede casi rozando la estaca. Se aprietan los tornillos nivelentes pero no
demasiado, y se nivela el instrumento por medio de estos tornillos y de los niveles de la plataforma, colocando
primero cada nivel paralelo a dos tornillos nivelantes. Se llevan las dos burbujas al centro, de modo
aproximado, y después se calan exactamente.
Las operaciones de estacionar y nivelar el teodolito solo se realiza con rapidez y seguridad cuando se ha
adquirido mucha práctica.
Antes de levantar el teodolito de una estación se centra este sobre su base, se igualan los tornillos de
nivelación (sin preocuparse de la exactitud en esta operación, se apriete el tornillo de fijación superior y se
deja flojo o muy poco apretado el inferior, y colocando el anteojo hacia arriba se fija, sin apretar demasiado el
tornillo correspondiente.
En general, el taquímetro es un teodolito repetido, es decir, que tiene dos ejes verticales. Estando destinado a
trabajos más rápidos y de solo relativa precisión; son de construcción más ligera que el teodolito,
especialmente destinado a la medida de ángulos.
Los requisitos que debe verificar un taquímetro, son los mismos que se han visto para el teodolito, más el de
la correcta calibración de la estadía. Para esto, fuera de corregir el taquímetro como teodolito se debe verificar
la constante de la estadía y determinar el centro de analatismo.
Para esto, se procede como sigue: Instalado el instrumento se dirige una visual horizontal y una mira vertical
colocada en un punto alejado A y hacemos las lecturas M'' y M' correspondientes a ambos hilos extremos:
M'' − M' = G
Cambiemos la mira a un punto B cercano y hacemos también la lectura de ambos hilos m'' y m':
M'' − m' = g
29

30. Con huincha se mide cuidadosamente la distancia A B. Se tiene:
X=K"g
x+ =K"G
se deduce K =
G−g
Se tiene así el valor de la constante estadimétrica. Conocido K se determina x con lo que se conoce la posición
del centro de analacismo.
Si el valor obtenido de K no es el que debiera obtenerse para el instrumento (generalmente K = 100), se puede
modificar su valor variando la longitud focal del sistema. Esto se consigue dando un pequeño desplazamiento
longitudinal a una lente que se encuentra poco delante del retículo.
Actualmente, casi todos los taquímetros vienen provistos de anteojos analíticos. En estos el centro de
analatismo coincide con el centro del instrumento.
FORMULA GENERAL DE LA TAQUIMETRIA.
La determinación de la estadía horizontal, y diferencia de nivel entre la estación y un punto por determinar da
motivo a ciertos cálculos entre las medidas elementales.
Supongamos el instrumento instalado en 0 y la mira en A, Sean M'' y M' las lecturas de los hilos extremos y
M la lectura axial. Se tiene:
D=K"G
G = G " cos (aprox.)
D = K " G " cos
Dh = D " cos
Dh = K " G " cos 2
El cateto vertical:
H = Dh " t g
h = K " G " cos " sen
h = 1 K " G " sen 2
2
Si la constante K = 100, basta expresar en cm. para tener los valores de Dh en m. y también de h.
Las fórmulas completas son:
30

31. Dh = G " cos 2 G : M'' − M' en cm.
: en º
h = 1 G sen 2 = Dh " t g
2
ERRORES Y TOLERANCIAS
Independientemente de las tolerancias anotadas para la nivelación geométrica, es necesario considerar los
siguientes aspectos.
Errores. Las principales fuentes de errores en una nivelación son frecuentemente incorrecciones de los
instrumentos cuando éstos no son revisados y ajustados antes de iniciar los trabajos, o por descuido al
momento de hacer un operador las nivelaciones. Salvo algún defecto de fabricación, lo anterior puede
reducirse a cero, si se revisa antes el aparato y se tiene cuidado al hacer las observaciones de vigilar
constantemente la burbuja del nivel tubular, de no recargarse golpear el trípode, verificar que la graduación de
la mira vertical o estadal esté correcta y asegurarse de que en cada visual el estadal esté perfectamente
vertical.
Si en todos los tramos entre puntos de liga es posible colocar el aparato en el centro, prácticamente no hay
problemas con la curvatura y refracción; pero si por necesidades ante la forma del relieve del terreno las
visuales son irregulares o muy largas, habrá que hacer las respectivas correcciones.
Deberá procurarse siempre enfocar perfectamente tanto los hilos de la retícula como el objetivo.
La naturaleza también desempeña un papel importante, ya que el Sol y el viento nos producen dilataciones
diferenciales en las partes del nivel, así como en el estadal. La refracción es irregular debido al calentamiento
por el Sol y se produce una reverberancia que dificulta las lecturas. En casos diremos es necesario utilizar una
sombrilla especial ara el instrumento y acortar las distancias entre el aparato y los estadales.
Los cambios en la longitud del estadal por efecto e la temperatura no suelen ser muy grandes pero pueden
reducirse, si se requiere mayor precisión, usando estadales graduados sobre una cinta de invar 65% acero y
35% níquel).
Cuando hay viento o estar trabajando en un lugar donde hay obras y la maquinaria nos producen vibraciones
que alteren el nivel, el estadal o ambas cosas, será necesario interrumpir los trabajos de nivelación hasta que el
viento disminuya o las máquinas se detengan.
Las equivocaciones personales pueden evitarse usando métodos y registros adecuados para hacer
auto−comprobaciones.
Tolerancia. Es el error máximo aceptable en toda observación. El rechazo de las observaciones lo haremos
eliminando en primer término las equivocaciones, aceptando dentro de ciertos límites esperados los errores
sistemáticos y accidentales. Los grandes errores casi no se presentan y en todo caso son fácilmente
detectables, cuando no se descubren son causantes de grandes dificultades pero se logra su eliminación. Las
pequeñas equivocaciones no se detectan fácilmente pero su efecto no suele ser de consecuencia y éstas así
como los errores deben tratarse adecuadamente y no tratar de eliminarlos arbitrariamente. Es necesario asumir
un método razonable; por ejemplo, el llamado de Wright, en el que se dice que las variaciones o residuos no
deben ser mayores en cinco veces el tamaño del error probable o 3.4 veces el error medio cuadrático en un
primer intento. Luego, se buscarán aquellas variaciones o residuos mayores que 3.5 veces el error probable o
31

32. 2.3 veces el error medio cuadrático. Deberán desecharse si las mediciones fueron realizadas en condiciones de
desconfianza. Este método no es del todo riguroso pero sí resulta muy práctico y se le usa con frecuencia; lo
importante será buscar el método adecuado con los objetivos propuestos como ya se ha dicho antes.
A continuación se da una lista de distintas expresiones útiles para los fines antes explicados:
Medida de precisión:
H = 1/"2 (E) recordando que:
E = " [e²] (n − 1) error medio cuadrático
e = 0.6745 E error probable
Ep = E/"n error medio cuadrático del promedio
ep = e"n error probable del promedio de observaciones de una magnitud
T = 2 W "2 (L)/d tolerancia para errores accidentales en medidas hechas con longímetro
T = 2 w" 2(L)/d + KL tolerancia para errores accidentales y sistemáticos. W, K, = constantes L = longitud
medida, d = tamaño de la cinta comparada.
W y K: corresponden a valores determinados por el ingeniero Ricardo Toscano en su libro Métodos
Topográficos. Medidas precisas en terreno plano con un longímetro comparado y corregido para la
temperatura media del día, W = 0.015; K = 0.0001
− Medidas en terreno plano con longínietro bien comparado W = 0.020; K = 0.0003
− Medidas de segunda clase en terreno abrupto W = 0.03; K = 0.0005
Medidas en terreno muy accidentado W = 0.05; K = 0.0007
TOLERANCIAS
Nociones sobre teorías de los errores:
Al hacer mediciones en topografía es inevitable, que se introduzcan errores, lo cual nos impide saber la
verdadera magnitud del objeto medio, ya sean distancias, ángulos, etc. Estos errores pueden ser causados
fundamentalmente por tres factores: La naturaleza (temperatura, humedad, viento, refracción, atracciones
magnéticas, gravedad terrestre, calinosidad del ambiente, etc.); los instrumentos empleados (imperfecciones e
inexactitudes de los instrumentos; longimetros, tránsitos, etc.), y las equivocaciones.
Los tipos de errores que se producen son accidentales y sistemáticos. Los accidentales son imposibles de
evitar pero suelen compensarse, ya que en un número suficiente de observaciones o medidas ocurren errores
positivos y negativos; no así los sistemáticos que se acumulan, porque tienen el mismo el mismo signo. En
efecto, sí se mide con un instrumento defectuoso o falla el alineamiento horizontal y vertical, por variación de
temperatura u otras causas, se acumulan errores que obedecen a leyes físicas y matemáticas. Por lo tanto, es
necesario estudiar la naturaleza y propiedades de tales errores para poder evaluar la precisión de los resultados
de las mediciones y hacer las correcciones correspondientes.
Consideremos que las medidas están libres de error o supongamos que la verdadera magnitud y los valores
32

33. observados son X, y L1 ,L2 ,L3,......Ln respectivamente, como ya se dijo, no es posible conocer la verdadera
magnitud, pero si un valor más probable L, de modo que si tomamos la media aritmética de nuestras
observaciones tendremos que:
L = L1 + L2 + L3 +.......Ln
Podremos conocer el error calculando la diferencia entre este valor más probable y cada una de las medidas:
L − L1 = ± e3
L − L2 = ± e2
L − Ln = ± en
El signo del error dependerá de que L> Ln o L> Ln.
Si las condiciones de medida son tales que puedan ser apreciadas como igualmente seguras, entonces se toma
un numero suficientemente grande de observaciones iguales y determinamos los errores e1 ,e2, e3.....etc., y
con ellos elaboramos una gráfica.
Notaremos que parecen no obedecer a ninguna ley, pero no estadística se establece esta gráfica, denominada
campana de Gauss de las probabilidades.
Para las condiciones de medida dadas, la magnitud de un error no puede exceder cierto limite.
Los errores pequeños son más frecuentes que los grandes errores.
Los errores positivos ocurren con la misma frecuencia que los negativos.
La media aritmética de los errores en observaciones iguales cuando n es suficientemente grande nos da error
promedio:
E(m) = ± e(1) ± e(2) ± ... e(n)
n
33

34. entonces:
L − L(1) = ± e(1)
L − L(2) = ± e(2)
L − L(3) = ± e(2)
L − L(n) = ± e(n)
En la teoría de los errores se ha adoptado internacionalmente un paréntesis cuadrado para indicar suma de
manera que:
Em = "(e²)
n
y a esta expresión se le denomina error medio cuadrático de una observación. Si usamos (n−1). Donde n > 1.
Si no hubiera errores bastaría con una sola observación, de manera que introducimos (n−1) observaciones.
Para evitar cuocientes como 0/0 que son indeterminados y hacemos:
Em = "(e²)
n−1
de aquí obtendremos el error medio del promedio
Em = " (e²)
n(n−1)
En la curva de probabilidades, vemos que hay un error critico a partir del cual tenemos errores en ambos
sentidos. A este punto máximo de la curva le llamamos error probable y se determina mediante la siguiente
expresión: EP = 0.6745, Em para una observación y EP = 0.6745 E(p) para una serie de observaciones.
Precisión. Como no podemos conocer la verdadera magnitud x, sólo podemos conocer el valor más probable
l, nos encontramos ante la necesidad de sustituir la palabra exacta por la palabra preciso. Así, nuestras
observaciones serán mas o menos error medio, mayor precisión y viceversa. Los factores de la precisión son:
a) Instrumental topográfico preciso
b) Procedimientos y métodos precisos
c) Características del observador
Con relación al inicio a), deberá preocuparse que el equipo se encuentra en buenas condiciones de
funcionamiento y se buscará usar el instrumental más preciso de que se disponga. En esa medida, se avanzara
con mayor rapidez y mejores resultados, lo que redundará en un factor económico positivo.
El hacer la planificación previa y correcta es muy importante tanto en la elección del instrumental como en
definir lo expresado en el inicio b); procedimientos y métodos. Estos deberán contener las secuencias de
34

35. trabajo, los métodos de registro a utilizar, los métodos de control, tanto de las anotaciones como de las
observaciones mismas y, en suma, todos los procedimientos encaminados al logro de los objetivos propuestos.
El inicio c), si se han cuidado con detalle los puntos anteriores, no debería ser problema, aun tratándose de
trabajos realizados por varias brigadas encabezadas por distintas personas. No obstante, es un aspecto a
considerar en algunos casos.
Deberá también estimarse previamente el tamaño de los errores que es posible admitir dada la planeación, los
instrumentos elegidos, la extensión del terreno, los métodos a utilizar en campo, la escala a que se va a
trabajar, la representación gráfica, etc., así como las metas previstas y los objetivos.
Para calificar los errores es necesario establecer expresiones que nos sirvan como norma o patrón para la
comparación; por ejemplo, la del error medio cuadratico y esto tanto para medidas lineales y angulares en
planimetria. A tal efecto, en algunos de los temas precedentes y subsecuentes, se dan algunas reglas prácticas.
Será necesario, para profundizar sobre el tema, recurrir a bibliografías como la que se refiere en la parte final
del presente logro.
El grado de precisión requerido estará en relación directa con los objetivos que se persigan, la extensión y
condiciones del terreno y los instrumentos y equipo auxiliar que se emplee. Es claro que los esfuerzos por
lograr precisiones grandes con equipo ordinario y condiciones adversas es una pérdida de tiempo que reflejará
necesariamente en un mayor costo pues, como en la medicina, habrá que dar el medicamento indicado y
definir siempre qué queremos hacer, cómo lo vamos a hacer y con qué lo haremos.
Como ya se vio antes, los pequeños errores se presentan más frecuentemente que los grandes errores y que los
de carácter accidental suelen compensarse.
El principio establecido en la teoría de los errores de que el error total en una nivelación puede suponerse
proporcional a la raíz cuadrada de la distancia en circuito recorrida por la nivelación pues se consideran
distancias constantes. Así,
Et ± e1 ± e2 ± e3... ± en
Siendo Et el error total y el, e1, e2, e3, etc., los errores parciales.
Con objeto de eliminar el doble signo, elevamos cuadrado y nos queda:
Et = e12 + e22+ . en
(consideramos que, si n tiende a infinito, los dobles productos se eliminan).
Haciendo también
el = e2 = e3 = en
nos queda que:
Et² = ne² Por tanto:
Et = e"n
donde Et es el error medio en una nivelación e, el error medio de una sola observación y n el número total de
observaciones.
35

36. CURVAS DE NIVEL
Curvas de nivel: Una curva de nivel es una curva que une puntos con la misma elevación. La traza de la
intersección de una superficie de nivel con el terreno, sería representada en un plano como una curva de nivel.
La línea costera de un lago en reposo sería una curva de nivel en la naturaleza. El intervalo entre curvas de
nivel (equidistancia), es la distancia vertical o desnivel constante entre dos curvas adyacentes. En los planos,
las curvas de nivel se dibujan en sus posiciones horizontales verdaderas con respecto a la superficie del
terreno. Los planos topográficos con curvas de nivel proporcionan información referente a pendientes del
terreno, como montañas, valles, cumbres, y las elevaciones de estos rasgos.
En otras palabras se llama curva de nivel a una línea imaginaria que une en forma continua todos los puntos
del terreno que tienen una misma cota.
Deben ser equidistante lo que significa que entre todas las curvas de nivel consecutivas debe haber el mismo
desnivel.
El intervalo de las curvas de nivel, en el sentido vertical, depende del objeto y la escala del plano y del
carácter del terreno representado.
Para los planos de escala intermedia como los que se utilizan en muchos estudios de Ingeniería el intervalo de
un metro.
Características.
Son líneas continuas.
Son siempre cercanas, si el territorio que abarca el terreno (el levantamiento) es pequeño, el plano no
alcanzará a tomar una curva de nivel completa.
La distancia horizontal entre dos líneas de nivel consecutivas es universamente proporcional a la pendiente.
En las pendientes uniformes las líneas del nivel están separadas uniformemente.
Como las curvas de nivel representan contornos de diferente elevación en el terreno no se pueden juntar ni
menos cruzar (excepto en acantilados, salientes o curva).
Son perpendiculares a las líneas de máxima pendiente.
No pueden quedar entre dos de mayor a menor dirección.
Se establecen siempre a cotas en metros exactos.
Planos con curvas de nivel:
Un plano acotado, siempre que las cotas se refieran a puntos bien elegidos, basta para resolver los problemas
que se refieran a desniveles, pero ofrece el inconveniente de no dar una idea suficientemente clara del relieve,
éste queda mucho más patente y, por decirlo así, entra por los ojos, en los planos con curvas de nivel.
Se denomina curva de nivel la línea que une en el plano los puntos de igual cota. La figura sinuosa que forma
en el terreno la orilla de un lago, por ejemplo, constituye curvas de nivel
Reglas básicas para dibujar Curvas de Nivel
36

37. Las reglas básicas para dibujar curvas de nivel son las siguientes:
1.− Debido a la redondez de la tierra se asume que todas las curvas de nivel son cerradas, es decir, los
extremos de cada curva se unirán en algún lugar del planeta.
2.− Las curvas de nivel son equidistantes (en cuanto a la cota que representan) entre sí.
3.− Por cada punto siempre pasa una curva, aunque esta no este dibujada en el plano.
4.− El espaciamiento de las curvas de nivel es un indicativo de las pendientes del terreno. Si están muy juntas,
la pendiente es muy fuerte y si las curvas están más separadas la pendiente es suave.
5.− Una serie de curvas cerradas, concéntricas, que crecen en elevación, indican promontorios o cimas.
6.− Las curvas de nivel que forman un circuito cerrado alrededor de terrenos bajos se llaman Curvas de
Depresión.
7.− Las Curvas uniformes, sin cambios bruscos, indican la presencia de terrenos con pendientes graduales.
Las Curvas irregulares muestran terrenos accidentados o disparejos.
8.− Las curvas de nivel no pueden ramificarse o dividirse en dos curvas con la misma elevación.
9.− en los valles se tienen curvas de nivel en forma de V y en las cimas en forma de U.
Método de Interpolación.:
a.− Método Geométrico: Suponiendo dos puntos (A y B) del plano cuyas cotas son Ca y Cb respectivamente,
de tal manera que forman la línea de máxima pendiente. Se dibuja una línea indefinida en cualquier dirección
partiendo del punto A. Se pone una regla, graduación de la regla, correspondiente a la fracción de la cota.
Sobre el papel se marca F, E y G que corresponden a la regla de la cota del punto B.
Se unen los puntos B y H, y por los puntos G, F y E se trazan paralelas a BH las que originan los puntos e, f, y
g sobre la dirección AB y que son los puntos interpolados y que tienen cota entera sobre la línea de máxima
pendiente AB.
b.− Método Gráfico o Mecánico: Sobre un papel transparente se trazan rectas paralelas equidistantes 1 ó 0.5
cm.; este papel se pone sobre las cotas de los puntos A y B, y con un alfiler se marcan los puntos de las curvas
de nivel enteras sobre otros puntos.
c.− Métodos por proporción: Supongamos dos puntos en el plano, A y B, con sus respectivas cotas Ca y Cb.
Supongamos también que el punto B tiene una cota inferior. Se tendrá una cierta distancia entre A y B, la cual
se puede medir con un escalímetro o con una regla haciendo la transformación con la escala correspondiente.
A partir de la vista transversal se tiene que :
DV= Ca −Cb
Sea C la curva de nivel que se quiere interpolar y X la distancia en el plano desde el punto B (el punto de cota
inferior), luego:
Por semejanza de triángulos:
37

38. DV = h
DH = X
X = DH x h
DV
Pero H = (C − Cb)
Luego, X = DH x (C − Cb)
DV
De esta manera se encuentran todas las curvas que pasan entre A y B, y se marcan en la línea que une a ambos
puntos.
Pendientes
Líneas de máxima pendiente: Es una línea contenida en una superficie y que es perpendicular a la línea de
intersección de esta superficie con un plano horizontal.
Esta línea se forma con la horizontal el mayor ángulo con la superficie. Se trata de visualizar en terreno las
líneas de mayor pendiente con la finalidad de tomar sobre esta línea, los puntos que nos permiten definir las
curvas de nivel.
Su proyección sobre un plano horizontal es perpendicular a la proyección de la curva de nivel que la cota.
NIVELACIÓN
Errores y compensaciones en la nivelación:
Fuentes de error
Se deben a alguna o a todas las siguientes causas: corrección imperfecta del instrumento, paralaje, curvatura
de la tierra, refracción atmosférica, variaciones de temperatura, la mira no tiene una longitud standard, la mira
no está aplomada, imprecisión en los puntos de cambio, hundimiento del trípode o de los puntos, mala
centración de la burbuja en el instante visual, malas lecturas en la mira, etc. También son fuente de error la
confusión de números en las lecturas, anotar las lecturas atrás en las de adelante y viceversa, punto de apoyo
errado, error de cálculo, etc.
Errores y compensación:
Para poder compensar algún error es necesario realizar una nivelación cerrada. Se llama así a la nivelación
que habiendo partido de un punto dado, después de recorrer todos los puntos que se quieren nivelar, vuelve al
mismo punto.
La comprobación global de la nivelación cerrada se obtiene verificando si la suma de todas las lecturas de
atrás es igual a la suma de las lecturas de adelante, esta diferencia nos da el error de cierre (e).
E = e (lectura adte.) − E (lectura atrás)
38

39. Este error debe ser igual o menor a un error máximo admitible que se calcula de la siguiente forma:
Ea = 0.02 x "D D: Distancia total recorrida (km.)
Este error queda expresado en metros.
Para compensar el error de cierre se utilizan dos criterios:
En función del camino recorrido:
K=e/DC=k*d
C: Compensación del error de cierre.
K: Constante.
E: Error de cierre.
D: Distancia total recorrida.
d: Distancia acumulada hasta dicho punto.
En función de las posiciones instrumentales:
K = e / n C = k x (N − 1)
C: Compensación del error de cierre.
K: Constante.
N: Número total de posiciones instrumentales.
n: Número de posiciones instrumentales usadas hasta el momento.
Esta corrección se suma o resta a la cota del punto obtenido. Para saber si esta compensación se debe sumar o
restar a todos los puntos, se debe elegir la operación tal que la cota de la última lectura (lectura de adelante del
primer punto de la poligonal, el cual es de cota conocida) sea igual a su cota original.
Fuentes de error: Se deben a alguna o a todas las siguientes causas: corrección imperfecta del instrumento,
paralaje, curvatura de la tierra, refracción atmosférica, variaciones de temperatura, la mira no tiene una
longitud standard, la mira no está aplomada, imprecisión en los puntos de cambio, hundimiento del trípode o
de los puntos, mala centración de la burbuja en el instante visual, malas lecturas en la mira, etc. También son
fuente de error la confusión de números en las lecturas, anotar las lecturas atrás en las de adelante y viceversa,
punto de apoyo errado, error de cálculo, etc.
NIVELACION DIRECTA
Este método, en el cual se utiliza un nivel topográfico, nos permite calcular y corregir las cotas de las
estaciones. Para esto es necesario contar con algún punto de cota conocida o P.R. (punto de referencia), que se
nivelará junto con los otros puntos. Cuando no se cuenta con alguno, se le asigna a algún punto una cota
determinada y se asume éste como el punto de cota conocida.
39

40. La nivelación directa consiste en ir leyendo el hilo medio para cada punto deseado (estaciones y P.R)
haciendo cambios instrumentales cuando sea necesario. Los puntos se clasifican en dos tipos:
−Punto de cambio: Son los que sirven de apoyo para la marcha de la nivelación y sobre los cuales se hace una
lectura de adelante y una de atrás y sirve para un cambio de posición instrumental.
−Puntos intermedios: Son, los que sobre los cuales se ha hecho una instalación simple de mira, que no
intervienen en la marcha de la nivelación y en los cuales se hace lectura y no nos sirven para apoyar un
cambio de posición instrumental.
Dependiendo del tipo de punto en cuestión podemos definir el tipo de lectura:
− Lectura intemedia: Cuando se lee un punto intermedio, es decir, no asociado a algún cambio instrumental.
−Lectura de atrás: Al realizar un cambio instrumental, es la lectura al punto de cambio desde la nueva
posición.
−Lectura de adelante: Se lee el punto de cambio desde la estación que se desea cambiar.
Se comprende que es necesario un mayor cuidado para las lecturas en los puntos de cambio que en los puntos
intermedios.
Las lecturas de mira obtenidas en los diversos puntos, y demás datos necesarios, se anotan en registros
especiales. Las cotas se pueden obtener de dos formas:
• Registro por cota instrumental: La fórmula simplificada ( esta es simplificada al considerar la tierra plana)
para la cota de un punto cualquiera "a" esta dado por:
Ca = CI − la
Ca : Cota del punto a
CI : Cota instrumental
La : Lectura del punto a
Observación: Para un punto de cambio, "la " representa lectura de adelante.
2) Registro por diferencia de cotas: Al igual que en el caso anterior, la fórmula para un punto " a " es como
sigue:
Ca = Cb + ( lb − la )
Ca : Cota del punto a.
Cb : Cota conocida de un punto cualquiera " b ".
( lb − la ): Diferencia de nivel entre a y b.
Para este trabajo se utilizaron solo registros por cota instrumental.
Comprobaciones de una nivelación:
40

41. En una nivelación se introduce una serie de errores que pueden alterar en una forma notable los resultados.
Estos errores, como ya se vio, pueden ser naturales, instrumentales y personales, lo que hace necesaria una
verificación. Si corremos una nivelación, necesitamos conocer la magnitud del error, ver si es tolerable y
hacer luego la compensación. Para conocer el error es necesario ejecutar en el campo alguna de las
comprobaciones de una nivelación que a continuación se exponen, así como compararlos con los errores
máximos permisibles o tolerancias y su compensación.
Aprobación mediante nivelación de circuito (o ,de ida y vuelta). En esta nivelación se parte de un banco de
nivel de cota conocida o de cota arbitraria y se llega a un punto final o a un banco de nivel (Fig. 5−34)
Mediante la diferencia entre las cotas inicial y final tendremos el desnivel entre ambos puntos. Posteriormente
hacemos el recorrido en sentido contrario y siguiendo otro camino. De esta manera determinamos un desnivel
que debe ser muy parecido al anterior con una diferencia máxima de T = 0.01 "Dkm. donde Dkm es la
distancia recorrida en kilómetros. Si nuestro error cae dentro de esta tolerancia T será compensable. De no ser
así se repetirá el trabajo; para evitar esta repetición después de haber nivelado varios kilómetros, es útil evitar
en cada observación siguiendo alguno de los procedimientos que se mencionan en el inciso d.
b) Por doble punto de liga. En este método, se corre una doble nivelación usando dos puntos de liga para cada
posición del aparato (o para cada estación). La cota de salida debe ser la misma y la de llegada, en teoría
debería ser igual la diferencia o error. No debe ser mayor que la tolerancia, T = 0.15 "Dkm. Para que el
registro y el cálculo aritmético resulten correctos, verifíquese en cada estación, la altura de la línea de
colimación o altura de aparato. Al final del recorrido, deberán ser iguales el desnivel encontrado en cada
nivelación por la diferencia de cotas de salida y llegada y el desnivel determinado mediante la diferencia de
lecturas (+) "atrás" y lecturas (−) "adelante".
La separación entre los puntos auxiliares PLI, PLa, etc., se ve exagerada en la figura, pero bastará que entre
ellos exista un pequeño desnivel sin importar la distancia.
c) Por doble altura de aparato. Esta comprobación se realiza mediante un recorrido en donde lo único que
cambia es el punto de vista o altura de la línea de colimación. Así se tienen dos lecturas diferentes en el
mismo estadal; el registro se verifica en cada tramo, verificando la cota de los puntos de liga. La cota de
llegada en ambos registros (o en un registro doble) no deberá diferir en más de una tolerancia T = 0.02 "Dkm.
d) Existen otros métodos de comprobación como son: el uso de estadales o miras con carátula de doble
graduación o reversibles, grabadas sobre metal invar, que permite llevar un doble registro con mayor
seguridad y precisión. También es posible controlar una nivelación cuando el telescopio cuenta con marcas
estadimétricas, ya que la distancia entre ellas y el hilo medio es la misma y el intervalo leído en el estadal
también deberían ser iguales, aunque la estimación al observar hace que, en repetidas ocasiones, haya
pequeñas diferencias que se resuelven por promedio para determinar la lectura correcta y tener una seguridad
en el trabajo que se realiza.
Compensación de una nivelación:
Una vez determinada la magnitud del error y comparándola con la tolerancia establecida, sabrá si es posible
compensarlo o es necesario repetir el trabajo. A continuación daremos un ejemplo de compensación para una
nivelación de ida y vuelta o para una en que se conoce la cota o elevación del banco de nivel de llegada,
repartiendo el error proporcionalmente en las distancias parciales a los bancos de nivel intermedio.
Ejemplo:
Se ha recorrido una nivelación entre dos bancos extremos, estableciendo tres bancos intermedios. Al final del
recorrido se comparan las cotas, encontrándose con su diferencia un error total. Si éste cae dentro de la
tolerancia permitida se procederá a repartir el error, estableciendo proporciones entre la distancia recorrida y
41

42. el error total.
Llamaremos:
dt = distancia total recorrida entre los bancos de nivel A y B.
d1, d2, d3 y d4 = distancia entre bancos de nivel
et = eror total
c1, c2, c3 = correcciones a las cotas de los bancos de nivel 1, 2, 3.
De lo explicado anteriormente se desprende que:
c1 = d1
−− −−−
c2 d2
y la corrección será proporcional a la distancia entre cada punto y el punto de partida.
Si establecemos la proporción:
dt d1
−− = −−
et cl
encontramos que
et (d1)
cl = −−−−−−−−
dt
que es la corrección a la cota del banco de nivel 1. Como el error se va acarreando, en el segundo banco
debemos considerar las distancias d1 y d2 de manera que:
dt d1 + d2
−−− = −−−−−−−−−−−−−
et c3
por tanto,
et (d1 + d2)
c2 = −−−−−−−−−−−−−−−
42

43. dt
siendo ésta la corrección del banco de nivel 2, en igual forma:
dt d1 + d2 + d3 et (d1 + d2 + d3)
−− = −−−−−−−−−−−−−−−− c3 = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
et c3 dt
y así sucesivamente según el número de puntos que se tengan, aplicando en cada caso el signo
correspondiente a la corrección en función del signo que resulta en el error.
Existen otras compensaciones; por ejemplo, las de líneas de nivelación que se cruzan en un punto, las de redes
completas de nivelación, etc.
Capitulo III: METODOS Y EJEMPLOS DE CÁLCULOS
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS, REDES.
En planimetría la primera la primera red constituye la triangulación o red trigonométrica; sus puntos, muy
espaciados, se denominan vértices, y es análoga, aunque con lados más cortos, a las triangulaciones
geodésicas. El método seguido, por cálculos de los triángulos, es el más exacto de todos los conocidos y se
denomina de intersección.
La segunda red, denominada topográfica o poligonación, es interior a cada uno de los triángulos,
distribuyendo en ellos puntos denominados poligonométricos, y el método seguido para determinarlos es el
itinerario, que consiste en ir midiendo sucesivamente las rectas llamadas ejes que unen dos puntos y el ángulo
que forman cada dos ejes consecutivos. Para el levantamiento de un itinerario se parte de un vértice, o un
punto poligonométrico, previamente establecido, formando en cada triángulo una malla de itinerarios que se
entrecruzan.
La tercera red, llamada el relleno, se apoya en la anterior, estableciendo itinerarios cortos dentro de cada malla
de la poligonación, pero levantando, en cada estación, todos los detalles del terreno circundante por el método
que se conoce con el nombre de radiación, midiendo las distancias de los diferentes puntos al centro y los
ángulos que forman estos radios con una dirección fija.
Existen, en resumen, tres métodos planimétricos fundamentales, los de intersección, itinerario y radiación, que
se utilizan, respectivamente, en las triangulaciones, poligonaciones y relleno de un levantamiento de cierta
extensión.
Elementos de los instrumentos topográficos
Esquema de un goniómetro.
Todos los trabajos de campo necesarios para llevar a cabo un levantamiento por Topografía Clásica no
consisten, en esencia, sino en la medida de ángulos y en la medida de distancias.
Para medir ángulos se utilizan diversos instrumentos topográficos, conocidos con el nombre genérico de
goniómetros, que a su vez, la mayor parte de las veces, permiten, también medir distancias por métodos
indirectos.
43

44. Los ángulos que han de medirse pueden ser horizontales o verticales, llamándose ángulos acimutales a los
primeros y ángulos cenitales a los segundos. Los goniómetros que han de medirlos, aunque de muy diversas
características, reciben el nombre de acimutales cuando es ésta la clase de ángulos que han de medir, y el de
eclímetros cuando son los cenitales. Es frecuente que los goniómetros puedan utilizarse a la vez como
acimutales y como eclímetros y que permitan, además, medir indirectamente las distancias por métodos
denominados estadimétricos o por otros métodos indirectos, menos frecuentes.
Levantamientos por poligonal:
Para representar gráficamente los terrenos que levantamos es necesario el apoyo de figuras geométricas,
puntos, líneas rectas, curvas, coordenadas, etc. En esas condiciones podemos apoyarnos en poligonales
abiertas o cerrada, desde las cuales recopilar las mediciones lineales y angulares que nos permitan representar
gráficamente la proporción de terreno con todos sus detalles, para ello daremos ejemplo de poligonales
cerradas:
a)− Poligonal envolvente:
Cuando los obstáculos o la forma del terreno es tal modo que no podemos medir sobre el lindero del mismo,
ni desde punto alguno del interior.
b)− Poligonal interior o inscrita:
Cuando no es posible medir los linderos directamente y podemos formar un polígono desde cuyos vértices
definir el entorno del terreno que nos interesa representar.
c)− Poligonales mixtas:
Cuando por necesidad especificas se recurre a poligonales que cruzan de afuera hacia adentro y viceversa.
d)− Poligonal coincidentes con el terreno:
Cuando desde las propias esquinas del terreno podemos medir una poligonal. Esto significa que tenemos
visibilidad desde todos los vértices con los lados anterior y siguientes, además de no haber obstáculos para
realizar las medidas lineales. Esto es muy ventajoso pues no tiene menos trabajo de campo, de gabinete, de
calculo, y de dibujo, además que hay menos probabilidad de errores.
EJEMPLOS DE CÁLCULOS
Todos los ejemplos de los cálculos mostrados en este punto se realizarán con los primeros datos de la segunda
poligonal aún así en las poligonales se muestran los datos de forma más completa.
Generador:
G = 100 * (1.581 − 1.061) = 52.0
G = 100 * (1.448 − 1.194) = 25.4
Distancia Horizontal:
Dh = 52.0 * sen ² 101.421 = 51.974
Dh = 25.4 * sen² 100.326 = 25.399
44

45. Lectura de Desnivel:
DV= 52.0 * cos 101.421 * sen 101.421 = −1.160
DV= 25.4 * cos 100.326 * sen 100.326 = −0.130
Tabla de Coordenadas:
Para desarrollar la tabla se utilizaron las siguientes fórmulas:
"x = Dh * sen (Acimut)
"y = Dh * cos (Acimut)
Cx = ex * "xi
"|"x|
Cy = ey * "yi
"|"y|
"x' = "xi ± Cx
"y' = "yi ± Cy
eadm. = 2 " D
et = " (ex)² + (ey) ²
Corrección:
Cx = ex * "xi Cy = ey * "yi
"|"x| "|"y|
Cx = −0.705 * −23.944
246.311
Cx = 0,069
Cy = 0.360 x −8.473 = −0.011
288.636
Cy = −0.011
ed = 2 x "L = 2 * 0,6839 = 1.368
et = "ex2 + ey2 = "(−0,705)2 + (0,360)2 = 0,792
45

46. ead > et
Coordenada corregida
"x = "x´ + Cx = −23.944 + 0.069 = −23.875
"y = "y´ + Cy = −8.473 − 0,011 = −8.484
Coordenada Absoluta
N = 1000 − 8.484 = 991.516
E = 800 − 23.875 = 776.125
POLIGONAL 2
Lado Distancia Azimut "X "Y CX CY "X' "Y' N E
E1 −
25,399 278,348 −23,944 −8,473 0,069 −0,011 −23,875 −8,484 1000,000 800,000
E2
E2 −
68,119 204,418 −4,724 −67,955 0,014 −0,085 −4,710 −68,040 991,516 776,125
E3
E3 −
31,396 266,578 −27,168 −15,736 0,078 −0,020 −27,090 −15,756 923,476 771,415
E4
E4 −
73,594 340,358 −59,295 43,592 0,170 −0,054 −59,125 43,538 907,720 744,325
E5
E5 −
94,343 394,340 −8,377 93,970 0,024 −0,117 −8,353 93,853 951,258 685,200
E6
E6 −
122,999 96,408 122,803 6,936 0,351 −0,009 123,154 6,927 1045,111 676,847
E7
E7 −
51,974 200,000 0,000 −51,974 0,000 −0,065 0,000 −52,039 1052,038 800,001
E1
467,824 −0,705 0,360 0,001 −0,001 999,999 800,001
246,311 288,636
= 121.884 − 0.003 = 121.851 et x = −0.705 et y = 0.360
= 273.930 − 0.033 = 273.897 = + 200 − = 204.219 e "x = 246.311 e "y = 288.636
= 137.840 − 0.033 = 137.807 = + 200 − = 266.412 et = " (−0.705)² + (0.360)² = 0.792
= 126.220 − 0.033 = 126.187 = + 200 − = 340.225 e Adm. = 2 * " 0.468 = 1.368
= 146.018 − 0.033 = 145.985 = + 200 − = 394.240
= 97.932 − 0.033 = 97.899 = + 200 − = 96.341
= 96.408 − 0.033 = 96.375 = + 200 − = 199.966 cx = ex * "xi
46

47. 1000.232 1000.001 " |"x|
cy = ey * "yi
" |"y|
POLIGONAL 1
Dist
Lado Azimut "X "Y CX CY "X' "Y' N E
horizontal
E1 −
120,598 301,122 −120,579 2,125 −0,085 −0,001 −120,66 2,124 1000,000 800,000
E2
E2 −
60,372 8,066 7,629 59,888 −0,005 −0,015 7,624 59,873 1002,124 679,336
E3
E3 −
113,599 105,840 113,121 −10,406 −0,080 −0,003 113,041 −10,409 1061,997 686,960
E4
E4 −
51,576 200,000 0,000 −51,576 0,000 −0,013 0,000 −51,589 1051,588 800,001
E1
346,145 0,171 0,031 0,001 −0,001 999,999 800,001
241,329 123,995
= 98.878 = + 200 − = 8.066
= 93.056 = + 200 − = 105.840
= 102.226 = + 200 − = 200.000
= 105.840
400.000
et = " (0.171)² + (0.031)² = 0.173
e Adm. = 2 * " 0.346 = 1.176
Cx = ex * "xi et x = 0.171 et "y = 0.031
" | "x|
Cy = ey * "yi e "x = 241.329 e "y = 123.995
" |"y|
NIVELACIÓN
Punto parcial acumulado atras Intermedio adelante instrumental punto correccion punto
E4 PR. 48,800 2,590 12,590 10 10,000
E3 113,000 113,000 2,220 10,37 0,00048 10,369
47

48. E2 55,760 168,760 1,010 11,58 0,00072 11,579
E1 121,000 289,760 1,460 11,13 0,0012 11,128
E5 24,920 314,680 1,570 11,02 0,0013 11,018
PC. 41,450 356,130 3,130 0,220 15,500 12,37 0,0015
E6 PC. 27,500 383,630 1,530 0,057 16,993 15,443 0,0016 15,441
E7 31,660 415,290 1,135 15,838 0,0017 15,836
PC. 35,890 451,180 0,230 3,700 13,503 13,273 0,0019
E8 PC. 38,050 489,230 0,300 1,550 12,253 11,953 0,002 11,951
E9 93,450 582,680 2,550 9,703 0,0024 9,700
PR. 119,900 702,580 2,250 10,003 0,003 10,000
0,70258
7,780 7,777
Km
Error de cierre = 70780 − 7.777 = 0.003
Error admisible = 0.02 * "0.703 = 0.016
E. de cierre < E. Admisible.
Corrección (+,−): Error de cierre * Dist acumulada
Distancia total
Ejemplo: 0.003 * 113 = 0.00048
702.58
Capitulo IV : CONCLUSIONES
CONCLUSIONES Y COMENTARIOS
Después de terminado el Proyecto de Topografía, se ha reunido el grupo para analizar el objetivo del trabajo y
hacer los comentarios de esta experiencia que nos ha durado todo un semestre de trabajos en grupo.
Como en toda materia que se estudie lo más practico para aprender es llevar los conocimientos al terreno, por
lo tanto, en este trabajo hemos podido rescatar muchas experiencias en el ramo y lo más importante es que se
puso en práctica todo lo aprendido en un semestre de clases.
Con la elaboración de este trabajo se pudo vivir cada paso del que consta un Levantamiento Topográfico,
desde el campo al gabinete, nos hemos dado cuenta que no se puede trabajar con un grupo desunido ya que
cada persona cumple un papel importante en el trabajo ya sea en el desarrollo de los cálculos o en la toma de
los datos.
La familiarización con los equipos de Topografía es una parte muy importante en esta experiencia ya que es
vital una rápida y perfecta instalación de los equipos, esto es para evitar los errores en terreno y para un buen
desarrollo del levantamiento
48

49. La precisión en el trazado de la poligonal debe ser muy bien representada en el plano, no siendo una tarea
muy fácil si se toma en cuenta que una desviación de minutos (referido a los ángulos de las coordenadas
polares) puede significar varios milímetros de error en la ubicación de alguna de las estaciones. Este error
también se puede deber a otros factores como la incorrecta calibración del talquímetro, la mala aproximación
de la medida en la lectura de la mira, especialmente para distancias grandes, etc.
Los de altimetría son de gran importancia en la proyección de cualquier obra civil. Entregan información clara
y muy detallada sobre el relieve y configuración del terreno, debemos recordar que en la entrega de los planos
debe haber un estudio de la planimetría y de la altimetría del terreno para poder interpretar de buena forma los
planos que se presenten.
También fue de gran ayuda el estudio previo del terreno, en este se hizo un croquis del sector que se iba a
medir y se trató de representar los puntos en los que se ubicarían los ejes de la poligonal para comenzar con el
levantamiento ya estudiado y no perder el tiempo en el lugar y así agilizar el trabajo y no se producir pausas
donde los integrantes deben ponerse de acuerdo sobre como realizar las distintas mediciones del terreno.
BIBLIOGRAFÍA
• Topografía general: Francisco Domínguez García − Tejero
12º Edición (1993)
Ediciones Mundi − Prensa.
• Topografía: Dannte Alcántara García
1º Edición (1990)
Editorial McGraw − Hill.
• Tratado de Topofrafía: Lino Álvarez Valdés
2º Edición (1940)
Gustavo Gili, Editor.
• Información bajada de Internet
• Apuntes entregados en clases:
1
49

50. 90
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