La transformada de Fourier mapea funciones de valores complejos a otras funciones y tiene muchas aplicaciones en áreas como física, procesamiento de señales y óptica. Representa la descomposición de una señal en componentes de diferentes frecuencias, es decir, su espectro de frecuencias. El teorema de inversión establece que aplicando la transformada de Fourier inversa a la transformada de Fourier de una función se recupera la función original, dentro de ciertos espacios de funciones.

1. República bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación
Instituto universitario politécnico
“Santiago Mariño”
Realizado por:
Veanesca Romandini

2. La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a
una función de valores complejos y definida en la recta, con otra función
definida de la manera siguiente:
Donde es , es decir, tiene que ser una función integrable en el sentido
de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición
facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada
de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la
más comúnmente adoptada, no es universal. En la práctica las variables y
suelen estar asociadas a dimensiones como el tiempo —segundos— y
frecuencia —herzios— respectivamente, si se utiliza la fórmula alternativa:
La constante cancela las dimensiones asociadas a las variables obteniendo
un exponente adimensional.
La transformada de Fourier así definida goza de una serie de
propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios
de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.
Sus aplicaciones son muchas, en áreas de la ciencia e ingeniería como
la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de
señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica,
la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la
transformada de Fourier suele considerarse como la descomposición de una
señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, corresponde
al espectro de frecuencias de la señal .
La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus
generalizaciones es denominada análisis armónico.
Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier
de . He aquí algunas de ellas:
.

3. Definición formal
Sea una función Lebesgue integrable:
La transformada de Fourier de es la función
Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable.
Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier es
una función acotada. Además por medio del teorema de convergencia
dominada puede demostrarse que es continua.
La transformada de Fourier inversa de una función integrable está
definida por:
Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la
transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente
del integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo
justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta
transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la
traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos complementos
pueden ser analizados a través de la aplicación de la varianza para
cada función.
Propiedades básicas
La transformada de Fourier es una aplicación lineal:
Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente
integrable :
 Cambio de escala:

4.  Traslación:
 Traslación en la variable transformada:
 Transformada de la derivada: Si y su derivada son
integrables,
 Derivada de la transformada: Si y → son
integrables, la transformada de Fourier es
diferenciable
Estas identidades se demuestran por un cambio de
variables o integración por partes.
En lo que sigue, definimos la convolución de dos
funciones y en la recta de la manera siguiente:
Nuevamente la presencia del factor delante de la
integral simplifica el enunciado de los resultados
como el que sigue: Si y son funciones
absolutamente integrables, la convolución también
es integrable, y vale la igualdad:
También puede enunciarse un teorema
análogo para la convolución en la variable
transformada,
pero este exige cierto cuidado con el
dominio de definición de la transformada de
Fourier.

5. Teorema de inversión
La idea básica del teorema de inversión es que dada una función , la
transformada de Fourier inversa aplicada a la transformada de Fourier de
resulta en la misma función original, en símbolos:
Sin embargo, el resultado formulado de esta forma no es siempre válido,
porque el dominio de la transformada de Fourier como lo hemos definido en
el primer párrafo de este artículo no es invariante, o sea que la
transformada de Fourier de una función integrable no es necesariamente
integrable.
Para formular el teorema de inversión necesitamos encontrar espacios de
funciones que sean invariantes bajo la transformada de Fourier. De hecho,
hay numerosas posibilidades, la más natural del punto de vista técnico
siendo el espacio de Schwartz de funciones φ rápidamente decrecientes.
Sin embargo aquí tomamos un camino más directo para formular un
enunciado:
Teorema.
El espacio de funciones complejas definidas en la recta tales que y la
transformada de Fourier de sean integrables, es invariante tanto por la
transformada de Fourier que por la transformada de Fourier inversa.
Además para una función en este espacio, vale el teorema de inversión
(1).
Otra posibilidad para formular un teorema de inversión se fundamenta en el
hecho de que la transformada de Fourier tiene muchas extensiones
naturales.