El documento describe las propiedades de la transformada de Laplace, incluyendo linealidad, cambio de escala y desplazamientos en tiempo y frecuencia, aplicadas a funciones continuas a trozos de orden exponencial. También se discuten la transformada de Laplace de derivadas y el uso de la convolución para simplificar la resolución de ecuaciones diferenciales. Además, se enfatiza el valor de la transformada de Laplace y su inversa en el análisis de sistemas dinámicos lineales.

1. Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño” - Sede Barcelona
Asignatura: Matemáticas IV
Ingeniería Industrial
Bachiller:
Jhanexys Bahar.
C.I. 24.914.256
Sección: IV

2. Sea E el espacio vectorial de las funciones
continuas a trozos y de orden exponencial (esto
es, dada una función f(t) continua a trozos existen
las constantes K y ω tales que ∀t la función f está
acotada en la forma |f(t)| ≤ K e ωt).
Se define la Transformada de Laplace L[·] de la
función f(t) ∈ E como la transformación integral.
Por ejemplo:

3.  Propiedad de linealidad de la transformada de Laplace:
La transformación de Laplace es lineal, esto es, dadas dos
funciones f, g ∈ E se verifica :
L[C1 f(t) + C2 g(t)] = C1L[f(t)] + C2L[g(t)], C1, C2 ∈ IR
 Propiedad de cambio de escala:
Sea f(t) ∈ E. La función g(t) = f(αt) también pertenece a E y se
verifica:
 Propiedad de desplazamiento en frecuencia:
Sea f(t) ∈ E. La función g(t) = e ωtf(t) también pertenece a E y
se verifica:
L[g(t)] ≡ G(s) = F(s − ω)

4.  Propiedad de desplazamiento en el tiempo:
Sea f(t) ∈ E. La función g(t) = también pertenece a E y se verifica:
La función escalón u viene dada por u =
 Transformada de Laplace de la derivada primera de una función:
Sea f(t) una función continua y de orden exponencial, cuya derivada
primera f′ (t) sea continua a trozos y de orden exponencial (f′ (t) ∈ E). La
transformada de Laplace de la primera derivada de f verifica:
L f′ (t) = sF(s) − f(0)
siendo F(s) = L[f(t)] y f(0) el valor de la funci´on en el origen.

5.  Transformada de Laplace de la derivada n−´esima de una función:
Sea f(t) una función continua y de orden exponencial, cuyas derivadas
hasta orden (n−1) sean también funciones continuas y orden exponencial
y la derivada n−´esima sea continua a trozos y de orden exponencial (fⁿ (t)
∈ E). La transformada de Laplace de la derivada n−´esima de f verifica:
Donde son los valores de la función y de sus
derivadas hasta orden (n − 1) en el origen.
 Transformada de Laplace de la primitiva de una función :
Sea f(t) ∈ E. Su primitiva g(t) = es una función continua y de
orden exponencial, y su transformada de Laplace viene dada por

6.  Transformada de Laplace de una función periódica:
Sea p(t) una función periódica, de periodo T, continua a trozos y de orden
exponencial en [0, T]. La transformada de Laplace de esta función
periódica es:
 Transformada de Laplace del producto de una función por el monomio t:
Sea f(t) ∈ E. La función g(t) = t f(t) también pertenece a E y se verifica
 Transformada de Laplace del producto de una función por el monomio tⁿ:
Sea f(t) ∈ E. La función g(t) = tⁿ f(t), n ∈ IN, también pertenece a E y se verifica

7.  Convolución de dos funciones:
Sean f(t) y g(t) pertenecientes a E. La función h(t) definida por la convolución de f y g,
esto es,
también pertenece a E, y se verifica que la transformada de Laplace de h(t) es el
producto de las transformadas de Laplace de f(t) y g(t):
L[h(t)] ≡ H(s) = F(s)G(s)
Esta propiedad es especialmente útil cuando se emplea en sentido inverso: Así, sean
F(s) y G(s) dos funciones en el dominio de las transformadas de Laplace y H(s) su
producto (H(s) = F(s)G(s)), se verifica que la transformada de Laplace inversa de
h(t) = L −1 [H(s)] viene dada por
Por ejemplo, se sabe que la transformada de Laplace de la función sin t es
Si se quiere saber de qué función es transformada de Laplace la función
(es decir, su transformada inversa) se puede aplicar el resultado anterior:
y teniendo en cuenta ahora la definición de convolución de dos funciones, calculando
la primitiva y evaluando en los límites de integración resulta

8.  La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance
formulada para solucionar una variedad amplia de problemas del
inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales
difíciles en los problemas simples de la álgebra donde las soluciones
pueden ser obtenidas fácilmente.
 Entonces se aplica La transformada inversa deLaplace para recuperar
las soluciones de los problemas originales. En matemática,
la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la
función f(t)que cumple con la propiedad
Donde es la transformada de Laplace.
La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de
Laplace tienen un número de propiedades que las hacen útiles
para el análisis de sistemas dinámicos lineales.

9. Las características fundamentales de la transformada de Laplace son:
 Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones
diferenciales lineales.
 Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se
pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.
 Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por
operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.
 Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el
funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de
ecuaciones diferenciales correspondiente.
Transformada Inversa de Laplace:

10.  La integral que define la Transformada de Laplace no converge
necesariamente.
 Por ejemplo L[1/t] ni L[e t² ] existen.
 Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L[f ]
sobre f son:
 continua a trozos
 orden exponencial
Ejemplo:
Definición (Discontinuidad de Salto)
f : (a, b) → R tiene una discontinuidad de salto en t0 ∈ (a, b) si f es
discontinua en t0 y los límites por la derecha e izquierda de f existen y son
finitos.
tiene discontinuidad de salto en t0 = 2.

11. Ejemplos:
1)
es continua a trozos.
2) f (t) = t − [|t|], 0 < t < 1 extendida periodicamente a [0, +∞) con
período 1, es continua a trozos.
3)
no es continua a trozos.
Definici´on (Continuidad a Trozos)
f : [0, ∞) → R es continua a trozos en [0, ∞), si tiene un
n´umero finito ´o numerable de discontinuidades de salto.

12. Definición
Sea f : [0, ∞) → R, f es de orden exponencial si existen α ∈ R y t0, M > 0
tal que |f (t)| ≤ Meªт, ∀t > t0. Al menor de tales α se le llama orden
exponencial de f.
Ejemplos:
1) f (t) = t es de orden exponencial α = 1.
2) es de orden exponencial α = 1.
3) es de orden exponencial α = 5.
4) no es orden exponencial.
Cα = {f : [0, ∞) → R : f continua a trozos y de orden exponencial α
Cα es espacio vectorial.
Teorema
Si f ∈ Cα entonces para todo s > α, existe L[f ].
Adem´as, l´ıms→∞ L[f ](s) = 0.

13.  Las condiciones para f no son necesarias para la existencia de L[f ], i.e,
existen funciones que no satisfacen las hipótesis del Teor., y en cambio
poseen Transformada de Laplace. Por ejm.
f (t) = t ½ no es continua a trozos para t ≥ 0, pero su TL existe.
Ejemplo: Considerar la función
 f tiene discontinuidad saltos en t = 5 y t = 7, así f continua a trozos.
 Es de orden exponencial, pues cualquier función cte lo es.
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