1. La transformada de Laplace mapea funciones del tiempo a funciones complejas y posee propiedades útiles como la linealidad, la translación y la derivación/integración.
2. Las funciones que tienen transformada de Laplace deben ser continuas por tramos y cumplir ciertas condiciones de crecimiento.
3. Las propiedades básicas de la transformada de Laplace incluyen linealidad, translación, derivación/integración y periódicidad.
1. La transformada de Laplace se define como una transformación integral que mapea funciones del tiempo a funciones complejas. Se describen varias propiedades como linealidad, cambio de escala y desplazamiento.
2. Se presentan dos ejemplos de aplicación. El primero resuelve una ecuación diferencial de vibraciones forzadas usando propiedades de la transformada. El segundo ejemplo resuelve una ecuación en derivadas parciales de primer orden.
3. En general, el documento introduce la transformada de Laplace defininiendola y describiendo sus propiedades fundament
Matemática Superior Para Ingenieros: LaplaceAlexis Quiel
Pierre Simon Laplace fue un astrónomo y matemático francés conocido por aplicar con éxito la teoría de la gravitación de Newton a los movimientos planetarios. Desarrolló el análisis matemático del sistema astronómico gravitacional de Newton y demostró que los movimientos planetarios son estables a pesar de las perturbaciones. Escribió varias obras importantes sobre mecánica celeste y probabilidad.
1. La transformada de Laplace proporciona una forma eficiente para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes.
2. La transformada de Laplace transforma una función de la variable tiempo t a una función de la variable compleja s, eliminando la variable t.
3. Algunas propiedades importantes de la transformada de Laplace incluyen que es lineal, transforma la derivación a multiplicación por s, y no contiene información de f(t) para t menor que cero.
1. Se define la transformada de Laplace como una integral de 0 a infinito de la función f multiplicada por e^-st. Esta transformada mapea funciones del tiempo al dominio complejo.
2. Para que exista la transformada de Laplace, la función f debe ser de orden exponencial y continua por tramos. Si se cumplen estas condiciones, la transformada existe para valores de s mayores que una constante C.
3. La transformada de Laplace es un operador lineal, por lo que la transformada de una suma es la suma de las transformadas.
1) El documento describe propiedades de la transformada de Laplace, incluyendo su definición, linealidad, cambio de escala, multiplicación por exponenciales y desplazamientos en frecuencia y tiempo.
2) Se presentan ejemplos del cálculo de la transformada de Laplace para funciones como exponenciales, escalones, cosenos y senos.
3) Las propiedades descritas permiten relacionar funciones en el dominio del tiempo con su representación en el dominio complejo a través de la transformada de Laplace.
1) El documento trata sobre álgebra lineal y ecuaciones diferenciales, funciones periódicas, la función Delta de Dirac y series de Fourier. 2) Explica conceptos como funciones periódicas, transformada de Laplace de funciones periódicas, función Delta de Dirac y serie de Fourier. 3) Incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre estos temas.
1) La transformada de Laplace se utiliza para analizar ecuaciones diferenciales y calcula la integral de una función multiplicada por un exponencial complejo. 2) Existen propiedades como el teorema de traslación, linealidad, derivadas, integrales y cambio de escala que permiten manipular transformadas. 3) La transformada de Laplace se puede utilizar para resolver ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes u variables.
1) La transformada de Laplace es una herramienta matemática que permite relacionar funciones del tiempo continuo con funciones complejas. 2) Pierre-Simon Laplace propuso la transformada y describió cómo un intelecto con conocimiento completo del universo podría usar ecuaciones para predecir el pasado y el futuro. 3) La transformada de Laplace de una función f(t) se define como una integral que depende de una variable compleja s.
1. La transformada de Laplace se define como una transformación integral que mapea funciones del tiempo a funciones complejas. Se describen varias propiedades como linealidad, cambio de escala y desplazamiento.
2. Se presentan dos ejemplos de aplicación. El primero resuelve una ecuación diferencial de vibraciones forzadas usando propiedades de la transformada. El segundo ejemplo resuelve una ecuación en derivadas parciales de primer orden.
3. En general, el documento introduce la transformada de Laplace defininiendola y describiendo sus propiedades fundament
Matemática Superior Para Ingenieros: LaplaceAlexis Quiel
Pierre Simon Laplace fue un astrónomo y matemático francés conocido por aplicar con éxito la teoría de la gravitación de Newton a los movimientos planetarios. Desarrolló el análisis matemático del sistema astronómico gravitacional de Newton y demostró que los movimientos planetarios son estables a pesar de las perturbaciones. Escribió varias obras importantes sobre mecánica celeste y probabilidad.
1. La transformada de Laplace proporciona una forma eficiente para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes.
2. La transformada de Laplace transforma una función de la variable tiempo t a una función de la variable compleja s, eliminando la variable t.
3. Algunas propiedades importantes de la transformada de Laplace incluyen que es lineal, transforma la derivación a multiplicación por s, y no contiene información de f(t) para t menor que cero.
1. Se define la transformada de Laplace como una integral de 0 a infinito de la función f multiplicada por e^-st. Esta transformada mapea funciones del tiempo al dominio complejo.
2. Para que exista la transformada de Laplace, la función f debe ser de orden exponencial y continua por tramos. Si se cumplen estas condiciones, la transformada existe para valores de s mayores que una constante C.
3. La transformada de Laplace es un operador lineal, por lo que la transformada de una suma es la suma de las transformadas.
1) El documento describe propiedades de la transformada de Laplace, incluyendo su definición, linealidad, cambio de escala, multiplicación por exponenciales y desplazamientos en frecuencia y tiempo.
2) Se presentan ejemplos del cálculo de la transformada de Laplace para funciones como exponenciales, escalones, cosenos y senos.
3) Las propiedades descritas permiten relacionar funciones en el dominio del tiempo con su representación en el dominio complejo a través de la transformada de Laplace.
1) El documento trata sobre álgebra lineal y ecuaciones diferenciales, funciones periódicas, la función Delta de Dirac y series de Fourier. 2) Explica conceptos como funciones periódicas, transformada de Laplace de funciones periódicas, función Delta de Dirac y serie de Fourier. 3) Incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre estos temas.
1) La transformada de Laplace se utiliza para analizar ecuaciones diferenciales y calcula la integral de una función multiplicada por un exponencial complejo. 2) Existen propiedades como el teorema de traslación, linealidad, derivadas, integrales y cambio de escala que permiten manipular transformadas. 3) La transformada de Laplace se puede utilizar para resolver ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes u variables.
1) La transformada de Laplace es una herramienta matemática que permite relacionar funciones del tiempo continuo con funciones complejas. 2) Pierre-Simon Laplace propuso la transformada y describió cómo un intelecto con conocimiento completo del universo podría usar ecuaciones para predecir el pasado y el futuro. 3) La transformada de Laplace de una función f(t) se define como una integral que depende de una variable compleja s.
Este documento trata sobre la transformada de Laplace. Explica que la transformada de Laplace es una técnica desarrollada para resolver ecuaciones diferenciales a partir del trabajo de Heaviside, y define formalmente la transformada de Laplace y sus propiedades clave como la linealidad, traslación y cambio de escala. También cubre las condiciones para la existencia y unicidad de la transformada de Laplace y su transformada inversa.
Este documento presenta definiciones básicas sobre la transformada de Laplace, incluyendo funciones continuas por tramos, funciones de orden exponencial y la definición formal de la transformada de Laplace. También incluye ejemplos para ilustrar estas definiciones y discute las condiciones suficientes pero no necesarias para que una función admita una transformada de Laplace.
1) La transformada de Laplace es una herramienta matemática utilizada para analizar funciones. 2) Pierre-Simon Laplace propuso la transformada y creía que un intelecto lo suficientemente vasto podría usarla para predecir el pasado y futuro del universo. 3) La transformada de una función f(t) se define como una integral que involucra la función exponencial de s multiplicada por f(t).
1) La transformada de Laplace es una herramienta matemática utilizada para analizar funciones y sistemas dinámicos. 2) Pierre-Simon Laplace propuso la transformada y creía que un intelecto lo suficientemente vasto podría usarla para predecir el pasado y el futuro del universo. 3) La transformada mapea funciones del tiempo al dominio complejo y tiene importantes aplicaciones en ingeniería, física y otras áreas.
Este documento describe las aplicaciones de la transformada de Laplace en el control de procesos. Explica que los sistemas de control se utilizan ampliamente en la industria para controlar la calidad, líneas de ensamblaje, máquinas herramienta y más. La transformada de Laplace es una herramienta útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales porque convierte ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas. Finalmente, el documento presenta un ejemplo de aplicación de la transformada de Laplace para modelar y analizar el comportamiento
1. La transformada de Laplace es un operador lineal utilizado para resolver ecuaciones diferenciales transformándolas en ecuaciones algebraicas. 2. Se define como el área bajo la curva de f(t)e-st desde 0 a infinito. 3. Permite transformar derivadas en multiplicaciones y sumas en sumas, conservando la linealidad. Esto simplifica la resolución de problemas de valor inicial.
Este documento presenta una introducción a la transformada de Laplace, incluyendo su definición, propiedades y aplicaciones para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Explica conceptos clave como la transformada, la transformada inversa, la linealidad, y cómo aplicar la transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial. También cubre temas como la transformada de funciones derivadas, funciones escalón unitario, producto convolutivo y funciones periódicas.
Este documento explica los métodos para hallar la transformada inversa de Laplace, incluyendo el método de fracciones parciales. También presenta ejemplos de cómo aplicar este método para calcular transformadas inversas, como hallar la transformada inversa de una función con polos complejos. Además, introduce teoremas como los de traslación y convolución utilizados para calcular transformadas.
El análisis de Fourier surgió del intento de Fourier de resolver un problema práctico de conducción de calor. Demostro que una función discontinua puede representarse como la suma de funciones continuas. El análisis de Fourier nos permite descomponer señales en términos de senosoidales mediante la determinación de los efectos de cada senoidal en un sistema. Cualquier función periódica puede representarse como la suma de ondas senoidales mediante los coeficientes de Fourier.
Este documento presenta una introducción a la transformada de Laplace, incluyendo definiciones de la transformada de Laplace y su inversa, propiedades como la linealidad, y ejemplos de aplicación para resolver ecuaciones diferenciales.
En el análisis siguiente se introduce una función que es muy diferente de las que ha estudiado en cursos anteriores. Más tarde veremos que
de hecho existe una función o más precisamente, una función generalizada, cuya transformada de
Laplace es F(s) = 1.
Aplicaciones La Transformada De Laplaceguest31b112
El documento describe los sistemas de control y la transformada de Laplace. Los sistemas de control son importantes en diversos sectores como la industria, el transporte y el hogar para lograr objetivos de manera segura y exacta. La transformada de Laplace es una herramienta matemática útil para analizar sistemas dinámicos lineales mediante la conversión de ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas.
Los teoremas del valor inicial y del valor final permiten determinar el valor inicial f(0+) y el valor final f(∞) de una función a través de su transformada de Laplace F(s). El teorema del valor inicial establece que f(0+) es igual al límite de sF(s) cuando s tiende a infinito. El teorema del valor final indica que f(∞) es igual al límite de sF(s) cuando s tiende a cero, siempre que los polos de F(s) se encuentren en el semiplano izquierdo. Estos teoremas son ú
1. El documento presenta información sobre transformadas de Laplace e inversas, incluyendo definiciones, propiedades y ejemplos de su aplicación para resolver ecuaciones diferenciales.
2. Se desarrollan 14 ejercicios para calcular transformadas de Laplace directas e inversas de diferentes funciones y aplicarlas a la resolución de problemas.
3. El objetivo es que los estudiantes aprendan a usar transformadas de Laplace para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas que puedan resolverse de forma analítica.
1) La transformada de Laplace se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales y se define como la integral de una función multiplicada por e^-st desde 0 hasta infinito.
2) Se demuestra que la transformada de Laplace surge de expresar una serie de potencias en un dominio continuo en lugar de discreto.
3) Se presentan algunas propiedades importantes de la transformada de Laplace como la suma, constante por función, y linealidad.
Este documento introduce la transformada de Laplace como una herramienta para analizar funciones. Define la transformada de Laplace de una función f(t) como la integral de f(t) multiplicada por e^-st desde 0 hasta infinito. Presenta teoremas que establecen condiciones para la existencia de la transformada de Laplace y expresiones para funciones comunes como polinomios, exponenciales, seno y coseno.
Este documento presenta la resolución numérica de varias ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) mediante el método de Runge-Kutta implementado en el software MATLAB. Se transforman EDO de segundo orden en sistemas de primer orden equivalentes y se resuelven usando el integrador ode45. Los resultados muestran las curvas de solución y su convergencia a estados de equilibrio.
Unidad 2 control 2 /FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PULSODavinso Gonzalez
La transformada Z es una herramienta análoga a la transformada de Laplace para sistemas de tiempo discreto. Se define la transformada Z de una secuencia discreta x(k) y de una función muestreada x(kT). El documento presenta ejemplos de cálculo de transformadas Z para diferentes funciones y desarrolla propiedades como linealidad y traslación. También explica métodos para calcular la transformada Z inversa como división directa, uso de la función delta de Kronecker y expansión en fracciones parciales.
Teoria de fracciones parciales y t ransformada de laplaceOswaldoguanipa1
Este documento resume los conceptos clave de las fracciones parciales y su aplicación en la transformada inversa de Laplace. Explica cuatro casos comunes de fracciones parciales y provee ejemplos resueltos. También define la transformada de Laplace, su inversa, y proporciona una tabla con las transformadas comunes. Finalmente, presenta ejercicios sobre el cálculo de transformadas y su inversa.
Este documento define la transformada de Laplace y proporciona ejemplos de su cálculo para funciones como t, eat y ta. También incluye una tabla con las transformadas de Laplace comunes como 1, sin(at), cos(at) y ta. La transformada de Laplace mapea funciones del tiempo a funciones complejas y se usa comúnmente para resolver ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta la transformada de Laplace como una herramienta útil para resolver ecuaciones diferenciales. Primero introduce la transformada de Laplace y sus condiciones de existencia. Luego, describe propiedades clave como la linealidad y cómo se aplican la transformada a funciones derivadas e integrales. Finalmente, introduce dos teoremas de traslación y cómo se puede usar la función escalón unitario con la transformada de Laplace. El documento proporciona definiciones, teoremas y ejemplos para ilustrar el uso de la transformada de Laplace en la resolución de e
Propiedades de la Transformada de LaplaceDiego Salazar
Este documento describe varias propiedades clave de la transformada de Laplace, incluyendo: 1) la linealidad de la transformada, 2) el teorema de traslación, 3) cómo calcular la transformada de Laplace de una derivada, y 4) cómo calcular la derivada de una transformada de Laplace. Proporciona ejemplos para ilustrar cada propiedad.
Este documento trata sobre la transformada de Laplace. Explica que la transformada de Laplace es una técnica desarrollada para resolver ecuaciones diferenciales a partir del trabajo de Heaviside, y define formalmente la transformada de Laplace y sus propiedades clave como la linealidad, traslación y cambio de escala. También cubre las condiciones para la existencia y unicidad de la transformada de Laplace y su transformada inversa.
Este documento presenta definiciones básicas sobre la transformada de Laplace, incluyendo funciones continuas por tramos, funciones de orden exponencial y la definición formal de la transformada de Laplace. También incluye ejemplos para ilustrar estas definiciones y discute las condiciones suficientes pero no necesarias para que una función admita una transformada de Laplace.
1) La transformada de Laplace es una herramienta matemática utilizada para analizar funciones. 2) Pierre-Simon Laplace propuso la transformada y creía que un intelecto lo suficientemente vasto podría usarla para predecir el pasado y futuro del universo. 3) La transformada de una función f(t) se define como una integral que involucra la función exponencial de s multiplicada por f(t).
1) La transformada de Laplace es una herramienta matemática utilizada para analizar funciones y sistemas dinámicos. 2) Pierre-Simon Laplace propuso la transformada y creía que un intelecto lo suficientemente vasto podría usarla para predecir el pasado y el futuro del universo. 3) La transformada mapea funciones del tiempo al dominio complejo y tiene importantes aplicaciones en ingeniería, física y otras áreas.
Este documento describe las aplicaciones de la transformada de Laplace en el control de procesos. Explica que los sistemas de control se utilizan ampliamente en la industria para controlar la calidad, líneas de ensamblaje, máquinas herramienta y más. La transformada de Laplace es una herramienta útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales porque convierte ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas. Finalmente, el documento presenta un ejemplo de aplicación de la transformada de Laplace para modelar y analizar el comportamiento
1. La transformada de Laplace es un operador lineal utilizado para resolver ecuaciones diferenciales transformándolas en ecuaciones algebraicas. 2. Se define como el área bajo la curva de f(t)e-st desde 0 a infinito. 3. Permite transformar derivadas en multiplicaciones y sumas en sumas, conservando la linealidad. Esto simplifica la resolución de problemas de valor inicial.
Este documento presenta una introducción a la transformada de Laplace, incluyendo su definición, propiedades y aplicaciones para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Explica conceptos clave como la transformada, la transformada inversa, la linealidad, y cómo aplicar la transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial. También cubre temas como la transformada de funciones derivadas, funciones escalón unitario, producto convolutivo y funciones periódicas.
Este documento explica los métodos para hallar la transformada inversa de Laplace, incluyendo el método de fracciones parciales. También presenta ejemplos de cómo aplicar este método para calcular transformadas inversas, como hallar la transformada inversa de una función con polos complejos. Además, introduce teoremas como los de traslación y convolución utilizados para calcular transformadas.
El análisis de Fourier surgió del intento de Fourier de resolver un problema práctico de conducción de calor. Demostro que una función discontinua puede representarse como la suma de funciones continuas. El análisis de Fourier nos permite descomponer señales en términos de senosoidales mediante la determinación de los efectos de cada senoidal en un sistema. Cualquier función periódica puede representarse como la suma de ondas senoidales mediante los coeficientes de Fourier.
Este documento presenta una introducción a la transformada de Laplace, incluyendo definiciones de la transformada de Laplace y su inversa, propiedades como la linealidad, y ejemplos de aplicación para resolver ecuaciones diferenciales.
En el análisis siguiente se introduce una función que es muy diferente de las que ha estudiado en cursos anteriores. Más tarde veremos que
de hecho existe una función o más precisamente, una función generalizada, cuya transformada de
Laplace es F(s) = 1.
Aplicaciones La Transformada De Laplaceguest31b112
El documento describe los sistemas de control y la transformada de Laplace. Los sistemas de control son importantes en diversos sectores como la industria, el transporte y el hogar para lograr objetivos de manera segura y exacta. La transformada de Laplace es una herramienta matemática útil para analizar sistemas dinámicos lineales mediante la conversión de ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas.
Los teoremas del valor inicial y del valor final permiten determinar el valor inicial f(0+) y el valor final f(∞) de una función a través de su transformada de Laplace F(s). El teorema del valor inicial establece que f(0+) es igual al límite de sF(s) cuando s tiende a infinito. El teorema del valor final indica que f(∞) es igual al límite de sF(s) cuando s tiende a cero, siempre que los polos de F(s) se encuentren en el semiplano izquierdo. Estos teoremas son ú
1. El documento presenta información sobre transformadas de Laplace e inversas, incluyendo definiciones, propiedades y ejemplos de su aplicación para resolver ecuaciones diferenciales.
2. Se desarrollan 14 ejercicios para calcular transformadas de Laplace directas e inversas de diferentes funciones y aplicarlas a la resolución de problemas.
3. El objetivo es que los estudiantes aprendan a usar transformadas de Laplace para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas que puedan resolverse de forma analítica.
1) La transformada de Laplace se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales y se define como la integral de una función multiplicada por e^-st desde 0 hasta infinito.
2) Se demuestra que la transformada de Laplace surge de expresar una serie de potencias en un dominio continuo en lugar de discreto.
3) Se presentan algunas propiedades importantes de la transformada de Laplace como la suma, constante por función, y linealidad.
Este documento introduce la transformada de Laplace como una herramienta para analizar funciones. Define la transformada de Laplace de una función f(t) como la integral de f(t) multiplicada por e^-st desde 0 hasta infinito. Presenta teoremas que establecen condiciones para la existencia de la transformada de Laplace y expresiones para funciones comunes como polinomios, exponenciales, seno y coseno.
Este documento presenta la resolución numérica de varias ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) mediante el método de Runge-Kutta implementado en el software MATLAB. Se transforman EDO de segundo orden en sistemas de primer orden equivalentes y se resuelven usando el integrador ode45. Los resultados muestran las curvas de solución y su convergencia a estados de equilibrio.
Unidad 2 control 2 /FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PULSODavinso Gonzalez
La transformada Z es una herramienta análoga a la transformada de Laplace para sistemas de tiempo discreto. Se define la transformada Z de una secuencia discreta x(k) y de una función muestreada x(kT). El documento presenta ejemplos de cálculo de transformadas Z para diferentes funciones y desarrolla propiedades como linealidad y traslación. También explica métodos para calcular la transformada Z inversa como división directa, uso de la función delta de Kronecker y expansión en fracciones parciales.
Teoria de fracciones parciales y t ransformada de laplaceOswaldoguanipa1
Este documento resume los conceptos clave de las fracciones parciales y su aplicación en la transformada inversa de Laplace. Explica cuatro casos comunes de fracciones parciales y provee ejemplos resueltos. También define la transformada de Laplace, su inversa, y proporciona una tabla con las transformadas comunes. Finalmente, presenta ejercicios sobre el cálculo de transformadas y su inversa.
Este documento define la transformada de Laplace y proporciona ejemplos de su cálculo para funciones como t, eat y ta. También incluye una tabla con las transformadas de Laplace comunes como 1, sin(at), cos(at) y ta. La transformada de Laplace mapea funciones del tiempo a funciones complejas y se usa comúnmente para resolver ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta la transformada de Laplace como una herramienta útil para resolver ecuaciones diferenciales. Primero introduce la transformada de Laplace y sus condiciones de existencia. Luego, describe propiedades clave como la linealidad y cómo se aplican la transformada a funciones derivadas e integrales. Finalmente, introduce dos teoremas de traslación y cómo se puede usar la función escalón unitario con la transformada de Laplace. El documento proporciona definiciones, teoremas y ejemplos para ilustrar el uso de la transformada de Laplace en la resolución de e
Propiedades de la Transformada de LaplaceDiego Salazar
Este documento describe varias propiedades clave de la transformada de Laplace, incluyendo: 1) la linealidad de la transformada, 2) el teorema de traslación, 3) cómo calcular la transformada de Laplace de una derivada, y 4) cómo calcular la derivada de una transformada de Laplace. Proporciona ejemplos para ilustrar cada propiedad.
1. La transformada de Laplace es un operador matemático que mapea funciones del tiempo al dominio complejo. Se utiliza para resolver problemas de valor inicial y analizar sistemas dinámicos.
2. La transformada de Laplace de una función f(t) se define como una integral impropia desde 0 hasta infinito de f(t) multiplicada por e^-st.
3. La transformada de Laplace es un operador lineal y puede usarse para encontrar transformadas de funciones comunes como polinomios, exponenciales y funciones periódicas.
Este documento introduce la transformada de Laplace, una transformación integral utilizada para simplificar la resolución de ecuaciones diferenciales lineales, especialmente cuando incluyen funciones discontinuas. Define formalmente la transformada de Laplace y presenta ejemplos de transformadas de funciones elementales como 1, eat, ta, cos at y la función escalón. Además, establece condiciones para que exista la transformada y demuestra su propiedad de linealidad.
1. La transformada de Laplace es un operador lineal útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas transformándolas en ecuaciones algebraicas. 2. Se define como el área bajo la curva f(t)e-st de 0 a infinito. 3. Es lineal y puede usarse para resolver problemas de valor inicial transformando la ecuación diferencial en una ecuación algebraica cuya solución es la transformada de Laplace inversa.
La transformada de Laplace y su transformada inversa son herramientas útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales. Algunas de sus propiedades clave incluyen que es lineal, preserva operaciones como derivación e integración, y tiene propiedades de traslación que permiten desplazar funciones en el dominio del tiempo o la frecuencia. Juntas, la transformada de Laplace y su inversa proporcionan un método poderoso para resolver ecuaciones diferenciales.
La transformada de Laplace es un método operacional que permite convertir funciones de tiempo en funciones algebraicas complejas, reemplazando operaciones como diferenciación e integración por operaciones algebraicas. Esto permite resolver ecuaciones diferenciales lineales transformándolas en ecuaciones algebraicas. La transformada de Laplace es una herramienta útil para el análisis y diseño de sistemas de control dinámicos lineales.
1) La transformada de Laplace es una herramienta matemática que permite convertir una función del tiempo en otra función compleja, permitiendo resolver ecuaciones diferenciales.
2) Tiene propiedades como la linealidad y el desplazamiento en el tiempo y la frecuencia, lo que facilita su uso para resolver ecuaciones.
3) Se puede usar para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales al convertirlas en ecuaciones algebraicas mediante la transformada, y luego aplicar la transformada inversa.
Este documento presenta la transformada de Laplace y sus propiedades. Define la transformada de Laplace como la integral de una función f(t) multiplicada por e^-st de 0 a infinito. Presenta ejemplos del cálculo de la transformada de Laplace para diferentes funciones como t, senat y cosat. También cubre propiedades como la transformada de derivadas y su relación con la función Gamma. Por último, muestra cómo usar transformadas de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales.
El documento presenta información sobre la transformada de Laplace y su aplicación para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Explica la definición de la transformada de Laplace, cómo calcularla e invertirla, y cómo usarla para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. También incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre el tema.
El documento presenta una introducción breve sobre la transformada de Laplace. En particular, define la transformada de Laplace como una integral de una función y(t) ponderada por un factor exponencial e-st. También menciona a Pierre-Simon Laplace y una cita suya sobre la capacidad de un intelecto para predecir el futuro y pasado del universo si conociera todas las fuerzas en juego.
La transformada de Laplace puede utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Reduje problemas de valor inicial al álgebra y es muy útil para sistemas de ecuaciones. La transformada de Laplace integra el tiempo en una función y lo reemplaza por una variable compleja s. Algunas propiedades clave incluyen que la transformada de la derivada de una función es igual a s veces la transformada de la función menos los valores de la derivada en cero, y que la transformada del producto de una función por un exponencial es igual a la transformada de la función
El documento define y explica la transformada de Laplace. Resume que: 1) la transformada de Laplace convierte funciones en t en funciones en la variable s; 2) tiene propiedades como suma, multiplicación por constantes y diferenciación; 3) es útil para resolver ecuaciones diferenciales y circuitos eléctricos.
1. La transformada de Laplace transforma funciones definidas en el intervalo (0, ∞) en otras funciones mediante la integral de Laplace. Existe para funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial cuando t tiende a infinito.
2. Es una transformación lineal que preserva propiedades como la suma y el producto por una constante. Se utiliza para simplificar ecuaciones diferenciales lineales.
1. La transformada de Laplace transforma funciones definidas en el intervalo (0, ∞) en otras funciones mediante la integral de Laplace. Es una transformación lineal muy útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
2. Existe la transformada de Laplace para funciones que sean seccionalmente continuas y de orden exponencial cuando t tiende a infinito.
3. Se presentan ejemplos de transformadas de funciones elementales como 1, eat, tn, cos(at), u(t-a) y se establecen sus propiedades de linealidad y traslación
1. La transformada de Laplace transforma funciones definidas en el intervalo (0, ∞) en otras funciones mediante la integral de Laplace. Es una transformación lineal muy útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
2. Existe la transformada de Laplace para funciones que sean seccionalmente continuas y de orden exponencial cuando t tiende a infinito.
3. Se presentan ejemplos de transformadas de funciones elementales como 1, eat, tn, cos(at), u(t-a) y se establecen sus propiedades de linealidad y traslación
Este documento describe la transformada de Laplace, un método operacional para resolver ecuaciones diferenciales lineales. La transformada de Laplace convierte funciones como sinusoidales, exponenciales y sinusoidales amortiguadas en funciones algebraicas de una variable compleja, permitiendo transformar ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas. También se detallan las transformadas de Laplace de funciones como exponenciales, escalón, rampa y sinusoidales.
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJEjecgjv
La Pedagogía Autogestionaria es un enfoque educativo que busca transformar la educación mediante la participación directa de estudiantes, profesores y padres en la gestión de todas las esferas de la vida escolar.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
1. GUIA 7
La transformada de Laplace
1. Concepto de la transformada de Laplace
De¯nici¶on. Una funci¶on u(t) de¯nida en 0 · t < 1 tiene transformada de
Laplace si existe un real a > 0 tal que la integral
R 1
0 e¡stu(t) dt converge para s > a.
En este caso, la transformada de Laplace de la funci¶on u es la funci¶on ^u de¯nida en
el intervalo a < s < 1 cuyo valor en cada s est¶a dado por
^u(s) =
Z 1
0
e¡stu(t) dt: (1)
A veces conviene denotar la transformada de Laplace ^u de u mediante Lfug.
Recu¶erdese que la integral impropia
R 1
R e¡st u(t) R dt converge si la integral ¯nita 0 B
e¡stu(t) dt existe para todo B > 0 y si l¶³mB!1
B
e¡stu(t) dt existe y es ¯nito.
0 0 Entonces, por de¯nici¶on,
Z 1
0
e¡stu(t) dt = l¶³m
B!1
Z B
0
e¡stu(t) dt
Ejemplos.
(Funci¶on constante). La funci¶on constante u(t) = 1 tiene transformada de Laplace
^u(s) = 1
s de¯nida en 0 < s < 1. En efecto,
^u(s) =
Z 1
0
e¡st dt = l¶³m
B!1
Z B
0
e¡st dt = l¶³m
(¡
B!1
e¡sB
s
+
1
s
) =
1
s
,
para 0 < s < 1. Se observa que la integral
R 1
0 e¡st dt diverge para s · 0.
(Funci¶on exponencial). La funci¶on u(t) = eat tiene transformada de Laplace
^u(s) = 1
s¡a de¯nida en a < s < 1 . En este caso,
^u(s) =
Z 1
0
e¡steat dt =
Z 1
0
e(a¡s)t dt =
1
s ¡ a
para s > a.
(Funci¶on tn, n > 0 entero). La funci¶on u(t) = tn (n > 0 entero) tiene transformada
de Laplace ^u(s) = n!
sn+1 de¯nida en 0 < s < 1.
Primero, para n = 1, integrando por partes obtenemos
Lftg =
Z 1
0
t e¡st dt = l¶³m
(¡
B!1
t
s
e¡st
¯¯
t=B
t=0 ) +
1
s
Z 1
0
e¡st dt =
1
s2
1
3. a t
1
Figura 1: Funci¶on de Heaviside de salto unitario
La funci¶on salto unitario en a es la translaci¶on H(t ¡ a) de H (v¶ease ¯gura 1):
H(t ¡ a) =
½
0, t < a
1, t ¸ a
Para a > 0 y 0 < s < 1; se tiene
LfH(t ¡ a)g =
Z 1
a
e¡stdt =
e¡as
s
:
En general
LfH(t ¡ a) u(t ¡ a)g =
Z 1
a
e¡stu(t ¡ a) dt
=
Z 1
0
e¡s(x+a)u(x) dx = e¡asLfug :
Es decir,
LfH(t ¡ a) u(t ¡ a)g = e¡asLfug , para a > 0, 0 < s < 1.
(Una funci¶on sin transformada de Laplace). La funci¶on u(t) = et2 no tiene trans-
formada de Laplace. Pues la integral
Z 1
0
e¡st et2
dt =
Z 1
0
e¡s2
4 e(t¡s
2 )2
dt
diverge para todo s.
>Para cu¶ales funciones u(t) existe la transformada de la Laplace? Los ejemplos
anteriores sugieren el siguiente criterio:
Teorema 1 (Criterio de Existencia). Sup¶ongase que u(t) es una funci¶on de¯nida en
0 · t < 1 que satisface las siguientes condiciones:
3
4. L1 Cada intervalo ¯nito [0;B] se puede dividir en un n¶umero ¯nito de intervalos
[b0; b1] = [0; b1]; [b1; b2] ; : : : [bn¡1; bn] = [bn¡1;B] tales que u(t) es continua en
( bk¡1; bk) y l¶³mt!b+
k¡1
u(t); l¶³mt!b¡
k
u(t) existen y son ¯nitos.
L2 Existen constantes, a real y M > 0 ,tales que
ju(t)j · Meat para 0 · t < 1:
Entonces u(t) tiene transformada de Laplace ^u(s) de¯nida en el intervalo a <
s < 1.
Demostraci¶on. Esto es consecuencia del criterio de comparaci¶on para la convergen-
cia de integrales impropias, pues por la condici¶on (L2) se tiene
Z 1
0
¯¯
¯¯
e¡stu(t)
dt ·
Z 1
0
e¡st Meat dt = M
Z 1
0
e¡( s¡a) tdt =
M
s ¡ a
para a < s < 1.
La condici¶on (L1) garantiza que las integrales ¯nitas
R B
0 e¡stu(t) dt existen para
todo B > 0.
Funciones de orden exponencial. Las funciones u(t) de¯nidas en 0 · t < 1
que satisfacen las condiciones (L1) y (L2) se denominan funciones continuas por tra-
mos de orden exponencial en 0 · t < 1. Para abreviar las denominaremos funciones
de orden exponencial.
El Criterio de Existencia se puede enunciar brevemente diciendo:
Toda funci¶on u(t) de orden exponencial en 0 · t < 1 tiene transformada
de Laplace ^u(s) de¯nida en alg¶un intervalo a < s < 1.
El mismo argumento utilizado para establecer el Criterio de Existencia demuestra
la siguiente propiedad que se observa en los ejemplos 1 al 4 (Anulaci¶on de ^u en 1):
(Anulaci¶on de ^u en 1) Para toda funci¶on u(t)de orden exponencial en
0 · t < 1 , la transformada de Laplace ^u(s) satisface
l¶³m
s!1
^u(s) = 0
Utilizando argumentos un poco m¶as so¯sticados se puede demostrar que la pro-
piedad de anulaci¶on de ^u en 1 es v¶alida para toda funci¶on u que posea transformada
de Laplace. Esta propiedad sirve para determinar que ciertas funciones no son una
transformada de Laplace:
4
5. Si g(s) es una funci¶on de¯nida en un intervalo a < s < 1 tal que
l¶³m
s!1
g(s) no existe o l¶³m
s!1
g(s)6= 0;
entonces g(s) no es transformada de Laplace de funci¶on alguna
Por ejemplo, las funciones detalladas a continuaci¶on no son transformadas de
Laplace de funci¶on alguna:
Polin¶omicas
p(s) =
Xn
k=0
ak sk;
Trigonom¶etricas, exponenciales y logar¶³tmicas
cos !s, sen !s, eas (a > 0), ln s,
Racionales,p(s)
q(s) , con grado(p)¸grado (q).
2. Propiedades b¶asicas de la transformada de La-
place
Conviene imaginar la transformada de Laplace como un operador
u ! Lfug = ^u
que a cada funci¶on u(t) de¯nida en 0 · t < 1 y de orden exponencial la transforma
en una funci¶on ^u(s) de¯nida en alg¶un intervalo a < s < 1. Este operador tiene las
siguientes propiedades b¶asicas que, en particular, lo hacen de utilidad en el c¶alculo
de soluciones de problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales con
coe¯cientes constantes.
Teorema 2 . (Propiedades b¶asicas). Sean u(t), v(t) funciones de orden exponencial
en 0 · t < 1 y a, b constantes reales.
1. ( Linealidad). Lfau + bvg = aLfug + bLfvg.
2. (Translaci¶on). Si ^u(s) =Lfu(t)g(s) est¶a de¯nida en el intervalo b < s < 1,
entonces
Lfeatu(t)g(s) = ^u(s ¡ a)
para a + b < s < 1.
5
6. 3. (Translaci¶on y truncamiento). Si a > 0
LfH(t ¡ a) u(t ¡ a)g(s) = e¡asLfug (s):
4. (Transformada de la derivada). Lfu0(t)g = sLfug ¡ u(0). En general, para
n 2 N
Lfu(n)(t)g = snLfug ¡ sn¡1u(0) ¡ sn¡2u0(0) ¡ : : : ¡ s u(n¡2)(0) ¡ u(n¡1)(0):
dsLfug. En general, para n 2 N
5. (Derivada de la transformada). Lftu(t)g = ¡ d
Lftnu(t)g = ¡
d
ds
Lftn¡1u(t)g
= (¡1)2 d2
ds2
Lftn¡2u(t)g
=
...
= (¡1)n dn
dsn
Lfug .
6. (Transformada de la integral). Lf
R t
0 u(r) drg = 1
s Lfug.
7. (Periodicidad). Si u(t) es peri¶odica con per¶³odo p > 0 , es decir, u(t+p) = u(t)
para todo t ¸ 0 , y si u(t) es continua en [0; p] , entonces
Lfug =
R p
0 e¡stu(t) dt
1 ¡ e¡ps .
Demostraci¶on. Todas estas propiedades son consecuencia directa de la de¯nici¶on.
A modo de ejemplos, veri¯caremos desde 4 al 7.
4. Por sencillez, supondremos que u0(t) es continua en 0 · t < 1. Integrando por
partes
Lfu0(t)g =
Z 1
0
e¡stu0(t) dt = e¡stu(t)
¯ ¯t=1
t=0 + s
Z 1
0
e¡stu(t) dt
Lfu0(t)g = ¡u(0) + sLfug .
Aqu¶³ se usa el hecho de que ju(t)j · Meat, esto implica que e¡stu(t) jt=1 =
l¶³mt!1 e¡stu(t) = 0, para s > a.
La identidad para Lfu(n)(t)g se obtiene aplicando repetidamente la identidad
para Lfu0(t)g.
6
9. Por la propiedad de periodicidad (vii),
Lfug =
1
1 ¡ e¡2as
Z 2a
0
e¡stu(t) dt =
1
1 ¡ e¡2as
Z a
0
e¡st dt
Lfug =
1 ¡ e¡as
s(1 ¡ e¡2as)
=
1
s (1 + e¡as)
Producto de transformadas de Laplace. El ejemplo de u(t) = v(t) = t mues-
tra que, en general, Lfu vg6= Lfug Lfvg. Sin embargo, se puede expresar LfugLfvg
como transformada de Laplace de una funci¶on obtenida a partir de u y v como sigue.
Primero,
LfugLfvg =
µZ 1
0
e¡sxu(x) dx
¶µZ 1
0
e¡syv(y) dy
¶
=
Z 1
0
f
Z 1
0
e¡s(x+y)u(x)v(y) dxgdy
Ahora, para cada y ¯jo (0 · y · 1), hacemos el cambio de variable t = x + y en la
integral interna, de modo que x = t¡y , dt = dx, t = y cuando x = 0, t = 1 cuando
x = 1, y Z 1
y
e¡stu(t ¡ y) v(y) dt:
Luego
LfugLfvg =
Z 1
0
Z 1
f
y
e¡stu(t ¡ y) v(y) dtgdy:
Supongamos ahora que es posible considerar esta integral iterada como una integral
doble sobre la regi¶on
R = f(t; y)j 0 · y < 1; y · t < 1g = f(t; y)j 0 · t < 1; 0 · y · tg;
y que es posible invertir el orden de integraci¶on. Entonces
LfugLfvg =
ZZ
R
e¡stu(t ¡ y) v(y) dt dy
=
Z 1
0
Z t
f
0
e¡stu(t ¡ y) v(y) dygdt =
Z 1
0
Z t
e¡stf
0
u(t ¡ y) v(y) dygdt
=Lf
Z t
0
u(t ¡ y) v(y) dyg:
De¯nici¶on.(Convoluci¶on). La convoluci¶on de dos funciones u(t), v(t) continuas
por tramos de orden exponencial en 0 · t < 1 es la funci¶on u ¤ v de¯nida en
0 · t < 1 por
(u ¤ v)(t) =
Z t
0
u(t ¡ y) v(y) dy:
Suponiendo v¶alido el cambio de orden en la integraci¶on indicado antes podemos es-
tablecer el siguiente teorema.
9
10. Teorema 3 ( Propiedad de convoluci¶on)
Lfu ¤ vg = LfugLfvg
Ejemplo.
Sea u(t) = t y v(t) = sen at. Entonces
u ¤ v(t) =
Z t
0
(t ¡ y) sen ay dy =
t
a
¡
1
a2 sen at,
Lfu ¤ vg = Lf
t
a
¡
1
a2 sen atg = LftgLfsen atg =
a
t2(t2 + a2)
.
3. Transformada inversa de Laplace
Una propiedad fundamental de la transformada de Laplace es:
Teorema 4 . (Propiedad de inversi¶on). Sean u1(t) y u2(t) funciones continuas por
tramos de orden exponencial en 0 · t < 1 . Si Lfu1g(s) = Lfu2g(s) en un intervalo
a < s < 1 , entonces en cada intervalo ¯nito [0;B]se tiene
u1(t) = u2(t);
salvo a lo m¶as en un n¶umero ¯nito de puntos.
La demostraci¶on de este resultado requiere t¶ecnicas de an¶alisis que no est¶an al alcance
de este curso. (Ver: R.V. Churchill. Operational Mathematics ., McGraw-Hill, New
York, 1972.)
La propiedad de inversi¶on implica que dada una funci¶on v(s) de¯nida en un in-
tervalo a < s < 1, si existe una funci¶on u(t) de¯nida en 0 · t < 1 tal que
Lfug = v;
entonces la funci¶on u es esencialmente ¶unica. Esto signi¯ca que si u1 es otra funci¶on
tal que Lfu1g = v, entonces en cada intervalo [0;B] las funciones u y u1 coinciden,
con la posible excepci¶on de un n¶umero ¯nito de puntos.
Por ejemplo, es f¶acil veri¯car que, para a > 0, las funciones
H(t ¡ a) =
½
0, t < a
1, t ¸ a
, H1(t) =
½
0, t · a
1, t > a
,
H2(t) =
½
0, t < a ¶o t 2 Z
1, en otra parte
10
11. son tres funciones diferentes esencialmente iguales en 0 · t < 1 tales que
LfH(t ¡ a)g = LfH1g = LfH2g =
1
s
.
En lo que sigue no distinguiremos entre funciones que sean esencialmente iguales.
De¯nici¶on. Una funci¶on v(s) de¯nida en un intervalo a < s < 1 tiene trans-
formada inversa de Laplace si existe una funci¶on u(t) de¯nida en 0 · t < 1 tal
que
Lfug = v;
En este caso se dice que u es la transformada inversa de Laplace de v y se denota por
L¡1fvg.
Recordamos que por la propiedad de anulaci¶on de las transformadas de Laplace
en 1, una condici¶on necesaria para que una funci¶on v(s) posea transformada inversa
de Laplace es que
l¶³m
s!1
v(s) = 0:
Tambi¶en, las propiedades b¶asicas de la transformada de Laplace implican propie-
dades de la transformada inversa de Laplace. Por ejemplo, si v y w tienen transfor-
mada inversa , se tiene:
(Linealidad)
L¡1fav + bwg = aL¡1fug + bL¡1fwg.
(Translaci¶on)
L¡1fv(s ¡ a)g = easL¡1fvg.
(Derivada)
L¡1f
dn
dsn v(s)g = (¡1)ntnL¡1fvg.
(Integraci¶on 1)
L¡1f
v(s)
s
g =
Z t
0
L¡1fvg(r) dr .
(Convoluci¶on)
L¡1fv(s)w(s)g = L¡1fvg ¤ L¡1fwg.
(Integraci¶on 2)
L¡1f
Z 1
s
v(r) drg =
1
t
L¡1fvg.
La ¶ultima relaci¶on es consecuencia de:
(Integral de una transformada).
Z 1
s
Lfug(°) d° = Lf
u(t)
t
g:
La cual es v¶alida para u(t) tal que l¶³mt!0+
u(t)
t exista y sea ¯nito.
11
12. 4. M¶etodo de Heaviside
Este m¶etodo se aplica al c¶alculo de soluciones de problemas lineales de valor inicial.
Sup¶ongase que se desea hallar la soluci¶on x(t) en 0 · t < 1 de un problema de valor
inicial para una ecuaci¶on lineal con coe¯cientes constantes
x00 + ax0 + bx = f(t), x(0) = x0, x0(0) = x0
0 (3)
El f¶³sico-matem¶atico e ingeniero ingl¶es Oliver Heaviside propuso la siguiente idea.
Primero, se aplica transformada de Laplace a la ecuaci¶on
Lfx00 + ax0 + bxg = Lff(t)g.
Entonces, por las propiedades (i) y (iv) de transformada de Laplace, la ecuaci¶on se
reduce a
s2Lfxg ¡ sx(0) ¡ x0(0)) + a(sLfxg ¡ x(0)) + bLfxg = Lffg
(s2 + as + b)Lfxg = Lffg + x(0)s + ax(0) + x0(0).
As¶³, la transformada de Laplace de la soluci¶on x(t) de (3) es
Lfxg =
Lffg
(s2 + as + b)
+
x(0)s + ax(0) + x0(0)
(s2 + as + b)
.
La soluci¶on x(t) de (3) en 0 · t < 1 se obtiene mediante la transformada inversa
x(t) = L¡1
½
Lffg
(s2 + as + b)
+
x(0)s + ax(0) + x0(0)
(s2 + as + b)
¾
.
Ejemplos. Buscaremos la soluci¶on de
dx
dt
+ 2x = 1, x(0) = 10.
Aplicando transformada a la ecuaci¶on, se obtiene
sLfxg ¡ x(0) + 2Lfxg =
1
s
.
De donde (usando fracciones parciales)
Lfxg =
1
s(s + 2)
+
10
s + 2
=
1
2
µ
1
s
¡
1
s + 2
¶
+
10
s + 2
,
Lfxg =
1
2
(
1
s
+
19
s + 2
) para 0 · t < 1.
12
13. Finalmente, la soluci¶on x(t) en 0 · t < 1 es
x(t) = L¡1f
1
2
(
1
s
+
19
s + 2
)g =
1
2
L¡1f
1
s
g +
19
2
L¡1f
1
s + 2
g
x(t) =
1
2
+
19
2
e¡2t.
Ejemplo. Nos proponemos determinar el movimiento desde el equilibrio de un
oscilador lineal no amortiguado con masa m y constante de rigidez k sometido a una
fuerza externa variable F(t) que se anula antes del instante t0 > 0 y que es constante
e igual a F0 despu¶es del instante t0 :
F(t) = F0H(t ¡ t0) =
½
0, t < 0
F0, t ¸ t0
.
El problema de valor inicial correspondiente es
d2x
dt2 + !2x =
F0
m
H(t ¡ t0), x(0) = 0, x0(0) = 0,
con ! =
q
k
m. Tomando transformada de Laplace, la ecuaci¶on se reduce a
s2Lfxg ¡ sx(0) ¡ x0(0) + !2Lfxg =
F0
m
LfH(t ¡ t0)g.
Utilizando las condiciones iniciales, x(0) = x0(0) = 0 , se obtiene
Lfxg(s) =
F0
m
1
s2 + !2
LfH(t ¡ t0)g,
y por tanto
x(t) =
F0
m
L¡1f
1
s2 + !2
LfH(t ¡ t0)gg.
Por la propiedad de convoluci¶on de L y observando que
1
s2 + !2 = Lf
1
!
sen !tg;
se tiene que
1
s2 + !2
LfH(t ¡ t0)g =
1
!
Lfsen !tgLfH(t ¡ t0)gg =
1
!
Lf sen !t ¤ H(t ¡ t0)g =
1
!
Lf
Z t
0
sen !(t ¡ z)H(z ¡ t0)dzg
Luego,
x(t) =
F0
m!
Z t
0
sen !(t ¡ z)H(z ¡ t0)dz, para 0 · t < 1.
13
14. FO H( t−tO )
FO
xO
tO
t
x(t)
F
O
mw2
t
Figura 3: Oscilaciones bajo una fuerza repentina
Para evaluar la integral en esta expresi¶on para x(t), observamos que cuando 0 · t <
t0,0 · z · t < t0 implica H(z¡t0) = 0, y cuando t ¸ t0 0 · z · t implica 0 · z < t0
con H(z ¡ t0) = 0 ¶o t0 · z · t con H(z ¡ t0) = 1. As¶³ que
Z t
0
sen !(t ¡ z)H(z ¡ t0) dz =
½
R 0, t < t0 t
t0
sen !(t ¡ z) dz, t ¸ t0;
Z t
0
sen !(t ¡ z)H(z ¡ t0) dz =
½
0, t < t0
1
! (1 ¡ cos !(t ¡ t0) ), t ¸ t0;
Se concluye que la soluci¶on x(t) en 0 · t < 1 est¶a dada por
x(t) =
½
0, t < t0
F0
m !2 (1 ¡ cos !(t ¡ t0) ), t ¸ t0:
Esta soluci¶on representa un movimiento del oscilador en el cual en ausencia de fuerzas
externas la masa permanece en reposo en la posici¶on de equilibrio x = 0 hasta el
instante t0 cuando empieza a obrar la fuerza constante F0. A partir del instante t0,
la masa inicia una oscilaci¶on arm¶onica con frecuencia igual a la frecuencia natural !
del oscilador libre en la cual la masa cada 2¼
! unidades de tiempo se desplaza 2F0
m !2
unidades de distancia en la direcci¶on de la fuerza F0 y vuelve luego a la posici¶on de
equilibrio x = 0 ( v¶ease ¯gura 3).
14
15. 5. Resumen
5.1. Transformada de Laplace
1. De¯nici¶on: Lff(t)g(s) =
R 1
0 e¡s tf(t) dt:
2. Linealidad: Lf® f(t) + ¯ g(t)g(s) = ® Lffg(s) + ¯ Lfgg(s):
3. Translaci¶on: si ^u(s) = Lfu(t)g(s) entonces ^u(s ¡ a) = Lfeatu(t)g(s):
4. Translaci¶on y truncamiento: LfH(t ¡ a)u(t ¡ a)g(s) = e¡asLfug(s):
5. Derivada n-esima:
Lff0(t)g(s) = s Lffg(s) ¡ f(0+):
Lff00(t)g(s) = s2Lffg(s) ¡ s f(0+) ¡ f0(0+):
Lff(n)(t)g(s) = snLffg(s) ¡ sn¡1 f(0+) ¡ sn¡2f0(0+) ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ f(n¡1)(0+):
6. Transformada de la integral:
L
nR t
a f(r) dr
o
(s) = 1
sLffg(s) ¡ 1
s
R a
0 f(t) dt:
L
8>><
>>:
Z t
0
¢ ¢ ¢
Z t
| {z 0}
n-veces
f(t)dt : : : dt
9>>=
>>;
(s) = 1
snLffg(s):
R 1
s Lfug(°) d° = Lfu(t)
t g (s) :
7. Producto y convoluci¶on
R t
0 u(t ¡ y)v(y) dyg:
LfugLfvg = Lf
Lfu ¤ vg = LfugLfvg , donde (u ¤ v)(t) =
R t
0 u(t ¡ y)v(y) dy:
8. Transformada de una funci¶on peri¶odica f(s) con per¶³odo p > 0
Lff(t)g(s) =
R p
0 e¡s tf(t) dt
1 ¡ e¡p s :
9. Propiedades varias
Lfeatf(t)g(s) = L(f)(s ¡ a):
Lftnf(t)g(s) = (¡1)n dn
dsnLffg(s):
LfH(t ¡ a)g(t)g(s) = e¡asLfg(t + a)g(s):
Lff(t)
t g(s) =
R 1
s Lffgds , si l¶³mt!0+
f(t)
t existe.
15
17. Ejercicios
1. Hallar la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones
a. e2tsen 3t; b. 3e¡t cos 2t; c. t3sen 3t; d. t2et cos t;
e. e¡3t cos (2t + 4) ; f.
R t
a r cos r dr; g. sen2t; h. j cos t j;
:
2. Calcule la transformada inversa de las siguientes funciones
a. 1
s (s+1) ; b. 3
(s¡1)2 ; c. 5
s2(s¡5)2 ; d. 1
(s¡a)(s¡b) ; a; b constantes,
e. 1
(s2+1)2 ; g. 1+e¡s
s2+4s+29; f. 2s
s ; h. e¡s
s4+1:
3. Hallar la transformada de Laplace de
f(t) :=
½
0; t · 1
2
1 + t t > 1
2
; g(t) :=
½
t; t · 2
2 t > 2
:
4. Hallar la transformada de Laplace de la funci¶on escalera
f(t) = n + 1; si n < t · n + 1; n = 0; 1; 2; :::; :
5. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones usando transformadas de Laplace
a. dy
dt + 3y = t sen at y(0) = 1; a constante,
b.d2y
dt2 ¡ 2dy
dt + y = t etsen t y(0) = 0; y0(0) = 0;
c: d2y
dt2 + 2r dy
dt + !2y = A±(t ¡ t0) y(0) = 0; y0(0) = 0; t0 constante,
d.d4y
dt4 + y =
½
0; t · 1
t ¡ 1 t > 1
y(0) = y0(0) = y00(0) = y000(0) = 0;
e. dy
dt + 2y +
R t
0 y(s) ds = cos t y(0) = 1:
Respuestas
1.
9+(s¡2)2 , b. 3(s+1)
a. 3
4+(1+s)2 , c. 72s3¡648s
(s2+9)4 , d. 2s3¡6s2+4
(1+(s¡1)2)3 ,
4+(s+3)2 , f. 2 s+(1+s2)s
e. (s+3) cos 4¡2sen 4
(1+s2)2 ¡ cos a+a sen a
s , g. 2
s(s2+4) , h. ¡ (e¡¼ s+1)s
(e¼ s¡1)(1+s2) :
2.
a. 1 ¡ e¡t , b. 3ett ,
c. 2¡2e5t+5t+5e5tt
25 , d. eat¡ebt
a¡b ,
5e¡2tsen 5t , f. t sen t ,
e. 1
g. 1 + H(t ¡ 1) , h. ¡1
2e
tp¡1
2 cos
³
¼
4 + tp¡1
2
´
¡ 1
2e¡tp¡1
2 cos
³
3¼
4 + tp¡1
2
´
H(t ¡ 1):
3. Lffg(s) = e¡s
2
¡2+3s
2s2
¢
;Lfgg(s) = e2s¡1
e2ss2
17
18. 4. Lffg(s) =
P1
k=0
e¡sk
s :
(9+a2)2 ((81 ¡ 6 a + 18 a2 + a4)e¡3 t ¡ a((9 + a2)t ¡ 6) cos a t + (a2 ¡ 9 + 27 t +
5. a. 1
3 a2t)sen a t);
b. y (t) = 2et ¡ 2et cos t ¡ ett sen t;
c. y (t) = AH(t¡t0)
p
r2¡w2 (e¡(t¡t0)(r¡
2
p
r2¡w2) ¡ e(t¡t0)(r+
p
r2¡w2)),
d. (t ¡ 1 ¡ 1
2e
tp¡1
4 ¡ tp¡1
2 sen(¼
2
) + 1
2e
tp¡1
4 + tp¡1
2 sen( 3¼
2
))H(t ¡ 1);
e. y (t) = 1
2et ¡ t
2et + cos t
2 :
18