Este documento explica la transformada de Laplace, una transformada integral utilizada para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. La transformada convierte las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas más fáciles de resolver mediante la conversión de integración y derivación en multiplicación y división. También se usa para calcular la señal de salida de sistemas lineales mediante la conversión de la convolución en una multiplicación. El documento proporciona ejemplos de cómo aplicar la transformada de Laplace para resolver circuitos RLC y ecuaciones diferenciales.

1. República Bolivariana De Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación
I.U.T “Antonio José De Sucre”
Mención Mecánica de Mantenimiento
4to semestre SAIA 79 Matemática IV
Profesor: Alumno:
ING: Ranielina Rondón Mejías Ángel V. Cedeño
C.I: 26146222
Puerto La Cruz 09 de Junio Del 2015

2. Transformada de Laplace es un tipo de transformada integral frecuentemente
usada para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
o Aplicación de Transformada de Laplace
o Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil
en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas
radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y
división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en
ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.
o Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal
de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta
impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este
cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una
multiplicación, habitualmente más sencilla.
o La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon
Laplace.
o La transformada de Laplace es al tiempo continuo lo que la transformada de
Z es al discreto
o Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a
la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral
o La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números
reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento
de crecimiento de f(t).

3. o Tabla de transformada de Laplace

4. 2 ejercicios
Ejemplo 1
Con la transformada de Laplace podemos resolver circuitos electronicos en este
caso circuito RLC.
Iniciamos con la ecuacion
Donde E(t) es la fuente, R el valor de la resistencia, L el valor del inductor y c el
valor de la capacitancia
Sustituimos los valores y nos queda
Aplicamos Laplace a toda la ecuacion y obtenemos
Multiplicamos 10s toda la ecuacion para simplificar

5. Aplicamos Laplace inversa
Ejemplo 2
Resolver la siguiente Ecuacion Diferencial Transformada en ecuacion algebraica
Valor Inicial
Se transforma cada uno de los lados de la Ecuacion Utilizando Laplace
Se desarrolla Laplace segun el metodo de derivadas
Se agrupan Y(s) de un lado de la ecuacion
Utilizando fracciones parciales logramos obtener los valores necesitados
Sacar la Transformada Inversa de Laplace
Solucion

6. Ejemplo 3
PROBLEMA DE VALOR INICIAL
Resuelva
Valores Iniciales
SOLUCION
Aplicando los valores Iniciales y simplificando obtenemos
Aplicando Laplace Inversa Obtenemos
Utilizando el primer teorema de traslacion sabemos que:
Aplicando el desfase de seria igual a:
Por con siguiente nuestra respuesta seria

7. Definición de transformada inversa de Laplace
Si es la transformada de Laplace de una función continua , es
decir, , entonces la transformada inversa de Laplace de ,
escrita es , es decir,
Aplicación de la transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en
una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para , es
decir, . Ahora, como si pudiéramos devolvernos
obtendríamos la solución que buscamos. Es decir, necesitamos de la
transformada inversa , para hallar la función
Tabla de transformada inversa de Laplace
f(t) F(s)=∫0∞e−stf(t)dtF(s)=∫0∞e−stf(t)dt
c1f1(t)+c2f2(t) c1F1(s)+c2F2(s)
exp(a·t) 1s−a1s−a
cos(ωt) ss2+ω2ss2+ω2
sin(ωt) ωs2+ω2ωs2+ω2
tn n!sn+1n!sn+1
exp(at)·f(t)
exp(at)·cos(ωt)
F(s-a)
s−a(s−a)2+ω2s−a(s−a)2+ω2
u(t-a) exp(-as)/s

8. u(t-a)·f(t-a) exp(-as)·F(s)
δ(t-a) exp(-as)
f'(t) (derivada primera) s·F(s)-f(0)
f''(t) (derivada segunda) s2·F(s)-s·f(0)-s·f'(0)
g(t)=∫0tf(τ)dτg(t)=∫0tf(τ)dτ (integral) F(s)/s
f(t)=f(t+p), (función periódica) 11−e−sp∫0pe−stf(t)dt11−e−sp∫0pe−stf(t)dt
f(at) 1aF(sa)1aF(sa)
tnf(t) (−1)ndndsnF(s)
2 ejercicios
Ejemplo 1
Calcular la Antitransformada de Laplace
Puesto que
por lo tanto tenemos que:
Ejemplo 2
Determinar

9. Utilizando las transformaciones de la Tabla1 obtenemos: