La transformada de Laplace es una herramienta analítica que facilita la resolución de ecuaciones lineales de coeficientes constantes, transformando problemas del dominio temporal al dominio de frecuencia. Permite realizar cálculos algebraicos simples en lugar de integraciones y derivaciones complejas, siendo fundamental en el análisis de circuitos eléctricos y otros sistemas de ingeniería. Sus aplicaciones incluyen el análisis de la respuesta en frecuencia, el estudio de circuitos transitorios y la farmacocinética.

1. Universidad Autonoma de Baja California
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APLICACIONES DE LAPLACE
Marcos Marcos Fernando
fmarcos@uabc.edu.mx
La transformada de Laplace es un método efectivo
en la solución de ecuaciones lineales de coeficientes
constantes.
La gran utilidad que tiene este procedimiento
analítico radica en que nos da la oportunidad de
reemplazar o cambiar operaciones de integración y
derivación,que a veces se vuelven un tanto complejos y
complicados, por cálculos algebraicos simples.
En otras palabras la transformada de Laplace es
una herramienta que transforma un problema que se
encuentra en el dominio temporal, en un problema en el
dominio de s o de la frecuencia (el fasor convierte una
señal sinusoidal en un numero complejo),esto se puede
observar en la Figura 1.
Figura 1.
La definición de la transformada es la siguiente:
Dada una función f(t), que depende de la variable
independiente tiempo (t), su transformada de Laplace se
define mediante la expresión
𝐹( 𝑠) = 𝓛{ 𝒇(𝒕)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡
𝑓( 𝑡) 𝑑𝑡
∞
0
Hay algunas observaciones importantes
La integral es impropia ya que el límite superior de
integración es ∞.
En consecuencia, la integral puede no converger.
Sin embargo, en análisis de circuitos se hace
referencia únicamente a funciones que hacen que la
integral converja, con lo que tienen transformada de
Laplace.
Ejemplo:Determinar la transformada de Laplace de
la función f(t)+2u(t-3).
Para determinar la transformada unilateral de
Laplace de f(t)=2u(t-3) se debe evaluar la integral.
𝐹( 𝑠) = ∫ 𝑒−𝑠𝑡
𝑓( 𝑡) 𝑑𝑡
∞
0
= ∫ 𝑒−𝑠𝑡
2u(t− 3) 𝑑𝑡
∞
0
= 2∫ 𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
∞
3
Simplificando, se encuentra
𝐹( 𝑠)=[
−2
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
]
3
∞
=
−2
𝑠
(0 − 𝑒−3𝑡)
=
2
𝑠
𝑒−3𝑡
Tabla 1. Transformadas de Laplace Funcionales para
t>0
𝒇(𝒕) 𝓛{ 𝒇(𝒕)}
𝑑𝑡 1
𝑢(𝑡) 1
𝑠
𝑡 1
𝑠2
𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡) 𝑤
𝑠2
+ 𝑤2
𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡) 𝑠
𝑠2
+ 𝑤2
𝑡𝑒−𝑎𝑡 1
(𝑠 + 𝑎)2
𝑒−𝑎𝑡
𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡) 𝑤
(𝑠 + 𝑎)2
+ 𝑤2
𝑒−𝑎𝑡
𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡) 𝑠 + 𝑎
(𝑠 + 𝑎)2
+ 𝑤2
Se hará referencia únicamente a transformadas
dadas por la integral indicada, que reciben el nombre de
transformadas unilaterales.
Las transformadas bilaterales son aquéllas en las
que el límite inferior de integración es -∞.
Si f(t) es discontinua en el origen, su valor en t = 0
se evalúa en t = 0-. Se hará referencia únicamente a
señales de interés en circuitos eléctricos y electrónicos
que se comportan como sistemas LTI.
Transformadas funcionales son las que se realizan
sobre funciones matemáticas.
Transformadas operacionales son aquellas que
involucran operaciones realizadas sobre funciones.
Aplicaciones de la transformada
 Relacionar el comportamiento de un circuito en el
dominio del tiempo con su comportamiento en el
dominio de la frecuencia
 Introducción del concepto de función de
transferencia para analizar la respuesta en
frecuencia de un circuito sometido a excitación
sinusoidal.
 Análisis del régimen transitorio en circuitos
sometidos a excitaciones distintas de simples
saltos de nivel.

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 Análisis del régimen transitorio en circuitos
descritos por más de dos ecuaciones diferenciales.
 Los métodos de la transformada de Laplace tienen
un papel clave en el enfoque moderno del análisis
y diseño en los sistemas de ingeniería.
 Las operaciones de la trasformada son utilizados
en el cálculo de la deformación de vigas.
 Obtención de la función de transferencia de la
amortiguación de un automóvil
 Transformada de Laplace, Polos y Ceros en
Análisis de Respuesta de Frecuencia.
 Funciones de Transferencia en los Seguros de
Vida, Laplace se aplica a cálculos financieros y
actuariales.
 Aplicación de la Transformada de Laplace en la
Farmacología:Farmacocinética, se pueden aplicar
modelos matemáticos que permitan establecer la
absorción de una droga en un órgano en un medio
líquido.
Bibliografía:
[1]http://www.cie.unam.mx/~rrs/pub/Blanchard/07_Cap6.
pdf
[2]http://www.iit.upcomillas.es/~dlaloux/csd/pdfs/Tema2.
pdf
[3]http://webs.uvigo.es/enrique.sanchez/PDFs/126_Tem
aII-Laplace.pdf
[4]http://lcr.uns.edu.ar/fvc/transformada_de_laplace.htm
[5]Hayt William H. Kemmerly Jack E. Durbin Steve M.
ANALISIS DE CIRCUITOS EN INGENIERIA.