Este documento presenta un estudio sobre la transformada de Laplace. Explica que la transformada de Laplace es una técnica matemática que cambia una función en el tiempo a otra función en el dominio de Laplace y puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales. Luego demuestra varios teoremas de la transformada de Laplace a través de ejercicios y concluye que estos teoremas son útiles para el análisis en electrónica de potencia.

1. UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CUENCAELECTRÓNICA DE POTENCIA
Práctica N°1
TERCER AÑO
FIE-EP-PR
Calificación:……..
Demostración de los algunos teoremas de transformadas de Laplace
Luis Andrade, Juan Chacha, Geovanny Silva
lvandradeq@gmail.com
Fecha de entrega: 07/11/2012
Resumen. La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas
transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la
transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una
integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra
variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales
Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de Ecuaciones
Diferenciales con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes
constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma
Ecuaciones Diferenciales. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable
independiente que aparece en la Ecuaciones Diferenciales es una función seccionada.
1
Objetivo General
Comprender y demostrar mediante ejercicios
que los teoremas de la transformada de
Laplace se cumplen.
1.1 Objetivos específicos


2
Familiarizarse con las transformadas
de Laplace
Aprender a usar herramientas
Matemáticas
que
nos
ayudara
posteriormente en el estudio de la
Electrónica de Potencia
Procedimiento
2.1 Marco Teórico
La Transformada de Laplace es una técnica
Matemática que forma parte de ciertas
transformadas
integrales
como
la
transformada de Fourier, la transformada de
Hilbert, y la transformada de Mellin entre
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otras. Estas transformadas están definidas
por medio de una integral impropia y
cambian una función en una variable de
entrada en otra función en otra variable. La
transformada de Laplace puede ser usada
para resolver Ecuaciones Diferenciales
Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se
pueden resolver algún tipo de Ecuaciones
diferenciales con coeficientes variables, en
general se aplica a problemas con coeficientes
constantes. Un requisito adicional es el
conocimiento de las condiciones iniciales a la
misma Ecuaciones Diferenciales. Su mayor
ventaja sale a relucir cuando la función en la
variable independiente que aparece en la
Ecuaciones Diferenciales es una función
seccionada.
Cuando
se
resuelven
Ecuaciones
Diferenciales usando la técnica de la
transformada, se cambia una ecuación
diferencial en un problema algebraico. La
metodología
consiste
en
aplicar
la
transformada a la Ecuaciones Diferenciales y
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posteriormente usar las propiedades de la
transformada. El problema de ahora consiste
en encontrar una función en la variable
independiente tenga una cierta expresión
como transformada.
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14- Dado
Demostrar
Matemáticamente Laplace se define así:
Sea f una función definida para
, la
transformada de Laplace de f(t) se define como
Si
cuando tal integral converge
Notas
1. La letra s representa una nueva variable,
que para el proceso de integracion se
considera constante
2. La transformada de Laplace convierte
una funcion en t en una funcion en la
variable s
3. Condiciones para la existencia de la
transformada de una función:
1. De orden exponencial
2. Continua a trozos
15-Dado
entonces
a.
b.
c.
Dado
entonces
y F(0)=0
2.2 Desarrollo
Trasformadas de Laplace de la Derivadas
13- Dado
Demostrar
Dado
entonces
16- Dado
entonces
demostrar que
,
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y
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Transformadas de Laplace de en Integrales
17- Dado
demostrar que
2) HallarF(t)=
Si
y
=
=
18- Hallar
Si
y
19-teorema
1)
HallarF(t)=
s= 1/s-4 f(s)’ =
f(s) =
20- Demostración el teorema 1-13
Si
Entonces:
Sea
Entonces
=
Tomando la transformada de Laplace a
ambos lados.
o
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Ahora integramos obtenemos:
Es decir:
22- a-
demostrar que
suponiendo que las integrales convergen
tenemos:
Entonces pasando el limite cuando
y bajo la hipótesis de la convergencia de
las integrales se obtiene el resultado.
b- demostrar que
sea
F(s)sen t asi
que
entonces:
24- hallar la grafica de la función:
Extendida periódicamente con periodo de
Funciones Periódicas
23- si F(s) tiene periodo T>0 entonces:
Tenemos:
b- como T
tenemos:
En la segunda integral, sea
la tercera integral, sea
Entonces
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por el problema 23
; en
, etc.
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Asi,
O como se esperaba,
Teoremas De Los Valores Inicial Y Final
25-. Demostrar el teorema del valor
inicial:
Si F(t) no es continua, el resultado aun es
valido, pero para ver esto debemos
utilizar el teorema 1-7.
27-. Ilustrar los problema 25 y 26 para la
función F(t) = 3
Por el teorema de valor inicial:
Por el problema 13,
Osea 3 = 3, lo cual ilustra el teorema.
Por el teorema de valor final:
Pero si F’(t) es seccionalmente continua y
de orden exponencial, entonces
Osea 0 = 0, lo cual ilustra el teorema.
Entonces, tomando el limite cuando
(t), y con la hipótesis de que F(t) es
continua en t=0, encontramos que
O
26. Demostrar teorema de valor final:
Por el problema 13,
El límite de la izquierda cuando
El límite de la derecha cuando
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es
es
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2.3 Cálculos
2.4 Análisis de Resultados
Al realizar lo ejercicios todas las
demostraciones de los teoremas de las
transformadas de Laplace se cumplen, de
esta manera comprobamos que dichos
teoremasson balidos para el análisis de
ejercicios en electrónica de Potencia
3. Conclusiones
Todos lo teoremas de Laplace
son
demostrables en diferentes ejercicios así
concluimos que los teoremas son muy
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utilizados para el análisis en Electrónica de
Potencia
4. Referencias Bibliográficas
mty.itesm.mx. (05 de 11 de 2012).
http://www.mty.itesm.mx. Obtenido de
http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/
ma-841/laplace/home.htm
Murray, S., & Murray R, S. (1977). Transformadas
de la Place. mexico: Litografia Ingramex.
wikimatematica. (05 de 11 de 2012).
http://www.wikimatematica.org. Obtenido
de
http://www.wikimatematica.org/index.php
?title=Definici%C3%B3n_de_transformada
_de_Laplace.
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