Este documento presenta el problema de transporte, un tipo de problema de programación lineal. Explica cómo formular un problema de transporte general con m puntos de oferta, n puntos de demanda y costos de transporte entre cada punto. Luego detalla cómo resolver el problema usando un algoritmo simplificado que encuentra una solución inicial que satisface todas las restricciones excepto una. Finalmente, muestra un ejemplo numérico para ilustrar el problema de transporte.
Este documento presenta información sobre la teoría de colas. Explica conceptos clave como llegadas, servicio, tipos de sistemas de colas y distribuciones estadísticas comúnmente usadas. También incluye ejemplos de aplicación de la teoría de colas para optimizar procesos en empresas a través del análisis de casos.
Este documento presenta diferentes medidas de resumen para describir conjuntos de datos. Describe cuatro tipos de medidas: medidas de centro como el promedio y la mediana, medidas de posición como los percentiles y cuartiles, medidas de dispersión como el rango y la desviación media, y medidas de forma. Incluye ejemplos del cálculo de estas medidas para tres conjuntos de datos.
Este documento presenta cuatro ejercicios sobre la relación entre variables. Cada ejercicio muestra los datos de dos variables, grafica su dispersión, y calcula la regresión lineal entre ellas. El documento también incluye los contactos del autor.
El documento describe que dos empresas mineras extraen diferentes tipos de minerales que son clasificados en tres grados y tienen un contrato para suministrar mineral a una planta de fundición cada semana. Se proporcionan los costos y producción diarios de cada empresa. El objetivo es minimizar los costos totales y determinar cuántos días a la semana debe operar cada empresa para cumplir con el contrato. Usando programación lineal, la solución óptima es que la Empresa X opera 1.5 días a la semana y la Empresa Y opera 3 días a la semana.
Este documento presenta una introducción a la teoría de colas. La teoría de colas estudia matemáticamente las líneas de espera y provee modelos para describir sistemas donde los clientes llegan solicitando servicio y salen una vez atendidos. Incluye definiciones clave como cliente, servidor, tiempo de llegada y servicio. Explica elementos comunes en los modelos de colas como la fuente de entrada, disciplina y mecanismo de servicio. El objetivo es determinar la capacidad óptima del sistema para minimizar costos total
El documento describe el crecimiento logístico de un virus de gripe en un campus de 1000 estudiantes. Resuelve una ecuación diferencial para modelar la propagación del virus cuando la tasa de infección depende del número de estudiantes infectados y no infectados. Calcula que después de 6 días habrá aproximadamente 276 estudiantes infectados.
Este documento presenta el portafolio final de un curso de Probabilidad y Estadística Descriptiva. Incluye tres parciales que cubren medidas de tendencia central y dispersión, distribuciones de probabilidad y muestreo. Cada tema se ilustra con ejercicios numéricos para acercar los conceptos a casos reales. El portafolio tiene como objetivo mostrar los contenidos estudiados en el curso de manera práctica.
Cien problemas de programacion lineal parte 3fzeus
MAX Z = 4000 X, + 3000 X2
Sujeto a:
1. 3X, + X2 < 3000
2. 4X, + 3X2 < 6000
3. X, > 400
X,, X2 > 0
Resumen: El problema busca maximizar las utilidades de una empresa que puede producir pantalones o blusas diariamente. Se busca determinar la cantidad óptima de cada producto a producir sujeto a restricciones de capacidad de producción y acabado, requiriendo un mínimo de 400 pantalones diarios.
Este documento presenta información sobre la teoría de colas. Explica conceptos clave como llegadas, servicio, tipos de sistemas de colas y distribuciones estadísticas comúnmente usadas. También incluye ejemplos de aplicación de la teoría de colas para optimizar procesos en empresas a través del análisis de casos.
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Este documento describe las variables aleatorias y las distribuciones de probabilidad que se pueden usar para modelar el comportamiento probabilístico de variables en una simulación. Explica que las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas y cubren distribuciones como la binomial, Poisson, normal y exponencial. También describe cómo determinar la distribución que mejor se ajusta a un conjunto de datos usando pruebas estadísticas como la prueba chi-cuadrada.
El documento describe un sistema de servicio de descargas con una tasa de llegada promedio de 9 clientes por hora y un tiempo de servicio de 5 minutos por cliente. Se pide calcular las medidas de desempeño como el número esperado de clientes en la cola y en el sistema, así como los tiempos de espera promedio según el modelo M/G/1 de teoría de colas. También se pide calcular la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente deba esperar por el servicio.
Este documento presenta 5 ejercicios relacionados con el cálculo del tamaño óptimo de pedido (EOQ) sin faltante. El primer ejercicio calcula el EOQ y número de pedidos anuales para una empresa que vende 100 lavadoras al año. El segundo calcula el costo total de inventario usando los datos del primer ejercicio. El tercer ejercicio calcula el EOQ, costo total anual, número de pedidos y tiempo entre pedidos para una empresa que compra 12,000 artículos al año. El cuarto ejercicio calcul
Un propietario de una cadena de tres supermercados compró cinco cargas de fresas frescas y quiere asignarlas a las tiendas para maximizar las ganancias esperadas. La tabla proporciona estimaciones de ganancias para cada tienda dependiendo de la cantidad de cargas asignadas. Usando programación dinámica, el propietario puede asignar las cargas de dos maneras para obtener una ganancia total esperada de 25 unidades: asignar 2 cargas a la primera tienda, 1 a la segunda y 2 a la tercera, o asignar 5 cargas
El documento trata sobre el campo eléctrico generado por sistemas de cargas puntuales. Explica que el campo eléctrico en un punto es la suma vectorial de los campos individuales de cada carga, según el principio de superposición. También describe métodos para representar gráficamente el campo eléctrico a través de líneas de fuerza y presenta ejemplos de cálculos de campo eléctrico.
Este documento trata sobre el análisis de regresión lineal simple. Explica que la regresión lineal estima el valor de una variable dependiente (Y) en base a un valor conocido de una variable independiente (X). Incluye diagramas de dispersión y líneas de regresión que muestran diferentes tipos de relaciones entre las variables. También describe el método de mínimos cuadrados para ajustar la línea de regresión, y presenta un ejemplo completo de cómo aplicar este análisis estadístico para predecir la reducción de la dem
Tarea 16 de probabilidad y estadistica con respuestasIPN
Este documento presenta 10 problemas de estadística descriptiva que involucran estimación de parámetros poblacionales mediante intervalos de confianza y predicción para una o dos muestras. Los problemas abarcan temas como vida promedio de ratones, profundidad de módulos de marcapasos, kilómetros recorridos por automóviles, contenido de azúcar en cereales y dureza de cabezas de alfileres. Se pide calcular intervalos de confianza y predicción utilizando desviaciones estándares muestrales y sup
Un comerciante tiene 50.000 Bs para comprar naranjas de dos tipos (A y B) a diferentes precios por kg. Debe comprar la cantidad óptima de cada tipo para maximizar sus ganancias considerando que puede transportar un máximo de 700 kg y venderá cada tipo a un precio mayor.
Este documento describe la teoría de colas y su aplicación en situaciones que involucran esperas como procesos de computación, tráfico de internet y llamadas telefónicas. La teoría de colas estudia matemáticamente las líneas de espera o colas para analizar procesos como llegadas, esperas y servicio. Se usa notación como M/M/S para describir modelos de cola con múltiples servidores donde las llegadas siguen una distribución de Poisson y los tiempos de servicio una distribución exponencial. El documento
Este documento presenta dos problemas resueltos sobre cadenas de Markov. En el primer problema, se modela una situación en la que se pintan bolas de una urna aleatoriamente como una cadena de Markov de 6 estados. Se encuentra la matriz de probabilidades de transición y se calculan dos probabilidades después de pintar bolas. En el segundo problema, se modela el pago de primas de seguro de una compañía en función de los accidentes pasados de un cliente como una cadena de Markov de 3 o 4 estados. Se calcula la prima promedio pagada por un cliente en un año.
Este documento presenta 7 ejercicios resueltos sobre estimación por intervalos. En el primer ejercicio, se calcula un intervalo de confianza del 90% para la proporción de minerales de un tipo específico en una región, basado en una muestra de 125 minerales. Los ejercicios subsiguientes calculan intervalos de confianza para medias y proporciones poblacionales usando diferentes grados de confianza y tamaños de muestra. Los ejercicios ilustran cómo construir intervalos de confianza para estimar parámetros
Este documento describe el método de mínimos cuadrados, que es la técnica más efectiva para determinar los parámetros de una ecuación lineal a partir de datos experimentales. El método implica minimizar la suma de los cuadrados de los residuos entre los valores medidos y los calculados por la ecuación propuesta. Se ilustra con un ejemplo del cálculo de las ventas proyectadas de una empresa para los próximos años.
La distribución binomial describe el número de éxitos en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes. El documento presenta 5 ejercicios que aplican la distribución binomial para calcular probabilidades de diferentes escenarios, como lanzar una moneda o seleccionar llantas de un cargamento. Se calculan medidas como la media, varianza y desviación estándar para cuantificar los resultados.
Este documento describe los conceptos de cadenas de Markov de tiempo continuo. Explica que estas cadenas tienen un número finito de estados y probabilidades de transición estacionarias. Las variables de tiempo entre transiciones tienen distribución exponencial. También presenta las ecuaciones que describen las probabilidades de estado estable de la cadena. Como ejemplo, analiza un modelo de dos máquinas que se descomponen con distribución exponencial y se reparan.
Este documento explica la distribución de Poisson. Presenta 5 ejercicios numéricos que ilustran cómo calcular probabilidades para variables aleatorias con distribución de Poisson. Los ejercicios cubren cálculos como la probabilidad de que ocurran cierto número de eventos, la media y varianza esperadas, y comparaciones entre distribuciones de Poisson y binomial.
En esta unidad, estudiamos medidas de tendencia central y de dispersión para variables aleatorias, así como indicadores de correlación entre las mismas.
Este documento presenta los conceptos básicos de los modelos de filas de espera. Explica que las filas de espera se forman debido a un desequilibrio entre la demanda de un servicio y la capacidad del sistema para proporcionarlo. Describe los cuatro elementos comunes a todos los problemas de filas de espera: la población de clientes, la fila de espera, la instalación de servicio y la regla de prioridad. A continuación, presenta el modelo más simple de una sola fila y un solo servidor, y proporciona fórm
Este documento presenta los conceptos básicos de la teoría de colas, incluyendo las definiciones de sistemas de colas, llegadas de clientes, tiempos de servicio, y distribuciones de probabilidad comúnmente usadas como la exponencial y de Poisson. Explica los componentes clave de un sistema de colas como la cola, servicio e instalaciones, así como los costos asociados.
Este documento describe el problema de transporte, un tipo particular de problema de programación lineal. Explica cómo formular un modelo de programación lineal para resolver un ejemplo de problema de transporte con 3 plantas y 4 ciudades, minimizando los costos de envío de energía eléctrica. También presenta la formulación general de un problema de transporte, los métodos para obtener soluciones iniciales como el método de la esquina noroeste, y conceptos clave como loop.
Este documento describe un problema de transporte de energía eléctrica entre tres plantas generadoras y cuatro ciudades consumidoras. El objetivo es minimizar los costos de envío satisfaciendo la demanda máxima de cada ciudad. Se formula un modelo de programación lineal con variables de decisión que representan la cantidad enviada de cada planta a cada ciudad, sujeto a restricciones de capacidad de las plantas y satisfacción de la demanda de las ciudades.
Este documento describe las variables aleatorias y las distribuciones de probabilidad que se pueden usar para modelar el comportamiento probabilístico de variables en una simulación. Explica que las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas y cubren distribuciones como la binomial, Poisson, normal y exponencial. También describe cómo determinar la distribución que mejor se ajusta a un conjunto de datos usando pruebas estadísticas como la prueba chi-cuadrada.
El documento describe un sistema de servicio de descargas con una tasa de llegada promedio de 9 clientes por hora y un tiempo de servicio de 5 minutos por cliente. Se pide calcular las medidas de desempeño como el número esperado de clientes en la cola y en el sistema, así como los tiempos de espera promedio según el modelo M/G/1 de teoría de colas. También se pide calcular la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente deba esperar por el servicio.
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Un propietario de una cadena de tres supermercados compró cinco cargas de fresas frescas y quiere asignarlas a las tiendas para maximizar las ganancias esperadas. La tabla proporciona estimaciones de ganancias para cada tienda dependiendo de la cantidad de cargas asignadas. Usando programación dinámica, el propietario puede asignar las cargas de dos maneras para obtener una ganancia total esperada de 25 unidades: asignar 2 cargas a la primera tienda, 1 a la segunda y 2 a la tercera, o asignar 5 cargas
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Este documento presenta dos problemas resueltos sobre cadenas de Markov. En el primer problema, se modela una situación en la que se pintan bolas de una urna aleatoriamente como una cadena de Markov de 6 estados. Se encuentra la matriz de probabilidades de transición y se calculan dos probabilidades después de pintar bolas. En el segundo problema, se modela el pago de primas de seguro de una compañía en función de los accidentes pasados de un cliente como una cadena de Markov de 3 o 4 estados. Se calcula la prima promedio pagada por un cliente en un año.
Este documento presenta 7 ejercicios resueltos sobre estimación por intervalos. En el primer ejercicio, se calcula un intervalo de confianza del 90% para la proporción de minerales de un tipo específico en una región, basado en una muestra de 125 minerales. Los ejercicios subsiguientes calculan intervalos de confianza para medias y proporciones poblacionales usando diferentes grados de confianza y tamaños de muestra. Los ejercicios ilustran cómo construir intervalos de confianza para estimar parámetros
Este documento describe el método de mínimos cuadrados, que es la técnica más efectiva para determinar los parámetros de una ecuación lineal a partir de datos experimentales. El método implica minimizar la suma de los cuadrados de los residuos entre los valores medidos y los calculados por la ecuación propuesta. Se ilustra con un ejemplo del cálculo de las ventas proyectadas de una empresa para los próximos años.
La distribución binomial describe el número de éxitos en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes. El documento presenta 5 ejercicios que aplican la distribución binomial para calcular probabilidades de diferentes escenarios, como lanzar una moneda o seleccionar llantas de un cargamento. Se calculan medidas como la media, varianza y desviación estándar para cuantificar los resultados.
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Este documento explica la distribución de Poisson. Presenta 5 ejercicios numéricos que ilustran cómo calcular probabilidades para variables aleatorias con distribución de Poisson. Los ejercicios cubren cálculos como la probabilidad de que ocurran cierto número de eventos, la media y varianza esperadas, y comparaciones entre distribuciones de Poisson y binomial.
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Este documento presenta los conceptos básicos de los modelos de filas de espera. Explica que las filas de espera se forman debido a un desequilibrio entre la demanda de un servicio y la capacidad del sistema para proporcionarlo. Describe los cuatro elementos comunes a todos los problemas de filas de espera: la población de clientes, la fila de espera, la instalación de servicio y la regla de prioridad. A continuación, presenta el modelo más simple de una sola fila y un solo servidor, y proporciona fórm
Este documento presenta los conceptos básicos de la teoría de colas, incluyendo las definiciones de sistemas de colas, llegadas de clientes, tiempos de servicio, y distribuciones de probabilidad comúnmente usadas como la exponencial y de Poisson. Explica los componentes clave de un sistema de colas como la cola, servicio e instalaciones, así como los costos asociados.
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Este documento describe un problema de transporte de energía eléctrica entre tres plantas generadoras y cuatro ciudades consumidoras. El objetivo es minimizar los costos de envío satisfaciendo la demanda máxima de cada ciudad. Se formula un modelo de programación lineal con variables de decisión que representan la cantidad enviada de cada planta a cada ciudad, sujeto a restricciones de capacidad de las plantas y satisfacción de la demanda de las ciudades.
El documento describe un problema de optimización para maximizar la satisfacción de la demanda eléctrica de cuatro ciudades a partir de tres plantas de generación. Cada planta tiene una capacidad máxima de producción en millones de kW/h. El costo de enviar la electricidad depende de la distancia entre cada planta y ciudad. Se debe formular un programa lineal para maximizar la satisfacción de la demanda máxima en todas las ciudades utilizando la energía de las tres plantas de manera óptima.
1) Una empresa energética dispone de 3 plantas para satisfacer la demanda eléctrica de 4 ciudades. 2) Las plantas pueden generar entre 35 y 50 millones de kWh y la demanda máxima en las ciudades varía entre 20 y 45 millones de kWh. 3) Se formuló un modelo de programación lineal para asignar la generación de las plantas a las ciudades y minimizar los costos de transporte, obteniendo una solución óptima de $1,180 millones.
Este documento describe los problemas de transporte y su formulación como problemas de programación lineal. [1] Los problemas de transporte involucran la distribución de bienes desde orígenes a destinos para minimizar costos. [2] Se presenta un ejemplo de transporte de chícharos y su formulación matemática. [3] Finalmente, se describe el modelo general de problemas de transporte y sus características distintivas.
Este documento describe los problemas de transporte y su formulación como problemas de programación lineal. Explica que los problemas de transporte involucran la distribución de bienes desde orígenes a destinos para minimizar costos. Presenta un ejemplo de transporte de chícharos y formula el problema general de transporte. Finalmente, destaca que los problemas de transporte tienen una estructura matricial especial que permite resolverlos de manera más eficiente que el método simplex general.
Este documento describe tres problemas de programación lineal especiales: transporte, asignación y transbordo. En el problema de transporte, el objetivo es determinar la cantidad óptima de bienes a transportar entre puntos de origen y destino para minimizar los costes. En el problema de asignación, los recursos deben asignarse a tareas de forma que cada recurso realice una tarea y cada tarea sea realizada por un recurso, minimizando los costes. Estos problemas tienen una estructura que permite algoritmos eficientes para resolverlos, incluso con millones de variables.
El documento introduce conceptos básicos de programación entera y métodos para resolver problemas con variables enteras como el método de ramificación y acotamiento y el método de los planos de corte. Explica cómo utilizar variables binarias para modelar problemas que involucran decisiones de sí o no, como problemas de presupuesto de capital, costos fijos y cobertura de conjuntos. También cubre cómo modelar restricciones alternativas y relaciones lógicas entre alternativas usando variables binarias.
Este documento presenta una introducción a la programación no lineal. En particular, explica que este tipo de problemas de optimización involucran funciones objetivo y/o restricciones no lineales. Luego, provee varios ejemplos de problemas de programación no lineal, incluyendo asignación de recursos con rendimientos decrecientes, ajuste de curvas de datos, localización de instalaciones y optimización de carteras de inversión. Finalmente, resume algunas propiedades básicas de este tipo de problemas, como la existencia y unicidad de soluciones
Este documento presenta un problema de modelo de transporte para una empresa energética colombiana que debe satisfacer la demanda eléctrica de cuatro ciudades a partir de cuatro plantas de generación. Se especifican las capacidades de producción de cada planta y la demanda de cada ciudad, así como los costos de transporte entre cada planta y ciudad. El objetivo es minimizar el costo total asignando la producción de cada planta para satisfacer la demanda respetando las restricciones de capacidad. El documento presenta el modelo matemático y la solución óptima
Pdf problemas-resueltos-de-programacion-lineal-asc compressfreddyarteaga6
Este documento presenta la resolución de varios problemas de programación lineal mediante el uso de gráficos. El primer problema involucra determinar el número de días que deben trabajar dos minas para producir la cantidad requerida de mineral al menor costo. Los otros problemas tratan sobre asignar trabajadores, construir viviendas, transportar arena y producir máquinas perforadoras de manera óptima sujeto a restricciones de costos, capacidad y demanda. En todos los casos se formulan funciones objetivo y restricciones para luego graficar la región factible
Este documento presenta un problema de optimización de transporte para una empresa energética colombiana que debe satisfacer la demanda eléctrica de cuatro ciudades a partir de cuatro plantas de generación. Se describen las capacidades de producción de cada planta y la demanda de cada ciudad, así como los costos de transporte entre cada planta y ciudad. Se formulan un modelo matemático y restricciones para minimizar los costos totales de transporte utilizando el método de Voguel para resolver el problema.
1) Rodrigo usó notación científica y leyes de exponentes para calcular rápidamente cuánto dinero recibe el gobierno por el impuesto del agua potable basado en el número de habitantes y el monto promedio pagado por persona.
2) Las leyes de exponentes hacen que las operaciones matemáticas sean más fáciles, como sumar y restar exponentes en multiplicación y división respectivamente.
3) La fuerza de atracción entre dos cuerpos se calcula aplicando las leyes de exponentes a los números en notación cientí
Unmsm fisi - problema de transporte - io1 cl13 transporteJulio Pari
Este documento presenta el problema de transporte, donde se busca determinar el costo mínimo para enviar productos desde puntos de origen a puntos de destino sujetos a restricciones de oferta y demanda. Describe el modelo matemático como un problema de programación lineal, con variables de decisión que representan las cantidades enviadas entre cada origen y destino, y restricciones de equilibrio de oferta y demanda. El objetivo es minimizar el costo total de transporte.
Este documento presenta los conceptos básicos de la programación lineal entera. Explica que en este tipo de problemas todas o algunas variables deben ser enteros o binarios. También introduce el concepto clave de relajación de un problema, el cual elimina las restricciones de valores enteros o binarios. Finalmente, proporciona algunos ejemplos comunes de problemas de programación lineal entera como la asignación de capital y problemas de costos fijos.
Este problema de programación lineal busca minimizar el costo de una campaña publicitaria que requiere al menos 30 millones de mujeres y 24 millones de hombres como audiencia. Las variables de decisión son el número de anuncios en programas de corazón y de fútbol, con costos de €50,000 y €100,000 respectivamente. El objetivo es encontrar la combinación óptima de anuncios que cumpla con los requisitos de audiencia al menor costo posible.
Este problema de programación lineal busca minimizar el coste de una campaña publicitaria que incluye anuncios en programas de corazón y partidos de fútbol. Las variables de decisión son el número de anuncios en cada programa, sujetas a restricciones sobre el número mínimo de espectadores por género y un límite de coste. El objetivo es encontrar los valores óptimos de los anuncios que minimicen el gasto total.
Este documento presenta un problema de programación lineal en el que una empresa quiere minimizar el costo de una campaña publicitara en televisión al comprar tiempos de anuncios en dos tipos de programas. La empresa debe decidir la cantidad de anuncios en cada programa para alcanzar ciertos umbrales de audiencia femenina y masculina al menor costo posible.
Este documento resume un modelo de programación lineal para la distribución de motores diésel desde puertos a plantas de ensamblaje en Ecuador. El objetivo es minimizar los costos totales de distribución utilizando la oferta disponible en los puertos y satisfaciendo la demanda de las plantas. El modelo contiene una función objetivo que suma los costos de cada ruta posible, y restricciones en la oferta de los puertos y la demanda de las plantas. La solución utiliza el método simplex en Solver para encontrar la distribución ópt
Este documento presenta un problema de optimización de una empresa energética colombiana que debe satisfacer la demanda eléctrica de cuatro ciudades a menor costo. La empresa cuenta con cuatro plantas de generación con capacidades definidas. Se plantea un modelo de programación lineal de transporte para asignar la generación de cada planta a cada ciudad, minimizando los costos de transporte. El documento describe el modelo matemático con función objetivo y restricciones de capacidad, y resume los pasos para resolver el problema usando el método del rincón noroeste.
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1. Fundamentos de Investigaci´n de Operaciones
o
El Problema de Transporte
Septiembre 2002
El Problema de Transporte corresponde a un tipo particular de un problema de programaci´n o
lineal. Si bien este tipo de problema puede ser resuelto por el m´todo Simplex, existe un algoritmo
e
simplificado especial para resolverlo.
1 Formulaci´n del Problema de Transporte
o
1.1 Ejemplo de Formulaci´n
o
A modo de ejemplo, construyamos el modelo de programaci´n lineal para el siguiente problema.
o
Ejemplo 1. Una empresa energ´tica dispone de tres plantas de generaci´n para satisfacer la de-
e o
manda el´ctrica de cuatro ciudades. Las plantas 1, 2 y 3 pueden satisfacer 35, 50 y 40 millones de
e
[kWh] respectivamente. El valor m´ximo de consumo ocurre a las 2 PM y es de 45, 20, 30 y 30
a
millones de [kWh] en las ciudades 1, 2, 3 y 4 respectivamente. El costo de enviar 1 [kWh] depende
de la distancia que deba recorrer la energ´ La siguiente tabla muestra los costos de env´ unitario
ıa. ıo
desde cada planta a cada ciudad. Formule un modelo de programci´n lineal que permita minimizar
o
los costos de satisfacci´n de la demanda m´xima en todas las ciudades.
o a
Hacia
Oferta
Desde Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4
(Millones kWh)
Planta 1 8 6 10 9 35
Planta 2 9 12 13 7 50
Planta 3 14 9 16 5 40
Demanda
45 20 30 30
(Millones kWh)
En primer lugar debemos definir las variables de decisi´n necesarias para representar las posibles
o
decisiones que puede tomar la empresa energ´tica . En este caso, corresponde a la cantidad de
e
energ´ que se debe enviar desde cada planta a cada ciudad, luego para i = 1 . . . 3 y j = 1 . . . 4 :
ıa
xij = n´mero de millones de [kWh] producidos en la planta i enviadas a ciudad j
u
En t´rminos de ´stas variables, el costo total de entregar energ´ a todas las ciudades es:
e e ıa
8x11 + 6x12 + 10x13 + 9x14 (Costo de enviar energ´ desde la Planta 1)
ıa
+9x21 + 12x22 + 13x23 + 7x24 (Costo de enviar energ´ desde la Planta 2)
ıa
+14x31 + 9x32 + 16x33 + 5x34 (Costo de enviar energ´ desde la Planta 3)
ıa
El problema tiene dos tipos de restricciones. En primer lugar, la energ´ total suministrada por cada
ıa
planta no puede exceder su capacidad. En este caso se habla de restricciones de oferta o suministro.
1
2. Como existen tres puntos de oferta o sumistro, existen tres restricciones:
x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 35 (Restricci´n de oferta de la Planta 1)
o
x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 50 (Restricci´n de oferta de la Planta 2)
o
x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 40 (Restricci´n de oferta de la Planta 3)
o
En segundo lugar, se deben plantear las restricciones que permitan asegurar que se satisfaga la
demanda en las cuatro ciudades. As´ las restricciones de demanda para cada punto de demanda
ı,
quedan:
x11 + x21 + x31 ≥ 45 (Restricci´n de demanda de la Ciudad 1)
o
x12 + x22 + x32 ≥ 20 (Restricci´n de demanda de la Ciudad 2)
o
x13 + x23 + x33 ≥ 30 (Restricci´n de demanda de la Ciudad 3)
o
x14 + x24 + x34 ≥ 30 (Restricci´n de demanda de la Ciudad 4)
o
Evidentemente, cada xij debe ser no negativo, por lo tanto se agregan las restricciones xij ≥ 0
donde i = 1 . . . 3 y j = 1 . . . 4. M´s adelante demostraremos que la soluci´n de este problema es
a o
z = 1020, x12 = 10, x13 = 25, x21 = 45, x23 = 5, x32 = 10 y x34 = 30. El resto de las variables vale
cero.
Por otro lado, es posible construir una representaci´n gr´fica del problema:
o a
Puntos de Oferta Puntos de Demanda
x 11 =
0 Ciudad 1 d1 = 45
45
=
x 21 0
s1 = 35 Planta 1 x1 =
2 10 1
=
x x3
13
=
25
x 22 =
0 Ciudad 2 d2 = 20
10
=
x 32
s2 = 50 Planta 2
x2 =
3 5
Ciudad 3 d3 = 30
0 x
x 33 = 14
=
0
s3 = 40 Planta 3 x
24
=
0
x3 =
4 30
Ciudad 4 d4 = 30
1.2 Formulaci´n General
o
Un problema de transporte queda definido por la siguiente informaci´n:
o
1. Un conjunto de m puntos de oferta. Cada punto de oferta i tiene asociado una oferta s i .
2. Un conjunto de n puntos de demanda. Cada punto de demanda j tiene asociada una demanda
dj .
3. Cada unidad enviada desde un punto de oferta i a un punto de demanda j tiene un costo
unitario de transporte cij
Consideremos:
xij = n´mero de unidades enviadas desde el punto de oferta i al punto de demanda j
u
2
3. Luego, la formulaci´n general del problema de transporte queda:
o
i=m j=n
Min i=1 j=1 cij xij
st
j=n
j=1 xij ≤ si (i = 1 . . . m) (Restricciones de oferta)
i=m
i=1 xij ≥ dj (j = 1 . . . n) (Restricciones de demanda)
xij ≥ 0 (i = 1 . . . m; j = 1 . . . n) (Restricciones de signo)
Si se satisface:
i=m j=n
si = dj
i=1 j=1
se dice que el problema est´ balanceado. En el caso del ejemplo anterior, se verifica que tando la
a
suma de ofertas como las de las demandas es igual a 125. En el caso de un problema de transporte
balanceado todas las restricciones estar´n al l´
a ımite, por lo tanto la formulaci´n queda:
o
i=m j=n
Min i=1 j=1 cij xij
st
j=n
j=1 xij = si (i = 1 . . . m) (Restricciones de oferta)
i=m
i=1 xij = dj (j = 1 . . . n) (Restricciones de demanda)
xij ≥ 0 (i = 1 . . . m; j = 1 . . . n) (Restricciones de signo)
1.3 Problemas de Transporte no Balanceados
Si la oferta total supera a la demanda total, se puede balancear el problema de transporte incorpo-
rando un punto de demanda artificial o dummy que tenga como demanda el excedente de oferta del
problema. Como las asignaciones al punto artificial no son reales, se le asigna un costo unitario de
cero. En general, el costo unitario no necesariamente debe ser igual a cero, basta co que tenga igual
valor a todos los puntos de oferta disponibles de forma de no generar preferencias. Por simplicidad,
se prefiere emplear cero. Para ilustrar el balanceo de un problema no balanceado, supongamos en
el ejemplo anterior que la demanda de la ciudad 1 disminuye a 40 [kWh]. La siguiente figura ilustra
la incoporaci´n del punto de demanda artificial y entrega la soluci´n respectiva:
o o
Puntos de Oferta Puntos de Demanda
x 11 =
0 Ciudad 1 d1 = 40
40
=
x 21
s1 = 35 Planta 1 x12 = 15
x
13 =
x
14
20
Ciudad 2 d2 = 20
= =0
0 x22 5
=
x 32
x23 = 10
s2 = 50 Planta 2 Ciudad 3 d3 = 30
x2
0 4 =0
=
31 =0
x x33
Ciudad 4 d4 = 30
x34 = 30
x
s3 = 40 Planta 3 x3 =
5 5
x
25
=
15
=
0
0
Artificial d5 = 5
3
4. Una forma m´s pr´ctica de representar un problema de transporte es mediante un tableau de trans-
a a
porte. Una celda de la fila i y la columna j representa la variable xij . Se suele incorporar en la
esquina superior derecha de cada celda, el costo unitario cij de la combinaci´n i − j. En general, el
o
tableau queda:
Oferta
c11 c12 c1n
··· s1
c21 c22 c2n
··· s2
.
. .
. .
. .
.
. . . .
cm1 cm2 cmn
··· sm
Demanda d1 d2 ··· dn
Construyendo el tableau para el ejemplo anterior (caso balanceado), introduciendo la soluci´n
o
´ptima, se tiene:
o
Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Oferta
8 6 10 9
Planta 1 10 25 35
9 12 13 7
Planta 2 45 5 50
14 9 16 5
Planta 3 10 30 40
Demanda 45 20 30 30
En este caso se puede verificar que el problema est´ balanceado comprobando que la suma de la
a
ultima columna y la suma de la ultima de la fila es id´ntica.
´ ´ e
As´ como un problema de transporte puede no estar balanceado cuando la demanda es inferior
ı
a la oferta, tambi´n es posible que la demanda supere a la oferta. En este caso, se recurre a un
e
punto de oferta artificial co valor de oferta equivalente a la diferencia entre oferta y demanda, de
modo de balancear el problema. En la mayor´ de las situaciones, el hecho de no satisfacer total-
ıa
mente la demanda puede significar alg´n tipo de costo. Por lo tanto, en ´stos casos el costo unitario
u e
de las casillas ficticias suele no ser cero y puede variar de un punto de demanda a otro.
2 Resoluci´n del Problema de Transporte
o
2.1 Soluci´n Inicial
o
Consideremos un problema de transporte balanceado con m puntos de oferta y n puntos de demanda.
De acuerdo a la formulaci´n vista anteriormente, el problema tendr´ m+n restricciones de igualdad.
o a
Para proceder a describir algunos m´todos para encontrar una primera soluci´n inicial, es impor-
e o
tante observar que si un conjunto de valores para las variables xij satisface todas las restricciones
salvo una, autom´ticamente satisface la otra restricci´n. Por ejemplo consideremos que en el ejem-
a o
plo anterior se sabe que los valores de las varibles satisfacen todas las restricciones, salvo la primera
restricci´n de oferta. Por lo tanto, los valores de las xij satisfacen d1 + d2 + d3 + d4 = 125 millones
o
de [kWh] y proveen s2 + s3 = 125 − s1 = 90 millones de [kWh] de las plantas 2 y 3. Por lo tanto,
la planta 1 debe proveer 125 − (125 − s1 ) = 35 millones de [kWh], luego los valores de xij tambi´n e
satisfacen la primera restricci´n de oferta.
o
4
5. En lo sucesivo, para resolver el problema de transporte, consideraremos que se satisfacen m + n − 1
restricciones, omitiendo alguna. En forma arbitraria, omitiremos la primera restricci´n de oferta.
o
Evidentemente, cualquier colecci´n de m + n − 1 variables no necesariamente es una soluci´n factible
o o
para el problema.
Consideremos el siguiente problema de transporte (omitiremos los costos unitarios):
4
5
3 2 4
En forma matricial, las restricciones del problema de transporte balanceado anterior puede ser escrito
de la siguiente forma:
x11
1 1 1 0 0 0 x12 4
0 0 0 1 1 1 5
1 0 0 1 0 0 x13 = 3
x21
0 1 0 0 1 0 2
x22
0 0 1 0 0 1 4
x23
Eliminando la primera restricci´n de oferta el sistema se reduce a:
o
x11
0 0 0 1 1 1 x12
5
1 0 0 1 0 0 x13 3
0 1 0 0 1 0 x21 =
2
0 0 1 0 0 1 x22 4
x23
Como el sistema anterior tiene 4 restricciones y 6 variables posee infinitas soluciones, sin embargo,
siempre tendr´ como soluci´n al menos 4 variables no nulas.
a o
Para obtener una soluci´n b´sica factible en forma simple introduciremos el concepto de loop.
o a
Definici´n 1 Un orden secuencial de al menos cuatro celdas distintas se denomina loop si:
o
1. Dos celdas consecutivas est´n en la misma columna o en la misma fila.
a
2. No tiene tres celdas consecutivas en una misma columna o en una misma fila.
3. La ultima celda de la secuencia tiene una fila o columna com´n con la primera celda de la
´ u
secuencia.
Las figuras siguientes muestran algunos tipos de loop en dos tableaux de transporte:
5
6. Las siguientes figuras muestran algunos ejemplos de secuencias de celdas que no conforman un loop,
pues no satisfacen todas las condiciones.
Teorema 1 En un problema de transporte balanceado con m puntos de oferta y n puntos de de-
manda, las celdas correspondientes a un conjunto de m + n − 1 variables no contienen un loop s´ y
ı
s´lo s´ las n + m − 1 variables constituyen una soluci´n inicial.
o ı o
El teorema anterior se desprende del hecho de que en un conjunto de m+n−1 celdas no contienen un
loop s´ y s´lo s´ las m + n − 1 columnas correspondientes a las celdas son linealmente independientes.
ı o ı
Los m´todos m´s empleados para obtener soluciones iniciales son:
e a
• El m´todo de la Esquina Noroeste.
e
• El m´todo del Costo M´
e ınimo.
• El m´todo de Vogel.
e
A continuaci´n revisaremos s´lo el m´todo de la Esquina Noroeste y el de Vogel.
o o e
M´todo de la Esquina Noroeste.
e
Para encontrar una soluci´n inicial se comienza por la esquina superior izquierda (noroeste) del
o
tableau de transporte intentando asignar la m´xima cantidad posible a x 11 . Evidentemente, el valor
a
m´ximo de x11 debe ser el menor entre s1 y d1 . Si x11 = s1 , se puede descartar la primera fila pues
a
ya no podr´ asignarse m´s desde el primer punto de oferta, se avanza a la siguiente fila. Al mismo
a a
tiempo, se debe cambiar d1 por d1 − s1 , de forma de indicar la cantidad de demanda no satisfecha en
el primer punto de demanda. En caso que x11 = d1 , se debe descartar la primera columna y cambiar
s1 por s1 − d1 , avanzando una columna. Si x11 = d1 = s1 , se debe avanzar en una columna o en una
fila (pero no en ambas). Se asigna un cero en la direcci´n escogida y se descarta la otra alternativa.
o
El m´todo contin´a aplicando el mismo criterio desde la esquina noroeste del tableau restante. Una
e u
vez que est´n asignadas toda de demanda y oferta disponible, se terminan las asignaciones y est´
a a
completa la asignaci´n inicial.
o
Apliquemos el m´todo al siguiente tableau (notar que no se incorporan los costos pues el m´todo
e e
no los emplea):
5
1
3
2 4 2 1
Comenzamos asignando la m´xima cantidad posible por fila o por columna en la esquina noroeste.
a
En este caso, controla la primera columna, luego:
2 3
× 1
× 3
0 4 2 1
A continuaci´n, avanzamos una columna y en esta celda controla la fila, por lo tanto queda:
o
6
7. 2 3 × × 0
× 1
× 3
0 1 2 1
En este caso, la esquina m´s noroeste disponible es la celda 2-2. Aqu´ la demanda y la oferta se
a ı,
igualan. Arbitrariamente se escoger´ la celda inferior de la misma columna para asignar un cero:
a
2 3 × × 0
× 1 × × 0
× 0 3
0 0 2 1
Luego, la celda m´s noroeste disponible es la 3-3. En esta celda, controla la demanda de 2 sobre la
a
oferta de 3, luego:
2 3 × × 0
× 1 × × 0
× 0 2 1
0 0 0 1
Finalmente, se completa el tableau haciendo la ultima asignaci´n factible:
´ o
2 3 × × 0
× 1 × × 0
× 0 2 1 0
0 0 0 0
En el tableau final se puede verificar las m + n − 1 asignaciones. Adem´s se observa que la secuencia
a
de celdas no no conforman ning´n loop, por lo tanto, de acuerdo al teorema corresponde a una
u
asignaci´n inicial factible.
o
M´todo de Vogel.
e
El m´todo comienza calculando por cada columna y por cada fila el castigo o penalty. El cas-
e
tigo se calcula como la diferencia entre los dos costos menores en la columna o en la fila seg´nu
corresponda. A continuaci´n, se determina la fila o columna con un mayor valor de castigo. Luego,
o
se selecciona como variable basal la celda con menor costo de la fila o columna, seg´n corresponda,
u
y se le asigna la m´xima cantidad posible. Una vez realizada la asignaci´n, se descarta la fila o
a o
columna cuya oferta o demanda haya sido completa. Se recalcula la demanda u oferta disponible
en la fila o columna. La primera asignaci´n se ha completado.
o
Se vuelven a calcular los castigos por fila y por columna y se repite el procedimiento descrito
hasta completar las asignaciones posibles en el tableau.
La ventaja del m´todo de Vogel por sobre el de la Esquina Noroeste es que va adelante algunas
e
iteraciones y por lo tanto se obtiene una soluci´n inicial mejor. Eventualmente puede ocurrir que
o
aplicando el m´todo se llegue directamente a la soluci´n ´ptima. La desventaja del m´todo de Vogel
e o o e
radica en que sin duda es m´s complejo que el de la esquina noroeste, por lo tanto es m´s dif´ de
a a ıcil
implementar y m´s proclive a errores en la aplicaci´n.
a o
Para ilustrar la aplicaci´n del m´todo veamos un ejemplo. Consideremos el siguiente tableau de
o e
transporte:
7
8. Oferta
6 7 8
10
15 80 78
15
Demanda 15 5 5
De acuerdo al m´todo, en primer lugar se calculan los castigos por fila y por columna:
e
Oferta Castigo
6 7 8
10 7−6=1
15 80 78
15 78 − 15 = 63
Demanda 15 5 5
Castigo 9 73 70
El mayor castigo entre filas y columnas se encuentra en la segunda columna. De ambas celdas, la
de m´ınimo costo es la de costo unitario de 7, buscando la m´xima asiganci´n por fila y por columna
a o
controla la columna con una signaci´n m´xima de 5 unidades.
o a
Oferta Castigo
6 7 8
5 5 8−6=2
15 80 78
× 15 78 − 15 = 63
Demanda 15 0 5
Castigo 9 - 70
De los castigos recalculados, el mayor corresponde a la tercera columna. En este caso la celda de
menor costo es la de la primera fila. Verificando la asignaci´n m´xima por fila y por columna,
o a
controla la fila con una asignaci´n m´xima de 5 unidades.
o a
Oferta Castigo
6 7 8
5 5 0 -
15 80 78
× × 15 -
Demanda 15 0 0
Castigo 9 - -
Luego, el unico castigo disponible (y por lo tanto el mayor) corresponde a la primera columna. En
´
este caso, el m´
ınimo costo corresponde a la primera fila. La m´xima cantidad posible a asignar por
a
columna es 15, pero por fila es 0. Por lo tanto, debemos asignar 0 unidades a la celda de menor
costo.
Oferta Castigo
6 7 8
0 5 5 0 -
15 80 78
× × 15 -
Demanda 15 0 0
Castigo - - -
Finalmente, no es posible calcular castigos y debemos asignar las unidades disponibles a la unica
´
celda libre. Luego:
8
9. Oferta Castigo
6 7 8
0 5 5 0 -
15 80 78
15 × × 0 -
Demanda 0 0 0
Castigo - - -
N´tese que el n´mero de asignaciones es exactamente igual a m + n − 1 = 2 + 3 − 1 = 5. Eventual-
o u
mente, el m´todo puede generar un n´mero inferior de asignaciones. En dicho caso se completa las
e u
m + n − 1 asignaciones con ceros. En el caso de que falte s´lo una asiganci´n, se puede ubicar un
o o
cero en cualquier casilla no asignada. En el caso que se requiera de dos o m´s ceros, la asignaci´n
a o
no es tan arbitraria. M´s adelante se definir´ qu´ criterio emplear en dichos casos.
a a e
Existen problemas de maximizaci´n que pueden ser considerados como problemas de Transporte.
o
En este caso, los coeficientes cij est´n asociado a los beneficios unitarios de la variable asociada a
a
la combinaci´n i − j y el objetivo es maximizar la suma total de los aportes individuales de las
o
variables. Se mantienen las restricciones de oferta y demanda.
En los casos de maximizaci´n, es preciso alterar los m´todos para obtener una soluci´n inicial
o e o
factible. En el caso del m´todo de la Esquina Noroeste, se debe intentar asignar la mayor cantidad
e
posible a las casillas con mayor cij . En el caso del m´todo de Vogel, las castigos se calculan entre
e
los dos mayores beneficios por fila y por columna. Al igual que el m´todo de la Esquina Noroeste,
e
se busca asignar la mayor cantidad posible a las casillas con mayor beneficio.
2.2 El M´todo Simplex del Problema de Transporte
e
A continuaci´n se expondr´n los pasos para aplicar el m´todo Simplex para el problema de Trans-
o a e
porte. La deducci´n y justificaci´n detallada de cada uno de los pasos se puede encontrar en los
o o
textos de la bibliograf´ de la asignatura.
ıa
Paso 1 Si el problema no est´ balanceado, balancearlo. Construir el tableau de transporte.
a
Paso 2 Encontrar una soluci´n inicial factible por el m´todo de la Esquina Noroeste o el de Vogel.
o e
Verificar las m + n − 1 asignaciones y completarlas si es necesario.
Paso 3 Plantear y resolver el sistema que se obtiene a trav´s de:
e
• Definir para cada fila del tableau la variable ui con (i = 1 . . . m).
• Definir para cada columna del tableau la variable vj con (j = 1 . . . n).
• Plantear para cada casilla asignada la ecuaci´n ui + vj = cij . Donde cij es el costo unitario
o
asociado a la casilla i − j.
• Asignar un valor arbitrario a una de las variables, por ejemplo u1 = 0.
Paso 4 Calcular en todas las casillas no asignadas (no b´sicas) eij = cij − ui − vj . Si todos los
a
eij ≥ 0 se ha encontrado el optimo. Si existe alg´n eij < 0, incorporar la variable con menor eij
´ u
siempre y cuando pueda formar un loop, en dicho caso, asignar el mayor valor posible de modo de
mantener las variables basales mayores o iguales a cero.
Paso 5 Si la soluci´n no es la optima, emplear la soluci´n del paso anterior para volver a plantear
o ´ o
y resolver el sistema (Paso 3). Seguir al Paso 4.
9
10. La variable eij representa el aporte neto unitario de la incorporaci´n de la variable i − j a la base.
o
Por lo tanto, si el problema es de maximizaci´n, la soluci´n ser´ ´ptima si todos los e ij < 0. En
o o ao
caso contrario, se ingresa a la base la variable con mayor eij que pueda formar un loop.
En el caso de que al emplear uno de los m´todos para obtener una soluci´n inicial falten dos o
e o
m´s asignaciones para completar las m + n − 1 asignaciones requeridas, los ceros deben ser ubicados
a
de tal forma que sea suficiente dar s´lo un valor arbitrario a las variables del sistema asociado a la
o
asignaci´n para poder resolverlo completamente.
o
Ilustremos el procedimiento resolviendo el tableau planteado para el problema del primer ejemplo.
En ese caso, mediante la Esquina Noroeste se obtuvo la siguiente soluci´n inicial:
o
Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Oferta
8 6 10 9
Planta 1 35 35
9 12 13 7
Planta 2 10 20 20 50
14 9 16 5
Planta 3 10 30 40
Demanda 45 20 30 30
A continuaci´n podemos plantear las variables del sistema asociado:
o
v1 v2 v3 v4
8 6 10 9
u1 35 35
9 12 13 7
u2 10 20 20 50
14 9 16 5
u3 10 30 40
45 20 30 30
Luego, las ecuaciones se plantean en las casillas asignadas:
u1 + v1 = 8 (1)
u2 + v1 = 9 (2)
u2 + v2 = 12 (3)
u2 + v3 = 13 (4)
u3 + v3 = 16 (5)
u3 + v4 = 5 (6)
Agregando la condici´n u1 = 0 se obtiene de (1) v1 = 8. Luego, de (2) u2 = 1. De (3) y de (4)
o
v2 = 11 y v3 = 12. Reemplazando en (5) se calcula u3 = 4. Finalmente, de (6) se obtiene v4 = 1. A
continuaci´n se calculan los eij en las casillas no b´sicas:
o a
e12 = 6 − 0 − 11 = −5
e13 = 10 − 0 − 12 = −2
e14 = 9−0−1 = 8
e24 = 7−1−1 = 5
e31 = 14 − 4 − 8 = 2
e32 = 9 − 4 − 11 = −6
Por lo tanto, el menor eij corresponde a e32 con valor −6. Lo que significa que por cada unidad
asignada a la variable x32 el efecto global neto es de −6, independientemente de que el costo asociado
a dicha casilla sea de 9. Veamos si existe un loop factible y el m´ximo valor α que podr´ tomar la
a ıa
variable.
10
11. 8 6 10 9
35 35
9 12 13 7
10 20 − α 20 + α 50
14 9 16 5
α 10 − α 30 40
45 20 30 30
Como las variables deben ser positivas, el valor de α debe ser tal que no introduzca una variable
negativa al tableau. En este caso, la condici´n que controla es 10 − α ≥ 0, por lo tanto α = 10.
o
Introducimos el valor de α y volvemos a plantear el sistema asociado:
v1 v2 v3 v4
8 6 10 9
u1 35 35
9 12 13 7
u2 10 10 30 50
14 9 16 5
u3 10 30 40
45 20 30 30
u1 + v1 = 8
u2 + v1 = 9
u2 + v2 = 12
u2 + v3 = 13
u3 + v2 = 9
u3 + v4 = 5
u1 = 0
Las unicas variables no b´sicas que tienen un eij < 0 son: e12 = −5, e24 = −1 y e13 = −2. Buscando
´ a
un loop para x12 y su m´ximo valor factible se obtiene:
a
8 6 10 9
35 − α α 35
9 12 13 7
10 + α 10 − α 30 50
14 9 16 5
10 30 40
45 20 30 30
De acuerdo al loop encontrado, el m´ximo valor para α es 10. Luego, volvemos a plantear el sistema
a
para las variables basales:
v1 v2 v3 v4
8 6 10 9
u1 25 10 35
9 12 13 7
u2 20 30 50
14 9 16 5
u3 10 30 40
45 20 30 30
11
12. u1 + v1 = 8
u1 + v2 = 6
u2 + v1 = 9
u2 + v3 = 13
u3 + v2 = 9
u3 + v4 = 5
u1 = 0
Resolviendo y evaluando los eij para cada variable no basal, el unico eij < 0 es e13 = −2. Verificando
´
que exista un loop y determinando el m´ximo valor posible se tiene:
a
8 6 10 9
25 − α 10 α 35
9 12 13 7
20 + α 30 − α 50
14 9 16 5
10 30 40
45 20 30 30
En este caso, para mantener las variables positivas α deber ser 25. Haciendo la actualizaci´n y
o
volviendo a resolver el sistema asociado se tiene:
v1 v2 v3 v4
8 6 10 9
u1 10 25 35
9 12 13 7
u2 45 5 50
14 9 16 5
u3 10 30 40
45 20 30 30
u1 + v2 = 6
u1 + v3 = 10
u2 + v1 = 9
u2 + v3 = 13
u3 + v2 = 9
u3 + v4 = 5
u1 = 0
Resolviendo el sistema, se determina que todos los eij son positivos, por lo tanto la incorporaci´n
o
de cualquier variable a la base aumentar´ el valor total de la funci´n objetivo. Como el problema
a o
es de minimizaci´n, se ha alcanzado el ´ptimo. Por lo tanto, el tableau final queda:
o o
8 6 10 9
10 25 35
9 12 13 7
45 5 50
14 9 16 5
10 30 40
45 20 30 30
12
13. La soluci´n corresponde exactamente a la entrega con anterioridad. La soluc´n ´ptima es:
o o o
x12 = 10
x13 = 25
x21 = 45
x23 = 5
x32 = 10
x34 = 30
x11 = x14 = x22 = x24 = x31 = x33 = 0
z = 6(10) + 10(25) + 9(45) + 13(5) + 9(10) + 5(30) = 1020
3 An´lisis de Sensibilidad en Problemas de Transporte
a
A continuaci´n se discustir´ tres tipos de an´lisis de sensibilidad de un problema de transporte:
o a a
Variaci´n 1 Cambios en los coeficientes de la funci´n objetivo de variables no b´sicas.
o o a
Variaci´n 2 Cambios en los coeficientes de la funci´n objetivo de variables b´sicas.
o o a
Variaci´n 3 Incrementos en un oferta y en una demanda.
o
Para ilustrar el an´lisis de sensibilidad sobre la soluci´n ´ptima de un problema de transporte
a o o
emplearemos la soluci´n obtenida en la secci´n anterior:
o o
v1 = 6 v2 = 6 v3 = 10 v4 = 2
8 6 10 9
u1 = 0 10 25 35
9 12 13 7
u2 = 3 45 5 50
14 9 16 5
u3 = 3 10 30 40
45 20 30 30
3.1 Variaci´n de Coeficientes en la Funci´n Objetivo de Variables No
o o
Basales
En este caso, simplemente se impone una variaci´n ∆ en el coeficiente de la variable x ij a modificar,
o
estudiando el rango de variaci´n admisible de modo que el eij respectivo mantenga su signo.
o
A modo de ejemplo, supongamos que se desea determinar a cuanto debe disminuir el costo de
env´ desde la Planta 1 a la Ciudad 1 de modo de incorporar esta combinaci´n a la soluci´n ´ptima.
ıo o o o
En este caso, un cambio del coeficiente c11 = 8 a c11 = 8 − ∆ no afecta los valores de los ui y
vj calculados previamente, por lo tanto:
e11 = (8 − ∆) − 0 − 6 = 2 − ∆
Como corresponde a un problema de minimizaci´n, para que x11 entre a la base debe cumplirse que
o
e11 ≤ 0, es decir, ∆ ≥ 2. Por lo tanto, el costo debe disminuir a menos de 6 para que se incorpore
a la soluci´n ´ptima. De todas formas, se debe verificar que la variable pueda generar un loop:
o o
13
14. v1 = 6 v2 = 6 v3 = 10 v4 = 2
8 6 10 9
u1 = 0 α 10 25 − α 35
9 12 13 7
u2 = 3 45 − α 5+α 50
14 9 16 5
u3 = 3 10 30 40
45 20 30 30
Por lo tanto la variable puede entrar a la base con valor de 25, el nuevo valor de la funci´n objetivo
o
ser´
ıa:
z k+1 = z k + eij × α = 1020 + (2 − ∆)25 ∆≥2
3.2 Variaci´n de Coeficientes en la Funci´n Objetivo de Variables Basales
o o
En este caso la situaci´n es m´s compleja pues una variaci´n del coeficiente de una variable basal
o a o
afectar´ el valor de los ui y los vj calculados previamente. En este caso, se debe volver a resolver el
a
sistema en t´rminos de la variaci´n ∆ del coeficiente de la variable basal, volver a calcular los e ij y
e o
determinar el rango de variaci´n admisible.
o
Supongamos por ejemplo que se desea determinar en cuanto podr´ aumentar el costo de env´
ıa ıo
desde la Planta 1 a la Ciudad 3 de modo de mantener la base ´ptima. En este caso, cambiamos
o
c13 = 10 por c13 = 10 + ∆ y volvemos a resolver el sistema:
u1 + v2 = 6
u1 + v3 = 10 + ∆
u2 + v1 = 9
u2 + v3 = 13
u3 + v2 = 9
u3 + v4 = 5
u1 = 0
De esta forma, se obtiene:
u1 = 0
v2 = 6
v3 = 10 + ∆
v1 = 6+∆
u2 = 3−∆
u3 = 3
v4 = 2
Luego, calculamos los eij para todas las variables no basales y sus restricciones:
e11 = 8 − u 1 − v1 = 2−∆ ≥ 0 → ∆≤2
e14 = 9 − u 1 − v4 = 7 ≥ 0
e22 = 12 − u2 − v2 = 3+∆ ≥ 0 → ∆ ≥ −3
e24 = 7 − u 2 − v4 = 2+∆ ≥ 0 → ∆ ≥ −2
e31 = 14 − u3 − v1 = 5−∆ ≥ 0 → ∆≤5
e33 = 16 − u3 − v3 = 3−∆ ≥ 0 → ∆≤3
Por lo tanto, la base ´ptima se mantiene para un rango de variaci´n: −2 ≥ ∆ ≥ 2, o bien,
o o
8 ≤ c13 ≤ 12.
14
15. 3.3 Incrementos en una Oferta y en una Demanda
Si tanto en alguna oferta si como en alguna demanda dj se produce un aumento de ∆, se mantiene
el balanceo del problema. En este caso, se demuestra que:
znuevo = zoriginal + ∆ × ui + ∆ × vj
La expresi´n anterior se obtiene a partir de que tanto los ui y los vj equivalen a menos el precio
o
sombra de la restricci´n asociada a cada origen i o destino j seg´n corresponda.
o u
Por ejemplo, si la oferta de la Planta 1 y la demanda de la Ciudad 2 crece en una unidad, se
tiene:
znuevo = 1020 + 1 × 0 + 1 × 6 = 1026
Una vez definido el nuevo valor de la funci´n objetivo, es importante determinar como cambian los
o
valores de las variables. Para ello se siguen las siguientes reglas:
1. Si xij es una variable b´sica, xij se incrementa en ∆.
a
2. Si xij es una variable no b´sica, se debe encontrar el loop que contenga a xij y algunas de las
a
variables basales. Encontrar la primera celda de la fila i (distinta de xij ) y aumentar su valor
en ∆. Continuar el loop, incrementando y disminuyendo en ∆ en forma alternada.
Para ilustrar la primera situaci´n, supongamos que s1 y d2 aumentan en 2. Como x12 es una variable
o
basal, el nuevo tableau ´ptimo queda:
o
v1 = 6 v2 = 6 v3 = 10 v4 = 2
8 6 10 9
u1 = 0 12 25 37
9 12 13 7
u2 = 3 45 5 50
14 9 16 5
u3 = 3 10 30 40
45 22 30 30
El nuevo valor de la funci´n objetivo es: 1020 + 2u1 + 2v2 = 1032
o
Para ilustrar la segunda situaci´n, supongamos que s1 y d1 aumentan en 1. Como x11 es una
o
variable no basal, debemos determinar el loop que incorpora a la celda (1, 1). En este caso, el loop
es (1, 1) − (1, 3) − (2, 3) − (2, 1). La primera celda del loop que est´ en la fila i distinta de (1, 1) es
a
(1, 3). Entonces, se debe agregar ∆ a x13 . Continuando con el loop, se debe disminuir en ∆ x23 y
volver a aumentar en ∆ a x21 . El nuevo tableau ´ptimo se muestra a continuaci´n:
o o
v1 = 6 v2 = 6 v3 = 10 v4 = 2
8 6 10 9
u1 = 0 10 26 36
9 12 13 7
u2 = 3 46 4 50
14 9 16 5
u3 = 3 10 30 40
46 20 30 30
El nuevo valor de la funci´n objetivo es: 1020 + u1 + v1 = 1026.
o
15
16. 4 El Problema de Transbordo
Un problema de transporte permite s´lo env´ directamente desde los puntos de origen a los puntos
o ıos
de demanda. En muchas situaciones, sin embargo, existe la posibilidad de hacer env´ a trav´s de
ıos e
puntos intermedios (puntos de transbordo). En este caso se habla de un problema de transbordo. A
continuaci´n veremos como la soluci´n a de problema de transbordo puede ser encontrada a trav´s
o o e
de un problema de transporte.
Definiremos los puntos de oferta como aquellos puntos desde donde s´lo se puede despachar unidades.
o
Similarmente, un punto de demanda es un punto donde s´lo se pueden recibir unidades. Un punto
o
de transbordo es punto que puede recibir y enviar unidades a otros puntos. Veamos un ejemplo:
Ejemplo 2. Una f´brica posee dos plantas de manufactura, una en Memphis y otra en Denver.
a
La planta de Memphis puede producir hasta 150 unidades al d´ la de Denver hasta 200 unidades al
ıa,
d´ Los productos son enviados por avi´n a Los Angeles y Boston. En ambas ciudades, se requieren
ıa. o
130 unidades diarias. Existe una posibilidad de reducir costos enviando algunos productos en primer
lugar a New York o a Chicago y luego a sus destinos finales. Los costos unitarios de cada tramo
factible se ilustran en la siguiente tabla:
Hacia
Desde Memphis Denver N.Y. Chicago L.A. Boston
Memphis 0 - 8 13 25 28
Denver - 0 15 12 26 25
N.Y. - - 0 6 16 17
Chicago - - 6 0 14 16
L.A. - - - - 0 -
Boston - - - - - 0
La f´brica desea satisfacer la demanda minimizando el costo total de env´
a ıo. En este problema,
Memphis y Denver son puntos de oferta de 150 y 200 unidades respectivamente. New York y Chicago
son puntos de transbordo. Los Angeles y Boston son puntos de demanda de 130 unidades cada uno.
Esquem´ticamente, la situaci´n es la siguiente:
a o
Memphis Los Angeles
New York
Chicago
Denver Boston
A continuaci´n construiremos un problema de transporte balanceado a partir del problema de trans-
o
bordo. Para ello podemos seguir los siguientes pasos (suponiendo que la oferta excede a la demanda):
Paso 1 Si es necasario, se debe agregar un punto de demanda dummy (con oferta 0 y demanda
igual al excedente) para balancear el problema. Los costos de env´ al punto dummy deben ser cero.
ıo
Sea s la oferta total disponible.
Paso 2 Construir un tableau de transporte siguiendo las siguientes reglas:
16
17. • Incluir una fila por cada punto de oferta y de transbordo.
• Incluir una columna por cada punto de demanda y de transbordo.
• Cada punto i de oferta debe poseer una oferta igual a su oferta original s i . Cada punto de
demanda j debe poseer una demanda igual a su demanda original dj .
• Cada punto de transbordo debe tener una oferta igual a su oferta original + s y una demanda
igual a su demanda original + s. Como de antemano no se conoce la cantidad que transitar´ a
por cada punto de transbordo, la idea es asegurar que no se exceda su capacidad. Se agrega s
a la oferta y a la demanda del punto de transbordo para no desbalancear el tableau.
En el ejemplo, s = 150 + 200 = 350. La demanda total es 130 + 130 = 260. Luego, el punto dummy
debe tener una demanda de 350 − 260 = 90. Como en el ejemplo los puntos de transbordo no tienen
ni demanda ni oferta por s´ mismos, la oferta y demanda en el tableau deber ser igual a s. Una vez
ı
planteado el tableau, se pueden emplear los m´todos vistos anteriormente para obtener una soluci´n
e o
inicial factible y obtener la soluci´n ´ptima. En este caso el tableau queda (inclu´ la soluci´n
o o ıda o
´ptima):
o
N.Y. Chicago L.A. Boston Dummy Oferta
8 13 25 28 0
Memphis 130 20 150
15 12 26 25 0
Denver 130 70 200
0 6 16 17 0
N.Y. 220 130 350
6 0 14 16 0
Chicago 350 350
Demanda 350 350 130 130 90
Para interpretar la soluci´n anterior, es preciso revisar cuidadosamente las combinaciones asignadas.
o
De la primera fila, vemos que de Memphis s´lo se despacharon 130 unidades a New York del total
o
de 150 disponibles, el excedente de 20 unidades est´ asignado al punto artificial. De la segunda
a
fila se desprende que de Denver se enviaron 130 unidades a Boston del total de 200 disponibles,
quedando 70 asignadas al punto dummy. En la tercera fila vemos que se enviaron desde el punto de
transbordo en New York 130 unidades a Los Angeles. La asignaci´n de 220 de N.Y. a N.Y. significa
o
que del total de unidades en tr´nsito, 220 no pasaron por dicho nodo de transbordo, o bien, que no
a
se emplearon 220 unidades de la capacidad del punto. Finalmente, en la cuarta fila, la asignaci´n o
de 350 del punto de transbordo de Chicago a Chicago representa simplemente que no se emple´ el o
punto de transbordo. Gr´ficamente, la soluci´n ´ptima resulta:
a o o
Memphis 130 130 Los Angeles
New York
Chicago
Denver Boston
130
17
18. 5 Ejercicios
1. Una f´brica de zapatos predice las siguientes demandas por sus pares de zapatos para los
a
pr´ximos 6 meses: mes 1, 200; mes 2, 260; mes 3, 240; mes 4, 340; mes 5, 190; mes 6, 150. El
o
costo de fabricar una par de zapatos es de US$ 7 con horas normales de trabajo y de US$ 11
con horas de sobretiempo. Durante cada mes, la producci´n en horario normal est´ limitada
o a
a 200 pares de zapatos y la producci´n con sobretiempo est´ limitada a 100 pares. Guardar
o a
un par de zapatos en inventario cuesta US $ 1 por mes.
• Formule un modelo que permita obtener una soluci´n ´ptima.
o o
• Determine una soluci´n factible y verifique si es la soluci´n ´ptima.
o o o
2. Debido a las fuertes lluvias de los ultimos d´ en el sur, la empresa stop-lluvia, dedicada al
´ ıas
rubro de los paraguas, ha visto un aumento en la demanda de sus productos. Los paraguas se
arman en dos plantas, seg´n la siguiente tabla:
u
Planta Capacidad de producci´n [paragua]
o Costo de producci´n [US$/paragua]
o
A 2600 2300
B 1800 2500
Cuatro cadenas de multitiendas est´n interesadas en adquirir los paraguas, con las siguientes
a
caracter´
ısticas:
Cadena M´xima demanda [paragua]
a Precio dispuesto a pagar [US$/paragua]
1 1800 3900
2 2100 3700
3 550 4000
4 1750 3600
El costo de traslado a cada tienda (fijo) se muestra en la siguiente tabla:
Costo Fijo [US$] 1 2 3 4
A 600 800 1100 900
B 1200 400 800 500
• Determinar la mejor decisi´n de entrega, para la empresa productora de paraguas.
o
• Si todas las tiendas acuerdan pagar lo mismo por cada paragua, plantee el problema
desde el punto de vista de la minimizaci´n de lo que deja de ganar por no elegir lo que
o
m´s conviene.
a
• ¿ Cu´l ser´ la mejor asignaci´n si el costo de traslado desde ambas plantas es el mismo
a ıa o
para todas las tiendas ?
3. Se desataron tres incendios en Santiago. Los incendios 1 y 2 requieren de la participaci´n de
o
dos carros bomba y el incendio 3 requierre tres carros bombas. Existen cuatro compa˜´ de
nıas
bomberos que pueden responder a estos incendios. La compa˜´ 1 tiene tres carros bombas
nıa
disponibles, las compa˜´ 2 y 3 tienen dos carros bombas cada una y la compa˜´ 4 tiene
nıas nıa
doce carros bombas disponibles. El tiempo en minutos que toma un carro bomba en viajar
desde cada compa˜´ al lugar de cada incendio se muestra en la siguiente tabla:
nıa
Incendio 1 Incendio 2 Incendio 3
Compa˜´
nıa 1 6 7 9
Compa˜´
nıa 2 5 8 11
Compa˜´
nıa 3 6 9 10
Compa˜´
nıa 4 7 10 12
18
19. El costo de respuesta a cada incendio puede ser estimado seg´n el tiempo que tardan en llegar
u
al lugar de incendio cada uno de los carros bombas requeridos. Sea Tij el tiempo (en minutos)
cuando el j−´simo carro bomba llega al incendio i. Luego, el costo de respuesta a cada incendio
e
se puede estimar de la siguiente manera:
• Incendio 1: 4 × T11 + 6 × T12
• Incendio 2: 7 × T21 + 3 × T22
• Incendio 3: 9 × T31 + 8 × T32 + 5 × T33
(a) Formule y resuelva el problema que minimice los costos de respuesta asociados a la
asignaci´n de los carros bombas a los incendios.
o
(b) ¿ Podr´ ser v´lido lo obtenido anteriormente si el costo del incendio 1 fuese 6 × T 11 +
ıa a
4 × T12 ?
4. Usted ha sido encargado de dise˜ar un plan de producci´n ventajoso para una empresa durante
n o
las 4 estaciones del a˜o. Esta empresa tiene una capacidad de producci´n para manufacturar
n o
30000 unidades de un producto no perecible en Primavera y Oto˜o de este a˜o. Debido a
n n
enfermedades, vacaciones y permisos, la producci´n ser´ s´lo de 25000 unidades en Verano e
o a o
Invierno. La demanda por este producto tambi´ es estacional. El Departamento de Marketing
e
has estimado las ventas de Primavera en 25000 unidades, en Verano 40000 unidades, 30000
unidades en Oto˜o y s´lo 15000 unidades en Invierno. Los costos unitarios de producci´n
n o o
han aumentado por la inflaci´n y por la influencia de los factores estacionales, los cuales
o
se estiman en U S$80, U S$85, U S$82 y U S$86 en Primavera, Verano, Oto˜o e Invierno,
n
respectivamente. Cualquier exceso de producci´n se puede almacenar a un costo de U S$10
o
por unidad almacenada durante una estaci´n. Una unidad se vende en U S$120, U S$140,
o
U S$125 y U S$105 en Primavera, Verano, Oto˜o e Invierno, respectivamente. En bodega
n
hab´ al comienzo 10000 unidades y al final deben haber 10000 unidades. ¿ Cu´l es la mayor
ıa a
ganancia para su plan ?
19