1) El documento describe los sistemas de medición angular, incluyendo el sexagesimal, centesimal y radial. 2) Explica que un ángulo trigonométrico se define como la rotación de un rayo alrededor de un vértice, y que su magnitud puede ser cualquier valor. 3) Proporciona factores de conversión para convertir entre grados, grados centesimales y radianes.

1. TRIGONOMETRÍA
ANGULO TRIGONOMETRICO
SISTEMA DE MEDICION ANGULAR
1. ANGULO TRIGONOMÉTRICO. Observación:
Es una figura generada por la rotación a) Angulo nulo
de un rayo, alrededor de un punto fijo Si el rayo no gira, la medida del
llamado vértice, desde una posición ángulo será cero.
inicial hasta una posición final.
0
L.F 0
b) Angulo de una vuelta
Se genera por la rotación completa
del rayo, es decir su lado final
coincide con su lado inicial por
primera vez.
L.I.: Lado inicial L.I 1V
L.F.: Lado Final .
0
1.1 CONVENCIÓN :
Angulos Positivos -1V
Si el rayo gira en sentido Antihorario
0
c) Magnitud de un ángulo
 Los ángulos trigonométricos
pueden ser de cualquier magnitud,
Angulos Negativos ya que su rayo puede girar infinitas
Si el rayo gira en sentido horario. vueltas, en cualquiera de los
sentidos. Como se muestra en el
 ejemplo.
El ángulo mide
Ejemplo: 3 vueltas
3V
 x
El ángulo mide
- -2 vueltas
2V
Nótese en las figuras:
 “” es un ángulo trigonométrico de
medida positiva.
2. SISTEMAS ANGULARES
 “x” es un ángulo trigonométrico de Así como para medir segmentos se
medida negativa. requiere de una unidad de longitud
 Se cumple: x=- determinada, para medir ángulos se

2. TRIGONOMETRÍA
necesita de otro ángulo como unidad Entonces:
de medición.
22
  3,1416   10  3  2
2.1 Sistema Sexagesimal 7
Su unidad ángular es el grado
sexagesimal(1º); el cual es equiva- 3. CONVERSION DE SISTEMAS
lente a la 360ava parte del ángulo de Factor de Conversión Es un cociente
una vuelta. “conveniente” de dos magnitudes
angulares equivalentes.
1V
1º   1V 360º
360 Magnitudes angulares equivalentes
Equivalencias: 1 vuelta : 1 v 360º=400g=2rad
Llano : 1/2v 180º=200g=rad
1º=60’ 1’=60’’ 1º=3600’’
Grados : 9º =10g
2.2 Sistema Centesimal
Su unidad angular es el grado
Ejemplos:
centesimal (1g), el cual es
 Convertir a radianes la siguiente
equivalente a la 400ava parte del
magnitud angular =12º
ángulo de una vuelta.
Resolución:
1V
1g   1V= 400g Magnitud Factor de
400 equivalente Conversión
rad
Equivalencias: rad = 180º
180º
1g=100m 1m=100s 1g=10000s rad 
  12º  rad
180º 15
2.3 Sistema Radial o Circular o
Internancional
 Convertir a radianes la siguiente
Su unidad es el radian, el cual es un
magnitud angular: =15º
ángulo que subtiene un arco de
Resolución:
longitud equivalente al radio de la
circunferencia respectiva.
Magnitud Factor de
equivalente Conversión
B
rad
rad = 200g
r
r 200g
1 rad rad 3
0 r A   15g  rad
200g 40
 Convertir a sexagesimal la sgte.
magnitud angular: =40g
mAOB=1rad
Magnitud Factor de
equivalente Conversión
1V
1 rad   1V=2rad  6,2832 9º
2 9º = 10g
10g
9º
Nota   40g  36º
Como  = 3,141592653... 10g

3. TRIGONOMETRÍA
1º 1g 9º Luego:
 Hallar: E   9º 144º 72º
1' 1m 5g   16g    14,4º
10g 10 5
Resolución:
Recordando: 1º=60’ B) 16g a radianes
1g = 100m
9º = 10g rad
Factor de conversión =
200g
Reemplazando en:
Luego:
60' 100m 10g   16g
rad

16.rad 2
 rad
E  
1' 1m 5g 200g 200 25
E = 60 +100 + 2 =162 4. FORMULA GENERAL DE
CONVERSION
 Sean S, C y R los números que
 Hallar: a+b sabiendo rad  aº b' representan la medida de un ángulo
8
Resolución: en los sistemas sexagesimal,
Equivalencia: rad = 180º centesimal y radial respectivamente,
luego hallamos la relación que existe
 180º 180º 45º entre dichos números.
rad.  
8 rad 8 2
 22,5º = 22º+0,5º + =22º30’
0 Sº Cg Rrad
Luego:

rad  22º30'  aº b'
8
Efectuando: De la fig. Sº = Cg = Rrad ... (1)
a=22 Además 180º = 200g = rad ... (2)
b=30
Dividiendo (1) entre (2) tenemos:
Entonces : a+b = 52
S C R Fórmula o Relación de
Nótese que para convertir un ángulo   Conversión
de un sistema a otro, multiplicaremos
180 200 
por el factor de conversión.
Fórmula particulares:
 Convertir a sexagesimales y
radianes la siguiente magnitud S C Sexagesimal y Centesimal

angular. =16g 9 10
Resolución: S R Sexagesimal y Radian

A) 16g a sexagesimales 180 
9º C R
Factor de conversión =  Centesimal y Radian
10g 200 

4. TRIGONOMETRÍA
Ejemplos: respectivamente; del enunciado
 afirmamos.
 Convertir rad a grados
5
sexagesimal. 6S + 2C = 222 .... (1)
Resolución: Además:
 180R
S C R S  

S R    
Sabemos que: 
180  180 200  C  200R
S  /5 
 
   S=36
180 
 Reemplazando en (1):
 rad = 36º
5
R 200R
6.180  2.  222
 g
Convertir 60 a radianes.  
1080 400R
R  222
Resolución:  
1480
R  222
C R 
Sabemos que: 
200  3
R 
60 R 20
 
200 
3 Nota: Para solucionar este tipo de
 R
10 problemas también podríamos hacer:
3  S  180K
 60g  rad S C R 
10    K  C  200K
180 200   R  K  ?

 Convertir 27º a grados
centesimales.
Resolución: Reemplazando en (1):
6(180K)+2(200K) = 222
S C
Sabemos que:  1480K = 222
9 10
3
27 C K
  20
9 10
3
 C=30  R  K 
20
 27º=30g
EJERCICIOS
 Seis veces el número de grados
sexagesimales de un ángulo
1. Calcular: J.C.C.H.
sumado a dos veces el números
de sus grados centesimales es g
222. ¿Hallar el número de Si: 68 <> JCºCH’
radianes de dicho ángulo?
a) 6 b) 12 c) 24
Resolución: d) 30 e) 22
Si S, C y R son números que
representan las medidas del ángulo
en grados sexagesimales, en grados
centesimales y en radianes

5. TRIGONOMETRÍA
2. Dada la figura: 6. Del gráfico, hallar una relación entre
,  y .

g
a b’ 

Calcular:
b  4a a)  - +  = -360º
K b)  + -  = 360º
 2a
c)  + +  = 360º
a) 5 b) 10 c) 15 d)  - -  = 360º
d) 20 e) 25 e)  + -  = -360º
3. La medida de los ángulos iguales de 7. Siendo S y C lo convencional de un
un triángulo isósceles son (6x)º y ángulo para el cual se cumple:
g
(5x+5) . Calcular el ángulo desigual 1g2m
1º12'
5S  3C  
en radianes. 2m
3'
Hallar el número de grados
2 3 4 sexagesimales.
a) rad b) c) rad
5 5 5
  a) 10 b) 81 c) 72
d) rad e) rad
10 5 d) 9 e) 18
4. Determinar la medida circular de un 8. Sabiendo que: C S  S C y además:
ángulo para el cual sus medidas en los
Sx=9x, Hallar: M  10x
diferentes sistemas se relacionan de la
siguiente manera:
3 3 3 a) 1 b) 2 c) 3
 18   20      3,5C  3S  1 d) 4 e) 5
       
S  C   10R   CS 9
9. Del gráfico, calcular y/x
2 3
a) 3rad b) rad c) rad a) –1/6
10 20
4 5 b) –6
d) rad e) rad c) 6 y’
7 18
d) 1/3 xº
5. Las media aritmética de los números
e) –1/3 x
g
que expresan la medida de un ángulo
positivo en grados sexagesimales y
10.Si los números que representan la
centesimales, es a su diferencia como
medida de un ángulo en los sistemas
38 veces el número de radianes de
“S” y “C”, son números pares
dicho ángulo es a 5. Hallar cuanto
consecutivos. El valor del complemento
mide el ángulo en radianes.
del ángulo expresado en radianes es:
5 4 2
a) rad b) rad c) rad  3 4
4 3 3 a) rad b) rad c) rad
10 10 5
5 6
d) rad e) rad 2 7
3 5 d) rad e) rad
5 3

6. TRIGONOMETRÍA
11.Siendo “y” el factor que convierte 16. Si “S”, “C” y “R” son los números que
segundos centesimales en minutos indican la medida de un ángulo en los
sexagesimales y ”x” el factor que sistemas convencionales. Hallar dicho
convierte minutos centesimales en ángulo en grados “S” si “R” es entero:
segundos sexagesimales. Calcular x/y.
4C  6S 5R 2C
1  
0a) 2000 b) 4000 c) 6000 SC 2 CS
d) 8000 e) 9000
Rtpa. .......
12.Siendo “S” el número de grados 17.En un cierto ángulo, se cumple que:
sexagesimales y “c” el número de
2S  3 C  7  9 . Calcular el
grados centesimales que mide un
ángulo menor que una circunferencia, complemento del ángulo en radianes.
calcular dicho ángulo en radianes
sabiendo que .  3 2
a) b) c)
C = x2-x-30 ; S = x2+x-56 10 10 5
3 7
d) e)
3 3 3 20 5
a) b) c)
5 7 10
3 3 18.Al medir un ángulo positivo en los
d) e) sistemas convencionales, se observó
11 13
que los números que representan
dichas medidas, se relacionan del
13.Si se cumple que:
siguiente modo:
361(C  S)3  400(C  S)2
Hallar: “La diferencia del triple del mayor con
2,4R   el doble del intermedio, resulta ser
E igual a treinta veces el número menor
1,3R  
entre , aumentado todo esto en 70,
obtener la medida circular”.
a) 9/5 b) 8/3 c)6/5
d) 5/2 e) 7/5
  
a) rad b) rad c) rad
14.Sabiendo que a, b y R son los 2 3 4
números que expresan la medida de  
d) e)
un ángulo en minutos sexagesimales, 5 6
segundos centesimales y radianes 19.Sabiendo que la suma de los números
respectivamente. Calcular: que representan la medida de un

triángulo en grados sexagesimales es
E (a  0,001b) 133. Entonces la medida de dicho
32R
ángulo es:
a) 5 b) 10 c) 20 7
a) rad b) 70g
d) 10 e) 20 20
c) 63º d) 133º
1 g
1º 1m
15. Reducir: E   e) “a”, “b”, y “c” son correctas
10m 3' 2s
a) 10 b) 40 c) 50
d) 70 e) 80

7. TRIGONOMETRÍA
SECTOR CIRCULAR
RUEDAS Y ENGRANAJES
1. ARCO Resolución:
Una porción cualquiera de una A
circunferencia, recibe el nombre de L = R.
L = 4.0,5
“Arco” de la circunferencia. 4m L=2
B El perímetro 2p del
AB: Arco AB 0 rad L sector AOB será:
A: Origen del arco AB 2p = R + R + L
R rad
B: Extremo del arco AB 2p = 4m + 4m + 2m
O: Centro de la
4m
0 A circunferencia m 2p = 10m
R B
R: Radio de la
circunferencia
Nota:
 La longitud de la circunferencia se
Amplitud calcula multiplicando 2 por el
Dada por la medida del ángulo central radio “R” de la circunferencia (2R)
que sostiene el arco.
Longitud de Arco
En una circunferencia de radio “R” un R LC=2R
ángulo central de “” radianes 0
determina una longitud de arco “L”,
que se calcula multiplicando el número
de radianes “” y el radio de la
circunferencia “R”.
B 2. SECTOR CIRCULAR
Se llama sector circular a la región
circular limitada por dos radios y el
R
arco correspondiente.
0 rad L
rad B
R
A
L: Longitud del arco AB 0
R: Radio de la circunferencia
: Nº de radianes del ángulo
central (0   2  )
A
L = R.
Ejemplo: AOB: Sector Circular AOB
Determine el perímetro de un sector
circular AOB cuyo radio tiene por longitud Área del Sector Circular
4m, y la amplitud del ángulo es 0,5 El área de un sector circular es igual al
radianes. semiproducto de la longitud de su
radio elevado al cuadrado y la medida
de su ángulo central, en radianes;
es decir:

8. TRIGONOMETRÍA
Resolución:
Caso I
B L.R (3m).(2m)
SI   SI 
2 2
R S R 2 SI  3m2
rad S
A 2
0 R Caso II
R 2 (4m)2.1
SII   SII 
2 2
Donde: SII  8m2
S: Área del sector circular AOB
Caso III
Otras fórmulas
L2 (2m)2
A SIII   SIII 
2 2.0,5
R
S L L.R SIII  4m2
0 S
2
R  De la figura mostrada, calcular el
B
área de la región sombreada, si la
A líneas curva ABC, tiene por
longitud 4m.
0
0  rad S
L L2
S
2
B
12m
8m cuerda
Ejemplos:
 Calcular el valor del área de los D
C
sectores circulares mostrados en A
cada caso:
B
Resolución:
I. Denotemos por:
2m 3m L1 : Longitud del arco AB,
el radio R1=12m
0 L2 : Longitud del arco BC,
2m
el radio R2=4m
0
II.
4m
1 rad
0
4m 12m
8m
III. 2m
0,5 rad C
0 4m
A
L2
B L1

9. TRIGONOMETRÍA
De la figura:
 Resolución:
L 2  R 2.2  4m.
2
L2  2m 7S
5S
3S
Según el dato: S
L AB  LBC  4m
4 4 4 4
L1  L2  4m
L1  2  4m Recordando la observación:
L1  2m A =7S
B = 3S
El área del sector AOB será: A 7

B 3
L .R 2m.12m AREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR
S1  1 1   12m2
2 2  Se llama trapecio circular a aquella
región circular formada por la
Observaciones: diferencia de dos sectores
 El incremento de un mismo radio circulares concéntricos.
“R” en un sector circular inicial de  El área de un trapecio circular es
Área “S” (fig.1); produce un igual a la semisuma de las
incremento de área proporcional a longitudes de arcos que conforman
los números impares de “S”, que el al trapecio circular, multiplicada
estudiante podría comprobar por su espaciamiento, es decir:
(fig.2). h
Fig. 1
R
S b A B
 rad
0
R
R
Fig. 2 h
R
R B  b 
7S AT   .h
R 5S  2 
3S Donde:
S
0 AT= Área del trapecio circular.
R R R R
Bb
También: rad 
Ejemplo: h
Hallar el cociente de las áreas
Ejemplos:
sombreadas A y B respectivamente.
 Calcular el valor del área del trapecio,
y encontrar la medida del ángulo
central en la figura mostrada.
2m
A
 rad 3m 4m
B
4 4 4 4
2m

10. TRIGONOMETRÍA
Resolución: Cono
 4  3 43
AT   .2 rad  g
 2  2
1
 A T  7m2  rad   0,5 r
2
 Hallar “x” si el área del trapecio
Desarrollo del Cono
circular es 21m2
g
Resolución:  L=2r
2m
9m x Tronco de Cono
0
r
g
2m
Resolución: R
Por dato: AT = 21 Desarrollo del Tronco
de Cono
Por fórmula:
(x  9) g
AT  .2  x  9
2
Igualamos: 2 2R
x+9 = 21
x = 21m
Aplicación de la Longitud del Arco EJERCICIOS
Número de Vueltas que da una
Rueda(#v) 1. De La figura calcular:
nm
El número de vueltas (#V) que da una E
pm
rueda al desplazase (sin resbalar) desde
la posición A hasta B. Se calcula
mediante la relación. a) 0 m n p
b) 1
Ec c) 0,5
#v  Ec: Espacio que recorre el d) 0,2
2R
centro de la rueda. e) 2
Ec
B  R: Radio
R
B : Angulo barrido 2. Del gráfico hallar “x+y”
x
0 0 a
R R
 y


A B

11. TRIGONOMETRÍA
a) a b) 2a c) 3a b) (12  5 2)m2
d) 4a e) 5a c) (4 3  2)m2
d) 3m2
3. Del gráfico, hallar “L”
e) m2
L
7. Se tiene un sector circular de radio “r”
a) 1 y un ángulo central 36º. ¿Cuánto hay
b) 1/3  5
60º que aumentar el ángulo central de
c) 1/5 dicho sector para que su área no
d) 3 varíe, si su radio disminuye en un
e) 5 L
cuarto del anterior?
a) 64º b) 100º c) 36º
4. De la figura calcular:
d) 20º e) 28º
E  (2  2)(  1)
8. Calcular el área sombreada en:
a) 1
b) 2
rad  4 5
c) 0,5
d) 0,3 r
r
e) 0,25 r
r
r
r
5. Un péndulo se mueve como indica en a) 15r
2
b) 21r
2 2
c) 3r
la figura. Calcular la longitud del
péndulo, si su extremo recorre 3 m. 21 2 7r 2
d) r e)
/12
2 2
4m 9. Del gráfico adjunto, calcular M área
el
sombreada, si se sabe que: MN=4m
a) 2m2
g b) m2
50
c) 4m2
 2 45º
d) m
2
e) 3m2 N
a) 5m b) 6m c) 7m
d) 8m e) 9m
6. Calcule el área de la región 10.Cuánto avanza la rueda de la figura
sombreada OA=12m adjunta si el punto “A” vuelve a tener
contacto otras 7 veces y al detenerse
A el punto “B” está es contacto con el
piso (r=12u).
B
D
.
60º 120º
O B
C
a) (14  18 3)m2
A

12. TRIGONOMETRÍA
a) 88 b) 92 c) 172
16.El ángulo central de un sector mide
d) 168 e) 184
80º y se desea disminuir en 75º; en
11.Una grúa cuyo brazo es 15m está en cuanto hay que alargar el radio del
posición horizontal se eleva hasta sector, para que su área no varíe, si
formar un ángulo de 60º con la su longitud inicial era igual a 20cm.
horizontal luego conservando este
ángulo gira 72º. ¿Determinar el a) 20 cm b) 40 cm c) 60 cm
recorrido por el extremo libre de la d) 80 cm e) 100 cm
grúa en estos dos momentos?.
a) 4 b) 10 c) 8 17.La longitud del arco correspondiente a
d)  e) 5 un sector circular disminuye en un
20%. ¿Qué ocurre con el área de
12.Qué espacio recorre un rueda de 4cm sector circular?
de radio si da 15 vueltas al girar sin
resbalar sobre un piso plano. a) aumenta en 5%
a) 60 cm b) 90 cm b) disminuye en 5%
c) 100 cm d) 105 cm c) no varía
d) falta información
e) 120 cm e) disminuye en 20%
13.De la figura mostrada determinar el
número de vueltas que da la rueda de 18.Calcular la medida del ángulo central
radio “r” en su recorrido de A hasta B en radianes de un sector circular tal
(R=7r). que su perímetro y área son 20m y
r 16m2 respectivamente.
a) 0,5 b) 2 c) 8
A d) 2 y 8 e) 0,5 y 8
R 19.Hallar en grados sexagesimales la
135º medida del ángulo central de un
B r
R sector circular, sabiendo que la raíz
cuadrada de su área es
a) 2 b) 3 c) 4
numéricamente igual a la longitud de
d) 5 e) 6 su arco.
a) /90 b) /180 c) /6
14.Los radios de las ruedas de una
d) 2/3 e) 3/2
bicicleta, son entre sí como 3 es a 4.
Calcular el número de vueltas que da
20.Se tienen dos ruedas en contacto
la rueda mayor cuando la rueda
cuyos radios están en la relación de 2
menor gire 8 radianes.
a 5. Determinar el ángulo que girará
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8
la rueda menor, cuando la rueda
mayor de 4 vueltas.
15.Calcular el espacio que recorre una a) 4 b) 5 c) 10
bicicleta, si la suma del número de d) 20 e) 40
vueltas que dan sus ruedas es 80. Se
sabe además que los radios de las
mismas miden 3u y 5u.
a) 100 b) 200 c) 250
d) 300 e) 500

13. TRIGONOMETRÍA
RAZONES TRIGONOMETRICAS
EN TRIANGULOS RECTANGULOS
1.
NOTABLES = Cat .op.  c  Cos 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Sen
Hip . b
Las razones trigonométricas son
números que resultan de dividir dos Cat .ady. a
lados de un triángulo rectángulo. Cos  =   Sen 
Hip . b
TRIANGULO RECTANGULO
Cat .op. c
Tg  =   C tg 
Cat .ady a
C Hipotenusa
a
t Cat .ady. a
e Ctg  =   Tg 
t Cat .op. c
o
A
Hip . b
Cateto Sec  =   Csc 
Cat .ady a
b
c
Hip . b
Csc  =   Sec 
Cat .op c
B C
a Ejemplo:
Teorema de Pitágoras  En un triángulo rectángulo ABC (recto
“La suma de cuadrados de los catetos en C), se sabe que la suma de catetos
es igual al cuadrado de la hipotenusa”. es igual “k” veces la hipotenusa.
Calcular la suma de los senos de los
a2 + b2 = c2 ángulos agudos del triángulo.
Teorema
“Los ángulos agudos de un triángulo Resolución:
rectángulo son complementarios”. Nótese que en el enunciado del
problema tenemos:
A + B = 90º
B
a + b = k.c
2. DEFINICION DE LAS RAZONES  Nos piden calcular
TRIGONOMETRICAS PARA UN
ANGULO AGUDO. c
a a b
Dado el triángulo ABC, recto en “B”, Sen  Sen  
c c
según la figura, se establecen las sgts  ab
definiciones para el ángulo agudo “”: C A 
A b c
 Luego: Sen  Sen 
k.c
 k
c
b
c  Los tres lados de un triángulo
rectángulo se hallan en progresión
 aritmética, hallar la tangente del
B C mayor ángulo agudo de dicho
a triángulo.

14. TRIGONOMETRÍA
Resolución: Triáng. Rectangulo Triáng Rectángulo
Nótese que dado el enunciado, los Particular General
lados del triángulo están en progresión
aritmética, de razón “r” asumamos 13
12 12k 13k
entonces:
Cateto Menor = x – r  
Cateto Mayor = x
5 5k
Hipotenusa = x + r
Teorema de Pitágoras b) El perímetro del es:
(x-r)2+x2=(x+r)2 Según la figura: 5k+12k+13k = 30k
x2-2xr+r2+x2=x2+2xr+r2 Según dato del enunciado =330m
x2-2xr=2xr Luego: 30k = 330
x2=4xr x+r K =11m
x=4r x
d) La pregunta es calcular la longitud del
menor cateto es decir:
Importante x-r Cateto menor = 5k
“A mayor cateto, se opone mayor = 5.11m = 55m
ángulo agudo”. Luego, reemplazando
en la figura tenemos: 3. PROPIEDADES DE LAS RAZONES
TRIGONOMETRICAS
3.1 Razones Trigonométricas Recíprocas.
4r “Al comparar las seis razones trigono-
5r
métricas de un mismo ángulo agudo,
 notamos que tres partes de ellas al
multiplicarse nos producen la unidad”.
3r
4r 4 Las parejas de las R.T. recíprocas son
Nos piden calcular Tg= 
3r 3 entonces:
Sen . Csc =1
 Calcular el cateto de un triángulo Cos . Sec =1
rectángulo de 330m de perímetro, si Tg . Ctg =1
la tangente de uno de sus ángulos
agudos es 2,4. Ejemplos:
 Indicar la verdad de las siguientes
Resolución: proposiciones.
a) Sea “” un ángulo agudo del triángulo I. Sen20º.Csc10º =1 ( )
que cumpla con la condición: II. Tg35º.Ctg50º =1 ( )
24 12 III. Cos40º.Sec40º=1 ( )
Tg  2,4  
10 5
Ubicamos “” en un triángulo Resolución:
rectángulo, cuya relación de catetos Nótese que las parejas de R.T.
guardan la relación de 12 a 5. recíprocas, el producto es “1”; siempre
La hipotenusa se calcula por pitágoras. que sean ángulos iguales.
Luego:
Sen20º.Csc10º1 ; s No son iguales
Tg35º.Ctg50º 1 ; s No son iguales
Cos40º.Sec40º=1 ; s Sí son iguales
 Resolver “x” agudo que verifique:

15. TRIGONOMETRÍA
Tg(3x+10º+).Ctg(x+70º+)=1 “Una razón trigonométrica de un
ángulo a la co-razón del ángulo
Resolución: complementario”.
Nótese que en la ecuación intervienen, RAZON CO-RAZON
R.T. trigonométricas; luego los Seno Coseno
ángulos son iguales. Tangente Cotangente
Secante Cosecante
Tg(3x+10º+).Ctg(x+70º+)=1
Dado: x+y=90º, entonces se verifica
ángulos iguales Senx =Cosy
3x+10º+ = x+70º+ Tgx = Ctgy
2x=60º Secx = Cscy
x=30º Así por ejemplo:
 Sen20º = Cos70º (20º+70º=90º)
 Se sabe:  Tg50º = Ctg40º (50º+40º=90º)
3  Sec80º = Csc10º (80º+10º=90º)
Sen.Cos.Tg.Ctg.Sec=
7
Calcular: E=Cos.Tg.Ctg.Sec.Csc Ejemplo:
 Indicar el valor de verdad según las
Resolución: proposiciones:
Recordar: I. Sen80º = Cos20º ( )
Cos.Sec = 1 II. Tg45º = Cgt45º ( )
Tg.Ctg = 1 III. Sec(80º-x) = Csc(10º+x) ( )
Sec.Csc = 1
Resolución:
Luego; reemplazando en la condición Nótese que dado una razón y co-razón
del problema: serán iguales al elevar que sus
3 ángulos sean iguales.
Sen.Cos.Tg.Ctg.Sec =
7 I. Sen80º  Cos20º (80º+20º90º)
“1” II. Tg45º = Cgt45º (45º+45º=90º)
3 III. Sec(80º-x)= Csc(10º+x)
Sen = ....(I) (80º-x+10º+x=90º)
7
Nos piden calcular:
E = Cos.Tg.Ctg.Sec.Csc  Resolver el menor valor positivo de
1 “x” que verifique:
E = Csc = , Sen5x = Cosx
Sen
3
pero de (I) tenemos: Sen  Resolución:
7 Dada la ecuación Sen5x=Cosx; luego
3 los ángulos deben sumar 90º:
 E=
7  5x+x=90º
3.2 Razones Trigonométricas de Angulos 6x=90º
Complementarios. x=15º
“Al comparar las seis R.T. de ángulos
agudos, notamos que tres pares de  Resolver “x” el menor positivo que
ellas producen el mismo número, verifique:
siempre que su ángulo sean Sen3x – Cosy = 0
complementarios”. Tg2y.Ctg30º - 1 = 0
Nota: Resolución:
Nótese que el sistema planteado es
equivalente a:

16. TRIGONOMETRÍA
Sen3x=Cosy  3x+y=90º ...(I)
Tg2y.Ctg30º=1  2y=30º ...(II) II. 45º y 45º
y=15º
45º
Reemplazando II en I
k 2
3x+15º = 90º k
3x =75º
x = 25º 45º
 Se sabe que “x” e “y” son ángulos k
complementarios, además:
Senx = 2t + 3 4.2 Triángulos Rectángulos Notables
Cosy = 3t + 4,1 Aproximados
Hallar Tgx
I. 37º y 53º
Resolución:
53º
Dado: x+y=90º  Senx=Cosy 5k
Reemplazando 2t+3 = 3t+4,1 3k
-1,1 = t
37º
Conocido “t” calcularemos:
Senx=2(-1,1)+3 4k
Senx=0,8 II. 16º y 74º
4
Senx= ..... (I) 74º
5 25k
Nota: 7k
Conocida una razón trigonométrica,
16º
luego hallaremos las restantes;
graficando la condición (I) en un 24k
triángulo, tenemos:
TABLA DE LAS R.T. DE
ANGULOS NOTABLES
5
4 
30º 60º 45º 37º 53º 16º 74º
R.T.
x
Sen 1/2 3 /2 2 /2 3/5 4/5 7/25 24/25
3
C at Op.
. 4 Cos 3 /2 1/2 2 /2 4/5 3/5 24/25 7/25
Tgx= 
C at Ady. 3
. Tg 3 /3 3 1 3/4 4/3 7/24 24/7
Ctg 3 3 /3 1 4/3 3/4 24/7 7/24
4. RAZONES TRIGONOMETRICAS DE Sec 2 3 /3 2 5/4 5/3 25/24 25/7
2
ANGULOS AGUDOS NOTABLES
Csc 2 2 3 /3 2 5/3 5/4 25/7 25/24
4.1 Triángulos Rectángulos Notables
Exactos Ejemplo:
I. 30º y 60º 4.Sen30º 3.Tg60º
Calcular: F 
10.C os37º 2.Sec45º
60º Resolución:
2k
1k Según la tabla mostrada notamos:
1
30º 4.  3. 3
F 2  F  23  5  1
k 3
4 8  2 10 2
10.  2. 2
5

17. TRIGONOMETRÍA
EJERCICIOS
a) 0,5 b) 1 c) 1,5
1. Calcular “x” en : d) 2 e) 3
Sen( 2x - 10º) = Cos( x + 10º)
   8. Si : Tg = a ,
a) b) c)
2 3 4 1  Sen2
  Calcular : K
d) e) 1  Tg2
6 5
2. Si : Tg (8x – 5º) Tg (x + 5º) = 1 1 a2
a) b)
Hallar: (1  a2 )2 1  a2
K = Sen23x – Ctg26x
1 a2
a)
7
b)
1
c) -
7 c) d)
12 12 12 1  a2 (1  a2 )2
d) -
1
e) 1 a2  1
12 e)
a2  1
3. Hallar “x” en :
Cos (60º - x) Csc (70º - 3x) = 1
9. En un triángulo rectángulo ABC,
20
a) 5º b) 15º c) 25º TgA= , y la hipotenusa mide 58cm,
d) 10º e) –5º 21
Hallar el perímetro del triángulo.
5
4. Si : Cosx = , Calcular “Sen x” a) 156cm. b) 116cm. c) 136cm.
3 d) 140cm. e) 145cm.
1 3
a) b) 1 c)
3 5 10. Si en un triángulo rectángulo, el
2 3 cuadrado de la hipotenusa es igual a
d) e)
3 3 5
los del producto de los catetos,
2 2
5. Si : Tg = , Calcular : Hallar la tangente del mayor de los
5
P = Sen3 Cos + Cos3 Sen ángulos agudos de dicho triángulo.
a)
10
b)
20
c)
210 a) 1 b) 1,5 c) 2
29 29 841 d) 4 e) 6
420 421
d) e)
841 841 11.Calcular :
5
6. Dado: Secx = Sen1º+Sen2º+Sen3º+...+Sen89º
4 E=
Senx 1  Cosx Cos1º+Cos2º+Cos3º+...+Cos89º
Calcular : E = 
1  Cosx Senx
4 8 9 a) 0 b) 1 c) 2
a) b) c) 1
3 3 3 d) e) 90
10 3 2
d) e)
3 10
7. Si: Secx = 2 , Calcular :
P = (Tgx–Senx)2 + (1–Cosx)2

18. TRIGONOMETRÍA
12.En un triángulo rectángulo recto en
“A”. Calcular el cateto “b”, si se tiene 17.Si: AC = 4 DC , Hallar “Ctg”
que:
  
A
16
SenBSenCTgB=
a2 H
a) 16 b) 8 c) 2
D
d) 4 e)9 2

13.En un triángulo rectángulo el  
semiperímetro es 60m y la secante de  C
B
unos de los ángulos es 2,6 calcular la
mediana relativa a la hipotenusa. 7 2 7
a) b) 7 c)
2 3
a)5 b) 13 c) 12
d) 24 e) 26 7 3 7
d) e)
7 7
14.De la figura, Hallar “x” si:
Tg76º = 4 18.Calcular Ctg.
a) 6 3
a) 
b) 8 3
c) 12 b) 2 3  1
X d) 18
6 e) 24 c) 3 1
6 62º d) 3 1
O
e) 3
15.En un cuadrado “ABCD” ; se prolonga
19.Del gráfico, calcular Tg(Sen) si el
el lado AB , Hasta un punto “E” , tal
área sombreada es igual al área no
que : AB  5BE sombreada.
Calcular la tangente del ángulo EDC
5 4
a) b) c) 1
4 5

6 5
d) e) O
5 6
3 3
16.Hallar el valor reducido de: a) b) c) 1
4 3
4
E= 4Tg37º-Tg60º+Sen445º+Sen30º d) e) 3
3
a) Tg37º b) 2Sen30º c) Tg60º
d) Sen37º e) 4Tg37º

19. TRIGONOMETRÍA
AREAS DE TRIANGULOS Y
CUADRILATEROS
ANGULOS VERTICALES de un triángulo cuyos
1. AREA DE UN TRIANGULO  Hallar el área
a) Area en términos de dos lados lados miden 171cm, 204cm y 195 cm.
y el ángulo que éstos forman:
Resolución: Sabemos que:
A
S= p(p  a )(p  b)(p  c)
b c
ha Entonces:
a  b  c 171  204  195
C B p=   285
a 2 2
Sea: S el área del triángulo Luego:
a.h.a S= 285(285  171)(285  2049(285  195)
Sabemos que: S =
2
Pero: ha = bSenC S= 285(144)(81)(90)
ab
Entonces: S = SenC S = (57)(5)(9)(3)(2)
2 S = 15390 cm2
Análogamente:
bc ac  Dos lados de un  miden 42cm y
S= Sen A S= SenB
2 2 32cm, el ángulo que forman mide
b) Area en términos del semi- 150º. Calcular el área del triángulo.
perímetro y los lados:
Entonces: Resolución:
ab ab  C  C
S= SenC =  
2 2  2R 
42 150º 32
C C
S = abSen Cos
2 2
A B
 S= p (p  a )(p  b)(p  c) 1
S= a bSenC
2
c) Area en términos de los lados
1 1 1
y el circunradio (R): S= (42)(32)Sen150º= (42)(32)  
Sabemos que: 2 2 2
C C S = 336cm2
 2R  SenC  2
SenC 2R  El área de un  ABC es de 90 3 u y
ab ab  C  los senos de los ángulos A, B y C
S= SenC    son proporcionales a los números
2 2  2R 
5,7 y 8 respectivamente. Hallar el
perímetro del triángulo.
abc
S=
4R
Ejemplos:

20. TRIGONOMETRÍA
Resolución:  Sea S el área del cuadrilátero y p su
2 semiperímetro entonces:
Datos: S = 90 3 u
SenA=5n, SenB=7n y SenC=8n
S  (p  a )(p  b)(p  c)(p  d)  abcdCos 2
Sabemos que:
a b c
  ...(Ley de senos)  es igual a la semisuma de dos de
SenA SenB SenC sus ángulos opuestos.
Entonces: a = 5n, b=7n y c=8n 2º Area de un cuadrilátero convexo en
P = 10n términos de sus diagonales y el
90 3  (10n)(10n  5n)(10n  7n)(10n  8n) ángulo comprendido entre estas.
90 3  (10n)(5n)(3n)(2n) B
C
90 3  10n 2 3  n = 3
Luego el perímetro es igual a 2p 
2p=2(10)(3)  2p = 60u
D
 El diámetro de la circunferencia A
circunscrita al triángulo ABC mide  Sea: AC = d1 y BD = d2
26 3 Entonces:
cm y la media geométrica de
3
d1d 2
3
sus lados es 2 91 . Calcular el área S .Sen  ...(2)
2
del triángulo.
3º Area de un cuadrilátero inscriptible
Resolución: (cuadrilátero cíclico)
La media geométrica de a,b y es: 3 abc B
Del dato: 3
abc = 2 91  abc = 728
3
C
El radio de la circunferencia
13 3
Circunscrita mide
3
A D
abc 728
Entonces: S =   14 3cm 2
4R  13 3 
4 3 
 S= (p  a )(p  b)(p  c)(p  d) ...(3)
 
4º Area de un cuadrilátero
2. CUADRILATEROS
circunscriptible.
1º Area de un cuadrilátero convexo
en términos de sus lados y C
ángulos opuestos B b
B
b C
c
a
a c
A D
d A d D

21. TRIGONOMETRÍA
p = 65
Si un cuadrilátero es circunscriptible Luego:
se cumple que: a+c=b+d (Teorema S = (p  a )(p  b)(p  c)(p  d)
de Pitot) entonces el semiperímetro
(p) se puede expresar como: S= (65  23)(65  29)(65  37)(65  41)
S= (42)(36)(28)(24)
p = a+c o p=b+d
S = 1008cm2
De éstas igualdades se deduce que:
 Las diagonales de un paralelogramo
p-a=c, p-c=a, p-b=d y p-d=b
son 2m y 2n y un ángulo es . Hallar
el área del paralelogramo (s), en
Reemplazando en la fórmula (1) se
términos de m, n y .
obtiene:
S= abcd  abcdCos 2 Resolución
S= abcd (1  Cos 2) B b C
S= abcd.Sen 2 2n 2m
S= abcd Sen 2 …(4)
No olvidar que  es la suma de dos a a
de sus ángulos o puestos.
5º Area de un cuadrilátero inscriptible y 
circunscriptible 180-
A b D
Si un cuadrilátero es circunscriptible
ya sabemos que la semisuma de sus
Recordar que el área del
ángulos opuestos es igual a 90º y
paralelogramo es:
como a la vez es inscriptible
aplicamos la fórmula (2) y
S = abSen .....(1)
obtenemos:
Aplicamos la ley de cosenos:
S= abcd
BAD: 4n2 = a2+b2-2ab.Cos
Ejemplos: ADC: 4m2 = a2+b2-2ab.Cos(180-)
 Los lados de un cuadrilátero
inscriptible miden 23cm, 29cm, Rescatando:
37cm y 41cm. calcular su área.
4n2-4m2 = -2ab.Cos-2abCos
Resolución 4(n2-m2) = -4ab.Cos
D m2  n 2
ab =
41
A Cos
37 23 Reemplazando en (1)
29
 m2  n 2 
C B S= 
 Cos Sen 

Sea: a = 23, b=29, c=37 y d=41  
entonces
23  29  37  41 S = (m2-n2)Tg
p=
2

22. TRIGONOMETRÍA
4. ABCD es un cuadrilátero y
EJERCICIOS AE = 3EB. Hallar Sen .
1. La figura muestra un triángulo A E B
ABC cuya área es 60m2,
determinar el área de la región
sombreada. 
B
a) 20m2 3a
2b
b) 15m2
c) 24m2
D C
d) 18m2 4b
a
e) 12m2 5 34 7 34 5 34
A C a) b) c)
34 34 17
2. En el cuadrilátero ABCD, el área 3 34 34
del triángulo AOD es 21m2. Hallar d) e)
34 17
el área del cuadrilátero ABCD.
5. En la siguiente figura determinar
B “Tg ”
a) 120m2 A
b) 158m2 a 2a a) 6 /2
c) 140m2 
d) 115m2 o 4a b) 6 /6
6
e) 145m2 c) 6 /4
6a C d) 6 /5
e) 6 /7 
D 1
3. Del gráfico, si ABC es un
Triángulo y AE = BC =3EB. 6. En el cubo mostrado. Hallar Sen 
Hallar: Sen .
C
3 10
a)
10 
9 10
b)
20 
7 10
c)
10 4 2 3 2 2
A
E
B a) b) c)
9 7 9
9 10
d) 2
50 d) e) 1
3
7 10
e)
50

23. TRIGONOMETRÍA
7. ABCD es un rectángulo BA=4m, 10. En la figura se tiene que A-C=,
BC = 3m AM=MC=a, halle el área de la región
Hallar Tg x. triangular ABC
A 1 B B
B
1
x
1 a
D C
a
a) 1,57 b) 2,52 c) 4,74 C M A
d) 2,12 e) 3,15
8. En un triángulo rectángulo a) a²Sen b) a²Cos
(C= 90º) se traza la bisectriz de c) a²Tg d) a²Ctg
“A” que corta a BC en el punto e) a²Sec
“M”. Luego en el triángulo ACH se
traza CN mediana. Hallar el área 11. En la figura “o” es el centro de la
del triángulo CNM. circunferencia cuyo radio mide
“r”; determine “x”.
a) 0,125b2Cos2(0,5A)Sen(0,5A)
b) 0,125b2Sec2(0,5A)
c) 0,125b2 Sec2(0,5A)CosA x
d) 0,125b2Sec2(0,5A)SenA 
e) 0,125b²Cos²(0,5A) o
9. Hallar “x” en la figura, en función
de “a” y “”.
BM: mediana
BH: altura a) rCos b) rSen c) rTg
d) 2rSen e) 2rCos
B
12. Determine el “Sen”, si ABCD es
un cuadrado
a
2 3
1

C
A H M 
x
a) aSen.Ctg b) aSen.Tg
c) aSen.Tg2 d) aSen2.Ctg 5 3 2 5
e) aSen.Ctg2 a) b) c)
5 5 5
3 10 10
d) e)
10 10

24. TRIGONOMETRÍA
3. ÁNGULOS VERTICALES 3.2 Angulo de Depresión ()
Un ángulo se llama vertical, si Es un ángulo vertical que está
está contenida en un plano formado por una línea horizontal
vertical por ejemplo “” es un que pasa por el ojo del
ángulo vertical. observador y su línea visual por
debajo de esta.
Plano Vertical
Plano Horizontal

Horizontal

3.1 Angulo de Elevación ()
Es un ángulo vertical que está Visual
formado por una línea que pasa por
el ojo del observador y su visual por
encima de esta.
Ejemplo:
Desde la parte más alta de un
Visual poste se observa a dos piedras
“A” y “B” en el suelo con ángulos
de depresión de 53º y 37º
 Horizontal respectivamente. Si el poste
tiene una longitud de 12m. Hallar
la distancia entre las piedras “A”
y “B”.
Poste
Ejemplo:
Una hormiga observa al punto más alto de A B
un poste con un ángulo de elevación “”. La
hormiga se dirige hacia el poste y cuando la
distancia que las separa se ha reducido a la
tercera parte, la medida del nuevo ángulo
Luego: x
de elevación para el mismo punto se ha
duplicado. Hallar “”. _____________
_____________
Resolución
Poste
Hormiga
Luego:
2 = _____________
 = _____________

25. TRIGONOMETRÍA
EJERCICIOS 6. Desde 3 puntos colineales en tierra
A, B y C (AB = BC) se observa a
1. Al observar la parte superior de una una paloma de un mismo lado con
torre, el ángulo de elevación es 53º, ángulos de elevación de 37º, 53º y
medido a 36m de ella, y a una altura “” respectivamente. Calcule “Tg”,
de 12m sobre el suelo. Hallar la si vuela a una distancia de 12m.
altura de la torre. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
a) 24m b) 48m c) 50m 7. Un avión que vuela a 1Km sobre el
d) 60m e) 30m nivel del mar es observado en 2
instantes; el primer instante a una
2. Desde una balsa que se dirige hacia distancia de 1,41Km de la vertical
un faro se observa la parte más alta del punto de observación y el otro
con ángulo de elevación de 15º, instante se halla 3,14Km de la
luego de acercarse 56m se vuelve a misma vertical. Si el ángulo de
observar el mismo punto con un observación entre estos dos puntos
ángulo de elevación de 30º. es “”.
Determinar la altura del faro. Calcular: E = Ctg - Ctg2
a) 14m b) 21m c) 28m Considere 2  1,41; 3  1,73
d) 30m e) 36m
a) 2 b) 3 c) 5
3. Al estar ubicados en la parte más d) 7 e) 10
alta de un edificio se observan dos
puntos “A” y ”B” en el mismo plano 8. Desde lo alto de un edificio se
con ángulo de depresión de 37º y observa con un ángulo de depresión
53º. Se pide hallar la distancia de 37º, dicho automóvil se desplaza
entre estos puntos, si la altura del con velocidad constante. Luego que
edificio es de 120m. avanza 28m acercándose al edificio
es observado con un ángulo de
a) 70m b) 90m c) 120m depresión de 53º. Si de esta
d) 160m e) 100m posición tarda en llegar al edificio
6seg. Hallar la velocidad del
4. Un avión observa un faro con un automóvil en m/s.
ángulo de depresión de 37º si la
altura del avión es 210 y la altura a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
del faro es 120m. Hallar a que
distancia se encuentra el avión. 9. Se observan 2 puntos consecutivos
“A” y “B” con ángulos de depresión
a) 250m b) 270m c) 280m de 37º y 45º respectivamente
d) 290m e) 150m desde lo alto de la torre. Hallar la
altura de la altura si la distancia
5. Obtener la altura de un árbol, si el entre los puntos “A” y “B” es de
ángulo de elevación de su parte 100m
mas alta aumenta de 37º hasta a) 200m b) 300m c) 400m
45º, cuando el observador avanza d) 500m e) 600m
3m hacia el árbol.
a) 3 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10

26. TRIGONOMETRÍA
GEOMETRIA ANALITICA I
1. Sistema de Coordenadas Rectangulares raíz cuadrada de la suma de los
(Plano Cartesiano o Bidimensional) cuadrados de su diferencia de abscisas
y su diferencia de ordenadas.
Este sistema consta de dos rectas
y
dirigidas (rectas numéricas) perpendi- P2(x2;y2)
cular entre sí, llamados Ejes
Coordenados. P1(x1;y1)
Sabemos que:
x
X´X : Eje de Abscisas (eje X)
Y´Y : Eje de Ordenadas (eje Y)
O : Origen de Coordenadas
P1 P2  (x1  x 2 )2  (y1  y 2 )2
Y(+)
IIC IC Ejm: Hallar la distancia entre los puntos A
yB si: A(3;8) y B(2;6).
X´(-) O X(+)
Resolución
IIIC IVC AB= (3  2)2  (8  6)2 AB= 5
Y´(-)
Ejem:
Del gráfico determinar las Ejm:
coordenadas de A, B, C y D. Hallar la distancia entre los puntos P y
Y Q. P( -2;5) y Q(3;-1)
A Resolución
2
PQ= (2  3)2  (5  (1))2
B 1
PQ= (5)2  (6)2  61
X
-3 -2 -1 1 2 3
Observaciones:
D -1  Si P1 y P2 tienen la misma abscisa
entonces la distancia entre dichos
-2 C puntos se calcula tomando el valor
absoluto de su diferencia de
 Coordenadas de A: (1;2) ordenadas.
 Coordenadas de B: (-3;1)
Ejm:
 Coordenadas de C: (3;-2) A(5;6) y B(5;2) AB= 6-2 AB=4
 Coordenadas de D: (-2;-1) C(-3;-2) y D(-3;5) CD= -1-5 CD=6
E(5;8) y F(5;-2) EF= 8-(-2) EF=10
Nota  Si P1 y P2 tienen la misma ordenada
Si un punto pertenece al eje x, su entonces la distancia entre estos se
ordenada igual a cero. Y si un punto calcula tomando el valor absoluto de
Pertenece al eje y, su abscisa es igual a
su diferencia de abscisas.
cero.
2. Distancia entre Dos Puntos
Ejm:
A(8;-1) y B(1;-1) AB= 8-1 AB=7
La distancia entre dos puntos
C(-4;7) y D(-9;7) CD= -4-(-9) CD=5
cualesquiera del plano es igual a la