1. El documento explica los conceptos de ángulo geométrico y ángulo trigonométrico.
2. Se describen tres sistemas de medición angular: sexagesimal, centesimal y radial.
3. Se establecen las relaciones entre las unidades de medida de los diferentes sistemas.
El documento explica los sistemas de medición angular, incluyendo ángulos trigonométricos, grados sexagesimales, grados centesimales y radianes. Define cada sistema y establece equivalencias entre unidades como 1 grado sexagesimal = 60 minutos sexagesimales = 3600 segundos sexagesimales. También relaciona los diferentes sistemas entre sí y proporciona ejemplos de conversión.
Este documento presenta una introducción a los ángulos trigonométricos. Define ángulo geométrico y ángulo trigonométrico, y describe las características de cada uno. Luego, explica tres sistemas de medición angular: sexagesimal, centesimal y radial. Finalmente, presenta ejemplos y problemas para practicar la conversión entre sistemas.
El documento explica los conceptos de ángulo geométrico y ángulo trigonométrico, incluyendo sus características y diferencias. También describe los principales sistemas de medición angular como el sexagesimal, centesimal y radial, además de establecer equivalencias y relaciones entre ellos. Finalmente, presenta algunos problemas resueltos como ejemplos.
1) El documento describe los sistemas de medición angular, incluyendo el sexagesimal, centesimal y radial. 2) Explica que un ángulo trigonométrico se define como la rotación de un rayo alrededor de un vértice, y que su magnitud puede ser cualquier valor. 3) Proporciona factores de conversión para convertir entre grados, grados centesimales y radianes.
Este documento presenta tres sistemas de medición angular: el sistema sexagesimal, el sistema centesimal y el sistema radial. Describe las unidades de cada sistema y las equivalencias entre ellos. Explica cómo convertir ángulos entre grados, minutos, segundos y radianes. Incluye ejemplos resueltos de conversiones entre los diferentes sistemas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ángulos trigonométricos en posición normal. Explica que un ángulo está en posición normal si su vértice está en el origen y su lado inicial coincide con el eje X positivo. Define las razones trigonométricas para ángulos en posición normal y explica sus signos en cada cuadrante. También introduce ángulos cuadrantales y presenta ejercicios de práctica para aplicar los conceptos.
Este documento introduce conceptos básicos de trigonometría plana como ángulos positivos y negativos, sistemas de medición angular (sexagesimal, centesimal y radial), conversiones entre sistemas, longitud de arco y área de sector circular. Explica que la trigonometría es útil para calcular distancias y alturas de forma sencilla en ingeniería y física.
- Definiciones de seno, coseno y tangente.
- Cálculo de dichas razones para ángulos notables: 30°, 45° y 60°.
- Signos del seno, coseno y tangente para ángulos en distintos cuadrantes de la circunferencia goniométrica.
El documento explica los sistemas de medición angular, incluyendo ángulos trigonométricos, grados sexagesimales, grados centesimales y radianes. Define cada sistema y establece equivalencias entre unidades como 1 grado sexagesimal = 60 minutos sexagesimales = 3600 segundos sexagesimales. También relaciona los diferentes sistemas entre sí y proporciona ejemplos de conversión.
Este documento presenta una introducción a los ángulos trigonométricos. Define ángulo geométrico y ángulo trigonométrico, y describe las características de cada uno. Luego, explica tres sistemas de medición angular: sexagesimal, centesimal y radial. Finalmente, presenta ejemplos y problemas para practicar la conversión entre sistemas.
El documento explica los conceptos de ángulo geométrico y ángulo trigonométrico, incluyendo sus características y diferencias. También describe los principales sistemas de medición angular como el sexagesimal, centesimal y radial, además de establecer equivalencias y relaciones entre ellos. Finalmente, presenta algunos problemas resueltos como ejemplos.
1) El documento describe los sistemas de medición angular, incluyendo el sexagesimal, centesimal y radial. 2) Explica que un ángulo trigonométrico se define como la rotación de un rayo alrededor de un vértice, y que su magnitud puede ser cualquier valor. 3) Proporciona factores de conversión para convertir entre grados, grados centesimales y radianes.
Este documento presenta tres sistemas de medición angular: el sistema sexagesimal, el sistema centesimal y el sistema radial. Describe las unidades de cada sistema y las equivalencias entre ellos. Explica cómo convertir ángulos entre grados, minutos, segundos y radianes. Incluye ejemplos resueltos de conversiones entre los diferentes sistemas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ángulos trigonométricos en posición normal. Explica que un ángulo está en posición normal si su vértice está en el origen y su lado inicial coincide con el eje X positivo. Define las razones trigonométricas para ángulos en posición normal y explica sus signos en cada cuadrante. También introduce ángulos cuadrantales y presenta ejercicios de práctica para aplicar los conceptos.
Este documento introduce conceptos básicos de trigonometría plana como ángulos positivos y negativos, sistemas de medición angular (sexagesimal, centesimal y radial), conversiones entre sistemas, longitud de arco y área de sector circular. Explica que la trigonometría es útil para calcular distancias y alturas de forma sencilla en ingeniería y física.
- Definiciones de seno, coseno y tangente.
- Cálculo de dichas razones para ángulos notables: 30°, 45° y 60°.
- Signos del seno, coseno y tangente para ángulos en distintos cuadrantes de la circunferencia goniométrica.
El documento presenta la fórmula general de conversión entre los sistemas de medición angular de grados sexagesimales, grados centesimales y radianes. Explica que 180° = 200g = π radianes y establece las fórmulas de conversión entre los sistemas. Además, incluye ejemplos de aplicación de las fórmulas y ejercicios resueltos sobre conversiones angulares entre los diferentes sistemas.
Este documento describe el movimiento rectilíneo y uniforme, definido como aquel en el que la trayectoria es una recta y la velocidad permanece constante. Presenta las ecuaciones que rigen este tipo de movimiento y varios ejemplos resueltos para ilustrar cómo aplicarlas.
Movimiento rectilíneo y uniformemente aceleradoDavidSPZGZ
Este documento describe el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, proporcionando las ecuaciones que lo definen y ejemplos para calcular la velocidad, aceleración y distancia recorrida en función del tiempo. Explica que la aceleración es constante y cómo esto afecta a la velocidad y distancia, ilustrando con gráficos y tablas. También cubre casos de movimiento con aceleración positiva y negativa.
El documento define y compara los ángulos geométricos y trigonométricos, explicando que los ángulos trigonométricos tienen sentido de giro y magnitud ilimitada, a diferencia de los ángulos geométricos. También describe los sistemas sexagesimal, centesimal y radial para medir ángulos, estableciendo equivalencias y relaciones entre ellos. Finalmente, presenta algunos problemas resueltos como ejemplo.
13273874 conversiones-grados-radianes-y-func-trigon-version-bolghector vera
Este documento explica cómo convertir entre grados y radianes y calcular los valores de las funciones seno y coseno en grados y radianes. Primero define la relación entre grados y radianes y muestra cómo convertir entre las dos unidades. Luego presenta tablas y gráficos para calcular los valores de seno y coseno en grados y radianes comunes como 30°, 45°, 60°, 90°, etc. Finalmente, resume relacionando las funciones trigonométricas con pares ordenados en el círculo unitario.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre ángulos formados por líneas paralelas y transversales. En los ejercicios se piden calcular valores de ángulos desconocidos basándose en propiedades como que los ángulos alternos internos son congruentes, los ángulos correspondientes son congruentes, y la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.
Este documento explica los sistemas de medida angular, incluyendo ángulos trigonométricos, positivos y negativos. Describe los sistemas sexagesimal, centesimal y radial para medir ángulos, y proporciona conversiones entre ellos. También incluye ejercicios prácticos sobre conversiones entre los diferentes sistemas de medida angular.
Este documento presenta 30 problemas relacionados con la conversión entre los sistemas de medida angular sexagesimal, centesimal y radianes. Los problemas incluyen calcular ángulos en diferentes sistemas, determinar valores desconocidos a partir de ecuaciones que relacionan las medidas en cada sistema, y cálculos geométricos como la longitud de arcos y el área de sectores circulares.
Este documento resume investigaciones previas sobre robots modulares y cadenas articuladas cerradas. Propone el desarrollo de un robot móvil modular con una cadena articulada cerrada que se mueva mediante rodadura. Describe los modelos cinemáticos y dinámicos requeridos para analizar el movimiento de la cadena, incluyendo parámetros como el ángulo de ataque, la elongación y la velocidad. El objetivo es explorar terrenos irregulares de forma eficiente y flexible.
El documento explica los ángulos cuadrantales y las funciones trigonométricas en la circunferencia trigonométrica. Se dividen los ángulos en cuatro cuadrantes y se explican los valores de las funciones trigonométricas para ángulos cuadrantales como 0°, 90°, 180° y 270°. Finalmente, se dan ejemplos para simplificar expresiones trigonométricas usando los valores de ángulos cuadrantales.
El documento presenta diferentes sistemas para medir ángulos: sexagesimal (grados, minutos, segundos), centesimal (grados, minutos, segundos), y radial (en radianes). Explica las equivalencias entre sistemas y fórmulas para convertir entre ellos. También incluye ejercicios para practicar conversiones y cálculos angulares usando las diferentes unidades.
Este documento trata sobre los sistemas de medición angular y las conversiones entre ellos. Explica el sistema sexagesimal, centesimal y radial para medir ángulos. También presenta fórmulas para calcular el área de sectores circulares, círculos completos, trapecios circulares y el ángulo barrido por una rueda.
Este documento presenta un conjunto de 14 ejercicios sobre conversiones entre los sistemas de medidas angulares: grados sexagesimales, grados centesimales y radianes. Los ejercicios involucran conversiones directas e inversas entre los sistemas, así como también cálculos que involucran relaciones entre las medidas angulares expresadas en los diferentes sistemas. El documento es una guía de aplicación para estudiantes de 5to año de secundaria sobre el tema de sistemas de medidas angulares.
Este documento describe el movimiento armónico simple de péndulos y de un aro. Explica que el período de oscilación de un péndulo depende únicamente de su longitud y de la gravedad, e independiente de la masa. También presenta fórmulas para calcular el período de un péndulo y de un aro en oscilación. Finalmente, propone experimentos para validar estas relaciones.
Este documento trata sobre la reducción de ángulos al primer cuadrante. Explica que esto implica expresar las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo en función de otro que sí lo sea. Describe casos como ángulos mayores a 360°, menores a 360° y negativos, y cómo reducirlos al primer cuadrante. También presenta identidades trigonométricas relacionadas con ángulos complementarios y suplementarios. Finalmente, resuelve problemas aplicando estas técnicas de reducción al primer cuadrante.
Este documento explica los diferentes sistemas de medición angular (sexagesimal, centesimal y radial), las relaciones entre ellos, conversiones entre unidades y conceptos básicos de trigonometría como ángulos complementarios y suplementarios.
Este documento explica conceptos básicos del movimiento circular uniforme, incluyendo que la velocidad es constante y la trayectoria es una circunferencia. Define la velocidad angular como la rapidez con que se describe el ángulo y la relación entre velocidad lineal y angular. Explica cómo medir ángulos en radianes y la relación entre periodo, frecuencia y velocidad angular. Resuelve ejemplos de cálculos relacionados con estas definiciones.
Este documento presenta 5 problemas de trigonometría que involucran el cálculo de senos, cosenos y áreas de figuras geométricas. El primer problema pide calcular senθ dado un triángulo. El segundo calcula senα para un triángulo isoceles. El tercero encuentra la altura de un trapecio. El cuarto calcula el área de una región triangular extendida. Y el quinto calcula el área de un triángulo en términos de θ.
El documento presenta la fórmula general de conversión entre los sistemas de medición angular de grados sexagesimales, grados centesimales y radianes. Explica que 180° = 200g = π radianes y establece las fórmulas de conversión entre los sistemas. Además, incluye ejemplos de aplicación de las fórmulas y ejercicios resueltos sobre conversiones angulares entre los diferentes sistemas.
Este documento describe el movimiento rectilíneo y uniforme, definido como aquel en el que la trayectoria es una recta y la velocidad permanece constante. Presenta las ecuaciones que rigen este tipo de movimiento y varios ejemplos resueltos para ilustrar cómo aplicarlas.
Movimiento rectilíneo y uniformemente aceleradoDavidSPZGZ
Este documento describe el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, proporcionando las ecuaciones que lo definen y ejemplos para calcular la velocidad, aceleración y distancia recorrida en función del tiempo. Explica que la aceleración es constante y cómo esto afecta a la velocidad y distancia, ilustrando con gráficos y tablas. También cubre casos de movimiento con aceleración positiva y negativa.
El documento define y compara los ángulos geométricos y trigonométricos, explicando que los ángulos trigonométricos tienen sentido de giro y magnitud ilimitada, a diferencia de los ángulos geométricos. También describe los sistemas sexagesimal, centesimal y radial para medir ángulos, estableciendo equivalencias y relaciones entre ellos. Finalmente, presenta algunos problemas resueltos como ejemplo.
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Este documento explica cómo convertir entre grados y radianes y calcular los valores de las funciones seno y coseno en grados y radianes. Primero define la relación entre grados y radianes y muestra cómo convertir entre las dos unidades. Luego presenta tablas y gráficos para calcular los valores de seno y coseno en grados y radianes comunes como 30°, 45°, 60°, 90°, etc. Finalmente, resume relacionando las funciones trigonométricas con pares ordenados en el círculo unitario.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre ángulos formados por líneas paralelas y transversales. En los ejercicios se piden calcular valores de ángulos desconocidos basándose en propiedades como que los ángulos alternos internos son congruentes, los ángulos correspondientes son congruentes, y la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.
Este documento explica los sistemas de medida angular, incluyendo ángulos trigonométricos, positivos y negativos. Describe los sistemas sexagesimal, centesimal y radial para medir ángulos, y proporciona conversiones entre ellos. También incluye ejercicios prácticos sobre conversiones entre los diferentes sistemas de medida angular.
Este documento presenta 30 problemas relacionados con la conversión entre los sistemas de medida angular sexagesimal, centesimal y radianes. Los problemas incluyen calcular ángulos en diferentes sistemas, determinar valores desconocidos a partir de ecuaciones que relacionan las medidas en cada sistema, y cálculos geométricos como la longitud de arcos y el área de sectores circulares.
Este documento resume investigaciones previas sobre robots modulares y cadenas articuladas cerradas. Propone el desarrollo de un robot móvil modular con una cadena articulada cerrada que se mueva mediante rodadura. Describe los modelos cinemáticos y dinámicos requeridos para analizar el movimiento de la cadena, incluyendo parámetros como el ángulo de ataque, la elongación y la velocidad. El objetivo es explorar terrenos irregulares de forma eficiente y flexible.
El documento explica los ángulos cuadrantales y las funciones trigonométricas en la circunferencia trigonométrica. Se dividen los ángulos en cuatro cuadrantes y se explican los valores de las funciones trigonométricas para ángulos cuadrantales como 0°, 90°, 180° y 270°. Finalmente, se dan ejemplos para simplificar expresiones trigonométricas usando los valores de ángulos cuadrantales.
El documento presenta diferentes sistemas para medir ángulos: sexagesimal (grados, minutos, segundos), centesimal (grados, minutos, segundos), y radial (en radianes). Explica las equivalencias entre sistemas y fórmulas para convertir entre ellos. También incluye ejercicios para practicar conversiones y cálculos angulares usando las diferentes unidades.
Este documento trata sobre los sistemas de medición angular y las conversiones entre ellos. Explica el sistema sexagesimal, centesimal y radial para medir ángulos. También presenta fórmulas para calcular el área de sectores circulares, círculos completos, trapecios circulares y el ángulo barrido por una rueda.
Este documento presenta un conjunto de 14 ejercicios sobre conversiones entre los sistemas de medidas angulares: grados sexagesimales, grados centesimales y radianes. Los ejercicios involucran conversiones directas e inversas entre los sistemas, así como también cálculos que involucran relaciones entre las medidas angulares expresadas en los diferentes sistemas. El documento es una guía de aplicación para estudiantes de 5to año de secundaria sobre el tema de sistemas de medidas angulares.
Este documento describe el movimiento armónico simple de péndulos y de un aro. Explica que el período de oscilación de un péndulo depende únicamente de su longitud y de la gravedad, e independiente de la masa. También presenta fórmulas para calcular el período de un péndulo y de un aro en oscilación. Finalmente, propone experimentos para validar estas relaciones.
Este documento trata sobre la reducción de ángulos al primer cuadrante. Explica que esto implica expresar las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo en función de otro que sí lo sea. Describe casos como ángulos mayores a 360°, menores a 360° y negativos, y cómo reducirlos al primer cuadrante. También presenta identidades trigonométricas relacionadas con ángulos complementarios y suplementarios. Finalmente, resuelve problemas aplicando estas técnicas de reducción al primer cuadrante.
Este documento explica los diferentes sistemas de medición angular (sexagesimal, centesimal y radial), las relaciones entre ellos, conversiones entre unidades y conceptos básicos de trigonometría como ángulos complementarios y suplementarios.
Este documento explica conceptos básicos del movimiento circular uniforme, incluyendo que la velocidad es constante y la trayectoria es una circunferencia. Define la velocidad angular como la rapidez con que se describe el ángulo y la relación entre velocidad lineal y angular. Explica cómo medir ángulos en radianes y la relación entre periodo, frecuencia y velocidad angular. Resuelve ejemplos de cálculos relacionados con estas definiciones.
Este documento presenta 5 problemas de trigonometría que involucran el cálculo de senos, cosenos y áreas de figuras geométricas. El primer problema pide calcular senθ dado un triángulo. El segundo calcula senα para un triángulo isoceles. El tercero encuentra la altura de un trapecio. El cuarto calcula el área de una región triangular extendida. Y el quinto calcula el área de un triángulo en términos de θ.
El documento explica cómo resolver triángulos oblicuángulos mediante el uso de teoremas trigonométricos. Se define la resolución de triángulos y se describen tres métodos principales: 1) el teorema de los senos para determinar lados a partir de senos de ángulos opuestos, 2) el teorema de los cosenos para calcular lados a partir de cosenos de ángulos y cuadrados de lados, y 3) el teorema de las proyecciones para expresar lados en términos de otros lados y cosenos
Este documento define ángulos en posición normal y sus razones trigonométricas. Explica que un ángulo está en posición normal cuando su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con el eje x positivo. Proporciona fórmulas para calcular las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal en función de las coordenadas de un punto en su lado final. También define ángulos cuadrantales y coterminales y proporciona valores de las razones trigonométricas para ángulos cuadrantales comunes.
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Este documento presenta conceptos sobre sector circular, incluyendo fórmulas para calcular longitud de arco, área de sector circular, número de vueltas de una rueda y más. Explica que un sector circular es una porción de círculo delimitada por dos radios y un arco, y cómo calcular su longitud de arco y área usando el ángulo central y el radio. También cubre cálculos relacionados a ruedas girando.
1. El documento presenta definiciones y teoremas relacionados con las razones trigonométricas en triángulos rectángulos. Incluye las definiciones de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante para un ángulo agudo.
2. Se explican las razones trigonométricas recíprocas y de ángulos complementarios. También incluye valores de razones trigonométricas para ángulos notables como 30°, 45° y 60°.
3. Se describen métodos para resolver triángulos rect
Este documento presenta los conceptos y procedimientos para reducir ángulos a su forma equivalente en el primer cuadrante. Define la reducción al primer cuadrante y explica cómo calcular las funciones trigonométricas de ángulos que no son agudos en términos de ángulos equivalentes en el primer cuadrante. Luego, detalla los casos para ángulos entre 0° y 90°, mayores a 360°, de medida negativa, y relacionados entre sí. Finalmente, incluye ejemplos resueltos de problemas que aplican estas técnicas.
El resumen del documento es:
1) El documento contiene varios ejercicios de trigonometría que involucran ángulos coterminales, funciones trigonométricas, y relaciones entre ellas.
2) Los ejercicios piden calcular ángulos, valores de funciones trigonométricas, y expresiones algebraicas involucrando funciones trigonométricas.
3) Se proveen las soluciones detalladas para cada ejercicio.
1. El documento describe conceptos relacionados con sectores circulares, incluyendo longitud de arco, área de sector circular, número de vueltas y áreas de trapecios circulares.
2. Explica cómo calcular la longitud de arco como el producto del número de radianes del ángulo central y el radio, y el área de sector circular como el producto del número de radianes, el radio al cuadrado y la mitad.
3. También presenta ejemplos y problemas resueltos para ilustrar estas propiedades y métodos de cálculo.
1. El documento presenta 16 problemas de trigonometría relacionados con ángulos y sus medidas en diferentes sistemas (sexagesimal, centesimal, radianes). Se resuelven los problemas aplicando propiedades trigonométricas y conversiones entre sistemas.
2. Los problemas involucran ecuaciones trigonométricas, relaciones entre medidas de ángulos, sumas y diferencias de ángulos, y conversiones entre grados y radianes.
3. El documento provee una solución detallada para cada problema aplicando los conceptos y fórmulas
Este documento presenta 5 problemas matemáticos relacionados con volúmenes y áreas de figuras geométricas como esferas, conos y triángulos. Los estudiantes deben resolver cada problema mostrando los cálculos y pasos realizados. Los problemas involucran calcular volúmenes de esferas y conos, relaciones entre áreas y volúmenes, y la diferencia de volúmenes al rotar figuras geométricas alrededor de ejes.
El documento contiene 4 problemas de trigonometría. El primer problema involucra calcular expresiones trigonométricas en un triángulo dado las medidas de sus lados y ángulos. El segundo problema involucra identificar cuál de varias identidades trigonométricas es verdadera. El tercer problema involucra dividir un arco en dos partes de manera que el seno de una parte sea el triple del seno de la otra parte. El cuarto problema involucra encontrar valores de sen2θ y tg2θ dados otros valores trigonométricos.
Este resumen describe las soluciones a 4 ejercicios de trigonometría. El primer ejercicio involucra la identidad de adición de senos. El segundo ejercicio calcula un valor usando coseno de un ángulo. El tercer ejercicio encuentra el menor valor positivo de x. El cuarto ejercicio calcula las coordenadas de un punto dado en funciones seno y coseno.
El documento presenta una introducción a los ángulos trigonométricos, comparando sus características con los ángulos geométricos. Explica los tres sistemas principales para medir ángulos (sexagesimal, centesimal y radial), estableciendo equivalencias y relaciones entre ellos. Finalmente, proporciona algunos ejemplos numéricos para practicar conversiones entre sistemas.
Este documento presenta información sobre ángulos trigonométricos. Define ángulo geométrico y ángulo trigonométrico, y describe las diferencias entre ellos. Luego, introduce tres sistemas de medición angular: sexagesimal, centesimal y radial. Explica las equivalencias y relaciones entre estos sistemas. Finalmente, presenta algunos problemas resueltos como ejemplos.
breve introduccion a la trigonometria.pptMauro Acosta
Este documento presenta una breve introducción a conceptos clave de trigonometría. Explica sistemas de coordenadas rectangulares, funciones trigonométricas básicas, funciones de ángulos específicos como 30, 45 y 60 grados, y cómo expresar funciones de ángulos mayores que 90 grados en términos de ángulos relacionados agudos. También cubre la relación entre radianes y grados.
Este documento describe el círculo trigonométrico y los signos de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes. Explica los valores de las funciones para los ángulos cuadrantales y los ángulos notables de 30°, 45° y 60°. También cubre la reducción de ángulos a otros cuadrantes para calcular sus funciones trigonométricas.
Este documento describe el círculo trigonométrico y las funciones trigonométricas de los ángulos en los cuatro cuadrantes. Explica cómo calcular las funciones seno, coseno, tangente y cotangente para ángulos notables como 30°, 45° y 60° grados usando triángulos rectángulos y equiláteros. También cubre cómo reducir ángulos en el segundo y tercer cuadrante al primer cuadrante para calcular sus funciones trigonométricas.
Este documento presenta conceptos claves de trigonometría, incluyendo sistemas de coordenadas, funciones trigonométricas básicas, relación entre radianes y grados, y cómo calcular funciones trigonométricas para ángulos mayores de 90 grados y ángulos específicos como 30, 45 y 60 grados.
Este documento explica cómo calcular las razones trigonométricas (sen, cos, tan, etc.) para ángulos notables de 30°, 60° y 45° utilizando triángulos equiláteros e isósceles. También cubre las razones trigonométricas para ángulos de 0° y 90° así como la reducción de cualquier ángulo al primer cuadrante.
Este documento describe la medición y conceptos básicos de ángulos. Explica que un ángulo está formado por un vértice y dos rayos, y puede medirse en grados o radianes. También define tipos de ángulos como agudos, rectos y obtusos, y explica cómo convertir entre grados y radianes.
Este documento describe la medición y conceptos básicos de ángulos. Explica que un ángulo está formado por un vértice y dos rayos, y puede medirse en grados o radianes. También define tipos de ángulos como agudos, rectos y obtusos, y explica cómo convertir entre grados y radianes.
Este documento presenta conceptos generales de trigonometría. Explica sistemas de coordenadas rectangulares, el concepto de radio vector y la aplicación del teorema de Pitágoras. También define las funciones trigonométricas básicas y explica cómo calcular las funciones para ángulos mayores de 90 grados usando ángulos relacionados. Además, proporciona fórmulas para calcular las funciones trigonométricas de ángulos especiales como 30, 45, 60 y 90 grados.
El documento describe las aplicaciones de los triángulos en la arquitectura. Los triángulos se usan para dar estabilidad a las estructuras debido a que son indeformables. Ejemplos como el Puente Erasmus en Rotterdam y el Edificio Torre Giro en Suecia utilizan triángulos para lograr estabilidad. La forma de cruz de San Andrés, compuesta por dos triángulos, impide que las fuerzas laterales desestabilicen una estructura.
Este documento explica las funciones trigonométricas y cómo se relacionan con los lados de un triángulo rectángulo. Define las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante y muestra tablas de sus valores para diferentes ángulos. También describe cómo los signos de estas funciones varían dependiendo del cuadrante en el que se encuentre el ángulo.
El documento presenta conceptos básicos de trigonometría incluyendo sistemas de coordenadas, funciones trigonométricas, relación entre radianes y grados, y valores de funciones para ángulos especiales como 30, 45 y 60 grados.
El documento explica cómo reducir ángulos a su valor equivalente en el primer cuadrante y calcular las funciones trigonométricas de ángulos en cualquier cuadrante o con medidas mayores a 360°. Se detallan los pasos para reducir ángulos en el segundo, tercer y cuarto cuadrante restando o sumando múltiplos de 90° o 180°, y para ángulos mayores a 360° dividiendo la medida entre 360° y usando el resto. También explica que las funciones trigonométricas de ángulos negativos son igual
1) El documento trata sobre conceptos básicos de trigonometría como ángulos trigonométricos, sistemas de medición angular, conversión entre sistemas y problemas relacionados.
2) Se definen ángulos trigonométricos y sus características. También se explican los sistemas de medición angular como sexagesimal, centesimal y radial.
3) Se detallan métodos para realizar conversiones entre los diferentes sistemas de medición angular como el uso de factores de conversión y fórmulas generales. Luego, se plantean problemas
Este documento presenta conceptos básicos de trigonometría. Explica que la trigonometría estudia las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo. Define ángulos, grados, radianes y cómo medir ángulos. También define triángulos, sus clasificaciones y propiedades como el Teorema de Pitágoras.
1) La trigonometría estudia las relaciones entre los lados y ángulos de triángulos. Existen tres sistemas para medir ángulos: sexagesimal, centesimal y radial.
2) Las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) relacionan los lados de un triángulo rectángulo con el ángulo opuesto a uno de sus catetos.
3) Para ángulos complementarios, las funciones trigonométricas de un ángulo son iguales
Este documento presenta conceptos básicos sobre las razones trigonométricas de ángulos en posición normal. Define los ángulos cuadrantales como aquellos cuyo lado final coincide con un semieje del plano cartesiano, y muestra ejemplos de sus medidas. Explica que las razones trigonométricas de ángulos coterminales tienen el mismo valor numérico. Finalmente, incluye ejercicios resueltos como práctica para aplicar estos conceptos.
El documento define un ángulo trigonométrico como el ángulo generado por la rotación de un rayo alrededor de su origen en un mismo plano. Explica que los ángulos son positivos para rotaciones antihorarias y negativos para rotaciones horarias. También compara los sistemas sexagesimal, centesimal y radial para medir ángulos.
El documento define un ángulo trigonométrico como el ángulo generado por la rotación de un rayo alrededor de su origen en un mismo plano. Explica que los ángulos son positivos para rotaciones antihorarias y negativos para rotaciones horarias. También compara los sistemas sexagesimal, centesimal y radial para medir ángulos.
Mariano Dámaso Beraún fue un destacado científico peruano nacido en 1813 en Huanuco. Estudió en el Convictorio de San Carlos en Lima y se graduó de doctor en ciencias matemáticas en 1837. Enseñó física y matemáticas y descubrió un nuevo método para dividir un ángulo en tres partes llamado la Trisectriz de Beraún. Publicó numerosos trabajos científicos y ocupó cargos como rector, catedrático y diputado. Falleci
Federico Villarreal fue un destacado matemático, ingeniero, físico y políglota peruano que realizó importantes contribuciones a las matemáticas, la ingeniería y otras ciencias. A los 23 años descubrió el método para elevar polinomios a cualquier potencia. Fue decano de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos y rector de la misma universidad. Publicó cerca de 600 artículos científicos y fue un importante divulgador de la ciencia en el Perú.
François Viète fue un matemático y criptógrafo francés del siglo XVI. Trabajó como abogado y consejero privado para los reyes Enrique III y Enrique IV de Francia. Es conocido por haber introducido el uso de letras para representar cantidades desconocidas en las ecuaciones, sentando las bases del álgebra moderna. También descifró códigos secretos del enemigo y resolvió problemas matemáticos complejos.
Tales de Mileto fue un filósofo, matemático, astrónomo y político griego del siglo VI a.C. considerado el primer filósofo de la escuela jonia. Se le atribuyen descubrimientos en geometría y astronomía, aunque no se conservan sus escritos. Vivió y murió en la ciudad jonia de Mileto, donde tuvo como discípulo a Anaximandro. Se le considera el iniciador de la filosofía occidental al buscar explicaciones racionales a los fenómenos naturales en lugar de explic
Paolo Ruffini fue un matemático y médico italiano del siglo XVIII. Estudió en la Universidad de Módena y luego se convirtió en profesor allí. En 1799 publicó un libro donde demostró que las ecuaciones de quinto grado no pueden resolverse mediante raíces, anticipándose a su época. Aunque su trabajo fue ignorado inicialmente, hoy se le reconoce como pionero en el uso de la teoría de grupos y la demostración de la irresolubilidad de las ecuaciones de quinto grado.
Bernhard Riemann fue un matemático alemán del siglo XIX que realizó importantes contribuciones al análisis y la geometría diferencial. Formuló la hipótesis de Riemann, un problema sin resolver en teoría de números, e introdujo conceptos como la función zeta de Riemann, la integral de Riemann y la geometría de Riemann. Fue profesor de matemáticas en la Universidad de Göttingen y miembro de varias academias científicas.
Henri Poincaré fue un destacado matemático, físico y filósofo francés nacido en 1854. Realizó importantes contribuciones en diversas áreas como topología, teoría de grupos, mecánica celeste y relatividad. Entre sus logros se encuentran haber establecido el grupo fundamental de un espacio topológico y haber demostrado el carácter caótico del problema de los tres cuerpos, anticipando la teoría del caos. También realizó contribuciones fundamentales a la relatividad especial, como la formul
Pitágoras fue un importante matemático y filósofo griego del siglo VI a.C. que realizó contribuciones fundamentales al desarrollo de las matemáticas. Fundó una escuela en Crotona, Italia donde enseñaba que la realidad subyacente es matemática y que las matemáticas pueden usarse para la purificación espiritual. Se le atribuyen descubrimientos como el teorema de Pitágoras y la existencia de los números irracionales.
Blaise Pascal fue un polímata francés del siglo XVII conocido por sus contribuciones a las matemáticas, la física y la filosofía. Nació en Clermont-Ferrand en 1623 e inventó la primera calculadora mecánica, la Pascalina. También realizó investigaciones pioneras sobre la presión atmosférica y el vacío y desarrolló conceptos matemáticos como el triángulo de Pascal y la teoría de probabilidad. Tras una conversión religiosa en 1654, Pascal se dedicó a
Isaac Newton nació en 1643 en Inglaterra. Se convirtió en un destacado matemático y físico y descubrió las leyes del movimiento y la gravitación universal. Estudió en la Universidad de Cambridge donde fue profesor y desarrolló el cálculo infinitesimal y la óptica. En 1687 publicó sus Principia Mathematica que establecieron los fundamentos de la física moderna. Pasó los últimos años de su vida como director de la Casa de la Moneda en Londres y presidente de la Royal Society.
John von Neumann nació en 1903 en Hungría y murió en 1957 en Estados Unidos. Fue un matemático prodigio que hizo contribuciones fundamentales a las matemáticas, la teoría de juegos, la computación y el desarrollo de la bomba atómica. Von Neumann ayudó a diseñar las primeras computadoras digitales como el ENIAC y el EDVAC, y propuso la arquitectura de von Neumann que es la base de las computadoras modernas. También participó en el Proyecto Manhattan para desarrollar
Nikolái Lobachevski (1792-1856) fue un matemático ruso pionero en el desarrollo de la geometría no euclidiana. Enseñó en la Universidad de Kazán durante más de 30 años y fue rector entre 1827 y 1846. Formuló de manera independiente un sistema de geometría hiperbólica que rechazaba el quinto postulado de Euclides. Sus ideas sobre una geometría alternativa se adelantaron a su época y recibieron inicialmente críticas, pero posteriormente se reconocieron como una contrib
Gottfried Leibniz fue un filósofo, matemático y político alemán del siglo XVII. Realizó importantes contribuciones al cálculo infinitesimal, la lógica y otras áreas. Inicialmente su reputación decayó, pero luego fue reconocido como uno de los pensadores más influyentes de su época. Actualmente se le considera uno de los últimos genios universales y se le otorgan premios en su honor.
Adrien-Marie Legendre fue un destacado matemático francés nacido en 1752. Realizó importantes contribuciones en áreas como la geometría, la teoría de números, el álgebra abstracta y el análisis matemático. Escribió la popular obra Elementos de Geometría y desarrolló el método de los mínimos cuadrados. Fue miembro de prestigiosas academias como la Academia de Ciencias de Francia y la Royal Society. Legendre murió en París en 1833 tras una larga carrera dedic
Laplace fue un destacado astrónomo, matemático y físico francés que hizo importantes contribuciones a la astronomía y probabilidad. Formuló la hipótesis nebular sobre la formación del sistema solar y demostró la estabilidad del mismo. También sentó las bases de la teoría matemática de probabilidades y fue un firme defensor del determinismo científico. Fue miembro de numerosas academias científicas y ocupó cargos como ministro del Interior de Francia.
Joseph-Louis de Lagrange fue un destacado matemático francés nacido en Italia en 1736. Estudió en Turín y se convirtió en profesor de matemáticas a los 19 años, destacando por resolver problemas complejos. Más tarde trabajó en Berlín y París, donde hizo contribuciones fundamentales al cálculo variacional y la mecánica analítica. Publicó obras influyentes y enseñó en la École Polytechnique. Fue reconocido como el mayor matemático de su época.
Andréi Kolmogórov fue un destacado matemático ruso que realizó importantes contribuciones en teoría de la probabilidad y topología. Estructuró el sistema axiomático de la teoría de la probabilidad utilizando el lenguaje de la teoría de conjuntos. Recibió numerosos premios y honores de academias de ciencias de todo el mundo por su trabajo pionero. Fue miembro de la Academia Rusa de Ciencias y profesor en la Universidad Estatal de Moscú.
Johannes Kepler (1571-1630) fue un astrónomo y matemático alemán conocido por sus tres leyes sobre el movimiento de los planetas. Estudió en la Universidad de Tubinga y trabajó como profesor de matemáticas y astrónomo imperial para Rodolfo II. Descubrió que los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, no en círculos, y formuló sus tres leyes fundamentales sobre el movimiento planetario.
Herón de Alejandría fue un matemático y astrónomo del siglo I a.C. que desarrolló fórmulas importantes como la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo a partir de sus lados. También inventó máquinas como la eolipila, un precursor de la turbina de vapor, y desarrolló un método para calcular raíces cuadradas. Escribió varios tratados sobre temas como mecánica, áreas, volúmenes y óptica.
1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA P o r e je m p lo :
CEPUNS θ
-θ α - 10º
10º - α
Ciclo 2013-I
TRIGONOMETRÍA
Semana Nº 1
“Ángulo Trigonométrico”
al referirse a ángulo trigonométrico debemos tener en
Ángulo Trigonométrico:
cuenta el significado de ángulo geométrico y observar las características
de ambos.
Ángulo
Geometría Plana Trigonometría Plana
Abertura determinada por dos rayos a Abertura que se genera por el movimiento
partir de un mismo punto. de rotación de un rayo alrededor de su
A origen, desde una posición inicial (lado
inicial) hasta una posición final (lado final)
Lado Inicial A
Definición
0 θ
0 θ
Lado Terminal
B
B
Son estáticos Son móviles
No tienen sentido de giro, por lo Su sentido de giro está definido:
tanto no hay ángulos negativos.
Están limitados
Los ángulos positivos tienen
sentido antihorario ().
Características ( 0º ≤ águlo Trigonométrico ≤ 360º )
Los ángulos negativos tienen
sentido horario ().
Su magnitud no tiene límites.
Nota: Para poder sumar o restar ángulos trigonométricos, estos deben estar orientados en el mismo
sentido. Si esto no ocurriese, se recomienda cambiar la rotación así:
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2. P o r e je m p lo :
10º - α
-θ α - 10º
θ
Sistemas de medición angular:
Para cualquier magnitud se necesita una unidad de medida, en los ángulos esto dependerá de la manera en
que es dividida la circunferencia. Entre los sistemas más usados tenemos:
Sistema Sexagesimal o Inglés (S): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado
sexagesimal que equivale a la 360ava parte de la circunferencia.
Equivalencias:
1v
1º <> (GradoSexagesimal )
360
1º <> 60`( MinutoSexagesimal )
1`<> 60``(SegundoSexagesimal )
1º <> 3600``( SegunoSexagesimal )
0
b c
Debemos tener en cuenta: a º b ´ ´´= a º +b ´+c ´´ a +
c = +
60 3600
Ejemplo: 28º30´27´´= 28 + 30´ + 27´´
Sistema Centesimal o Francés (C): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado
centesimal que equivale a la 400ava parte de la circunferencia.
Equivalencias:
1v
1g <> (GradoCentesimal )
400
1g <> 100 m (min utoCentesimal )
1m <> 100 s ( SegundoCentesimal )
1g <> 10000 s ( segundoCentesimal )
g
g m s g m s b c
Debemos tener en cuenta: a b c = a + b + c = a + +
100 10000
Ejemplo: 28 30 27 = 28 + 30 + 27
g m s g m s
Sistema Radial o Circular (rad.): es el sistema de medida angular cuya unidad de medida es el radian (1 rad.)
Equivalencias:
La medida de un ángulo en A
Aproximaciones de
r
radianes viene expresado por:
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3. Observación: 1 rad = 57º17´45`` 1rad > 1º > 1g
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RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
Realizando la comparación entre los tres sistemas estudiados, aplicando proporcionalidad legamos a la
siguiente conclusión:
Sº Cg Rrad
= = =a
360º 400 g 2πrad
Sº Cg Rrad
= = =c
180º 200 g πrad
Sº Cg 20 Rrad
= = =k
9º 10 g πrad
También una equivalencia de esta última relación es:
πk
S = 9k ; C = 10k ; R =
20
S C R R
=
9 10
; S = 180 π ; C = 200
π
S C R R
=
9 10
; S = 180 π ; C = 200 π
OBSERVACIÓN
Sexagesimales Centesimales
RELACIÓN MINUTOS:
DE # de grados S C
M m # de minutos 60 S 100 C
. = .
27 50
# de segundo 360 S 10000 C
M: # MINUTOS
SEXAGESIMALES
m: # MINUTOS
CENTESIMALES
SEGUNDOS: 1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:
a b
. = .
81 250
θ
a: # SEGUNDOS
SEXAGESIMALES α
b: # SEGUNDOS
-1 2 0 º
CENTESIMALES
a) α + θ = 240º b) α + θ = 120º
PROBLEMA DE CLASE
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c)α - θ = 240º d) α - θ = 120º a + 10b
E =
e) θ - α = 240º a
2. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:
x
A) 1 B) 27 C) 30 D) 324 E) 325
y
6. Si se cumple :
2 2 2
a) x + y = 180º b) x + y = 360º π S2 +C 2 +R2 S R C
+ = 1 + + 1 + + 1 +
c) x - y = 360º d) x - y = 180º 12R (S + C + R ) 2 S + C + R S + C + R S + C + R
e) x - y = 270º donde S, C y R son las medidas usuales del
mismo ángulo; entonces R es igual a:
3. De la figura halla el máximo valor que toma π π π π 5π
a) rad b) rad c) rad d) rad e) rad
120 60 40 30 120
"α " (1º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2012 III)
7. En la siguiente figura, la medida del ángulo
AOB, en radianes, es:
a) 180° b) 160° c) 150° d) 135° e) 120°
π π π π π
4. Del grafico, calcular la relación que cumplen los a) b) c) d) e)
ángulos: α , β , θ 6 36 18 12 22
(2º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2010 III)
8. Un ángulos positivo mide Sº ó Cg. Hallar 10
C
de la igualdad: S = C
C S
a) 10 b)9 c) 1 d) 10/9 e)9/12
9. Si: x º y '+y º x ' = (AB )º (CD )' ; x + y = 90 ,
calcular A + B + C + D
a) θ − α + β = 720° α − β + θ = 720°
b) a) 10 b) 18 c) 15 d) 12 e) 13
c) β − α − θ = −720° d) θ − α − β = 360°
e) θ + α + β = 360° 10. Halle “C” a partir de la ecuación:
S6 C7 20 8
+
9 10
−
π
R = 4 S5 + C6 − R 7 ( )
5. Simplificar la expresión:
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Siendo “S”, “C” y “R” lo convencional para un 2 1 3 2 7
a) b) c) d) e)
mismo ángulo. 13 15 20 25 12
a) 20 b) 25 c) 40 d) 50 e) 10
17. Siendo “S” el número de grados sexagesimales
11. Calcular “n”. Si: de un determinado ángulo que cumple:
R 18 4
C S + C + S C ... + C + = 3800
+ + + S + S − S = 3 , Calcular la medida de dicho
π 4
"2n " Sumandos S
a)1 b) 10 c) 30 d) 40 e) 50 ángulo en radianes.
9π 8π 7π 6π 5π
a) rad b) rad c) rad d) rad e) rad
12. De la siguiente expresión, calcular “n, si: 20 15 15 25 18
1º +8º +27 º + + n 3 º ( )
= 420
1g + 2g + 3g + + n g 18. Siendo R, S y C lo convencional para un mismo
A) 25 B) 27 C) 18 D) 23 E) 21 ángulo, donde :
x x
13. Calcular la medida de un ángulo en radianes, si S = x x + 2; C = x x + 4 . Calcular R.x
se cumple la siguiente condición: π π π π π
a) rad b) rad c) rad d) rad e) rad
( )
5 5 5
S C 5R 10 5 12 9 3
+ + = 2 S 4 + C 4 + R4
36 40 π
a)
4π
rad b)
2π
rad c)
3π
rad d)
5π
rad e)
2π
rad 19. Expresar “ α ” en radianes:
5 5 10 4 9 α = 1° + 2° + 3° + ... + 360°
a) 359π b) 360π c) 361π d) 362π e) 720π
14. Sabiendo que:
1º 21′ 2º15′ ′ 4º 3′ ′′
º
g m s
20. Sabiendo que: C S = S C y además:
3′ 5′ 3′ = a0 bc de
S =9x, Hallar: M = 10x
x
b+d+s+e
Calcule: M = a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
a+c +e
1 1
a) 1 b) 2 c) 2 d) 3 e) 3
PROBLEMA DE
15. Se ha creado un nuevo sistema: Sistema Rangel REPASO
3
En el cual 1R (grado Rangel) equivale a las
4 1. Calcular el mayor valor de un ángulo expresado
partes del ángulo de una vuelta. en grados sexagesimales tal que cumpla la
7π R π
Simplifique:
3R −
2
rad siguiente condición: 2 +3 =5
M =
18º π R
A) 10 B) 9 C) ½ D) 5 E) 1 a) 495° b) 450° c) 405° d) 360° e) 315°
2x − y 2. Siendo R, S y C lo convencional para un mismo
16. De la figura mostrada, calcule: M = C−S
y ángulo, calcular M = , si:
R
yg
C= ( 2c − 10) ( 2C − 10) ( 2C − 10) ( 2C − 10)
5θ xº
3θ
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7. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
π 10 π 20 5 9. Siendo “S” el número de grados sexagesimales y
a) rad b) rad c) rad d) rad e) rad
5 π 10 π π “c” el número de grados centesimales que mide
un ángulo menor que una circunferencia,
3. Calcular: J.C.C.H. calcular dicho ángulo en radianes sabiendo que.
Si: 68g <> JCºCH’ C = x2-x-30 ; S = x2+x-56
a) 6 b) 12 c) 24 d) 30 e) 22 3π 3π 3π 3π 3π
a) b) c) d) e)
5 7 10 11 13
4. Dada la figura:
π
10. Siendo
16
rad ≡ xºy'. Hallar y −x
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
ag b’
Calcular:
b + 4a 11. Si los números “S”, ”C” y “R” representan lo
K= convencional para un mismo ángulo. Determine
− 2a
el valor de “R”, si “S” y ”C” están relacionados
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e)
de la siguiente manera:
25
S = 6xx + 9 , C = 8xx − 6
3π 9π π 9π 10π
5. La medida de los ángulos iguales de un triángulo A) B) C) D) E)
20 20 20 10 9
isósceles son (6x)º y (5x+5)g. Calcular el ángulo
desigual en radianes.
12. Se inventan 2 sistemas de medición angular
2π 3π 4π π π
a) rad b) c) rad d) rad e) rad “x” e “y”, tal que: 25x < > 50g , además 80y < >
5 5 5 10 5
90º. Determinar la relación de conversión
entre estos 2 sistemas x/y.
6. Determinar la medida circular de un ángulo
3 5 7 9 11
para el cual sus medidas en los diferentes a) b) c) d) e)
8 8 8 8 8
sistemas se relacionan de la siguiente manera:
3 3 3
18 20 π 3,5C − 3S 1
+ + = 13. Si se cumple que:
S C 10R C −S 9
361(C − S )3 = 400(C + S )2
2π 3π 4π 5π
a) 3πrad b) rad c) rad d) rad e) rad 2,4R + π
10 20 7 18 Hallar: E =
7. Siendo S y C lo convencional de un ángulo para 1,3R − π
1g2m 1º12' a) 9/5 b) 8/3 c)6/5 d) 5/2 e) 7/5
el cual se cumple: 5S + 3C = +
2m 3'
Hallar el número de grados sexagesimales. S C
a) 10 b) 81 c) 72 d) 9 e) 14. Si: m = C − y n =S + donde S: numero
9 10
18 de grados sexagesimales, C: numero de grados
8. Siendo “y” el factor que convierte segundos centesimales de un mismo ángulo. Además se
centesimales en minutos sexagesimales y ”x” el cumple que: mn = nm .
factor que convierte minutos centesimales en Calcular: E = −9 m + −10 n
segundos sexagesimales. Calcular x/y.
a) 1,6 b) 1,8 c) 1,4 d) 1,2 e) 1
a) 2000 b) 4000 c) 6000
15. Calcular 100a + 9b
d) 8000 e) 9000
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8. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
1
C − S = x + ; ∀x ∈ R + .
x
¿Cuál es la medida del menor ángulo en radianes
que verifica la expresión anterior?
π π π π π
a) rad b) rad c) rad d) rad e) rad
2 4 5 10 20
a) 1 b) -1 c) 2 d) 0 e) 3
18. Del gráfico adjunto, halle “α − θ”. α
16. A partir del gráfico mostrado, determine la
medida del ángulo AOB, si “β” toma su mínimo o
valor. B A
θ
( 45 − 9β ) º 10 ( α² − 10α + 40 )
g
A) 180º B) 360º C) 270º D)450º E) 540º
o
19. El número de minutos sexagesimales de un
C D ángulo más el número de minutos centesimales
a) 52g b) 30º c) 45g d) 45º e) 135º del mismo ángulo es igual a 308. Calcular el
número de radianes de dicho ángulo.
π π π π 3π
17. Si los números de grados centesimales (C) y a) b) c) d) e)
20 50 100 25 10
sexagesimales ( S ) que contiene un ángulo, se
relacionan del siguiente modo:
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