UACH Fisica De Las Ciencias Forestales 3 2 Formación de Nubes y Lluvia

Física en las Ciencias Forestales
3.2 Formación de Nubes y Lluvia
Teoría

Dr. Willy H. Gerber

Instituto de Física,
Universidad Austral, Valdivia, Chile

26.10.2009

W. Gerber Física en las Ciencias Forestales - 3.2 Formación de Nubes y Lluvia - Teoría 26.10.2009 1 / 52

Termodinámica de la Atmósfera

Cara comprender la forma como se desplazan las masa de aire
debemos estudiar la termodinámica asociada. Por ello
estudiaremos:

▶ Presión en la Atmósfera
▶ Trabajo sobre Gases
▶ Energía Calorica de Gases
▶ Primera Ley Termodinámica
▶ Cambio Adiabatico


Presión en la Atmósfera I

A medida que subimos en la
S atmósfera la presión va
z + dz p + dp, + d disminuyendo. Esto se debe
a que la densidad del gas
se reduce por efecto de que
existe cada vez menos
columna de aire que la
comprime. Si consideramos
un volumen de sección S y
z altura dz tendremos que la
diferencia de presión en la
p, altura z sera dp(z) lo que
originará una fuerza efectiva
de dp(z) ⋅ S.

Presión en la Atmósfera II
Esta fuerza tiene que ser
Con ello la ecuación que nos
capaz de contrarrestar el
permite calcular la variación
peso del volumen dz ⋅ dS que
de la presión dp en función
tiene una masa (z)dz ⋅ dS
de la variacion de la altura dz
donde es la densidad en la
altura z. Como el peso es dp = −g (z)dz
g (z)dz ⋅ dS se tiene
o
dp ⋅ dS = −g (z)dz ⋅ dS (1) dp
= −g (z) (2)
dz
El signo negativo denota que El problema que aun
el peso actúa en dirección de debemos resolver es que la
la tierra o sea en dirección densidad en si depende de
opuesta a la con que presión.
medimos la altura.


Presión en la Atmósfera III
Para resolver esto basta
considera la Ecuación de los con M la masa y V el
gases. Esta es Volumen. Con m la masa
molar se tiene que la masa M
pV = nRT (3) es
M =n⋅m (5)
con p la presión en un
volumen V de n moles de un con n el numero de moles. Si
gas a temperatura T medida reemplazamos en (4) la masa
en grados Kelvin y R la de (5) y luego empleamos la
constante de gases ecuación de gases (3) se
(8,314 J/mol K). Por otro lado obtiene que
tenemos que la densidad es
M n⋅m m⋅p
= = = (6)
M V V RT
= (4)
V

Presión en la Atmósfera IV
Si se reemplaza en (2) la
expresión para la densidad (6)
se obtiene
dp mg
=− p (7)
dz RT
Si empleamos wxmaxima se
puede integrar esta ecuación
obteniéndose
Solución de la Ecuación p(z) = p0 e−mgz/RT (8)
diferencial mediante
wxmaxima. con p0 la constante de
integración.


Presión en la Atmósfera V
Para el caso del aire la masa
molar es de 28,9644 g/mol por
lo que a 18∘ C se puede calcular
una altura característica
RT
z0 = = 8527,8 m
mg

Si se considera la presión p0 a
la altura cero (z = 0) como una
atm (atmósfera) o 101,325 kPa
se obtiene

p(z) = p0 e−z/z0
Representación empleando
= 101,325 e−z/8527,8 m kPa
wxmaxima.


Trabajo sobre Gases I
Cuando un globo se eleva
en la atmósfera, la presión
se va reduciendo con la
altura por lo que el globo se
F =p⋅S dilata. El trabajo W que
realiza la presión es igual a
S la fuerza F por el camino
du recorrido du

W = F ⋅ du (9)

Como la fuerza es el
producto de la presión p por
la superﬁcie S

F = −p ⋅ S (10)

Trabajo sobre Gases II

el trabajo es
F =p⋅S
W = F ⋅du = −p⋅S⋅du (11)
S
du
Como S ⋅ du es el cambio en
el volumen dV se tiene
ﬁnalmente que el trabajo es

W = −p ⋅ dV (12)


Energía Calorica de Gases I

Si tenemos una masa M de
un gas y le introducimos la
energía Q la temperatura
subirá en dT. Dicho
aumento es siempre
proporcional a la cantidad
de calor suministrado. Si el
gas esta encerrado en un
recipiente en que no se
puede dilatar la constante
se denomina calor
especiﬁco a volumen
constante cV .
Calentando Agua


Energía Calorica de Gases II

La constante se calcula de
Q0
cV = (13)
M ⋅ dT0
Con dicho valor se puede
luego calcular el calor Q
asociado a una variación de
la temperatura dT

Q = M ⋅ cV ⋅ dT (14)

Calirimetro simple

Primera Ley Termodinámica
El primero en formular la
primera ley de la
termodinámica fue Rudolf
Clausius. La primera ley indica
que la energía se conserva, y
se puede formular como que ’si
se aumenta la energía interna
de un sistema dU esta
conducirá a un aumento el
calor del sistema Q o a una
perdida por efecto del trabajo
realizado por el sistema W:
Rudolf Clausius
(1822-1888) dU = Q − W (15)


Cambio Adiabatico I
Cuando un proceso ocurre
demasiado rápido el sistema
no tiene tiempo para
M ⋅ cV ⋅ dT + p ⋅ dV = 0 (17)
intercambiar energía con el
medio circundante. En este Con la ecuación de los gases
caso la energía interna no (3) y la relación (5) se llega a
varia por lo que
dV
dU = Q − W = 0 (16) nm⋅cV ⋅dT = −p⋅dV = −nRT
V

Eso signiﬁca que si el o
sistema tiene que hacer dT R dV
trabajo W deberá reducir su =− (18)
T mcV V
calor Q. Empleando (12) y
(14) la condición adiabatica que se puede integrar.
(16) se reduce a

Cambio Adiabatico II
Si escribimos (18) de la forma
dT R T
=− (19)
dV mcV V
podemos integrar esta
ecuación obteniéndose

T = C ⋅ V −R/mcV (20)

La constante se puede
determinar para un volumen
Integración mediante V0 en particular y la
wxmaxima. temperatura T0 especíﬁcos
R/mcV
C = T0 V0 (21)


Cambio Adiabatico III

Con (21) la ecuación (20) se
escribe como
−1
T V0
= (22)
T0 V

donde es el indice
adiabatico y se calcula de
R
=1+ (23)
mcV
que en el caso del aire es del
Curva T-V a presión
orden de 1,4.
constante con wxmaxima.


Cambio Adiabatico IV

Si se reemplaza en la
ecuación (22) el volumen
desde la ecuación de gases
(3) se obtiene la ecuación
adiabatica para el caso de
volumen constante
( −1)/
T p
= (24)
T0 p0

Curva T-p a presión


Cambio Adiabatico V

Si se reemplaza en la
ecuación (22) la temperatura
desde la ecuación de gases
(3) se obtiene la ecuación
adiabatica para el caso de
temperatura constante

p V0
= (25)
p0 V
Curva p-V a temperatura


Nubes y Lluvia

Basados en los conceptos termodinámicos podemos describir
el desplazamiento de masas de aire y la formación de lluvia.
Por ello estudiaremos:

▶ Sustentación e Inestabilidad
▶ Tipo de Corriente
▶ Desplazamiento del Aire
▶ Condensación del Agua
▶ Formación de Gotas
▶ Lluvia


Sustentación e Inestabilidad I

Como vimos antes, una masa
en aire de sección S esta
expuesta a la diferencias de
presión dp que existe en
distintas alturas lo que puede
llevar a una fuerza de
sustentación S ⋅ dp. Esta es
según (1) igual a

S ⋅ dp = S ⋅ h ⋅ m ⋅g (26)

donde m es la densidad del
Una nube asciende como un medio circundante y h es la
globo de helio. altura de la nube.


Sustentación e Inestabilidad II

Por otro lado la nube esta En otras palabras, si la
expuesta a su propio peso densidad de la nube es
mayor que la de su entorno
⋅S⋅h⋅g estamos frente a una
situación estable: la nube no
siendo la densidad de la se desplaza. Sin embargo, si
nube y g la aceleración la densidad del entorno es
gravitacional. Por ello la mayor que la de el nube,
fuerza total es existirá suﬁciente
sustentación y la nube se
F = S ⋅ h ⋅ g( m − ) (27) elevara.


Tipo de Corriente

Si la nube se desplaza, es
importante saber que tipo de
corriente existirá. Para ello
debemos estimar el numero
de Reynold
⋅R⋅
Re = (28)

donde es la densidad, R
una dimensión característica,
la velocidad y la
viscosidad. En este caso se
obtiene que es una corriente
turbulenta.


Desplazamiento del Aire I

Si la corriente es turbulenta,
existirá una fuerza de
resistencia del tipo
1 2
FT = CW ⋅ S m c (29)
2
donde CW es el coeﬁciente
de resistencia, S la sección
de la nube y c su velocidad.
La fuerza de sustentación
(27) acelerara la nube hasta
el punto en que sea
compensada por la fuerza de
resistencia (29).


Desplazamiento del Aire II

En dicha situación y
suponiendo que la sección no
varia con la altura se da que
1 2
S ⋅ h ⋅ g( m − ) = CW ⋅ S m c
2
por lo que la velocidad es

2 ⋅ h ⋅ g( m − )
c = (30)
CW m

Despejando con wxmaxima.


Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevan Otro tipo de obstáculo son
a la elevación de masas de zonas de mayor densidad del
aire son, por ejemplo, los aire (por lo general zonas de
obstáculos terrestres. Si un menor temperatura). Cuando
desplazamiento horizontal se estas zonas se desplazan
enfrenta a un cerro, las elevan masas de aire mas
masas de aire tendrán que cálidas que se puedan
ascender. encontrar en su camino.


Condensación del Agua I
Al subir la masa de aire se va
descomprimiendo por lo que
se expande. Dicha expansión
ocurre suficientemente rápido
de modo de que no existe
mayor intercambio de
energía con el medio. Esto
significa un cambio
adiabático y con ello una baja
de la temperatura. La baja de
temperatura conduce a que la
humedad relativa sube hasta
alcanzar la saturación tras la
cual se comienzan a formar
gotas llevando a la formación
de nubes y finalmente lluvia.

Condensación del Agua II
La presión del vapor de agua
en el caso de aire saturado
es La humedad relativa se
deﬁne como la fracción de
ps = p0 e−ΔH/RT (31) presión de vapor de agua pv
existe en comparación con el
con ΔH la entalpía de
máximo posible que se
evaporización del agua, R la
calcula con la ecuación (31):
constante de gas y T la
temperatura en grados pv
HR = 100 % (32)
Kelvin. p0 es la presión en el ps
punto triple y es igual a
3,65 × 1010 Pa.


Condensación del Agua III

Con la entalpia de 40,65 kJ/molK se obtiene que la presión de
vapor de agua en función de la temperatura es:


Condensación del Agua IV

Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando la
saturacion de la humedad contenida. Si continua ascendiendo
y baja a T3 deberá continuar reduciendo el agua dado que la
capacidad de soportar humedad continua bajando.


Condensación del Agua IV
Esta agua liberada forma las En esta situación sera
microgotas que son visibles
como nubes y luego las gotas pv = p0 e−ΔH/RTs (34)
que forman la lluvia.
Si se igualan (33) con (34) se
Si el aire esta a una
obtiene
temperatura T y presenta una
saturación de HR la presión HR −ΔH/RT
e = e−ΔH/RTs
de vapor de agua sera igual a 100 %
HR que nos da la temperatura
pv = p0 e−ΔH/RT (33)
100 % del punto de rocío:

Al bajar la temperatura hasta T
Ts = (35)
un valor Ts se alcanzara la RT HR
1+ log
saturación. ΔH 100 %


Formación de Gotas I

A medida que el agua
condensa se van formando
pequeñas gotas que
comienzan a caer. Cuando
las velocidades son aun
pequeñas las gotas son
frenadas por la fuerza de
Stokes

FR = 6 a (36)

con la viscosidad del aire, a
George Stokes el radio de la gota y la
(1819-1903) velocidad de desplazamiento.


Formación de Gotas II
La gota comienza a caer por
efecto de la gravedad y es
frenada por efecto de la
fuerza de Stokes
aumentando la velocidad
hasta que ambas fuerzas son
iguales. En tal situación y
siendo w la densidad del
agua se tiene
4 3
6 a d = mg = a wg
3
por lo que la velocidad es

2a2 g
d = (37)
9

Formación de Gotas III
La velocidad de caída de la
gota se calcula de la
velocidad (37) restando la
velocidad de la corriente
ascendente

r = d − c (38)

Para una gota de radio
0,5 mm, densidad 1 g/cm3 , en
aire con viscosidad de
1,8 × 10−5 Pas y densidad
1,27 kg/m3 la velocidad de
caída es de 30,2 m/s.


Formación de Gotas IV

Al mismo tiempo se deja
calcular el numero de
Reynold dando 1065 lo que
signiﬁca que la caída ocurre
en el limite laminar.


Lluvia I
Para calcular la cantidad de Luego se calcula el numero
lluvia que cae debemos de moles por Volumen
estimar el volumen de agua empleando la ecuación de los
que se condensa. Para ello gases (3) despejando el
se calcula la cantidad de numero de moles por
moles de agua que existen volumen:
inicialmente suspendidos.
ni p
Esto se logra con la ecuación = (39)
de la presión del vapor de V RT
agua (31) y el nivel de Enseguida se calculan de la
saturable (32): misma forma los moles que
aun quedan suspendidos en
HR
pv = p0 e−ΔH/RT la atmósfera nf /V.
100 %


Lluvia II
La diferencia ni − nf nos esta se llenara a una altura Δ
permite calcular los moles de tal que corresponda al
agua que condensaron. Si volumen de los N moles. Si la
consideramos un volumen de masa molar es m, la
base S y altura h estos sera densidad del agua y V el
un total de volumen del agua, se debe
ni − nf dar que
N =S⋅h
V
Nm = V = SΔ
o
pi pf por lo que el agua caída sera
N =S⋅h −
RTi RTf m⋅h pi pf
Δ= −
Si recogemos el agua en una RTi RTf
bandeja de base S, (40)


Anexos

▶ Variaciones y Diferenciales
▶ Uso de wxmaxima
▶ Unidades
▶ Conversiones
▶ Bibliograﬁa
▶ Contacto


Variaciones y Diferenciales I
Las variaciones diferenciales
se caracterizan porque la
x2 diferencia dx solo depende del
valor inicial x1 y el valor ﬁnal x2
y no la forma en que se vario la
variable x. En estos casos
dx = x2 − x1 x
dx = x2 − x1 (41)

x Cuando la diferencia depende
de la forma como se logro la
x1
variación se denota la variación
con la letra delta:

x ∕= dx (42)


Variaciones y Diferenciales II

x2

Un ejemplo típico es cuando
existe una función f de una
dx = x2 − x1 x
variable z según la cual

x x = f (z)dz (43)
x1


Uso de wxmaxima I

Maxima es un Software gratuito que realiza operaciones
algebraicas (despejar, desarrollar, factorizar), realizar
operaciones de derivación, integración, solución de ecuaciones
diferenciales ademas de representación gráﬁcas de funciones
y valores. Se puede bajar desde
http://wxmaxima.sourceforge.net/wiki/index.php/Main_Page
A continuación se presenta un resumen de las principales
operaciones que se pueden hacer.


Uso de wxmaxima II

Operaciones algebraicas: Si se ingresa

y = (a ∗ x + c)/(b ∗ x + d)

y se solicita despejar con

solve([ %], [x])

el sistema retorna la solución como
(d ∗ y − c)
x=−
(b ∗ y − a)


Uso de wxmaxima III

Evaluaciones de expresiones: Si se ingresa

y =a∗x+c

y se deﬁnen los valores
a:2
c : −5
x:6
y se solicita evaluar
ev( %o1)
el sistema entrega el valor que es 7 ( %o1 representa la linea
en que se deﬁnió la ecuación).


Uso de wxmaxima IV

Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero la
ecuación
(a ∗ x + c)/(b ∗ x + d)
luego la instrucción
diff ( %, x, 1)
en donde se indica la ecuación ( %), la variable en que se
deriva (x) y el orden de la derivada (1). El sistema retorna la
solución como
a (b ∗ (a ∗ x + c))
−
(b ∗ x + d) (b ∗ x + d)2


Uso de wxmaxima V

Para integrar (obtener el área debajo de la curva) se escribe
primero la ecuación

(a ∗ x + c)/(b ∗ x + d)

integrate( %, x)
en donde se indica la ecuación ( %) y la variable en que se
integra (x). El sistema retorna la solución como

((a ∗ d − b ∗ c) ∗ log(b ∗ x + d)) (a ∗ x)
− + + %c1
b2 b
con %c1 la constante de integración. Se puede también
integrar entre dos valores deﬁnidos.


Uso de wxmaxima VI

Para resolver una ecuación diferencial primero se escribe la
ecuación
′
diff (y, x, 2) − b ∗′ diff (y, x, 1) + c ∗ y = 0

ode2( %, y, x)
en donde se indica la ecuación ( %), la función a integrar (y) y
la variable (x). El sistema retorna la solución como

y = %e( (b ∗ x)/2) ∗ ( %k1 ∗ sin((sqrt(4 ∗ c − b2 ) ∗ x)/2)

+ %k2 ∗ cos((sqrt(4 ∗ c − b2 ) ∗ x)/2))


Uso de wxmaxima VII

Para representar una función en forma gráﬁca se ingresa
primero la ecuación

(a ∗ x + c)/(b ∗ x + d)


plot2d( %, [x, 0, 2], [xlabel, ”x”], [ylabel, ”y”]);

en donde se indica la ecuación ( %), la variable (x) y su rango
([0, 2]) y las leyendas de los ejes. Si se antecede la palabra plot
con wx la gráﬁca es presentada dentro de la misma ventana,
de lo contrario se abre una ventana aparte.


Uso de wxmaxima VIII

Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion

sqrt(1 − t)

taylor( %, t, 0, 3)
en que primero se indica para que ecuación ( %), luego en que
variable (t), el valor alrededor del que se expande (0) y el orden
(3). Luego el sistema indica la serie

t t2 t3
1− − − + ....
2 8 16


Unidades

Simbolo Tipo Ejemplos
L Largo m, cm, mm, m
T Tiempo s, min, hrs
M Masa kg
% Porcentaje −

Simbolo Tipo Ejemplos
L2 Área, Superﬁcie m2 , cm2
L3 Volumen m3 , cm3
M/L3 Densidad kg/m3 , g/cm3


Conversiones I

1 m = 10−6 m 1 nm = 10−9 m 1 nm3 = 10−9 m3
1 mm = 10−3 m 1 nm2 = 10−18 m2 1 m3 = 10−18 m
1 cm = 10−2 m 1 m = 10−12 m 1 mm3 = 10−9 m3
1m = 10+2 cm 1 mm2 = 10−6 m2 1 cm3 = 10−6 m3
1m = 10+3 mm 1 cm2 = 10−4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10−3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt
1m2 = 10−4 ha


Conversiones II

1 g/cm3 = 10+3 kg/m3 1s = 1,67 × 10−2 min
1 kg/m3 = 10−3 g/cm3 1s = 2,78 × 10−4 hr
1s = 1,16 × 10−5 dias
1 m/s = 3,6 km/hr 1s = 3,17 × 10−8 aos
1 km/hr = 0,278 m/s 1 ao = 3,15 × 10+7 s
1 dia = 8,64 × 10+4 s
1 hr = 3600 s
1 min = 60 s


Bibliograﬁa I

Textos recomendados. En caso de links a Google Books se
trata de un acceso gratuito a una versión incompleta del libro.
Climate: The Force That Shapes Our World and the Future
of Life on Earth, Jennifer Hoffman, George Ochoa, Tina
Tin, Rodale Press, 2005, ISBN-13: 9781594862885
→ Leer en Google Books
Climate Change: Science, Strategies, and Solutions, Eileen
Claussen (Editor), Pew Center on Global Cli, Vicki Cochran
(Editor), Debra P. Davis (Editor), Vicki Arroyo Cochran , Brill
Academic, 2001, ISBN-13: 9789004120242


Bibliograﬁa II

Understanding Climate Change Feedbacks, Panel on
Climate Change Feedbacks, National Research Council,
Climate Research Committee, National Academies Press,
2003, ISBN-13: 9780309090728
The sun, solar analogs and the climate, Joanna D. Haigh,
Michael Lockwood, Mark S. Giampapa, Springer-Verlag
New York, LLC, 2005, ISBN-13: 9783540238560
A climate modelling primer, K. McGufﬁe, A.
Henderson-Sellers, Wiley, John Sons, LLC, 2005,
ISBN-13: 9780470857519


Bibliograﬁa III

Stochastic climate models, Peter Imkeller, Jin-Song Von
Storch, Birkhauser Verlag, 2001, ISBN-13: 9783764365202
Climate Change 2007: The Physical Science Basis, IPCC
Fourth Assessment Report (AR4), IPCC
→ Leer en la Web


Contacto

Dr. Willy H. Gerber
wgerber@gphysics.net

Instituto de Física
Universidad Austral de Chile
Campus Isla Teja
Valdivia, Chile
+(56) 63 221125

Set del Curso:
http://www.gphysics.net/physics-in-forestry-uach


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