El documento resume las principales características de las funciones, incluyendo su definición, formas de expresarlas (tabla, enunciado, algebraica, gráfica), elementos (conjunto de salida, conjunto de llegada, dominio, rango), y tipos de funciones (polinómicas como lineal, cuadrática, cúbica; trigonométricas; valor absoluto; exponencial; logarítmica). También describe funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas, pares e impares.

1. Funciones
Presentado por: Tammy Roterman y
Orli Glogower, Melany Cerda
Ultimas modificaciones : Jorge De
Luque

2. Funciones
Definición
Características
Formas
de expresar
Funciones
Inyectivas,
Sobreyectivas y
Biyectivas
Funciones Pares
e Impares
Tipos

3. Función
• Definición
• Una función es una relación entre
un conjunto dado X (el dominio) y
otro conjunto de elementos Y (el
rango) de manera que a cada
elemento x del dominio le
corresponda uno y solo un
elemento del rango f(x).
• A cada Pre Imagen le corresponde
una sola y solo una Imagen.

4. Función
La Respuesta correcta es B

5. Formas de expresar una
función
Una función se puede expresar de 4 distintas
formas:
Enunciad
o
Algebraicamen
te
Gráfic
a
Tabla

6. Una función se expresa a través de
una tabla, cuando se dan algunos
valores de X con los valores
correspondientes de Y.
X 0 2 8 10 12
Y 3 4 2 8 10
Ejemplo:

7. Una función se expresa a través de
un enunciado cuando se describe
verbalmente.
Ejemplo: Una función, es la relación entre
los elementos del dominio y los del rango.

8. Una función se expresa a través de una
formula o expresión algebraica cuando
se da una ecuación en la que se
relacionan las variables X y Y.
f(x)= 2x +4
f(x)= 4X2 – 3X + 8
f(x)= X3
+ 2X2
– 4X
Ejemplo:

9. Una función se expresa a través de
una gráfica, cuando se representan los
pares (x,y) en el plano cartesiano.
Ejemplo:

10. Variable dependiente
Variable independiente
Imagen
Pre Imagen
Conjunto de salida
Conjunto de llegada
Dominio
Rango
Punto de corte con X
Punto de corte con Y
Crecimiento
Periodicidad
Máximos y mínimos
Características de
las funciones

11. Son los posibles valores del conjunto de
llegada. La variable dependiente se llama Y.
Son los posibles valores del conjunto de
salida. La variable independiente se llama
X.
Características

12. • Los elementos
principales de una
función son los posibles
valores que pueden
tomar ambas variables.
Estos valores son
llamados Imágenes y Pre
Imágenes.
Imagen: Los valores del conjunto de llegada
que se relacionan con los valores del
conjunto de salida.
Pre Imagen: Los valores del conjunto de
salida que se relacionan con los valores del
conjunto de llegada.
a 1
b 2
c 3
4
YX
f
Características

13. Rango: Conjunto de elementos del conjunto de llegada
que están relacionadas con un valor del conjunto de
salida.
Dominio: Conjunto de elementos del conjunto de salida que
están relacionadas con algún elemento del conjunto de
llegada.
Características

14. • Luego para la función f denotada:
– Dominio de f = Dom f = A = {a, b, c, d, e}
– Codominio = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
– Rango o Recorrido de f = Rec f = {1, 2, 3, 4, 7}
a
b
c
d
e
1
2
3
4
5
6
7
A B
f
Los elementos {5, 6} no son imagen de ninguna
preimagen en A, luego no pertenecen al rango de f .

15. Función
La Respuesta correcta es D

16. Conjunto de Salida: Conjunto de Pre Imágenes.
Conjunto de Llegada: Conjunto de Imágenes.
Características

17. Punto de corte con X: Se halla cuando Y=0. Se
iguala la función a 0, o se factorisa.
Punto de corte con Y: Se halla cuando X=0. Se
reemplaza X por 0.
Características

18. Crecimiento:
Función creciente: Es creciente cuando al
aumentar los valores de X, aumenta Y.
Función decreciente: Es decreciente, cuando
al aumentar los valores de X, disminuye Y.
Periodicidad:
Una función es periódica, si su gráfica
se repite en intervalos de amplitud
constante.
Periodo: Longitud del intervalo que se
repite.
Máximos y mínimos:
Máximo relativo: Es un punto en el que el
valor de la función es mayor que en los
puntos que están próximos.
Mínimo relativo: Es un punto en el que el
valor de la función es menor que en los
puntos que están próximos.
Características

19. • Funciones Inyectivas:
• Una función es Inyectiva si a cada valor
del dominio le corresponde un valor del
rango. No puede haber dos o mas
elementos del dominio con la misma
imagen.
• Funciones
Sobreyectivas o
epiyectiva:
• Una función es Sobreyectiva si cada
elemento del rango es como mínimo la
imagen de un elemento del domino.
1
2
3
D
B
C
A
X Y
1
2
3
4
D
B
C
X Y

20. Función Biyectiva:
• Una función es Biyectiva
cuando todos los elementos
del conjunto de salida
tienen una imagen distinta
en el conjunto de llegada
(inyectiva), sumándole que
a cada elemento del
conjunto de salida le
corresponde un elemento
del conjunto de llegada
(sobreyectiva).
1
2
3
4
D
B
C
A
X Y

21. Función
La Respuesta correcta es E

22. • Función Impar:
• Se llama función impar a la que
para todo x perteneciente al
Dominio de la función, se cumple
que:
• Se produce una simetría con
respecto al origen de coordenadas.
• Ejemplo:
• f(x)= X3
• f(2)=8
• f(-2)=-8
• Todas las funciones impares
cumplen la ecuación:
• Función Par:
• Se llama función par a la que para
todo x perteneciente al Domino de
la función, se cumple que:
• Se produce una simetría con
respecto al eje y.
• Ejemplo:
• f(x)= X2
• f(-2)= 4
• f(2)= 4
• Todas las funciones pares cumplen
la ecuación:

25. Tipos de funciones
Trigonométricas
Por Partes o
A Trozos
Valor Absoluto
Exponencial
Logarítmica
RacionalPolinómicas

26. Grado Impar
Funciones polinómicas
Cuadrática
Grado Par
Constante
Lineal
Cúbica
Afín
Idéntica

27. Generalidades de una función
polinómica
• Se llama función polinómica a toda aquella que está definida por medio de
polinomios.
• Según el grado del polinomio, las funciones polinómicas se pueden
clasificar en:
• En el conjunto de las funciones polinómicas pueden definirse los siguientes tipos de
operaciones:
• Suma de dos funciones f (x) y g (x): produce una nueva función (f + g) (x).
• Producto de una función f (x) por un número l: produce una nueva función (l × f) (x).
• Producto de dos funciones f (x) y g (x): resulta una nueva función (f × g) (x).
Grado Nombre Expresión
0 Constante y= a
1 Lineal y= ax + b
2 Cuadrática y= ax2
+ bx + c
3 Cúbica y= ax3
+ bx2
+ cx + d

28. Función Constante
• Es una función polinómica de grado
cero que no depende de ninguna
variable.
• Se define por la ecuación: y= a
Dominio= IR
Rango= a
Conjunto de Salida= IR
Conjunto de Llegada= IR
Punto de corte con x= no
existe
Punto de corte con y= a
EJEMPLO

29. Análisis:
y= 6
Dominio-Conjunto de salida= IR
Conjunto de llegada= IR
Rango= {6}
Punto de corte con y= 6
Constante

30. Función Afín
• La función afín viene dada por
la ecuación: y= mx+n
• Donde X y Y son las variables
• m es la pendiente
• n es la ordenada en el origen
• Dominio= IR
• Conjunto de Salida= IR
• Rango= IR
• Conjunto de Llegada= IR
• Punto de corte con y= n
La m de una recta determina la
inclinación de la misma,
entonces:
Si m<0 decreciente
Si m>0 creciente
Si m=0 constante
m se calcula:
EJEMPLO

31. Análisis:
y= 6x +2
Dominio-Conjunto de salida= IR
Rango-Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con y= 2
Punto de corte con x= -1/3
Pendiente= 6
Afín

32. I. Función Lineal
I) II)
X
Y
n
m > 0
n > 0
X
Y
n m < 0
n > 0
X
Y
n
m > 0
n < 0
X
Y
n
m < 0
n < 0
III) IV)

33. I. Función Lineal
• Evaluación de una función lineal:
Dada la función f(x) = mx + n, si se busca el valor de la función para
un valor cualquiera de x, basta reemplazar dicho valor, así como
también si se busca el valor de x conociendo el valor de la función.
Ejemplo
La función que representa el valor a pagar en un taxi, después de recorridos
200m es:
f(x) = 0.8x + 250 con x: cantidad de metros recorridos
f(x): costo en pesos
3 km = 3000 m
Entonces, el valor a pagar por un recorrido de 3 kilómetros es:
f(3000) = 0.8 · 3000 + 250 = 2650
Por 3 kilómetros se pagan $2650.

34. I. Función Lineal
Si queremos saber cuántos metros recorrió una persona si pagó
$2.250, se debe resolver la siguiente ecuación:
2250 = 0.8x + 250 / -250
2000 = 0.8x / :0.8
2500 = x
Una persona que paga $2250. recorrió 2500 metros o 2.5
kilómetros.

35. Funciones de grado par
• Las funciones de grado par son las funciones en
las que el mayor grado del polinomio es par.
• Se definen por la ecuación:
EJEMPLO
y= ax(2n)
+ bx(2n)-1
+ cx(2n)-2
+ … + dx + e

36. grado par
y= 2X4
+ 4x3
+ 6x2
– x + 8

37. Función Cuadrática
• Es una función polinómica que se
define mediante un polinomio de
segundo grado como:
• Es una parábola vertical,
orientada hacia arriba o hacia
abajo según sea el signo de a.
• El vértice de una parábola se
halla mediante la ecuación:
• Dominio= IR
• Rango= (máximo o mínimo relativo,
• Conjunto de salida= IR
• Conjunto de llegada= IR
• Punto/s de corte con x: y= 0, se
halla/n mediante la formula
cuadrática:
• Punto de corte con y= c
EJEMPLO

38. Análisis:
y= x2
+ 3x – 4
Dominio-Conjunto de salida= IR
Rango-Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con y= -4
Punto de corte con x= {-4, 1}
Mínimo relativo= -3/2
Cuadrática

39. Funciones de grado impar
• Las funciones de grado impar son las funciones
en las que el mayor grado del polinomio es
impar.
• Se definen por la ecuación:
EJEMPLO
y= ax(2n-1)
+ bx(2n-1)-1
+ cx(2n-1)-2
+ … + dx + e

40. grado impar
y= 3x3
+ 2x2
– x + 4

41. Función Lineal
Es la función que se define
por la ecuación: y= mx
Dominio= IR
Rango= IR
Conjunto de Salida= IR
Conjunto de Llegada= IR
Punto de corte con Y= 0
Punto de corte con X= 0
EJEMPLO

42. Análisis:
y= 4x
Dominio-Conjunto de salida= IR
Rango-Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con y= 0
Punto de corte con x= 0
Pendiente= 4
Lineal

43. Función Idéntica
• Es la función que asigna como
imagen a cada elemento del
dominio el mismo elemento.
• Se define por la ecuación: y= x
• Su pendiente es m=1
• Su gráfica es la recta bisectriz
de los cuadrantes primero y
tercero.
EJEMPLO
• Dominio= IR
• Conjunto de Salida= IR
• Rango= IR
• Conjunto de Llegada= IR
• Punto de corte con X y Y= 0

44. Análisis:
y= x
Dominio-Conjunto de salida= IR
Rango-Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con y= 0
Punto de corte con x= 0
Idéntica

45. III. Función Parte Entera
 Su valor, para cada número x € IR, es la parte entera de x y se
designa por [x]. Ésta se escribe:
 Dado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor
entero que es menor o igual a x, es decir:
Ejemplos:
[2,9] = 2 ;[-7/2] = -4 ;[5] = 5 ;[√2] = 1
f(x) = [x]
[x] ≤ x < [x+1]
Todo número real está comprendido entre dos números
enteros, la parte entera de un número es el menor de
los números enteros entre los que está comprendido.

46. III. Función Parte Entera
Obsérvese que esta función es constante en los intervalos
semiabiertos (semicerrados) de la forma [n, n + 1[ con n € Z.
Por tanto, los segmentos horizontales contienen sus
extremos izquierdos, pero no los derechos

47. Función Cúbica
• Función que tiene la forma, o
puede ser llevada a la forma:
con a ≠ 0 , a,b,c,d IR∈
EJEMPLO
Dominio= IR
Conjunto de Salida= IR
Rango= IR
Conjunto de Llegada= IR
Punto de corte con y= d

48. Análisis:
y= x3
+ 3x2
+ 4x + 6
Domino-Conjunto de salida= IR
Rango-Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con y= 6
Punto de corte con x= -2.5
Cúbica

49. IV. Función Valor Absoluto
– a indica el punto de traslación en el eje de las coordenadas.

50. IV. Función Valor Absoluto
– b indica el punto de traslación en el eje de las abscisas.

51. IV. Función Valor Absoluto
• Propiedades:
– a. Si |x| ≤ a entonces -a ≤ x a; con a ≥ 0
– b. Si |x| ≥ a entonces x ≥ a ó -x ≥ a
– c. |xy| = |x| · |y|
– d. |x + y| ≤ |x| + |y| (Desigualdad Triangular)

52. IV. Función Valor Absoluto
• La última propiedad se llama desigualdad triangular, pues, cuando,
se generaliza a vectores indica que la longitud de cada lado de un
triangulo es menor o igual a la suma de las longitudes de los otros
dos.

53. IV. Función Valor Absoluto
• Ejercicios:
– Determinar el intervalo solución de las siguiente inecuación:
• a. |x – 3| ≤ 2
Aplicando la primera propiedad:
-2 ≤ x – 3 ≤ 2
-2 + 3 ≤ x ≤ 2 + 3
1 ≤ x ≤ 5
x € [1, 5]

54. IV. Función Valor Absoluto
La Respuesta correcta es B

55. IV. Función Valor Absoluto
La Respuesta correcta es D

56. V. Función Exponencial
• Es la función inversa del logaritmo natural y se denota
equivalentemente como: x e^x o x exp(x)
La función exponencial f con base a se define como
f(x) = a Si a > 0 ^ a ≠ 1, x € IR
x

57. V. Función Exponencial
• Propiedades:
– El dominio de la función exponencial está dado por los números
IR.
– El recorrido de la función exponencial está dado por los IR*.
– El punto de intersección de la función con el eje Y es (0, 1).
– La función no intercepta el eje X.

58. V. Función Exponencial
• Crecimiento y decrecimiento exponencial:
– Si a > 1, f(x) es creciente en todo IR.
Mientras más grande el número de la base, la línea
estará más cerca del eje Y.

59. V. Función Exponencial
• Crecimiento y decrecimiento exponencial:
– Si 0 < a < 1, f(x) es decreciente en IR

60. V. Función Exponencial
• Ejercicio:
– Determinar la función que representa en número de bacterias que hay en
una población después de x horas si se sabe que inicialmente había 10.000
bacterias y que la población se triplica cada una hora.
Solución:
Cantidad inicial = 10.000
Después de una hora = 10.000 · 3 = 30.000
Después de dos horas = 10.000 · 3 · 3 = 90.000
… Después de x horas = 10.000· 3
Por lo tanto, siendo x el número de horas que pasan desde el inicio del
estudio, la cantidad de bacterias se representa por la función:
f(x) = 10.000 · 3
x
x

61. V. Función Logarítmica
• La inversa de una función exponencial de base a se llama función
logarítmica de base a y se representa por log .
– Está dada por la siguiente ecuación:
a
y = log x si x = a
y
a

62. V. Función Logarítmica
• Propiedades
– El dominio de la función logarítmica está dado por los números
IR, la función no está definida para x ≤ 0.
– El punto de intersección de la función con el eje X es (1, 0).
– La función no intercepta el eje Y.

63. V. Función Logarítmica
• Crecimiento y decrecimiento Logarítmico:
– Si a > 1, f(x) = log x es creciente para x > 0.a

64. V. Función Logarítmica
• Crecimiento y decrecimiento Logarítmico:
– Si 0 < a < 1, f(x) = log x es decreciente para x > 0.a

65. V. Función Logarítmica
• Ejercicios:
– Dado los valores: log 2 = 0.3010 y log 3 = 0.4771. Entonces, en la función
f(x) = log x, determine f(6).
Solución:
f(6) = log (6)
Donde
log 6 = log (2 · 3)
Por Propiedad
log (2 · 3) = log 2 + log 3
= 0.3010 + 0.4771
= 0.7781
Por lo tanto:
Si f(x) = log x, entonces f(6) = 0.7781

66. V. Función Logarítmica
La Respuesta correcta es D

67. Referencias de consulta
• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_impar
• http://www.x.edu.uy/lineal.htm
• http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm
• http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htm
• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_par
• http://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-impar
• http://www.amschool.edu.sv/Paes/f8.htm
• http://matesup.utalca.cl/modelos/2clase/2_1_Funciones.pdf
• http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/1_2.pdf
• http://www.vitutor.com/fun/2/c_4.html
• http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/funracional.html
• http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funciones_formas_de_
expresar/elementos.htm
• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectiva
• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva
• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobreyectiva