1. I.E. JOSE ANTONIO GALAN
CUMARAL – META
RES. 5630 DE 08 – NOVIEMBRE – 2011
GUIA ACADEMICA – POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
Matemáticas Grado 9
Lic. Sandra Pabón, Lic. Jeisson Hernández, Lic. Fredy Rodríguez
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
Si 𝑛 ∈ 𝑁 𝑦 𝑎 ∈ 𝑅, entonces 𝑎 𝑛
, es igual al producto de n veces el
número real “a” tomado como factor, es decir 𝑎 𝑛
= 𝑎𝑥𝑎𝑥𝑎𝑥𝑎𝑥𝑎…… 𝑥𝑎
Ejemplos:
53
= 5𝑥5𝑥5 = 125
(−1)5
= (−1)x(−1)x(−1)x(−1)x(−1) = (−1)
(
2
3
)
4
=
2
3
𝑥
2
3
𝑥
2
3
𝑥
2
3
=
16
81
PROPIEDADES DE LA POTENCIACION
1. Producto de potencias de igual base:el producto de potencias
de igual base, es otra potencia de la misma base y de exponente
igual a la suma de los exponentes de los términos factores.
Simbólicamente: 𝑎 𝑚
∙ 𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚∙𝑛
Ejemplo: 48
∙ 410
∙ 42
= 48+10+2
= 420
2. Cociente de potencias de igual base: El cociente de dos
potencias de igual base,es otra potenciade la mismabase y cuyo
exponente es igual a la resta de los exponentes del término
dividendo menos el del divisor.
Simbólicamente:
𝑎 𝑚
𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚−𝑛
Ejemplo:
512
53 = 512−3
= 59
3. Potencia de una potencia: La potencia de una potencia es otra
potencia de la misma base y de exponente igual al producto de
los exponentes que haya en la expresión
Simbólicamente: ( 𝑎 𝑚) 𝑛
= 𝑎 𝑚∙𝑛
Ejemplo: [(27)4]2
= 27∙4∙2
= 256
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4. Potencia de un producto:Lapotenciade un producto es igual al
producto de dichas potencias.
Simbólicamente: ( 𝑎 ∙ 𝑏) 𝑛
= 𝑎 𝑛
∙ 𝑏 𝑛
Ejemplo:(5 ∙ 3)3
= 53
∙ 23
5. Potencia de un cociente:La potencia de un cociente es igual al
cociente de dichas potencias.
Simbólicamente: (
𝑎
𝑏
)
𝑛
=
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛 , 𝑏 ≠ 0
Ejemplo:(
2
5
)
3
=
23
53
6. Exponente cero:toda cantidad con exponente cero es igual a 1.
Simbólicamente: ( 𝑎)0
= 1
Ejemplo:(4)0
= 1
7. Exponentes enteros negativos: si n es cualquier entero
negativo y a un número real diferente de cero se cumple que:
Simbólicamente: ( 𝑎)−𝑛
=
1
𝑎 𝑛
Ejemplo:(2)−3
=
1
23
(
3
5
)
−4
= (
5
3
)
4
Ejemplo 1.
De acuerdo con la teoría anterior, resolver el siguiente ejercicio
𝑥5
𝑦3
𝑧4
𝑥2 𝑦6 𝑧
Para resolverestos tipos de ejercicios se debe trabajar la misma
letra del numerador con la del denominadory aplicar la propiedad
adecuada, así:
𝑥5
𝑥2 = 𝑥5−2
= 𝑥3 𝑦3
𝑦6 = 𝑦3−6
= 𝑦−3 𝑧4
𝑧
= 𝑧4−1
= 𝑧3
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Cuando una expresión no le aparece un exponente es porque tiene
de exponente 1.
Luego se escribenlos resultados
𝑥5 𝑦3 𝑧4
𝑥2 𝑦6 𝑧
= 𝑥3
𝑦−3
𝑧3
Al final todos los exponentes deben quedar positivos,
toca aplicar la propiedad 7, entonces quedará así:
𝑥5 𝑦3 𝑧4
𝑥2 𝑦6 𝑧
= 𝑥3 1
𝑦3 𝑧3
RADICACIÓN
La raíz enésima de un número es aquel otro que elevado a un
exponente n nos da dicho número
PROPIEDADES DE LA RADICACIÒN
1. Raíz de un producto √ 𝑎 ∙ 𝑏
𝑛
= √ 𝑎
𝑛
∙ √ 𝑏
𝑛
2. Raíz de un cociente √
𝑎
𝑏
𝑛
=
√ 𝑎𝑛
√ 𝑏
𝑛
3. Raíz de una potencia √𝑎 𝑚𝑛
= 𝑎
𝑚
𝑛⁄
4. Raíz de una raíz √ √ 𝑎
𝑚𝑛
= √ 𝑎
𝑛∙𝑚
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Ejercicio 1. De acuerdo con la teoría anterior, resolver el siguiente
ejercicio
√ 𝑎𝑏23
∙ √ 𝑎5 𝑏26
Para multiplicar dos raíces,primero se debenponer iguales los
índices aplicando el mínimo común múltiplo,
quedando así:
√( 𝑎𝑏2)23𝑥2
∙ √𝑎5 𝑏26
m.c.m(3,6)
Se multiplico por dos afuera y adentro de la primera raíz para que
queden igual índice,resolviendo lo que está en paréntesis (aplicar
propiedades de potencia), queda:
√ 𝑎2 𝑏46
∙ √ 𝑎5 𝑏26
Cuando las raíces quedeniguales se aplica la primera propiedad de
radicación, entonces
√ 𝑎2 𝑏4 𝑎5 𝑏26
Aplicando propiedadesde potenciaciónqueda
√ 𝑎7 𝑏66
Ejercicio 2. Resolver
√ 𝑎3 𝑏
4
√ 𝑎2 𝑏56
√𝑎3 𝑏
4
√𝑎2 𝑏56 =
√( 𝑎3 𝑏)312
√( 𝑎2 𝑏5)212
=
√𝑎9 𝑏312
√𝑎4 𝑏1012 = √
𝑎5
𝑏7
12
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POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
Si 𝑛 ∈ 𝑁 𝑦 𝑎 ∈ 𝑅, entonces 𝑎 𝑛
, es igual al producto de n veces el
número real “a” tomado como factor, es decir 𝑎 𝑛
= 𝑎𝑥𝑎𝑥𝑎𝑥𝑎𝑥𝑎…… 𝑥𝑎
Ejemplos:
53
= 5𝑥5𝑥5 = 125
(−1)5
= (−1)x(−1)x(−1)x(−1)x(−1) = (−1)
(
2
3
)
4
=
2
3
𝑥
2
3
𝑥
2
3
𝑥
2
3
=
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PROPIEDADES DE LA POTENCIACION
1. Producto de potencias de igual base:el producto de potencias
de igual base, es otra potencia de la misma base y de exponente
igual a la suma de los exponentes de los términos factores.
Simbólicamente: 𝑎 𝑚
∙ 𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚∙𝑛
Ejemplo: 48
∙ 410
∙ 42
= 48+10+2
= 420
2. Cociente de potencias de igual base: El cociente de dos
potencias de igual base,es otra potenciade la mismabase y cuyo
exponente es igual a la resta de los exponentes del término
dividendo menos el del divisor.
Simbólicamente:
𝑎 𝑚
𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚−𝑛
Ejemplo:
512
53 = 512−3
= 59
3. Potencia de una potencia: La potencia de una potencia es otra
potencia de la misma base y de exponente igual al producto de
los exponentes que haya en la expresión
Simbólicamente: ( 𝑎 𝑚) 𝑛
= 𝑎 𝑚∙𝑛
Ejemplo: [(27)4]2
= 27∙4∙2
= 256](https://image.slidesharecdn.com/guiapotenciacionradicacion-200327190451/85/Guia-potenciacion-y-radicacion-1-320.jpg)
