El documento describe el método de valores y vectores propios para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales. Explica que al asociar cada valor propio de la matriz con un vector propio correspondiente, se pueden determinar las soluciones del sistema como una combinación lineal de las funciones exponenciales de los valores propios multiplicados por los vectores propios. A continuación, resuelve tres ejemplos numéricos aplicando este método.

1. INSTITUTO POLITÉCNICO
NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMÍA
MATERIA: SISTEMAS DINÁMICOS
MAESTRO: CARLOS A. YÁÑEZ

2. SOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE VALORES Y
VECTORES PROPIOS.
SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES, SUPONER QUE LA SOLUCIÓN ES DE LA FORMA:
𝒙 𝒕 = 𝒗𝒆 𝝀𝒕
DONDE V ES UN VECTOR EN EL CAMPO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Y 𝛌 ∈ ∁. DERIVAR RESPECTO
A T,
𝒙´ 𝒕 = 𝝀𝒗𝒆 𝝀𝒕
SUSTITUIR EL SISTEMA
𝝀𝒗𝒆 𝝀𝒕
= 𝑨 𝝀𝒗𝒆 𝝀𝒕
𝑨 − 𝝀𝑰 𝒗𝒆 𝝀𝒕 = 𝟎
DADO QUE 𝒆 𝝀𝒕
≠ 𝟎∀ 𝒕 ENTONCES
𝑨 − 𝝀𝑰 𝒗 = 𝟎
PARA EVITAR SOLUCIONES NO TRIVIALES 𝒗 ≠ 𝟎 , ES NECESARIO QUE EL SISTEMA HOMOGÉNEO
𝑨 − 𝝀𝑰 = 𝟎

3. TENGA UN NÚCLEO NO NULO Y, POR ENDE, NO SEA INVERTIBLE. EN OTRAS PALABRAS, 𝝀 𝒆 ES
VALOR PROPIO DE A SI Y SOLO SI 𝝀 𝒆 ES UNA RAÍZ DEL POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE A. Y SE
ASOCIAA CADA VALOR PROPIO UN VECTOR PROPIO CORRESPONDIENTE, 𝒗 𝒆.
EL POLINOMIO SE EXPRESA COMO P(A)= 𝑨 − 𝝀𝑰 = 𝟎. SI LA MATRIZ A ES N X N, ENTONCES EL
𝐏 𝐀 = 𝛌 𝐧
+ TÉRMINOS DE MENOR GRADO. LO QUE PERMITE ESTABLECER QUE A LOS MÁS
EXISTEN N RAÍCES PUEDE SER UNA COMBINACIÓN DE RAÍCES REPETIDAS DISTINTAS; O BIEN,
TENER SOLO RAÍCES DISTINTAS(REALES Y COMPLEJOS). A CONTINUACIÓN SE PRESENTA EL
ANÁLISIS DE LOS POSIBLES CASOS.

4. SI LA MATRIZ 𝐀 TIENE 𝛌 𝟏, … 𝛌 𝐧 VALORES PROPIOS DISTINTOS: 𝝀𝒊 ≠ 𝝀𝒋∀𝒊≠ 𝒋. LOS RESPECTIVOS
VECTORES PROPIOS: 𝒗 𝒏, … 𝒗 𝒏TIENEN LA PROPIEDAD DE SER LINEALMENTE INDEPENDIENTES,
FORMAN UNA BASE DEL ESPACIO VECTORIAL. LA MATRIZ 𝑨 ES DIAGONIZABLE COMO EN EL
CASO DE LA SECCIÓN ANTERIOR.
EN ESTE SENTIDO, SE AFIRMA QUE EL CONJUNTO DE SOLUCIONES 𝒙 𝟏 = 𝒗 𝟏 𝒆 𝝀
𝒕, … , 𝒙 𝒏 = 𝒗 𝒏 𝒆 𝝀
𝒕
CONSTITUYEN UNA BASE. Y SE DEMUESTRAAPLICANDO EL WRONSKIANO,
𝒘 = 𝒙 𝟏, … 𝒙 𝒏 = 𝒅𝒆𝒕 𝒙 𝟏, … 𝒙 𝒏
NUNCA ES CERO, Y LAS 𝑥1 SON LINEALMENTE INDEPENDIENTES.
SEA EL SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES, CON LOS VALORES PROPIOS REALES Y
DISTINTOS : 𝝀𝒍 ≠ 𝝀 𝒌, ENTONCES LA SOLUCIÓN AL SISTEMA ES:
𝒙 𝒕 = 𝒄 𝟏 𝒗 𝟏 𝒆 𝝀 𝒕 + ⋯ + 𝒄 𝒏 𝒗 𝒏 𝒆 𝝀 𝒕

5. RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES
DIFERENCIALES CON CONDICIONES INICIALES
• 𝑥´1 = 6𝑥1 + 2𝑥2 𝑥1 0 = 3
𝑥´2 = 8𝑥2 𝑥2 0 = 4
• MATRIZ CARACTERÍSTICA
• 𝐴 =
6 2
0 8
• MATRIZ 𝐴 − 𝜆𝐼
• 𝐴 − 𝜆𝐼} =
6 − 𝜆 2
0 8 − 𝜆
• POLINOMIO CARACTERÍSTICO
• 6 − 𝜆 8 − 𝜆 − 0 ∗ 2 48 − 14𝜆 +

6. • SUSTITUIMOS 𝜆1 = 6
•
6 − 6) 2
0 8 − 6)
∴
0 2
0 2
∗
𝑎
𝑏
=
0
0
∴ 𝑉1 = 1,0)
• SUSTITUIMOS 𝜆1 = 8
•
6 − 8) 2
0 8 − 8)
∴
−2 2
0 0
∗
𝑎
𝑏
=
0
0
• −2𝑎 + 2𝑏 = 0 − 2𝑎 + 2𝑛 = 0 𝑎 = 𝑛 𝑏 = 𝑛 −
2𝑎 = −2𝑛 𝑉2 1,1)
• 𝑉 =
1 1
0 1
𝑉−1 =
1 −1
0 1

7. • RESOLVEMOS CON LA SIGUIENTE FORMULA
• 𝑥 𝑡 = 𝑉
𝑒 𝜆1𝑡
⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯ 𝑒 𝜆2𝑡
𝑣−1
∗ 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
• SUSTITUIMOS EN LA FORMULA
•
1 −1
0 1
∗ 𝑒6𝑡
0
0 𝑒8𝑡 = 𝑒6𝑡
𝑒8𝑡
0 𝑒8𝑡 ∗
1 −1
0 1
=
𝑒6𝑡 −𝑒6𝑡 + 𝑒8𝑡
0 𝑒8𝑡
∗ 3
4
=
3𝑒6𝑡 −4𝑒6𝑡 + 4𝑒8𝑡
0 4𝑒8𝑡
• 𝑥1 = −𝑒6𝑡
+ 4𝑒8𝑡
𝑥2 = 4𝑒8𝑡

9. RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES
DIFERENCIALES CON CONDICIONES INICIALES
• 𝑋1
′
= −𝑋1 − 3𝑋2 + 3𝑋3
𝑋1 0 = 1
• 𝑋2
′
= −6𝑋1 + 2𝑋2 + 6𝑋3
𝑋2 0 = 2
• 𝑋3
′
= −3𝑋1 + 3𝑋2 + 5𝑋3
𝑋3 0 = −2
• MATRIZ CARACTERÍSTICA:
• 𝐴 =
−1 −3 3
−6 2 6
−3 3 5
• MATRIZ 𝐴 − 𝜆𝐼
• 𝐴 − 𝜆𝐼 =
−1 − 𝜆) −3 3
−6 2 − 𝜆) 6
−3 3 5 − 𝜆)

10. • POLINOMIO CARACTERISTICO
• −1 − 𝜆 2 − 𝜆 5 − 𝜆 + −3 ∗ 6 ∗ −3 + 3 ∗ −6 ∗ 3 − −3 ∗ 2𝜆 ∗ 3 + −3 ∗ 6 ∗ −1 −

11. • −𝜆 − 2𝜆 + 8 = 0
•
2 ± 4+32
−2
=
•
2+6
−2
= −4
•
2−6
−2
= 2
•
• 𝜆1 = −4
• 𝜆2 = 2
• 𝜆3 = 8
Sustituimos 𝜆1= -4
−1 + 4) −3 3
−6 2 + 4) 6
−3 3 5 + 4)
𝑎
𝑏
𝑐
=
0
0
0
∴
3 −3 3
−6 6 6
−3 3 9
𝑎
𝑏
𝑐
=
0
0
0
−3𝑎 − 3𝑏 + 3𝑐 = 0 →∗ 2 6𝑎 − 6𝑏 + 6𝑐 =
0
−6𝑎 + 6𝑏 + 6𝑐 = 0 −6𝑎 + 6𝑏 + 6𝑐 =
0
−3𝑎 + 3𝑏 + 9𝑐 = 0 0 0 12𝑐 =
0 ∴ 𝑐 = 0
Sustituimos
−3𝑎 − 3𝑏 + 3 0) = 0 3𝑎 = 3𝑛 𝑉1 = 1,1,0
𝑏 = 𝑛 𝑎 =
3𝑛
3
𝑎 = 𝑛

12. SUSTITUIMOS EN 𝜆2= 2
−1 − 2) −3 3
−6 2 − 2) 6
−3 3 5 − 2)
𝑎
𝑏
𝑐
=
0
0
0
∴
−3 −3 3
−6 0 6
−3 3 3
𝑎
𝑏
𝑐
=
0
0
0
−3𝑎 − 3𝑏 + 3𝑐 = 0
−6𝑎 + 6𝑐 = 0 → −6𝑎 + 6𝑐 = 0 −6𝑎 + 6𝑛 = 0
−3𝑎 + 3𝑏 + 9𝑐 = 0 −6𝑎 = −6𝑛
𝑎 =
−6
−6
𝑛 𝑎 = 𝑛
𝑉1 = 1,0,1

13. SUSTITUIMOS EN 𝜆3= 8
−1 − 8) −3 3
−6 2 − 8) 6
−3 3 5 − 8)
𝑎
𝑏
𝑐
=
0
0
0
∴
−9 −3 3
−6 −6 6
−3 3 −3
𝑎
𝑏
𝑐
=
0
0
0
−9𝑎 − 3𝑏 + 3𝑐 = 0 −6𝑎 − 6𝑏 + 6𝑐 = 0
−6𝑎 − 6𝑏 + 6𝑐 = 0 −6𝑎 − 6𝑏 − 6𝑐 = 0
−3𝑎 + 3𝑏 − 3𝑐 = 0 →∗ 2 −12𝑎 = 0 ∴ 𝑎 = 0
Sustituimos −3 0 + 3𝑏 − 3𝑐 = 0
3𝑏 − 3𝑛 = 0
3𝑏 = 3𝑛
𝑏 =
3𝑛
3
𝑏 = 𝑛 𝑐 = 𝑛
𝑉3 = 0,1,1

14. 𝑉 =
1 1 0
1 0 1
0 1 1
𝑉−1
=
1
2
1
2
−1
2
1
2
−1
2
1
2
−1
2
1
2
1
2
𝑥 𝑡 = 𝑉
𝑒 𝜆1𝑡
⋯ 0
⋮ 𝑒 𝜆2𝑡 ⋮
0 ⋯ 𝑒 𝜆3𝑡
𝑣−1 ∗ 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑉 =
1 1 0
1 0 1
0 1 1
∗
𝑒 𝜆1𝑡 ⋯ 0
⋮ 𝑒 𝜆2𝑡 ⋮
0 ⋯ 𝑒 𝜆3𝑡
=
𝑒−4𝑡 𝑒2𝑡 0
𝑒−4𝑡 0 𝑒8𝑡
0 𝑒2𝑡 𝑒8𝑡
∗ 𝑉−1
=
1
2
1
2
−1
2
1
2
−1
2
1
2
−1
2
1
2
1
2
=

15. 1
2
𝑒−4𝑡 +
1
2
22𝑡
1
2
𝑒−4𝑡 −
1
2
22𝑡 −
1
2
𝑒−4𝑡 +
1
2
22𝑡
1
2
𝑒−4𝑡
−
1
2
28𝑡
1
2
𝑒−4𝑡
+
1
2
28𝑡
−
1
2
𝑒−4𝑡
+
1
2
28𝑡
∗
1
2
𝑒2𝑡
−
1
2
28𝑡
1
2
𝑒2𝑡
+
1
2
28𝑡
1
2
𝑒2𝑡
+
1
2
28𝑡
1
2
−2
𝑋1 =
5
2
𝑒−4𝑡 −
3
2
𝑒2𝑡
𝑋2 =
5
2
𝑒−4𝑡
−
1
2
𝑒8𝑡
𝑋3 = −
3
2
𝑒2𝑡
−
1
2
𝑒8𝑡