Asíntotas de las funciones y sus gráficas

1. M A T E M Á T I C A S I V - B L O Q U E 6
Funciones Racionales
Mtra. Norma Toledo García

2. Funciones Racionales
 Están formadas por cocientes de dos funciones
polinómicas.
𝑓 𝑥 =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 son funciones polinómicas.
 Su dominio está formado por todos los números reales
excepto los valores de 𝑥 que anulan el denominador
(raíces de 𝑄(𝑥)).
 Ejemplo:
𝑓 𝑥 =
𝑥+1
𝑥−2
𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥 = 𝑹 − {2}
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3. Mtra. Norma Toledo García
A practicar

4. Mtra. Norma Toledo García
Determina el dominio de las siguientes funciones
1. 𝑓 𝑥 =
𝑥−5
𝑥2+7𝑥
8. 𝑓 𝑥 =
𝑥−2
𝑥2−𝑥−6
2. 𝑓 𝑥 =
𝑥+6
𝑥2−25
9. 𝑓 𝑥 =
𝑥−4
𝑥2−𝑥−12
3. 𝑓 𝑥 =
𝑥+2
𝑥2−6𝑥+9
10. 𝑓 𝑥 =
5𝑥+10
𝑥2−4
4. 𝑓 𝑥 =
𝑥−7
𝑥2+4
11. 𝑓 𝑥 =
2𝑥+8
𝑥2−16
5. 𝑓 𝑥 =
𝑥+6
𝑥2−𝑥 12. 𝑓 𝑥 =
𝑥2+5𝑥−6
𝑥2+3𝑥−4
6. 𝑓 𝑥 =
𝑥−1
𝑥2+5𝑥−36 13. 𝑓 𝑥 =
𝑥2+2𝑥−15
𝑥2+𝑥−20
7. 𝑓 𝑥 =
𝑥−2
𝑥2+𝑥−6 14. 𝑓 𝑥 =
𝑥2−7𝑥
𝑥2−4𝑥−21

5. Asíntotas de una función
 Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va
aproximando indefinidamente, cuando por lo menos
una de las variables 𝑦 o 𝑥 tienden al infinito.
 Asíntotas:
Verticales
Horizontales
Oblicuas
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6. Asíntotas verticales de 𝑓 𝑥 =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
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 Son rectas paralelas al eje 𝑦.
 Se encuentran en las raíces de 𝑄(𝑥) siempre que
𝑃 𝑟 ≠ 0 (r es un polo de la función).
 Su ecuación es 𝑥 = 𝑟.
 No puede ser atravesada por la gráfica de f(x).

7. 𝑓 𝒙 =
𝒙
𝒙 𝟐−𝟏
tiene asíntotas verticales
en 𝒙 = −𝟏 y 𝒙 = 𝟏
Si la raíz de 𝑄 𝑥
es simple.
Las ramas de la
gráfica de 𝑓 𝑥 a
los lados de la
asíntota tienen
sentidos
opuestos.
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8. 𝒇 𝒙 =
𝟏−𝟐𝒙
𝒙 𝟐+𝟒𝒙+𝟒
tiene una asíntota
vertical en 𝒙 = −𝟐
Si la raíz tiene
multiplicidad
par.
Las ramas de la
gráfica a los
lados de la
asíntota van
hacia el mismo
sentido.
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9. Asíntotas horizontales de 𝑓 𝑥 =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
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 Son rectas paralelas al eje 𝑥.
 Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes.
 La gráfica de f(x) puede atravesar una asíntota horizontal.
 f(x) como máximo puede tener 2 asíntotas horizontales.
 El grado de los polinomios P(x) y Q(x) ayudan a
determinarlas.

10. Asíntotas horizontales
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Si 𝑚 es el grado de 𝑃 𝑥 y 𝑛 es el grado de 𝑄 𝑥 y además:
 𝑚 < 𝑛 𝑓 𝑥 tiene una asíntota horizontal en 𝑦 = 0
 𝑚 = 𝑛 𝑓(𝑥) tiene una asíntota horizontal en 𝑦 =
𝑎 𝑚
𝑎 𝑛
 𝑚 > 𝑛 𝑓 𝑥 no tiene asíntotas horizontales.

11. Mtra. Norma Toledo García

12. Entonces 𝒇 𝒙 tiene una asíntota
horizontal en 𝒚 = 𝟎
𝑓 𝑥 =
3𝑥2−2
𝑥3−1
En este caso:
𝑚 = 2 𝑦 𝑛 = 3
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13. Entonces 𝒇 𝒙 tiene una asíntota
horizontal en 𝒚 = 𝟑/𝟐
𝑓 𝑥 =
6𝑥2
− 1
4𝑥2 − 16
En este caso:
𝑚 = 2 𝑦 𝑛 = 2
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14. Entonces 𝒇 𝒙 tiene una asíntota
horizontal en 𝒚 = 𝟎
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 3
𝑥2 − 2𝑥 + 4
En este caso:
𝑚 = 1 𝑦 𝑛 = 2
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15. Asíntotas Oblicuas de 𝑓 𝑥 =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
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 Las asíntotas oblicuas son rectas con inclinadas.
 Si el grado de 𝑃 𝑥 es mayor que el grado de 𝑄(𝑥) en una
unidad, entonces la función 𝑓 𝑥 tiene asíntotas oblicuas.
 Si 𝑚 = 𝑛 + 1 entonces 𝑓 𝑥 tiene asíntotas oblicuas.
 La ecuación de la asíntota oblicua es el cociente de la
división: 𝑃 𝑥 ÷ 𝑄(𝑥)

16. Por lo tanto f(x) tiene una asíntota
oblicua en 𝒚 = 𝒙 − 𝟏
𝑓 𝑥 =
𝑥2
− 2𝑥 + 2
𝑥 − 1
En este caso:
𝑚 = 2 𝑦 𝑛 = 1
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17. Por lo tanto f(x) tiene una asíntota
oblicua en 𝒚 = 𝟐𝒙
𝑓 𝑥 =
2𝑥3
+ 2
𝑥2 − 4
En este caso:
𝑚 = 3 𝑦 𝑛 = 2
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18. Mtra. Norma Toledo García
Determina las asíntotas verticales, horizontales y
oblicuas (si es que existen) de las funciones
1. 𝑓 𝑥 =
2𝑥−5
3𝑥+6 8. 𝑓 𝑥 =
3𝑥2−3𝑥−10
𝑥+4
2. 𝑓 𝑥 =
2𝑥2−5𝑥+6
4𝑥2−9
9. 𝑓 𝑥 =
𝑥2−5𝑥+3
𝑥−2
3. 𝑓 𝑥 =
𝑥+9
𝑥2−6𝑥+9 10. 𝑓 𝑥 =
3𝑥2−4𝑥+6
𝑥−3
4. 𝑓 𝑥 =
𝑥−7
3𝑥2−𝑥+1 11. 𝑓 𝑥 =
9−3𝑥2
6𝑥2−3𝑥+4
5. 𝑓 𝑥 =
𝑥2−36
2𝑥+5
12. 𝑓 𝑥 =
𝑥2−𝑥−8
𝑥+1
6. 𝑓 𝑥 =
5𝑥4−1
3−𝑥4 13. 𝑓 𝑥 =
2𝑥2−5𝑥−60
𝑥+4
7. 𝑓 𝑥 =
−𝑥2−5𝑥+3
𝑥3−8
14. 𝑓 𝑥 =
𝑥2−7𝑥
𝑥2−4𝑥−21