UNIDAD IV SISTEMAS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN. SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR

1. República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Catedra: Teoría de control
Extensión Barcelona
Profesor:
Lcda. Amdie Chirinos
Alumno:
Luis Hernández
C.I:27.380.392
JUNIO, 2021

2. ¿Qué es un sistema de primer orden?
Los sistemas de primer orden por definición son aquellos que tienen un solo
polo y están representados por ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden, Quiere decir que el máximo orden de la derivada es orden 1. Considerando
el caso de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, con coeficientes
constantes y condición inicial cero, tenemos:
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Tienen diversas aplicaciones para aproximar y representar procesos y sistemas
físicos cotidianos o industriales. Por ejemplo tenemos sistemas físicos de primer
orden de circuitos eléctricos (circuito RC) donde el condensador es el componente
encargado de almacenar la energia del sistema.

3. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Aplicando la transformada de Laplace para obtener la
función de transferencia:
se tiene que:
Finalmente:
K : ganancia del sistema de primer orden.
τ : constante del tiempo del sistema de primer orden.
Donde:

4. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Constante de tiempo de un sistema de primer orden, generalmente
denotada por la letra griega τ (tau), se define como el tiempo requerido para
que el sistema alcance el 63,2% del valor final o de estado estable. Por lo
tanto la constante muestra la velocidad del sistema ante una determinada
entrada para alcanzar el régimen permanente.
Cuanto menor es la constante de tiempo, más rápida es la respuesta del
sistema. Si la constante de tiempo es mayor, el sistema se mueve lentamente
en su respuesta transitoria.
¿Qué es la constante de tiempo en un sistema de primer
orden?

5. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Respuesta de un sistema de primer orden ante una entrada escalón
Donde A es una constante.
Expandiendo en fracciones parciales:

6. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Tiempo de estabilización:
Matemáticamente el sistema tiende a una asíntota con valor KA, y en
consecuencia el tiempo para llegar a este valor es infinito. Desde el punto de vista
de ingeniería es necesario establecer un márgen en la aproximación a la asíntota
de manera que se pueda calcular un tiempo finito en el cual se considera el
sistema estabilizado (tss).
Por convención se adoptó como tiempo de estabilización para un
sistema de primer orden ante una entrada escalón el valor:

7. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Entonces, la respuesta transitoria se define como la dinámica del
sistema desde el estado inicial hasta alcanzar el estado estacionario,
donde en un sistema de primer orden la respuesta transitoria tiene una
duración de 4 veces la constante de tiempo.

8. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Ecuación diferencial para un sistema de segundo orden
En ingeniería de control un sistema de segundo orden se caracteriza
porque tiene dos polos o raíces y están representados típicamente por
ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.
En donde:
a, b, c y β constantes.
y(t) = la variable de salida del sistema.
r(t) = la variable de entrada al sistema

9. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Aplicando la transformada de Laplace para obtener la función de
transferencia:
Entonces se tiene que:
K Ganancia del sistema.
ζ Factor de amortiguamiento.
ωn Frecuencia natural no amortiguada
Si sacamos las raíces del denominador observaremos que los
sistemas de segundo orden pueden clasificarse en tres tipos diferente
de sistemas, las raíces son:

10. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Casos:
a) ζ > 1 : dos raíces reales y diferentes.
b) ζ =1 : dos raíces reales e iguales.
c) 0 < ζ< 1 : dos raíces complejas conjugadas, con parte real.
d) ζ=0 : dos raíces complejas conjugadas, sin parte real.
En este caso podemos entender que cuando tenemos un sistema de
segundo orden existe la posibilidad de la existencia de un sistema
amortiguado que nos indica la existencia de algún componente capaz de
disipar la energía del sistema y viene dado por el factor de
amortiguamiento ζ.

11. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
a) Sistema Sobreamortiguado (ζ>1)
Un sistema sobreamortiguado es aquel que posee dos polos reales
dentro de un sistema de segundo orden, donde ya no existen
oscilaciones. Analizando el sistema ante una entrada escalón, Cuando
ζ>1:
El diagrama de polos y ceros viene dado por:

12. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Se aplica

13. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Tenemos los valores de las constantes K1, K2 y K3.
Se obtendrá

14. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
b) Sistema Críticamente Amortiguado (ζ=1)
Un sistema críticamente amortiguado es aquel que posee dos polos
iguales (polos con multiplicidad) ubicados en el mismo punto del plano
complejo para un sistema de segundo grado. Analizando el sistema ante
una entrada escalón, Cuando ζ=1:
El diagrama de polos y ceros viene dado por:

15. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Aplicando:
Se obtendrá la ecuación final para el sistema de segundo orden:

16. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Un sistema subamortiguado es aquel que posee un par de polos
complejos conjugados dentro de un sistema de segundo orden.
Analizando el sistema ante una entrada escalón, Cuando 0<ζ<1:
c) Sistema Subamortiguado (0<ζ<1)

17. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Forma de respuesta:
Cálculo de los residuos:

18. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Tiempo Máximo Pico
El tiempo de pico tp se obtiene derivando la ecuación temporal y evaluando la
respuesta en t=tp
Es usado para medir cuanto la señal sobrepasa la referencia con relación a su
estado estacionario. También se conoce como máximo sobreimpulso.
En porcentaje se tiene que:

19. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Tiempo de subida o elevación tr:
Es el tiempo que transcurre para que la respuesta alcance por primera vez
el valor final

20. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
d) Sistema oscilatorio sin amortiguamiento ζ = 0:

21. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón):
Respuesta temporal

22. SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR
Quedan descritos por la siguiente función de transferencia:
Con zi y pj ceros y polos en general complejos, la respuesta escalón de
magnitud A será:
Los sistemas de orden superior son aquellos sistemas dinámicos que
contienen ceros adicionales los cuales son los que afectan y desequilibran el
comportamiento tanto en un régimen transitorio como en un régimen
permanente

23. SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR
Caso 1: Polos en general distintos:
Aplicando la transformada inversa:
 La contribución de K0 es relativa al régimen estacionario.
 La contribución de cada polo pi en la respuesta transitoria depende la
magnitud del residuo Ki y de su colocación relativa:
Si Ki es bajo su contribución es despreciable, y
Si Re(pi)<0 con |Re(pi)| alto su contribución es despreciable.

24. SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR
Caso 2: Polos en general múltiples:
La respuesta escalón de amplitud A será:
Y aplicando la transformada inversa de Laplace:
Para determinar la contribución de cada polo se realiza igual
que en el caso 1

25. SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR
Concepto de dominancia:
 Los polos más cercanos al eje imaginario jω prevalecen, y se denominan polos
dominantes.
 Transformamos un sistema de orden superior en un sistema de primer orden
(un único polo dominante) o en un SSO (un par de polos dominantes).
 Los polos dominantes son los polos que dan la respuesta más lenta.
 La rapidez de respuesta viene dada por el exponente de la exponencial (la
parte real del polo).
Criterio de dominancia:
 Relación Re(pi) / Re(pd) > 5, suponiendo que no hay ceros en cercanía de pd
(efecto cancelación

26. Bibliografía
 http://www.unet.edu.ve/~jlrodriguezp/sist12.pdf
 https://frrq.cvg.utn.edu.ar/pluginfile.php/9025/mod_resource/content
/1/Tema5.pdf
 https://www.cartagena99.com/recursos/alumnos/apuntes/7_FUNCIO
N_DE_TRANSFERENCIA_PRIMER_ORDEN.pdf
 https://controlautomaticoeducacion.com/control-
realimentado/sistemas-dinamicos-de-primer-orden/